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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Concours pour l'admission en formation initiale pour l'obtention\\[6pt] des diplômes d'officier chef de quart machine et de chef mécanicien 8000 kW 2015}}
\rfoot{\small 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\vspace{0,5cm}

\begin{center} 
{\large \textbf{CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION INITIALE POUR L'OBTENTION DES DIPLÔMES D'OFFICIER CHEF DE QUART MACHINE ET DE CHEF MECANICIEN 8000 kW \\[5pt]
ANNÉE 2015 \quad (Durée: 2 heures)}} 

\vspace{1cm}

L'usage d'un formulaire est interdit; l'usage d'une calculatrice électronique à fonctionnement autonome, non
programmable, non programmée, non imprimante, avec entrée unique par clavier est seul autorisé.
\end{center}

\textbf{1\up{re} QUESTION \hfill(valeur = 2)}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des solutions dans $\R$ de l'équation différentielle 

\[y' + \dfrac{y}{2}  = 0.\]

\item  Déterminer l'ensemble des solutions dans $\R$ de l'équation différentielle 

\[2y'+ y - 4 = 0.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{2\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 1,5)}

\medskip

Soit $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures, d'un appareil. On
suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda  = 10^{-2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la densité de probabilité de $X$.
\item Calculer la probabilité $P(X \leqslant 200)$ au dixième près. (On pourra considérer $\text{e} \approx 3$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{3\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 2)}

\medskip

Une personne dispose d'une pièce de monnaie. Elle souhaite savoir si sa pièce est équilibrée, c'est-à-dire si la probabilité d'obtenir \og pile \fg{} est égale à $0,5$.

Pour effectuer cette vérification, elle lance successivement $100$ fois la pièce. Elle obtient 20 fois \og pile \fg{} et 80 fois \og face \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'intervalle de confiance de $p$ au seuil de 95\,\%, où $p$ est la probabilité (inconnue) d'obtenir \og pile \fg.
\item  Peut-on conclure, avec un risque d'erreur de 5\,\%, que la pièce est équilibrée ?
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{4\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 4,5)}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On considère le nombre complexe suivant : $z = -1 + \text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le module $|z|$.
\item Écrire les complexes $\overline{z}$,\: $\dfrac{1}{z}$,\:$\dfrac{1}{\sqrt{2}}z^2$ et $- z$ sous forme algébrique.
\item On appelle $A$, \:$B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z$,\:$\dfrac{1}{\sqrt{2}}z^2$ et $- z$.

Déterminer $AB^2$,\, $BC^2$ et $AC^2$.

En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{5\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 7)}

\medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle ]$0~;~+\infty[$ par $f(x) =1+ \dfrac{\ln (x)}{x}$ et par $g(x) = (\ln x)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Calculer la dérivée de $f$ et donner le tableau de variations de $f$.
\item Calculer $f(1)$
et $f(\text{e})$.

En déduire l'encadrement de $\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$ par $\text{e} - 1$ et $\text{e} -\dfrac{1}{\text{e}}$.
\item Déterminer la dérivée de $g$. Exprimer $f$ en fonction de $g'$.

En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.
\item On appelle $D$ l'ensemble des points $M$ de coordonnées $x$ et $y$ vérifiant $\left\{\begin{array}{l c l}
1&\leqslant x \leqslant&\text{e}\\
0&\leqslant y \leqslant& f(x)
\end{array}\right.$

dans un plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

Calculer au dixième près l'aire, en cm$^2$, du domaine $D$. (On pourra considérer $\text{e} \approx 2,72$).
\end{enumerate}

\end{document}