\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès & François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Entrée à l'ENSM}, pdftitle = {14 mai 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Ingénieurs de l'école nationale supérieure maritime 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small } \begin{center} {\large \textbf{\decofourleft~CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION DES INGÉNIEURS~\decofourright\\ DE L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE MARITIME\\[5pt] ANNÉE 2019 }} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures}\end{center} \vspace{0,05cm} Le candidat traitera 3 questions au choix parmi les 4 proposées, chaque question représentant le même nombre de points. \begin{center}\textbf{1\up{re} question}\end{center} \begin{enumerate} \item Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ respectivement par: \[f(x) = x^2\text{e}^{-x} \quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{-x}.\] Dans un repère orthonormé du plan, on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes représentatives. \begin{enumerate} \item Déterminer, par le calcul, les valeurs exactes des coordonnées des points d'intersection des deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)= \left(x^2-1\right)\text{e}^{-x}$. \begin{enumerate} \item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^2} = + \infty$. Déterminer les limites de la fonction $h$ en $+\infty$ et en $-\infty$. \item Montrer que $h'(x)$ est du signe de $-x^2 + 2x + 1$. \item En déduire les variations de la fonction $h$ sur $\R$, et dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \end{enumerate} \parbox{0.44\linewidth}{ \begin{enumerate}[resume] \item Soient les points $A(x~;~f(x))$ et $B(x~;~g(x))$ pour $x \in [-1~;~+\infty[$. On s'intéresse à la distance $AB$ . \begin{enumerate} \item Montrer que: \[AB = \left\{\begin{array}{l c l} h(x) &\text{si}& x \in [1~;~+\infty[\\ -h(x) &\text{si}& x \in [-1~;~1] \end{array}\right.\] \item Pour quelle valeur de $x$ la distance $AB$ est-elle maximale ? On notera $x_0$ cette valeur. Calculer la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la distance $AB$ en $x_0$. \end{enumerate} \end{enumerate} }\hfill \parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=1.1cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-0.6)(5.5,3.5) \multido{\n=-1+1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.5)(\n,3.75)} \multido{\n=0+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-1.5,\n)(5.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-0.5)(5.5,3.5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{5.5}{x dup mul 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{5.5}{1 2.71828 x exp div} \psdots[linecolor=red](2.6,0.07427) \psdots[linecolor=blue](2.6,0.50209)\uput[ur](2.6,0.50209){$A$}\uput[ur](2.6,0.07427){$B$} \psline(2.6,0.07427)(2.6,0.50209) \end{pspicture*} } \begin{enumerate}[resume] \item On s'intéresse, à présent, à l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites $x = 0$ et $x = 1$. (La fonction $f$ a été définie dans la question 1.). \parbox{0.5\linewidth}{Afin d'obtenir une valeur approchée de $\mathcal{A}$, on utilise la méthode dite \og des rectangles \fg{} qui consiste à approcher cette aire par la somme des aires de $n$ rectangles. Le graphique ci-contre illustre cette méthode pour $n = 10$ (le premier rectangle est d'aire nulle car $f(0) = 0$). Le nombre $n$ de rectangles choisi permettra, lorsqu'on l'augmente, d'améliorer l'approximation de l'aire S.}\hfill \parbox{0.87\linewidth}{ \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(1.1,0.45) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0)(0.2,0.00905) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,0)(0.3,0.03275) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.3,0)(0.4,0.06667) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.4,0)(0.5,0.10725) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(0.6,0.15163) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,0)(0.7,0.19757) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.7,0)(0.8,0.24333) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.8,0)(0.9,0.28757) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.9,0)(1,0.32932) \multido{\n=-0.1+0.1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.1)(\n,0.45)} \multido{\n=0.0+0.1}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.1,\n)(1.1,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(1.1,0.45) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.1}{1.1}{x dup mul 2.71828 x exp div} \end{pspicture} } \begin{enumerate} \item ~ \parbox{0.64\linewidth}{Recopier et compléter l'algorithme ci-contre pour qu'en fin d'exécution, la variable $S$ contienne la valeur approchée par défaut de l'aire $A$ obtenue en utilisant la méthode \og des rectangles\fg{} avec $n$ rectangles.