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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Ingénieurs de l'école nationale supérieure maritime 2015}}
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\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }
\begin{center} 
{\large \textbf{\decofourleft~CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION DES~\decofourright\\
INGÉNIEURS DE L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE MARITIME\\[4pt]
ANNÉE 2015 }} \vspace{1cm}

\vspace{0,5cm}

Durée : 2 heures
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

{\footnotesize Tout document est interdit. L'usage d'une calculatrice électronique à fonctionnement autonome, non programmable, non programmée, non imprimante, avec entrée unique par clavier est seul autorisé.\\
\emph{Délits de fraude : \og tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude sera immédiatement exclu de la salle d'examen (sa note sera égale à zéro) sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics \fg.}}


\begin{center} \textbf{1\up{re} QUESTION (Valeur = 3)}\end{center}

On se place dans le plan complexe \Ouv, et on considère pour tout nombre $\alpha \in \C$, le point $M_{\alpha}$ d'affixe $\alpha^2 - \alpha$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points $M_{\alpha}$ et $M_{\alpha+3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que O est le milieu de $\left[M_{\alpha} M_{\alpha+3}\right]$ lorsque $\alpha^2 + 2\alpha + 3 = 0$.
		\item En déduire les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles O est le milieu de $\left[M_{\alpha} M_{\alpha+3}\right]$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que lorsque $\left|\alpha - \dfrac{1}{2}\right| = 2$ alors $M_{\alpha}$ est sur un cercle de rayon 4 et de centre $\Omega$ d'affixe $- \dfrac{1}{4}$.
\item On suppose ici qu'il existe $\theta \in [- \pi~;~0]$ tel que $\alpha = \text{e}^{\text{i}\theta}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\alpha^2 - \alpha = 2\sin \left(\dfrac{\theta}{2} \right)\text{e}^{\left(\frac{3\theta + \pi}{2}\right)}$.
		\item En déduire un argument de $\alpha^2 - \alpha$ en fonction de $\theta$.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\begin{center} \textbf{2\up{e} QUESTION (Valeur = 3)}\end{center}
 
Un rectangle ABCD est inscrit dans un demi-cercle de centre O, de diamètre [IJ] et de rayon 4~cm. 
 
On note
$\theta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{BOC}}$  telle que $0 \leqslant  \theta \leqslant \dfrac{\pi}{2}$.

%%%%%% figure
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4.25,-0.5)(4.25,4)
\psarc(0,0){4}{0}{180}
\pspolygon(0;0)(4;35)(4;145)(3.277;180)(3.277;0)%OCDABC
\psline(3.277;0)(4;35)
\psline(-4,0)(4,0)
\uput[d](0,0){O} \uput[d](3.277;180){A} \uput[d](3.277;0){B}
\uput[ur](4;35){C} \uput[ul](4;145){D} \uput[d](-4,0){I}
\uput[d](4,0){J} \uput[r](0.45,0.2){$\theta$} \uput[ul](1.6,1.3){4}
\psarc(0,0){0.5}{0}{35} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire du rectangle ABCD est donnée en fonction de $\theta$ par la fonction $f$ définie sur $\left[0~;~ \frac{\pi}{2}\right]$ par 

\[f(\theta) = 16\sin (2\theta).\]

\item Déterminer pour quelles de valeurs de $\theta$, l'aire du rectangle ABCD est la plus grande et donner alors les dimensions de ce rectangle.
\item Montrer qu'il existe deux valeurs de $\theta$ pour lesquelles l'aire de ABCD est 
10~cm$^2$. 

Donner les valeurs de $\theta$ à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{3\up{e} QUESTION (Valeur = 5)}\end{center}

La famille de fonctions $f_n$ est définie pour $n \in \N^*$ et $t \in [0~;~1]$ par

\[f_n(t) = \dfrac{t + 1}{t + 2}\text{e}^{- \frac{t}{n}}.\]

On note $\mathcal{C}_n$, pour $n \in \N^*$, la courbe représentative de la fonction $f_n$ et on considère ensuite la suite $\left(u_{_n}\right)_{n \in \N*}$ définie pour $n \in \N^*$ par

\[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(t)\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique suivant on a représenté les courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$.


