%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{enumitem}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Entrée à l'ENSM},
pdftitle = {juin 2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 

\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Ingénieurs de l'école nationale supérieure maritime 2017}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }
\begin{center} 
{\large \textbf{\decofourleft~CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION DES INGÉNIEURS~\decofourright\\
 DE L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE MARITIME\\[4pt]
ANNÉE 2017 }} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 2 heures}\end{center}

\vspace{0,05cm}

Le candidat traitera 3 questions au choix parmi les 4 proposées, chaque question
représentant le même nombre de points.

Les 4 questions proposées sont indépendantes.

\begin{center}\textbf{1\up{re} question}\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = x^3 - 4x^2 - x + 2.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $g$ (on ne cherchera pas à calculer les valeurs des extremums de $g$).
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~2].
		\item En déduire le tableau de signes de $g(x)$ sur l'intervalle [0~;~2].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{Pour la suite de l'exercice, on pourra utiliser la valeur approchée } $\alpha \approx  0,64$

\begin{enumerate}[resume]
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (ax+ b)\text{e}^{-x^2}$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}
\parbox{0.55\linewidth}{
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item[]
	\begin{enumerate}
		\item On sait que $\mathcal{C}_f$ coupe d'axe des ordonnées au point A(0~;~4) et que sa tangente en A a pour coefficient directeur $- 1$.
		
Démontrer que $f(x) = (- x + 4)\text{e}^{- x^2}$.
		\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~2] on définit les
points suivants :
		
$M$ le point de $\mathcal{C}_f$ de coordonnées $(x~;~f(x))$
		
$P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$
		
$Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$.
		
On note $A(x)$ l'aire du rectangle O$PMQ$.
		
La figure ci-contre sur laquelle une partie de la
courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée rappelle ces notations.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\hfill \parbox{0.41\linewidth}{
\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.15)(4.1,4.2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.8,1.687)		
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(4,4)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 x sub 2.71828 x dup mul exp div}

\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.8,0){$P$} \uput[ur](0.8,1.687){$M$} \uput[l](0,1.687){$Q$}
 
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item[]
\begin{enumerate}
\setcounter{enumii}{2}
\item
		\begin{enumerate}
			\item Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$.
			\item Démontrer que $A'(x)$ est du signe de $g(x)$ et
en déduire la valeur de $x$ pour laquelle $A(x)$ est maximale.
			\item Démontrer que lorsque $A(x)$ est maximale, la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $M$ est parallèle à la droite $(QP)$		
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}			
\item On note $S$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I = \displaystyle\int_0^2  - x\text{e}^{-x^2}\: \text{d}x$ (on donnera la valeur exacte).
		\item On donne $J = \displaystyle\int_0^2  \text{e}^{-x^2}\: \text{d}x \approx 0,882$. 
		
En déduire une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $S$.
		\item Est-il possible de placer le point $M$ pour que l'aire du rectangle O$PMQ$ soit égale à la moitié de l'aire $S$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{2\up{e} question}\end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par 

\[f(x) = \dfrac{2x}{1 + 2x}.\]

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique donné en annexe (dernière page du sujet), on a tracé la courbe $C$ représentative de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant une méthode graphique, construire les points de $C$ d'abscisses $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (aucun calcul n'est attendu).
		\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier nature  $n$,
$\dfrac12 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
	\end{enumerate}
\item On considère à présent la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par : pour tout entier naturel $n$,\: $v_n = \dfrac{1 - 2u_n}{u_n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
		\item Déterminer l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Déterminer le premier entier $n_0$ tel que pour tout $n \geqslant n_0$,\: $u_n \leqslant 0,501$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{3\up{e} question}\end{center}

Une entreprise produit et commercialise des puces GPS.

Elle dispose de 3 centres de productions A, B et C qui produisent respectivement 60\,\%, 25\,\% et 15\,\% des puces électroniques.

Après leur sortie des centres de production, ces puces sont regroupées dans les laboratoires du contrôle qualité, où elles sont testées pour savoir si elles sont commercialisables.

L'expérience a montré que 80\,\% des puces sortant du centre de production A, 95\,\% des puces sortant du centre de production B, et 86,45\,\% de l'ensemble des puces produites sont sélectionnées à l'issue de ce test comme étant commercialisables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un technicien du contrôle qualité prélève une puce au hasard pour lui faire passer le test.