}\hfill \parbox{0.33\linewidth}{\begin{tabular}{|l|}\hline Saisir $n$\\ $S \gets \ldots$\\ Pour $k$ allant de $0$ à $n-1$\\ \hspace{0.35cm} $S \gets S + \ldots$\\ Fin pour\\ \hline \end{tabular}} Voici les résultats obtenus pour $S$ en programmant cet algorithme avec différentes valeurs de $n$ : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$&$S$\\ \hline 10 & \np{0,142514607}\\ \hline 100& \np{0,158766463}\\ \hline 100000&\np{0,160600955}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \left(-x^2 - 2x - 2\right)\text{e}^{- x}$ est une primitive de la fonction $f$. \item Déterminer à présent la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$. Votre résultat est-il cohérent avec les valeurs de $S$ obtenues précédemment ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{2\up{e} question} \end{center} Un biologiste étudie le développement d'un certain type de parasite. Il place en milieu clos une colonie de \np{50000} individus. Des expériences ont démontré que dans ces conditions, à long terme, la population se stabilise autour de \np{90000} individus, sans jamais dépasser cette valeur. On considèrera que la population est \og stable\fg{} lorsque le taux d'évolution du nombre d'individus en une journée est inférieur à $0,1$\,\%. \emph{Rappel : Lorsqu'une quantité passe de la valeur $Q_1$ à la valeur $Q_2$ le taux d'évolution est $t = \dfrac{Q_2 - Q_1}{ Q_1}$} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Premier modèle} Au bout d'une journée, il observe que la population s'élève à \np{54000} individus. Il décide de faire l'hypothèse suivante : En notant $p_n$ le nombre d'individus, en milliers, au bout de $n$ journées, la suite $\left(p_n\right)$ vérifie $p_0 = 50$ et pour tout entier naturel $n$,\, $p_{n+1} = 0,9p_n + 9$. \begin{enumerate} \item Vérifier que ce modèle est en accord avec l'observation du nombre d'individus au bout d'une journée. \item On note $v_n = p_n - 90$. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. \item En déduire l'expression de $v_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$. \item Ce modèle est-il compatible avec l'observation attendue à long terme ? Justifier. \item Déterminer au bout de combien de jours cette population est considérée comme \og stable \fg. \end{enumerate} \item \textbf{Deuxième modèle} Au bout de deux journées, il observe que la population d'élève à \np{57888} individus. Il décide d'adopter un nouveau modèle : En notant $r_n$ le nombre d'individus au bout de $n$ journée(s), la suite $\left(r_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$,\, $r_{n+1} = f\left(r_n\right)$ où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = - 0,002x^2 + 1,18x.\] \parbox{0.78\linewidth}{ \begin{enumerate} \item Justifier que ce modèle est en accord avec les décomptes de la population effectués les deux premiers jours. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $0 \leqslant r_n \leqslant r_{n+1} \leqslant 90$. \item En déduire que la suite $\left(r_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite. \item On admet que $\ell$ doit vérifier $f(\ell) = \ell$. En déduire la valeur de $\ell$. \item Recopier et compléter l'algorithme ci-contre pour qu'il affiche en sortie le nombre de jour(s) au bout duquel la population pourra être considérée comme stable. \end{enumerate} } \hfill \parbox{0.18\linewidth}{\begin{tabular}{|l|}\hline $r \gets \ldots$\\ $n \gets \ldots$\\ $t \gets 1$ \\ Tant que \ldots\\ $r'\gets r$ \\ $r \gets \ldots$\\ $n \gets \ldots$\\ $t \gets \ldots$\\ Fin tant que\\ Afficher \ldots\\ \hline \end{tabular}} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{3\up{e} question}\end{center} Dans une grande entreprise, un virus informatique a infecté 20\,\% des ordinateurs. Un technicien de la maintenance informatique doit les contrôler à l'aide d'un logiciel anti-virus. Lorsqu'un ordinateur est infecté par le virus, le logiciel émet un message d'alerte dans 95\,\% des cas. 27\,\% des tests ont donné lieu à un message d'alerte. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un des ordinateurs de l'entreprise, et on note les évènements suivants: $V$ : \og l'ordinateur est infecté par le virus\fg{}\quad $A$ : \og Le logiciel émet un message d'alerte\fg \begin{enumerate} \item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré et calculer $P(V \cap A)$. \item Calculer $P\left(\overline{V} \cap A\right)$ et en déduire $P_{\overline{V}}(A)$. \item Le technicien reçoit un message d'alerte du logiciel anti-virus sur un ordinateur. Il affirme qu'il y a alors moins de 3 chances sur 4 que cet ordinateur soit effectivement infecté par le virus. Justifier cette affirmation. \end{enumerate} \item À chaque fois qu'un message d'alerte est émis par le logiciel anti-virus, le technicien réalise un second test, parfaitement fiable celui-ci, pour savoir si l'ordinateur est effectivement infecté par le virus. Le coût de ce second test pour l'entreprise s'élève à $10$~\euro. Si l'ordinateur est effectivement infecté, il engage alors une réparation de la carte mère dont le coût pour l'entreprise s'élève à $25$~\euro. Lorsque le logiciel anti-virus n'a pas émis de message d'alerte, l'ordinateur est remis en circulation, et le coût pour l'entreprise est de $0$~\euro. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le coût total de l'intervention sur un ordinateur choisi au hasard dans l'entreprise. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$ sous forme d'un tableau. \item Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat obtenu. \item Le responsable du budget de la maintenance informatique demande au technicien de ne pas pratiquer ce second test, et d'effectuer la réparation de la carte mère sur tous les ordinateurs sur lesquels le message d'alerte a été émis par le logiciel anti-virus. Justifier cette décision. \end{enumerate} \item Il choisit $400$ ordinateurs pour les tester. Le parc informatique de l'entreprise est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à $400$ tirages successifs avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'ordinateurs infectés parmi ces $400$ ordinateurs. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $Y$ en précisant ses paramètres puis calculer son espérance $\mu$ et son écart-type $\sigma$. \item Quel calcul donne la probabilité qu'au moins un ordinateur soit infecté par ce virus ? Que peut-on dire de cet évènement? \item Pour cette question, on utilisera l'approximation permise par le théorème de Moivre-Laplace, c'est-à-dire que pour tous réels $a$ et $b$ , $P\left( a \leqslant \dfrac{Y - 80}{8} \leqslant b\right) \approx P(a \leqslant Z \leqslant b)$ où $Z$ suit la loi normale centrée réduite. On utilisera la table de valeurs suivante pour répondre: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small} l|*{10}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}}\hline $a$& 0&0,05& 0,1& 0,15& 0,2& 0,25& 0,3& 0,35& 0,4 &0,45\\ \hline $P(Z}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) %%% définitions des points \Cnode*(0,2.236){D} \Cnode*(-1.8,0.539){M} \Cnode*(0,0){O} \Cnode*(-1.8,-0.3){H} \Cnode*(-2.9,-0.5){C} \Cnode*(-0.7,0.7){S} \Cnode*(0.6,-0.6){T} \Cnode*[radius=0pt](0.233,-1.4){X}%%% point bidon pour le 3e axe %%% tracés \psline[linestyle=dashed](-1.8,\ymin)(-1.8,\ymax) \ncline[nodesep=-1cm]{C}{D} \ncline[nodesepB=-1cm,linestyle=dashed]{S}{T} \psline{->}(0,0)(X) \psline(0,0)(-0.066,0.4) %%% 3e axe \pspolygon[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid](M)(H)(T)(S) \psline(M)(T) \psline[linestyle=dashed](H)(S) \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, Dx=0.5,yAxis=false,labels=none,linestyle=dashed]{<-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-0.4) \psline[linestyle=dashed](0,0)(X)%%% bout du 3e axe %%% graduations \multido{\n=-3+0.5,\na=3+-0.5}{6}{ \uput[d](\n,0){$\scriptstyle\np{\na}$}} \uput[d](0.5,0){$\scriptstyle -0,5$} \multido{\nx=0.0333+0.0333,\ny=-0.2+-0.2,\n=0.5+0.5}{6}{ \uput[r](\nx,\ny){$\scriptstyle\np{\n}$} \rput(\nx,\ny){-}} \psline(-1.8,-0.2)(-1.72,-0.21)(-1.72,-0.31) %%% écriture des points \uput[dr](D){$D$} \uput[ul](M){$M$} \uput[dl](H){$H$} \uput[ur](O){$O$} \uput[ul](C){$C$} \uput[ur](S){$S$} \uput[ur](T){$T$} \end{pspicture*} }} \begin{enumerate}[label={}] \item \begin{enumerate} \setcounter{enumii}{3} \item En déduire que le volume $V(t)$ de la pyramide $TSMH$ peut s'écrire : \[V(t) = \dfrac{5\sqrt{5}}{3}t(1-t).\] \item Déterminer les coordonnées du point $M_0$ permettant d'obtenir la pyramide de volume maximal. \item Calculer la valeur du produit scalaire $\vect{M_0S} \cdot \vect{M_0T}$. \item En déduire la valeur de $\cos \left(\widehat{SM_0T}\right)$ puis donner une valeur en degré, approchée à $0,1$ près, de l'angle géométrique $\widehat{SM_0T}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{Nota :\\ \begin{enumerate} \item Aucun document n'est autorisé. \item Délits de fraude: \og Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude se verra attribuer la note zéro, éliminatoire, sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics\fg. \end{enumerate}} \end{document}