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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Ingénieurs de l'école nationale supérieure maritime 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }
\begin{center} 
{\large \textbf{\decofourleft~CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION DES INGÉNIEURS~\decofourright\\
 DE L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE MARITIME\\[5pt]
ANNÉE 2018 }} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 2 heures}\end{center}

\vspace{0,05cm}

Le candidat traitera 3 questions au choix parmi les 4 proposées, chaque question
représentant le même nombre de points.


\begin{center}\textbf{1\up{re} question}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction définie sur l'intervalle $I = ]0~;~+\infty[$ par 

\[u(x) = x^2 - 2 + \ln (x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations (limites comprises) de la fonction $u$ sur l'intervalle $I$.
		\item Justifier l'existence d'un unique réel $\alpha$ de l'intervalle $I$ tel que $u(\alpha) = 0$.
On admettra par la suite que $\alpha \approx 1,31$.
		\item En déduire le tableau de signes de $u(x)$.
		\item Montrer que $\ln (\alpha) = 2 - \alpha^2$.
 	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $I$ par 
	
	\[f(x) = x^2 + [2 - \ln (x)]^2.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{2u(x)}{x}$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$.
		\item Montrer que $f(\alpha) = \alpha^2\left(1 + \alpha^2\right)$.
 	\end{enumerate}
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note :
	
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
\item[$\bullet~~$] A le point de coordonnées (0~;~2).
\item[$\bullet~~$] $M$ un point de d'abscisse $x$ de $\Gamma$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que A$M = \sqrt{f(x)}$.
		\item  En déduire les coordonnées du point $M_0$ pour lequel la distance A$M_0$ est minimale.
		\item  Montrer que A$M_0 = \alpha\sqrt{1   + \alpha^2}$.
		\item  Démontrer que la droite $\left(\text{A}M_0\right)$ est alors perpendiculaire à la tangente à $\Gamma$ en $M$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{2\up{e} question}\end{center}


\begin{enumerate}
\item Étude d'une fonction

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 5 - \dfrac{4}{x+1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur son ensemble de définition.
		\item Résoudre l'équation $f(x) = x$ et montrer qu'elle admet une unique solution $\alpha$ dont on donnera la valeur exacte et un arrondi à $10^{-2}$ près.
		\item  Démontrer que pour tout $x \in  [0~;~\alpha]$,\: $f(x) \in [0~;~\alpha]$.
 	\end{enumerate}
\item Étude d'une suite
	
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$.
		\item  Sur le graphique donné en annexe en dernière page du sujet, on a tracé la courbe représentative de $f$ ainsi que la droite d'équation $y = x$.
		
Construire graphiquement sur l'axe des abscisses les points $P_0$,  $P_1$, $P_2$ et $P_3$ d'abscisses
respectives $u_0$,  $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 
		\item  Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de $\left(u_n\right)$ ?
		\item  Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $0 < u_n < u_{n+1} < \alpha$.
		\item  En déduire que $\left(u_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.
		\item  Écrire en langage naturel un algorithme qui demande la valeur de $\epsilon$ et affiche en sortie le premier entier $n$ tel que $\left|u_n - \alpha\right| < \epsilon$.
 	\end{enumerate}
\item  Généralisation :
	
On  donne désormais à $u_0$ une valeur positive quelconque.
	
Emettre une conjecture sur le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$ en fonction des valeurs de $u_0$.
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{3\up{e} question}\end{center}

On munit le plan complexe d'un repère orthogonal direct \Ouv.

\smallskip

On notera A le point d'affixe $a = 3\text{i}$, B le point d'affixe $b = 2\text{i}$ et C le point d'affixe $c = 3\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.

\smallskip

On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ différent de B, associe le point $M'$ du plan d'affixe $z' = \dfrac{3\text{i}z}{z - 2\text{i}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les affixes des points A$'$ et C$'$, images respectives des points A et C par $f$. On donnera ces affixes sous forme algébrique.
\item Déterminer, s'il existe, le point D dont l'image par l'application $f$ est le point d'affixe i.
\item Déterminer les affixes des points invariants par $f$, c'est-à-dire les points du plan vérifiant 

$z_{M'} = z_{M}$.
\item  Montrer que, pour tout point $M$ du plan, distinct de B, l'affixe $z'$ de $M'$ vérifie l'égalité:

\[z'- 3\text{i} = \dfrac{- 6}{z - 2\text{i}}\qquad \qquad (*)\]

\item  En déduire que si $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre B et de rayon 3, alors $M'$ appartient à un cercle $\Gamma'$ dont vous préciserez le centre et le rayon.
\item  Déduire de l'égalité (*) une relation entre une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right)$ et une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{B}M}\right)$.
\item  Montrer que le point $N$ d'affixe $\dfrac{3}{\sqrt{2}} + \left(2 + \dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)\text{i}$ est un point de $\Gamma$ puis déterminer la mesure de
l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{B}N}\right)$.
\item  En déduire une méthode de construction du point $N'$, image de $N$ par l'application $f$.

Vous illustrerez votre explication d'une figure faisant apparaitre les points $N$ et $N'$, ainsi que les éléments permettant la construction de ces points.
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{4\up{e} question}\end{center}
 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points:
 
\[\text{A}(-4~;~0~;~1) \quad;\quad  \text{B}(3~;~3~;~-1) \quad ;\quad   \text{C}(1~;~5~;~1) \text{ et\quad   D}(0~;~2~;~6).\]
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que les points A , B et C ne sont pas alignés.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C, puis calculer son aire.
\item  Soit $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\b\\c\end{pmatrix}$  un vecteur de l' espace, où $b$ et $c$ désignent deux réels.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ pour que $\vect{n}$ soit un vecteur normal au plan (ABC).
		\item  En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
		\item  Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
 	\end{enumerate}
\item  Soit $d$ la droite orthogonale à (ABC) passant par D.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une représentation paramétrique de $d$.
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection H de $d$ et de (ABC).
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance DH (On donnera la valeur exacte).
		\item En déduire le volume du tétraèdre ABCD (on donnera la valeur exacte)
	\end{enumerate}
\item  Calculer une mesure de l'angle $\widehat{\text{ADB}}$ arrondie au degré près.
\end{enumerate}
	
\newpage
	
\begin{center}\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie} \end{center}
	
\vspace{3cm}
	
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(6.5,5)
\multido{\n=0.0+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(6.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5](0,0)(0,0)(6.5,5)
\psline(5,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.5}{5 4 1 x add div sub}
\uput[u](6.25,4.25){\blue $\mathcal{C}_f$}\rput{30}(0.5,0.7){$y = x$}
\end{pspicture}


\vspace{2cm}

\textbf{Nota :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Aucun document n'est autorisé.
\item Délits de fraude: \og Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude se verra attribuer la note zéro, éliminatoire, sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics \fg.
\end{enumerate}
\end{document}