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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\textbf{\Large GROUPEMENT D'ÉCOLES D'INGENIEURS PUBLIQUES À PARCOURS INTÉGRÉ}\\
ISAT  ESIREM  POLYTECH Nice-Sophia  POLYTECH Orléans
EEIGM  ENSGSI  ESSTIN  TELECOM Lille 1  ISEL
ISTIA  ISTASE  ISTV  Sup GALILÉE

Mercredi 9 mai 2018

SUJET DE MATHÉMATIQUES

\textbf{Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9}

\smallskip

\textbf{Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés}

\end{center}

\textbf{EXERCICE I \hfill  10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{$a$ est un nombre réel.

On considère la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ définie par:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
v_0&=&a\\
v_n&=&- 1 + nv_{n-1} \:\text{ pour tout }\: n \geqslant 1
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item Afin de calculer $v_n$ pour une valeur de $n$ et une valeur de $a$ données, on a écrit
l'algorithme ci-contre dont la ligne 10 est incomplète.

Comment doit-on la compléter ? Entourer la bonne réponse parmi les réponses proposées.
\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.42\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
L1&\textbf{Variables}\\
L2&\hspace{0.4cm}$k$ et $n$ sont des entiers\\
L3&\hspace{0.4cm}$a$ et $v$ sont des réels\\
L4&\textbf{Entrée}\\
L5&\hspace{0.4cm}Lire la valeur de $a$\\
L6&\hspace{0.4cm}Lire la valeur de $n$\\
L7&\textbf{Traitement}\\
L8&\hspace{0.4cm}$v$ prend la valeur $a$\\
L9&\textbf{Pour $k$} allant de 1 à $n$ faire\\
L10&\hspace{0.4cm}$v$ prend la valeur \ldots\\
L11&\textbf{Fin pour}\\
L12&\textbf{Sortie}\\
L13&\hspace{0.4cm}Afficher $v$\\ \hline
\end{tabularx}}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie par:

\[\text{pour tout réel }\:x,\: f_n(x) = (1 - x)^n\text{e}^x.\]

On considère les suites $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(I_n\right)_{n\in \N}$ définies par 
:

\[\text{pour tout }\:n \geqslant 0, \:u_n = \displaystyle\int_0^1  f_n(x)\:\text{d}x\quad \text{et }\quad I_n = \displaystyle\int_0^1 (1 - x)^n\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur exacte de $u_0$ puis donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$
près de $u_0$.
\item On considère la fonction $F$ définie par :

\[\text{pour tout réel }\: x,\: F(x) = (2 - x)\text{e}^x.\]

	\begin{enumerate}
		\item $F'$ désigne la dérivée de $F$.
		
Pour tout réel $x$,\: $F'(x)$ s'écrit sous la forme $F'(x) = h(x)\text{e}^x$.

Donner l'expression de $h(x)$.
		\item En déduire la valeur exacte de $u_1$. Détailler le calcul.
	\end{enumerate}
\item Soit $n  \geqslant 0$. Exprimer $I_n$ en fonction de $n$. Détailler le calcul.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un encadrement de $\text{e}^x$ lorsque $0 \leqslant x \leqslant 1$. Justifier votre réponse.
		\item Montrer que, pour tout $n \geqslant 0$, \:$\alpha I_n \leqslant  u_n \leqslant \beta I_n$, où $\alpha$  et $\beta$ sont des réels strictement positifs à préciser.
	\end{enumerate}
\item Justifier que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette question, $n$ est un entier naturel non nul et $x$ est un réel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f'_n$ désigne la dérivée de $f_n$. Détailler le calcul de $f'_n(x)$.
		\item Donner l'expression de $f_n(x) - f'_n(x)$ en fonction de $f_{n-1}(x)$.
	\end{enumerate}
\item En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$,\: $u_n = - 1 + n u_{n-1}$.
\item On admet le résultat suivant concernant les suites $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définies dans les parties A et B : pour tout $n \geqslant 0,\: v_n - u_n \geqslant n\left(v_0 - u_0\right)$.

Utiliseriez-vous l'algorithme de la partie A avec $a = 1,72$ en entrée pour calculer,
pour tout entier $n$, une valeur approchée de $u_n$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE II}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

Un équipementier de matériels sportifs possède plusieurs magasins à la montagne. Il propose du matériel de glisse en location. La probabilité que le matériel loué soit rendu abîmé après une journée de location est :

\[p_1 = 0,1 \:\text{ pour une paire de skis et} \quad  p_2 = 0,2\: \text{ pour un surf}.\]

\textbf{Partie A}

\medskip

Pendant chaque saison hivernale, un sportif, prénommé Julien, loue du matériel un jour par
semaine. 

