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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}}
\rfoot{\small{17 mai 2006}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{\Large GROUPEMENT D'ÉCOLES D'INGENIEURS PUBLIQUES À PARCOURS INTÉGRÉ}\\
ISAT  ESIREM  POLYTECH Nice-Sophia  POLYTECH Orléans
EEIGM  ENSGSI  ESSTIN  TELECOM Lille 1  ISEL
ISTIA  ISTASE  ISTV  Sup GALILÉE

Mercredi 17 mai 2006

SUJET DE MATHÉMATIQUES


\end{center}

\textbf{EXERCICE I \hfill  7,5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par:

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x}.\]

Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij orthogonal.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(x)$, où $f'$ désigne la dérivée de $f$.
		\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. Préciser $f(1)$ et $f(\text{e})$.
		\item En déduire que $f$ admet un maximum $M$ que l'on donnera.
	\end{enumerate}
\item  Tracer la courbe $C_f$. On placera avec soin les points de $C_f$ d'abscisses respectives 1
et e.
\item  Donner, suivant les valeurs de $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$, le signe de $f(x)$.
\item  Soit $A$ un réel. On veut déterminer, suivant les valeurs de $A$, le nombre de solutions
de l'équation :
	
\centerline{$f(x) = A$}
	
Distinguer les différents cas et préciser, pour chacun d'eux, le nombre de solutions
appartenant à chaque intervalle $]0~;~1]$, $]1~;~\text{e}]$ ou $]\text{e}~;~+00[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $a$ un réel strictement positif.

On se propose dans cette partie de déterminer tous les réels $x$, strictement positifs, qui vérifient l'inéquation $\left(\epsilon_a\right)$ suivante :

\[\left(\epsilon_a\right)\:: \quad a^x \leqslant x^{a}.\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'inéquation $a^x \leqslant x^{a}$ est équivalente à l'inéquation $f(a) \leqslant f(x)$.
\item  On suppose dans cette question que : $a = \text{e}$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la partie A, donner l'ensemble $S_1$ des solutions de l'inéquation
$\left(\epsilon_{\text{e}}\right)\:: \quad  \text{e}^a \leqslant  x^{\text{e}}$.
		\item \emph{Application} : Sans les calculer, comparer $\text{e}^{\pi}$ et $\pi^{\text{e}}$. Justifier la réponse.
 	\end{enumerate}
\item  On suppose dans cette question que : $0 < a \leqslant 1$.

Quel est le signe de $f(a)$ ? En utilisant la partie A, donner l'ensemble $S_2$ des solutions
de l'inéquation $\left(\epsilon_a\right)$, en fonction de $a$.
\item  On suppose dans cette question que: $a > 1$ et $a \neq \text{e}$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la partie A, expliquer pourquoi l'équation $f(x) = \dfrac{\ln a}{a}$
admet deux solutions $a_1$ et $a_2$ qui vérifient: $1 < a_1 < \text{e} < a_2$.

On remarquera que l'une des solutions $a_1$ ou $a_2$ est égale à $a$.
		\item Donner alors l'ensemble $S_3$ des solutions de l'inéquation $\left(\epsilon_a\right)$, en fonction de $a_1$ et $a_2$.
	\end{enumerate}
\item  Application : On suppose dans cette question que : $a = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'entier naturel $n$, différent de 2, tel que : $f(n) = f(2)$.
		\item En déduire l'ensemble $S_4$ des solutions de l'inéquation : $\left(\epsilon_2\right) : \quad 2^x \leqslant x^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE II \hfill  7 points}

\medskip

Ariane et Benjamin échangent des balles au ping-pong.

Soient les évènements suivants :

$A$ : \og Ariane marque le point \fg{} et $B$ : \og Benjamin marque le point \fg{}.

Ariane étant légèrement plus expérimentée que Benjamin, la probabilité qu'elle marque un point
est : $p = P(A) = \dfrac{53}{100}$.

