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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Concours pour l'admission en formation initiale pour l'obtention\\ des diplômes d'officier chef de quart machine et de chef mécanicien 8000 kW 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }

\vspace{0,5cm}


\begin{center} 
{\large \textbf{CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION INITIALE POUR L'OBTENTION DES DIPLOMES D'OFFICIER CHEF DE QUART MACHINE ET DE CHEF MECANICIEN 8000 kW \\[5pt]
ANNÉE 2018 \quad (Durée: 2 heures)}} 

\vspace{1cm}

L'usage d'un formulaire est interdit ; l'usage d'une calculatrice électronique à fonctionnement autonome, non
programmable, non programmée, non imprimante, avec entrée unique par clavier est seul autorisé.
\end{center}

\textbf{1\up{re} QUESTION \hfill(valeur = 3)}

\medskip 

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $(1 + x)(2 - x) = 2$ 
\item $2 \ln \left(1 + \text{e}^x\right) + \ln \left(2 - \text{e}^x\right) = \ln \left[2\left(1 + \text{e}^x\right)\right]$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{2\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 3,5)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer 
		
\[A = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}  2^k = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{n-1} + 2^n.\]
 
en fonction de $n$. 
		\item Exprimer 

\[B= \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} (- 2)^k\] 

en fonction de $n$. Simplifier l'expression obtenue selon la parité de $n$. 
		\item Exprimer 

\[C = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}\left[2^k + 3(-2)^k\right]\] 


en fonction de $n$. Simplifier l'expression obtenue selon la parité de $n$. 
	\end{enumerate}
\item  Déterminer l'entier naturel $n$ qui vérifie $\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} \left[2^k  +3(-2)^k\right] = 2^8 $.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{3\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 2,5)}

\medskip

1. Résoudre l'équation différentielle y' + 3y = 0 

2. Déterminer une solution particulière de l'équation différentielle yi + 3y = 9 

3. Résoudre l'équation différentielle yi + 3y = 9 

4. Donner la solution/ de l'équation différentielle y' + 3y = 9 qui vérifie {CO) = 0 

\bigskip

\textbf{4\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 7)}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R\backslash\{1\}$ par 

\[f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 2}{x - 1}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x$ de $\R\backslash\{1\}$ :

\[f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - 1}.\] 

\smallskip

\item Etudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 
\item Déterminer la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à son asymptote d'équation $y = x + 3$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
\item $\mathcal{D}$ est le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$ la droite des abscisses et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 3$. L'unité graphique est $2$ cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le minimum et le maximum de $f$ sur l'intervalle [2~;~3].

En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_2^3 f(x)\:\text{d}x$.
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{D}$ en cm$^2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{5\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 4)}

\medskip

On appelle M$_1$ le point d'affixe $z_1 = 1 + 2\text{i}$ et on appelle M$_2$ le point d'affixe $z_2 = \dfrac{1}{z_1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la forme algébrique de $z_2$. 
\item Soit M$_3$ le point d'affixe $z_3  =  \dfrac{3}{5}+ \dfrac{4}{5}\text{i}$. 

Montrer que M$_3$ est le milieu de $\left[\text{M}_1\text{M}_2\right]$.
\item On appelle M$_4$ Je point d'affixe $z_4 = \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les longueurs M$_1$M$_4$ et M$_2$M$_4$.
		\item En déduire la nature du triangle M$_1$M$_2$M$_4$.

z -z 
		\item On note $r$ le module et $\theta$ un argument de $\dfrac{z_4 - z_1}{z_2 - z_1}$ et on note $r'$ le module et $\theta'$ un argument de $\dfrac{z_4 - z_2}{z_1 - z_2}$.
		
Exprimer $r'$ et $\theta'$en fonction de $r$ et $\theta$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{Nota:\\ 
\begin{enumerate}
\item Aucun document n'est autorisé. 
\item Délits de fraude: \og Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude se verra attribuer la note zéro, éliminatoire, sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics \fg. 
\end{enumerate}}
\end{document}