À chaque location, la probabilité qu'il loue des skis est égale à $0,7$ et celle qu'il loue
un surf est égale à $0,3$.

\smallskip

On considère les évènements suivants : 

$S$: \og Julien choisit de louer des skis \fg

$A$ : \og Julien rend le matériel abîmé \fg 

$B$ : \og Julien rend le matériel en bon état \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre ci-dessous avec les probabilités correspondantes.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$~}\taput{0,7}}
	{\TR{$A$}\taput{\ldots}
	\TR{$B$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{S}$~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$A$}\taput{\ldots}
	\TR{$B$} \tbput{\ldots}
	}	
}
\end{center}

\item  Une semaine, Julien loue du matériel.

\emph{Dans chacune des trois questions qui suivent, une affirmation vous est proposée et
vous devez indiquer si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse incorrecte sera pénalisée, une absence de réponse ne sera pas pénalisée.}

	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que Julien rende un surf abîmé est plus élevée que la probabilité
qu'il rende des skis abîmés.
		\item La probabilité que Julien rende le matériel en bon état vaut $0,7p_1 + 0,3p_2$.
		\item Julien rend le matériel abîmé. La probabilité qu'il s'agisse de skis vaut $\dfrac{7}{13}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pendant la saison hivernale 2017 - 2018, l'équipementier fait payer $5$ euros la réparation du
matériel loué à la journée lorsqu'il est rendu abîmé.

Julien compte effectuer $n$ journées de locations de matériel durant cette saison.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de locations où il abîme le matériel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Justifier que $p = 0,13$.
\item  Donner, en fonction de $n$, la probabilité $p_3$ que Julien n'abîme jamais le matériel
au cours de la saison.
\item  On note $M_n$ le montant, en euros, que Julien devra débourser en moyenne pour
les réparations pendant la saison. Exprimer $M_n$ en fonction de $n$.
\item  L'équipementier propose aux clients réguliers de souscrire une assurance de
$10$~euros qui couvre toutes les réparations pendant la saison.
	\begin{enumerate}
		\item Julien a-t-il intérêt à souscrire l'assurance s'il loue $12$~fois du matériel pendant la
saison? Justifier la réponse.
		\item À partir de combien de locations devient-il rentable pour Julien de souscrire
l'assurance ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'équipementier affirme que 10\,\% des paires de skis louées à la journée sont rendues abîmées.

Une association sportive veut louer du matériel pour une journée. 

L'équipementier prépare alors
un lot de $85$ paires de skis choisies au hasard dans son stock.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la variable aléatoire représentant la fréquence de paires de skis rendues
abîmées dans le lot. On admet que $F$ suit une loi normale.

Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique $I$ au seuil de $95$\,\% de $F$.

Les valeurs numériques des bornes de $I$ seront arrondies à $10^{-3}$ près.
\item L'équipementier constate que, dans le lot, $11$ paires de skis sont rendues abîmées.

Peut-on dire, au risque de 5\,\%, que la fréquence des paires de skis rendues abîmées
dans le lot confirme l'affirmation de l'équipementier ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE III}

\medskip

\textbf{Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\emph{À chaque question, une affirmation vous est proposée et vous devez indiquer si elle est vraie ou
fausse dans le cadre prévu. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse incorrecte sera pénalisée, une absence de réponse ne sera pas pénalisée.}

\medskip

Dans les parties A, B, C et D, l'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ donnés par leur équation cartésienne :

\[\mathcal{P}_1 :\quad  2x + 3y + 4z - 1 = 0 \qquad \mathcal{P}_2 :\quad x + 2y + z = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Le vecteur $\vect{n}\left(1~;~\frac{3}{2}~;~2\right)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P_1}$.
\item Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles.
\item Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants et leur intersection est une droite de vecteur directeur $\vect{u}(-5~;~2~;~1)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note R, S, T et U les points de coordonnées respectives:

\[\text{R}(2~;~4~;~1)\quad \text{S}(0~;~4~;~-3)\quad \text{T}(3~;~1~;~-3)\quad \text{U}(1~;~0~;~-2)\]

Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne : $2x + 2y - z - 11 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les points R, S et T appartiennent à un plan de vecteur normal $\vect{n}2~;~2~;~-1)$.
\item La droite (TU) est orthogonale à la droite (RS) et admet la représentation
paramétrique suivante: $\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& -1 + 2t\\
y& =& -1 + t\\
z&=& \phantom{-}1- t
\end{array}\right.  t \in  \R$.
\item Le point V(3~;~2~;~-1) est le projeté orthogonal du point U sur le plan P.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites données par un système d'équations paramétriques:

\[\mathcal{D}_1 : \left\{\begin{array}{l c l}
x=1 + t \\
y = t\\
z = -5 + t  \end{array}\right., t \in \R \qquad \mathcal{D}_2 :  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&8+k\\
y &=& 4 + k\\
z &=&- 3
\end{array}\right., k \in \R.\]

