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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Entrée à l'ENSM},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Ingénieurs de l'école nationale supérieure maritime 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }
\begin{center} 
{\large \textbf{\decofourleft~CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION DES INGÉNIEURS~\decofourright\\
 DE L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE MARITIME\\[5pt]
ANNÉE 2011 }} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 2 heures}\end{center}

\vspace{0,05cm}

\begin{center}1\up{re} QUESTION (valeur = 5)\end{center}

On donne $I = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^{\pi}  t\cos^2 t\:\text{d}t$ \quad et $J = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^{\pi}  t \sin^2 t\:\text{d}t$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $I$ et $J$ sont positives
\item Calculer $I + J$.
\item Montrer que $I - J = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^{\pi}  t \cos (2 t)\:\text{d}t$.
\item Calculer $I - J$ en effectuant une intégration par partie
\item En déduire $I$ et $J$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}2\up{e} QUESTION (valeur = 6)\end{center}

$f$ est l'application de $\C - \{ -\text{i}\}$ dans $\C$ définie par 

\[z \longmapsto f(z) = \dfrac{\text{i}z}{z + \text{i}}.\]

$\mathcal{P}$ est le plan complexe rapporté au repère orthonormal (0; Ü ; 11 )

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point $B$ dont l'affixe $z_B$ vérifie $f(z) = 1 + 2\text{i}$.
\item $M$ est le point d'affixe $z$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(z) - \text{i}$.
		\item En appelant $r$ le module de $z + \text{i}$ et $\theta$ un argument de $z + \text{i}$,
écrire $f(z ) - \text{i}$ en fonction de $r$ et de $\theta$.
	\end{enumerate}
\item A est le point d'affixe $(- \text{i})$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $C$ des points $M$ tels que  $\left|f(z) - \text{i}\right| = \sqrt{2}$.
		\item Déterminer l'ensemble $D$ des points $M$ tels qu'une mesure de l'argument de $f(z) - \text{i}$ soit $\dfrac{\pi}{4}$.
		\item Montrer que $B$ appartient à $C$ et $D$.
		\item Construire $C$ et $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}3\up{e} QUESTION (valeur = 4)\end{center}

\parbox{0.65\linewidth}{On considère un cube ABCDEFGH de côté 1
et le point M de la demi-droite [AE) défini par $\vect{\text{AM}} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\vect{\text{AE}}$.}
\hfill 
\parbox{0.32\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4.5)
%\psgrid
\psline(0.5,0.5)(3,0.5)(3.75,1.25)(3.75,3.75)(3,3)(3,0.5)
\psline(3.75,3.75)(1.25,3.75)(0.5,3)(0.5,0.5)
\psline(0.5,0.5)(0.5,3)(3,3)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.25,1.25)(1.25,3.75)
\psline[linestyle=dashed](1.25,1.25)(3.75,1.25)
\uput[l](0.5,0.5){A}\uput[dr](3,0.5){B}\uput[r](3.75,1.25){C}
\uput[l](1.25,1.25){D}\uput[l](0.5,3){E}\uput[r](3,3){F}
\uput[ur](3.75,3.75){G}\uput[ul](1.25,3.75){H}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le volume du tétraèdre ABDM
\item I est le barycentre du système de points $\left\{\left(M~;~\dfrac{2}{3}\right)~ ;~(B~;~1)~;~(D~;~1)\right\}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\vect{\text{BI}}$ en fonction de $\vect{\text{BM}}$ et de $\vect{\text{BD}}$
		\item calculer $\vect{\text{BI}} \cdot \vect{\text{AM}}$ et $\vect{\text{BI}} \cdot \vect{\text{AD}}$ et en déduire $\vect{\text{BI}}\cdot  \vect{\text{MD}}$.
		\item On admettra que $\vect{\text{DI}} \cdot  \vect{\text{MB}} = 0$ ; préciser ce que représente I pour le triangle BDM.
	\end{enumerate}	
\item Démontrer les égalités $\vect{\text{AI}} \cdot \vect{\text{MB}} = 0$ et $\vect{\text{AI}} \cdot \vect{\text{MD}} = 0$.

En déduire une propriété de la droite (AI)
\item Montrer que le triangle BDM est isocèle, calculer son aire et déterminer la distance AK.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}4\up{e} QUESTION (valeur = 5)\end{center}

\smallskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \sqrt{x}\text{e}^{1 - x}.\]

$C$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = \dfrac{x \text{e}}{\sqrt{x} \text{e}^x}$ pour tout $x > 0$.

En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et interpréter géométriquement.
\item Démontrer que $f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ puis calculer $f'$.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}$ ; préciser si $f$ est dérivable en $0$ et interpréter géométriquement.
\item Tracer le tableau de variation de $f$.
\item Construire la courbe $C$ (unité 2 cm).
\end{enumerate}

\vspace{1.5cm}

\emph{Nota :\\
\textbf{1.} Aucun document n'est autorisé.\\
\textbf{2.} Délits de fraude : \og Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude sera immédiatement exclu de la salle d'examen sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics. \fg}

\end{document}