\begin{center}
\psset{unit=9cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.05)(1.05,0.65)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,subgridwidth=0.3pt,griddots=8](0,-0.05)(1,0.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(1.05,0.65)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1.05,0.65)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 1 add x 2 add div 2.71828 x neg exp mul}\uput[d](0.94,0.25){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x 1 add x 2 add div 2.71828 x 2 div neg exp mul}\uput[d](0.94,0.4){\red$\mathcal{C}_2$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 1 add x 2 add div 2.71828 x 3 div neg exp mul}\uput[d](0.94,0.475){ $\mathcal{C}_3$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Que représentent les nombres $u_1$, $u_2$ et $u_3$ pour les courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ ?
		\item À l'aide du graphique dire quel semble être le sens de variation de la suite $\left(u_{_n}\right)_{n \in \N^*}$. Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le sens de variation de la suite $\left(u_{_n}\right)_{n \in \N^*}$ est celui observé à la question précédente.
\item Vérifier que $\dfrac{t + 1}{t + 2} = 1 - \dfrac{1}{t + 2}$.
\item Déterminer alors $J = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 1}{t + 2}\:\text{d}t$.
\item Montrer alors que $J\text{e}^{- \frac{1}{n}}  \leqslant u_n  \leqslant J$, pour tout $n \in \N^*$.
\item En déduire que $\left(u_{_n}\right)$ est convergente. Déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{4\up{e} QUESTION (Valeur = 3)}\end{center}

On considère un tétraèdre OABC dont les faces OAB, OAC et OAD sont des triangles isocèles rectangles.

%%%%%% figure
\psset{unit=0.7cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,13)
\psdots(0.5,0.5)(11,3.8)(3,12.4)(3,12.4)(5.75,2.15)(4.8,5.7)
\pspolygon(0.5,0.5)(11,3.8)(3,12.4)%ABC
\psline(3,12.4)(5.75,2.15)%CI
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(3,4.4)(3,12.4)%AOC
\psline[linestyle=dashed](3,4.4)(11,3.8)%OB
\psline[linestyle=dashed](3,4.4)(4.8,5.7)%OH
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[r](11,3.8){B} \uput[u](3,12.4){C}
\uput[ul](3,4.4){O} \uput[dr](5.75,2.15){I} \uput[r](4.8,5.7){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

Dans le triangle ABC, on appelle I le pied de la hauteur issue de C. 

Dans le triangle OIC, on appelle H le pied de la hauteur issue de O.

On considère le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}},~ \vect{\text{OC}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de (IC)
\item Déterminer les coordonnées de H.
\item Montrer que (OH) est orthogonale au plan (ABC).
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{5\up{e} QUESTION (Valeur = 4)}\end{center}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout $n \in \N$, on a

\[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3.\]

\item En déduire que la suite est convergente. Démontrer que sa limite est 3.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Variables :}\\
\hspace{1.2cm}$n$ et $p$ sont des entiers, $u$ et $v$ sont des réels.\\
\textbf{Entrée :}\\
\hspace{1.2cm}Demander à l'utilisateur la valeur de $p$\\
\textbf{Initialisation :}\\
\hspace{1.2cm}Affecter à $n$ la valeur 0\\
\hspace{1.2cm}Affecter à $u$ la valeur 1\\
\hspace{1.2cm}Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{5}$\\
\textbf{Traitement :}\\
\hspace{1.2cm}Tant que $v - u > 10^{-p}$\\
\hspace{1.2cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\hspace{1.2cm}Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u + 3}$.\\
\hspace{1.2cm}Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{2v + 3}$.\\
\textbf{Sortie :} Afficher $n$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant en faisant tourner l'algorithme :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$p$	&1	&2\\ \hline
$n$	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Expliquer pourquoi la condition de la boucle tant que n'est plus vérifiée à partir d'une certaine valeur de $n$ ce qui permet à l'algorithme de s'arrêter.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{6\up{e} QUESTION (Valeur = 2)}\end{center}

Une usine fabrique des casques de moto, en grande quantité. Ces casques contiennent de la mousse dont la densité est exprimée en kg par m$^3$. 

Dans la suite de l'exercice les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près.

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

La mousse fabriquée a une densité conforme lorsqu'elle est dans l'intervalle [41,5~;~42,5].

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque morceau de mousse prélevé au hasard dans la production, associe sa densité. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $42$ et d'écart type $\sigma_1 = 0,5$.

Donner la probabilité que la mousse prélevée soit conforme.
\item Le directeur de l'usine n'est pas satisfait de la qualité de la production, aussi il décide de revoir les réglages de ses machines pour que 95\,\% soit conforme. 

Déterminer quelle doit être l'écart type de la production dont la densité moyenne est encore de 42 kg par m$^3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Le casque d'une moto à une durée de vie en années qui est régie par une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,46$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que le casque ait une durée de vie supérieure à $5$ ans.
\item On dispose d'un casque qui au bout de trois ans est comme neuf. Déterminer la probabilité que la durée de vie du casque soit supérieure à $8$ ans.
\item L'entreprise qui fabrique ces casques vient de créer une nouvelle mousse dont la probabilité que la durée
de vie du casque soit supérieure à 8 ans est de 90\,\%. Déterminer la valeur du paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle suivie par la durée de vie de cette nouvelle mousse.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin 2015
\end{document}
