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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Ingénieurs de l'école nationale supérieure maritime 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }
\begin{center} 
{\large \textbf{\decofourleft~CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION DES INGÉNIEURS~\decofourright\\
 DE L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE MARITIME\\[5pt]
ANNÉE 2012}} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 2 heures}\end{center}

\vspace{0,05cm}

Le candidat traitera 3 questions au choix parmi les 4 proposées, chaque question
représentant le même nombre de points.

L'usage d'un formulaire est interdit; l'usage d'une calculatrice électronique à fonctionnement autonome, non programmable, non programmée, non imprimante, avec entrée unique par clavier est seul autorisé. 

\bigskip

\begin{center}\textbf{1\up{re} question} (valeur = 5) \end{center}

\smallskip

Une chaîne de parfumerie projette de commander à une entreprise de menuiserie, un certain nombre de consoles de présentation de produits de beauté. Le graphique ci-dessous représente la face latérale de la console dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique égale à 2 cm. 

\psset{unit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.1,-1.3)(1.7,1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1.59}{x dup mul 0.5 mul  x sub x 2.71828 x exp div add}
\psline(1.59,0)(1.59,0.3)(-1,0.3)(-1,-1.218)
}
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.1,-1.3)(1.7,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1.59}{x dup mul 0.5 mul  x sub x 2.71828 x exp div add}
\psline(-1,-1.218)(-1,0.3)(1.59,0.3)(1.59,0)
\uput[d](-1,-1.218){A}\uput[dr](1.59,0){B}\uput[ur](1.59,0.3){C}\uput[ul](-1,0.3){D}
\uput[ur](0,0.3){0,3}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item On fait l'hypothèse que la courbe qui joint le point A au point B est la courbe représentative d'une fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]-1~;~1,59]$ par : 

\[f (x)= ax^2 + bx + c + dx\text{e}^{-x}\] 

$a$, $b$, $c$, $d$ désignant quatre constantes réelles. 

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer pour tout réel $x \in  [-1~;~1,59]$,\: $f'(x)$ en fonction de $x$. 
		\item Sachant que la courbe représentative de $f$ passe par les points de coordonnées (0~;~0) et $\left(1~;~\dfrac{1}{\text{e}} - \dfrac{1}{2}\right)$ et qu'elle admet en ces points une tangente horizontale, déterminer les valeurs des réels $a$, $b$, $c$, $d$. 
	\end{enumerate}
\item On admet désormais que la courbe qui joint le point A au point B est la courbe représentative de la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[-1~;~1,59]$ par: 

\[f(x)= \dfrac{1}{2}x^2 -  x + x\text{e}^{-x}\] 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{1,59}  x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$. 
		\item On note $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de la face latérale ABCD de la console : déterminer l'approximation à l'unité près la plus proche de la valeur de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
2\up{e} \textbf{QUESTION \:(valeur = 7)}\end{center} 

Le système de refroidissement par eau d'une machine est constitué d'un circuit de contenance $20$ litres. Dès que l'eau contenue dans ce circuit atteint la température de $80$ \degres C, il est rafraîchi en de multiples points par un courant d'eau froide à $16$ \degres C. Il rentre très rapidement dans le circuit autant d'eau qu'il n'en sort, à raison de $2$ litres par seconde, et le grand nombre de points de rafraîchissement permet de considérer qu'à chaque seconde, $18$ litres d'eau contenus dans le circuit sont mélangés de façon homogène à $2$ litres d'eau froide. (La température est donc la même en tout point du circuit). On considère comme négligeable l'apport de chaleur dans le circuit dû au fonctionnement de la machine pendant le rafraîchissement. 

\smallskip

L'objectif de cet exercice est de déterminer le temps nécessaire (en seconde) pour que la température de l'eau contenue dans le circuit retombe à 40 \degres C. Les calculs seront basés sur un résultat barycentrique intuitif selon lequel $x$ litres d'eau a $u$ degrés mélangés à $y$ litres d'eau à $v$ degrés donnent $x + y$ litres d'eau à $\dfrac{xu+ yv }{x + y}$ degrés.

\smallskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\smallskip 

\textbf{Partie A (un modèle discret)} 

Pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ la température (en \degres C) de l'eau contenue dans le circuit au bout de $n$ secondes de rafraîchissement. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(T_n\right)$ est définie par : 

\[T_0 = 80 \quad \text{et}\quad  10T_{n+1} = 9T_n + 16\quad  \text{pour tout }\:n \in \N.\]
 
\item pour tout entier naturel $n$, on pose $U_n = T_n - 16$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique ; préciser le premier terme et la raison 
		\item En déduire pour tout entier naturel $n$, l'expression de $U_n$ en fonction de $n$ puis l'expression de $T_n$ en fonction de $n$. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(T_n\right)$ converge vers une valeur ; préciser cette valeur 
\item Trouver le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $T_n  \leqslant 40$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B (un modèle continu)}