On notera les évènements suivants:

$A$ : \og La puce est issue du centre de production A \fg, de même pour $B$ et pour $C$.

$T$ : \og La puce est sélectionnée à l'issue du test comme étant commercialisable \fg

	\begin{enumerate}
		\item Décrire la situation par un arbre pondéré.
		\item Calculer la probabilité que la puce provienne du centre A et soit commercialisable.
		\item Calculer la probabilité qu'une puce provenant du centre de production C soit commercialisable.
		\item Le responsable du centre de production C affirme que parmi les puces commercialisables, plus de 17\,\% proviennent de son centre de production. Justifier cette affirmation par un calcul de probabilité.
	\end{enumerate}
\item Pour faire les tests, les techniciens reçoivent les puces par lots de 12. On note X la variable aléatoire qui à un lot choisi au hasard associe le nombre de puces commercialisables qu'il contient.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité que suit la variable aléatoire X en justifiant votre réponse.
		\item Calculer la probabilité qu'au moins une puce du lot ne soit pas commercialisable.
		\item On envisage de modifier le nombre de puces par lot. Déterminer la taille minimale des lots pour
que la probabilité qu'un lot contienne au moins une puce non commercialisable soit supérieur à
0,95.
	\end{enumerate}
\item On estime que la durée de vie de ces puces GPS suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et on note $T$ la variable aléatoire qui à une puce choisie au hasard associe sa durée de vie en années.

On a pu mesurer qu'au bout de $5$ ans, la moitié des puces sont défectueuses.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $\lambda$.
		\item En déduire la durée de vie moyenne de ces puces.
		\item Un bateau de plaisance doit partir pour une croisière de $2$~ans. Il est équipé d'un dispositif qui utilise l'une de ces puces et qui a été acheté neuf il y a $4$~ans. 
		
Quelle est la probabilité que la puce connaisse une panne durant cette croisière ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{4\up{e} question}\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par : 

\[P(z) = z^3 + (2 - 2\text{i})z^2 + (4 - 4\text{i})z - 8\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que 2i est une solution de l'équation $P(z) = 0$.
		\item Démontrer que $P(z) = (z - 2\text{i})\left(z^2 + 2z + 4\right)$.
		\item En déduire toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé }\Ouv.
	
\emph{On réalisera une figure sur l'annexe donnée en dernière page du sujet.}

\medskip
	
On considère les points A, B et C d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$, $z_{\text{B}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$, et $z_{\text{C}} = - 2$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des trois nombres complexes $z_{\text{A}}$, $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ puis les écrire en notation exponentielle.
		\item Placer les points A, B et C sur une figure donnée en annexe que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.

On note $Z = \dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}$.

		\item Déterminer la forme algébrique de $Z$.
		\item Calculer le module et un argument de $Z$.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item À tout point $M$ d'affixe $z$ (avec $z \neq z_{\text{B}}$), on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ défini par : 
	
\[z'= \dfrac{1 +\text{i}\sqrt{3} - z}{1 - \text{i}\sqrt{3} - z}.\]

$\left.(\text{On pourra remarquer que } z' = \dfrac{z_{\text{A}} - z}{z_{\text{B}} - z}.\right)$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $M'$ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Démontrer que si $M$ appartient au cercle de diamètre [AB] privé de B alors $M'$ appartient à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{v}\right)$.
		\item On note D le point d'intersection entre le cercle de diamètre [AB] et l'axe réel, tel que DBA soit un triangle rectangle direct.
		
Construire le point D$'$ associé au point D en justifiant la construction.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
Nota :

\begin{enumerate}
\item Aucun document n'est autorisé.
\item Délits de fraude: \og Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude se verra attribuer la note zéro, éliminatoire, sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics \fg.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexes à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Annexe - 2\up{e} question}

\medskip

\psset{unit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.1)(2.05,0.85)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(2.05,0.85)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.05}{2 x mul x 2 mul 1 add div}
\end{pspicture*}

\vspace{2cm}

\textbf{Annexe - 4\up{e} question}

\medskip

\psset{unit=2.5cm,comma=true,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%   fin 2017
\end{document}