On note $\mathcal{Q}$ le plan d'équation : $2x - 3y + 2z = 0$.

\begin{enumerate}
\item Le vecteur $\vect{u}(1~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}_1$.
\item La droite $\mathcal{D}_2$ passe par le point de coordonnées (5~;~1~;~-3).
\item Soient $M$ un point de $\mathcal{D}_1$ et $N$ un point de $\mathcal{D}_2$ de coordonnées respectives:
$M (1 + t~;~t~;~- 5 + t)$ et $N (8 + k~;~4 + k~;~- 3)$ .

La droite $(MN)$ est parallèle au plan $\mathcal{Q}$ si et seulement si $t + k = 6$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie D}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH. Les arêtes sont de longueur 1.

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$.

On note I et J les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CG].

\parbox{0.65\linewidth}{\begin{enumerate}
\item $\vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{2}$.
\item  $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{IJ}}  = \vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{IC}}$.
\item $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{IJ}} = \text{AB} \times \text{IC} \times  \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$.
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,3.8)
%\psgrid
\psframe(0.5,0.5)(3,3)%BCGF
\psline(3,0.5)(3.7,1.1)(3.7,3.6)(3,3)%CDHG
\psline(3.7,3.6)(1.2,3.6)(0.5,3)%EF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0.5,0.5)(1.2,1.1)(1.2,3.6)%BAE
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.2,1.1)(3.7,1.1)%AD
\psdots(0.5,0.5)(3,3)(3,0.5)(3.7,1.1)(3.7,3.6)(1.2,3.6)(0.5,3)(3,1.75)(0.85,0.8)
\uput[ur](1.2,1.1){A} \uput[l](0.5,0.5){B} \uput[dr](3,0.5){C} \uput[r](3.7,1.1){D} 
\uput[u](1.2,3.6){E} \uput[ul](0.5,3){F} \uput[u](3,3){G} \uput[ur](3.7,3.6){H} 
\uput[u](0.85,0.8){I} \uput[r](3,1.75){J} 
\end{pspicture}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE IV}

\medskip

\textbf{Les cinq parties de cet exercice sont indépendantes}


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv
\bigskip


\textbf{Partie A}

$a$ désigne un nombre réel. On considère les nombres complexes :

$z_1 = (-4a + \text{i}) (a - \text{i}) - (1 + 2a\text{i})^2 \quad z_2 = \dfrac{2 + 2a\text{i}}{1 - \text{i}}$ \quad
$z_3 = 2\sqrt{3} - 2\text{i} \quad z_4 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique de $z_1$. Détailler le calcul.
\item Déterminer la forme algébrique de $z_2$. Détailler le calcul.
\item Déterminer le module $\left|z_3\right|$ et un argument arg$\left(z_3\right)$ de $z_3$. Justifier la réponse.
\item Déterminer la forme exponentielle de $z_4$. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $x$ un réel strictement positif.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives:

\[z_{\text{A}} = 1 - x\text{i}\qquad  z_{\text{B}} = 2\text{i} \qquad z_{\text{C}} = - 2.\]

\begin{enumerate}
\item Donner les distances AB et AC en fonction de $x$.
\item Pour quelle valeur de $x$ le triangle ABC est-il isocèle en A ? Justifier la réponse.
\item Le triangle ABC peut-il être équilatéral ? Justifier la réponse.
\item Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme.

Déterminer, en fonction de $x$, l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Déterminer l'ensemble $F_1$ des solutions dans $\C\backslash \{ - 4\}$ de l'équation:
$\left(E_1\right)\quad  \dfrac{z + 2}{z + 4} = z + 3$.

Justifier la réponse.

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

Déterminer l'ensemble $F_2$ des nombres complexes $z = x + text{i}y$, solutions dans $\C$ de l'équation :
$\left(E_2\right)\quad 2 \text{i} z - 1 = \overline{z} + \text{i}$.

Justifier la réponse.

\bigskip

\textbf{Partie E}

\medskip
On considère les points E, F et G d'affixes respectives :

\[z_{\text{E}} = \text{i}\qquad z_{\text{F}}  =- 2\qquad  z_{\text{G}} = 4\text{i}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justification, l'ensemble $F_3$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que :
$|z - \text{i}| = 2$.
\item Donner, sans justification, l'ensemble $F_4$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que :
$|z + 2| = |z - 4\text{i}|$.
\end{enumerate}
\end{document}