Ils décident d'engager une partie selon les modalités suivantes :

\begin{itemize}
\item Le joueur qui \og gagne un set \fg{} est le premier qui marque deux points, consécutifs ou non.
\item La partie s'arrête dès qu'un des deux joueurs a remporté trois sets, consécutifs ou non. On dit alors que ce dernier a gagné la partie.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on étudie la probabilité pour Ariane de \og gagner un set \fg{} (deux points
marqués, de façon consécutive ou non).

\begin{enumerate}
\item Dans un échange de balles, quelle est la probabilité $q$ que Benjamin marque le point ?
\item Dresser et compléter l'arbre de tous les évènements élémentaires.
\item Donner la probabilité $P_1$ qu'Ariane marque les deux premiers points.
\item Donner la probabilité $P_2$ qu'Ariane gagne le set, Benjamin ayant marqué un point.
\item Donner la probabilité $P_3$ qu'Ariane gagne le set. On donnera la valeur exacte et une
valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On étudie maintenant la probabilité pour Ariane de \og gagner la partie \fg{} (trois sets gagnés,
consécutifs ou non).

Tous les sets sont joués dans des conditions identiques et indépendantes.

Pour le jeu d'un set, on note les évènements :

$S$ : \og Ariane gagne le set \fg{} et $E$ : \og Ariane perd le set\fg.

On suppose que, pour chaque set, les probabilités de ces évènements sont:

\[P = P(S) = 0,545\quad  \text{et}\quad  Q = P(E) = 0,455.\]

Ariane et Benjamin engagent une partie.

\begin{enumerate}
\item Finir le dessin de l'arbre des évènements élémentaires et le compléter.
\item Donner, en fonction de $P$, la probabilité $T_1$ qu'Ariane gagne les trois premiers sets.
\item Donner, en fonction de $P$ et $Q$, la probabilité $T_2$ qu'Ariane gagne la partie, Benjamin
ayant remporté un set.
\item Donner, en fonction de $P$ et $Q$, la probabilité $T_3$ qu'Ariane gagne la partie, Benjamin
ayant remporté deux sets.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, en fonction de $P$ et $Q$, la probabilité $T$ qu'Ariane gagne la partie.
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $T$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en fonction de $P$ et $Q$, la probabilité $H$ qu'Ariane gagne la partie,
sachant que Benjamin a remporté le premier set.
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $H$.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On suppose maintenant que chaque joueur gagne 10~euros pour chaque set gagné et perde 10~euros pour chaque set perdu. Ariane et Benjamin engagent une partie dans les mêmes conditions
que précédemment.

On note $G_A$ la variable aléatoire représentant le gain en euros d'Ariane à la fin de la partie et $G _B$ la variable aléatoire représentant le gain de Benjamin. Ces gains peuvent être positifs ou négatifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le tableau représentant la loi de probabilité de $G_A$. On donnera les probabilités
en fonction de $P$ et $Q$.
\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'espérance de gain E($G_A$) d'Ariane
à l'issue de la partie.
\item Donner, en fonction de E$\left(G_A\right)$, l'espérance de gain E$\left(G_B\right)$ de Benjamin.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE III \hfill  5,5 points}

\medskip

On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.

Pour tous les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ du plan on note $\vect{u}~\cdot~\vect{v}$  le réel égal au produit scalaire des vecteurs
$\vect{u}$ et $\vect{v}$.

On considère un vecteur unitaire $\vect{k}$ du plan, c'est-à-dire tel que $\left\|\vect{k}\right\|^2 = \vect{k}~\cdot~\vect{k} = 1$ et la 
droite $\mathcal{D}$ passant par O et de vecteur directeur $\vect{k}$.

On rappelle qu'un point $N$ du plan appartient à la droite $\mathcal{D}$ si et seulement s'il existe un réel $x_N$ tel que : $\vect{\text{O}N} = x_N \vect{k}$.

Pour tout point M du plan, on note $p(M)$ le produit scalaire suivant :

\[p(M) = \vect{\text{O}M}~\cdot \vect{k}.\]

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\mathcal{F}$ de tous les points $M$ du plan qui vérifient : 

$p(M) = 0$.
\item Soit $N$ un point quelconque de la droite $\mathcal{D}$ et $x_N$ le réel tel que $\vect{\text{O}N} = x_N \vect{k}$.

