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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Virginie Picavet 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Nouvelle--Calédonie}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{Session novembre 2012}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur ~\decofourright\\Nouvelle--Calédonie session novembre 2012 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 1~;~ +\infty[$ par : 

\[f(x) = (x + 1) \ln (x + 1).\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le développement limité d'ordre $2$ de la fonction $f$ au voisinage de $0$ est : 
		
\[f(x) = x + \dfrac{1}{2}x^2 + x^2 \epsilon(x)\quad  \text{avec }\: \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\] 

		\item En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point O.
		 
Préciser la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente $\mathcal{T}$ au voisinage de O. 	
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale : $K = \displaystyle\int_{0}^1 \left(x + \dfrac{1}{2} x^2\right)\:\text{d}x$. 
\item On veut calculer la valeur exacte de l'intégrale : 

\[I = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer par une intégration par parties que : 	
		
		\[I = \dfrac{3}{2} \ln (2) - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{x^2 + 2x}{x + 1}\:\text{d}x.\] 
 
		\item Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 1~;~ +\infty[$, on a: 
		
\[\dfrac{x^2 + 2x}{x + 1} = x + 1 - \dfrac{1}{x + 1}.\] 

Terminer alors le calcul de $I$. 
		\item En déduire l'erreur commise en estimant que $K$ est une valeur approchée de $I$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au dix-millième} $\left(10^{-4}\right)$.

\medskip
 
Une entreprise produit un certain type d'appareils et vient de mettre au point un procédé qui diminue très sensiblement le bruit émis par ces appareils. Elle veut savoir si elle peut écrire dans la fiche technique que ces appareils émettent en moyenne un niveau sonore de 59~décibels (dB).
 
Pour cela elle prélève un échantillon de $100$~appareils dans sa production et met en place un test bilatéral au risque 5\,\%. 

\bigskip

\textbf{Partie A - Étude de l'échantillon}

\medskip
 
Les résultats de mesure du niveau sonore émis par chaque appareil de l'échantillon sont résumés dans le tableau suivant.

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Niveau sonore (dB) \:$x_{i}$ &58,8 &58,9 &59,0 &59,1 &59,2 &59,3 &59,4 &59,5\\ \hline 
Nombre d'appareils\: $n_{i}$ &7 &7 &19 &26 &13 &11 &10 &7\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, calculer la moyenne et l'écart-type de cette série. 
\item Déterminer une estimation ponctuelle $\sigma'$ de l'écart-type de l'ensemble de la production.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B - Élaboration du test}

\medskip
 
Le test doit permettre de répondre à la question suivante : \og le niveau sonore moyen des appareils produits par l'entreprise est-il égal à $59$ dB ? \fg. 

Soit $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire non exhaustif de $100$ appareils prélevés dans la production, associe leur niveau sonore moyen (en dB). 
 
On admet que $\overline{X}$ suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $s = \dfrac{\sigma'}{\sqrt{n}}$. où $n$ est la taille de l'échantillon. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $s = \np{0,0189}$. 
\item Énoncer l'hypothèse nulle H$_{0}$ et l'hypothèse alternative H$_{1}$. 
\item Déterminer l'intervalle d'acceptation, sous l'hypothèse nulle, au risque 5\,\%. 
\item Énoncer la règle de décision. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Prise de décision}

\medskip

Compte tenu de la moyenne calculée sur l'échantillon de l'entreprise, conclure relativement à la question posée. 
\end{document}