\medskip 

Pour tout réel $t$ positif (exprimé en seconde), on note $T(t)$ la température (en \degres C) de l'eau contenue dans le circuit à l'instant $t$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\Delta t$ un petit laps de temps (exprimé en seconde).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la température (en \degres C) de l'eau contenue dans le circuit à l'instant 

$t + \Delta t$ est : $T\left(t + \Delta t\right) = \dfrac{(20 - 2\Delta t)T(t) + 2\Delta t\times 16}{20}$. 
		\item En déduire que :  pour tout entier $n$: $\dfrac{T\left(t + \Delta t\right)  - T(t)}{\Delta t} = - 0,1T + 1,6$.
		\item Montrer alors que $T$ est solution sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle 
		
		\[(E) :\quad T'= - 0,1T + 1,6.\] 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
		\item Déterminer la solution de $(E)$ qui satisfait la condition initiale $T(0) = 80$. 
		\item Résoudre l'équation $T(t) = 40$. Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{3\up{e} QUESTION \:(valeur = 8)}\end{center} 

Cet exercice est constitué de 6 questions indépendantes. Vous en traiterez 4, au choix, sur les 6. Si vous en traitez plus, seules les 4 premières seront prises en compte. 

\smallskip

Chaque question vous propose une affirmation. Vous indiquerez, \textbf{en le justifiant}, si elle est vraie ou fausse. Une réponse injustifiée ne rapportera aucun point. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère 
les points A et B d'affixes respectives : 

$z_{\text{A}} = \text{i}\:  \text{et }\: z_{\text{B}} = \text{e}^{- \text{i}\frac{5\pi}{6}}$.
 
C est l'image du point B par la rotation de centre O et d'angle de mesure $\dfrac{2\pi}{3}$, D est l'image du point C par la symétrie orthogonale d'axe $\left(\text{O},~\vect{u}\right)$, 
E est l'image du point D par l'homothétie de centre A et de rapport 2. 

\smallskip

\textbf{Vrai ou Faux ? }

\smallskip

Une mesure (en rad) de l'angle orienté $\left(\vect{\text{CD}} ~;~\vect{\text{CE}}\right)$ est $\dfrac{\pi}{3}$.
 
\item Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, A désigne le point d'affixe 2. Pour tout point $M$ de $\mathcal{P}$ d'affixe $z$ telle que $z \ne 2$ on associe le 
point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : $z '= \dfrac{-4}{z - 2}$. 

\smallskip

\textbf{Vrai ou Faux ? }

\smallskip

Si $M$ appartient à la médiatrice du segment [OA], alors $M'$ appartient à un cercle de centre A.
 
\item ABC est un triangle tel que $\widehat{\text{ABC}} = 30\degres$, H$_{\text{A}}$ est le pied de la hauteur issue de A dans ce triangle, H en est l'orthocentre. 

\smallskip

\textbf{Vrai ou Faux ? }

\smallskip

$\vect{\text{AB}}\cdot\vect{\text{AC}}  =\vect{\text{AH}}\cdot\vect{\text{AC}} =\vect{\text{AH}}\cdot\vect{\text{AH}_{\text{A}}} \text{ et }\: \text{AH} = 2 \dfrac{\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}}{\text{AB}}.$ 
\item  A et B désignant deux points du plan, on note I le barycentre du système $\{(\text{A}, 1)~;~(\text{B}, 2)\}$ et J le barycentre du système $\{(\text{A}, 1)~;~(\text{B}, - 2)\}$. 

Soit $E$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $\dfrac{M\text{A}}{M\text{B}} = 2$. 

\smallskip

\textbf{Vrai ou Faux ? }

\smallskip

$E$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\left(\vect{M\text{A}} + 2\vect{M\text{B}}\right)\cdot \left(\vect{M\text{A}} - 2\vect{M\text{B}}\right) = 0$ et c'est une droite. 
\item  L'espace $\mathcal{E}$ est muni d'un repère orthonormal \Oijk. 

$S$ désigne la sphère d'équation : $(x -1 )^2 +(y + 1)^2 +(z - 3 )^2 = 12$.

$P$ le plan d'équation : $x-y+z= 11$. 

\smallskip

\textbf{Vrai ou Faux ? }

\smallskip

$S$ est tangente à $P$ et le point de tangence a pour coordonnées $(3~;~-3~;~5)$. 
\item  Une entreprise possédant 10 autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs tels que chute de pierres, présence d'un troupeau sur la voie, \ldots Les distances (en km) parcourues sans incident par chacun de ces autocars, depuis l'entrepôt, sont des variables aléatoires, deux à deux  indépendantes, suivant toutes la loi exponentielle de paramètre : $\lambda = \dfrac{1}{82}$.

\smallskip

\textbf{Vrai ou Faux ? }

\smallskip

La probabilité qu'au moins huit autocars n'aient subi aucun incident pendant les $100$ premiers kilomètres n'excède pas $0,002$.
\end{enumerate}

\vspace{1.5cm}

\emph{Nota : 
\\
\begin{enumerate}
\item Aucun document n'est autorisé. 
\item Délits de fraude: \og Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude sera immédiatement exclu de la salle d'examen sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics \fg. 
\end{enumerate}}
\end{document}