Déterminer $p(N)$ en fonction de $x_N$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la transformation $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$, associe le point
$M' = f(M)$ défini par :

\[\vect{\text{O}M'} = 2p(M)\vect{k} - \vect{\text{O}M}.\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer l'image $N'$ d'un point quelconque $N$ de la droite $\mathcal{D}$. Justifier la réponse.
\item Soit $M$ un point quelconque du plan, $M'$ son image par $f$ et $I_M$ le milieu du
segment $[M M']$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le vecteur $\vect{\text{O}I_M}$ en fonction des vecteurs $\vect{\text{O}M}$ et $\vect{\text{O}M'}$ et montrer que $I_M$
appartient à la droite $D$.
		\item Déterminer $p\left(M'\right)$ en fonction de $p(M)$. On fera le détail du calcul.
		\item En déduire l'image $M'' = f\left(M'\right)$ de $M'$. On justifiera la réponse.
		\item Montrer que le vecteur $\vect{MM'}$ est orthogonal à $\vect{k}$.
	\end{enumerate}
\item En déduire quelle est la transformation $f$.
\end{enumerate}

\end{document}
Sujet 4 ????

Soit la fonction 9 définie sur lR par:
g(x)
On note Cg la courbe représentative de 9 dans le plan rapporté à un repère orthonormé (o,i,;).
1-1- Montrer que 9 est impaire.
I-2-a- Montrer que, pour tout réel x, on a :
g(x)
I-2-b- Calculer Hm g(x). Justifier la réponse.
I-3-a- Déduire de ce qui précède que Cg admet une droite asymptote .ô.1, au voisinage de +00,
dont on donnera une équation.
I-3-b- En utilisant la question 1-, déduire que Cg admet une droite asymptote .ô.2, au voisinage
de -00, dont on donnera une équation.
I-4-a- Montrer que pour tout réel x, on a :
g(x) < 1
I-4-b- Indiquer alors la position de la courbe Cg par rapport aux deux asymptotes .ô.l et .ô.2.
I-5-a- Déterminer g'(X), où s' désigne la dérivée de g.
I-5-b- Donner le tableau des variations de 9 sur lR.
1-6- Déterminer une équation de la tangente 70 à la courbe Cg, au point d'abscisse o.
1-7- Tracer la courbe Cg, les asymptotes .ô.l et .ô.2 et la tangente 70.

EXERCICE II (6,5 points)
Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la page 5
Soit 'P le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (0; ü, v).
Partie A
On considère la transformation To qui, à tout point M du plan 'P, d'affixe z, associe le point M', d'affixe
z' défini par :
1 0. 0 Z = -'tz +- 2 2
II-A-1- Déterminer l'affixe b de l'unique point B invariant par To, c'est-à-dire vérifiant:
To(B) = B.
On donnera b sous forme algébrique et on justifiera soigneusement tous les calculs.
z' - b
II-A-2- On suppose que M est différent de B et on pose: z=
z - b
II-A-2-a- Déterminer le réel R tel que Z = i R. Donner le détail des calculs.
II-A-2-b- Déterminer un argument Arg Z et le module 1 Z 1 de Z.
II-A-2-c- En déduire une mesure de l'angle (BM, BM') et une expression de la distance BM' en
fonction de BM.
Partie B
Soit a un nombre complexe et Aa le point d'affixe a.
On considère la transformation Ta qui, à tout point M du plan, d'affixe z, associe le point M', d'affixe
z' défini par :
o 0
Z' = - (a + i) z + - (1 - a)
2 2
II-B-1- On suppose dans cette question que: a = 0 - i.
II-B-1-a- Déterminer l'affixe du vecteur M--- M+ '.
II-B-1-b- En déduire que Tv0.-i est une transformation géométrique simple, dont on donnera le(s)
élément(s) caractéristique(s).
II-B-2-a- Il existe une valeur al pour laquelle la transformation Ta1 est une rotation de centre O.
Quelle est cette valeur?
II-B-2-b- Déterminer alors l'angle (h de la rotation Ta1. Justifier votre réponse.



\end{document}