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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION INITIALE POUR L'OBTENTION DES DIPLOMES D'OFFICIER CHEF DE QUART MACHINE ET DE CHEF MECANICIEN 8000 kW 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }

\vspace{0,5cm}


\begin{center} 
{\large \textbf{CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION INITIALE POUR L'OBTENTION DES DIPLOMES D'OFFICIER CHEF DE QUART MACHINE ET DE CHEF MECANICIEN 8000 kW \\[5pt]
ANNÉE 2019 \quad (Durée: 2 heures)}} 

\vspace{1cm}

L'usage d'un formulaire est interdit; l'usage d'une calculatrice électronique à fonctionnement autonome, non
programmable, non programmée, non imprimante, avec entrée unique par clavier est seul autorisé.
\end{center}

\textbf{1\up{re} QUESTION \hfill(valeur = 5)}

\medskip 

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1 cm. On considère les nombres complexes 

\[z_{\text{A}} = 2 -7\text{i}, \:z_{\text{B}} = -4 + \text{i} \quad \text{et }\:z_{\text{C}} = 4 - 3\text{i}.\] 

On appelle A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$,\: $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{A}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point O$'$ milieu de [AB]. 
\item Donner l'équation cartésienne de la droite (AB). 
\item Calculer la longueur AB. 
\item Ecrire le nombre complexe $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$ sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
\item Donner une mesure en radians de l'angle de $\left(\vect{\text{CA}},~ \vect{\text{CB}}\right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{2\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 2,5) }

\medskip

Lors d'un sondage opposant deux candidats, on observe parmi les $100$ personnes interrogées: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{enumerate}
\item[$\bullet~~$]$N_x = 50$ personnes votent pour le candidat X 
\item[$\bullet~~$]$N_y = 20$ personnes votent pour le candidat Y 
\item[$\bullet~~$]$N_A = 30$ personnes s'abstiennent de voter 
\end{enumerate}
\setlength\parindent{0mm}

On note $P_x$ la probabilité (inconnue) de voter pour le candidat X et $P_y$ la probabilité (inconnue) de voter pour le candidat Y.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les deux intervalles de confiance de $P_x$ et de $P_y$ avec la probabilité $0,95$. 
\item Le sondage permet-il de départager les candidats avec la probabilité $0,95$ ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{3\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 2) }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $2y' + 5y = 0$. 
\item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ tels que la fonction $f(x) = ax + b$ soit une solution de l'équation différentielle $2y' + 5y = 5x - 3$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{4\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 6,5) }

\medskip

3x2-3x On considère la fonction $f$ définie sur $\R\backslash \{-1~;~2\}$ par 

\[f(x) = \dfrac{3x^2 - 3x}{(x + 1)(x - 2)}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x$ de $\R\backslash \{-1~;~2\}$ : 

\[f(x) = a + \dfrac{b}{x+1 } + \dfrac{c}{x - 2}\]

\item  Calculer la dérivée de $f$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{-6(2x-1)}{(x+1)^2(x-2)^2}$.
\item  Dresser le tableau de variation de $f$. 
\item  Déterminer les valeurs de $x$ qui annulent $f(x)$. 
\item  Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x = 1$. 
\item  $\mathcal{D}$ est le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$ la droite des abscisses et les droites d'équation $x = 3$ et $x = 5$. L'unité graphique est 2 cm. 
Calculer la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{D}$ en cm$^2$, 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{5\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 4) }

\medskip

u 2+9 

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ définie par 

\[u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 9}{2u_n}\:\: \text{pour}\:\: n > 0\quad  \text{et}\:\: u_0 > 3.\]

ainsi que la suite $\left(v_n\right)_{n\geqslant 0}$ définie par $v_n = \ln \left(u_n + 3\right) - \ln \left(u_n - 3\right)$ 

\begin{enumerate}
\item Montrer que $v_{n+1} = 2v_n$ pour tout $n \geqslant 0$. 
\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ et de $v_0$ 
\item Démontrer que $v_n = \ln \left(1 + \dfrac{6}{u_n - 3}\right)$ pour tout $n \geqslant 0$. 
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et de $v_0$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{Nota :\\
\begin{enumerate}
\item Aucun document n'est autorisé. 
\item Délits de fraude: \og Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude se verra attribuer la note zéro, éliminatoire, sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics\fg. 
\end{enumerate}}
\end{document}