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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{center}
\textbf{\Large GROUPEMENT D'ÉCOLES D'INGÉNIEURS PUBLIQUES À PARCOURS INTÉGRÉ}\\
ISAT  ESIREM  POLYTECH Nice-Sophia  POLYTECH Orléans
EEIGM  ENSGSI  ESSTIN  TELECOM Lille 1  ISEL
ISTIA  ISTASE  ISTV  Sup GALILÉE

\medskip

3 mai 2023

\medskip

\textbf{\Large MATHÉMATIQUES QCM}
\end{center}

\emph{Les questions à choix multiples sont signalées par la mention QCM. Pour chaque QCM, plusieurs réponses sont proposées et il peut y avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Vous entourerez la (ou les) réponse(s) choisies) sur la feuille de réponses.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse ne sera pas pénalisée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse.}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 \hfill 29 points}\end{center}

\medskip

\emph{Pour chaque exercice plusieurs affirmations sont proposées. Pour chaque affirmation,
 vous direz si elle est vraie ou fausse en coloriant la réponse choisie sur la feuille de réponses.\\Aucune justification n'est demandée.\\Une réponse fausse sera pénalisée par des points négatifs.\\
Pour chaque exercice, le total des points obtenu ne peut être strictement négatif.\\
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse.\\
Les exercices sont tous indépendants.}

\bigskip

\textbf{\large Première partie -- Fonctions}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right)$.

\medskip

\textbf{I-A} La fonction $f$ est définie sur $\R$.

\textbf{I-B} $f'(0)$ est égal à 1.

\textbf{I-C} Pour tout $x$ strictement négatif, $f(x)$ est strictement négatif. 

\textbf{I-D} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.

\newpage

\textbf{Exercice II}

\medskip

Soient $g$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormé.

\medskip

\textbf{II-A} Si $g(1) = 0$, alors $\mathcal{C}_g$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (1~;~0).

\textbf{II-B} Si $g(1) = 2$ et $g'(1) = 3$, alors la courbe $\mathcal{C}_g$ admet une tangente d'équation $y = 3x - 1$ au point de coordonnées (1~;~2).

\textbf{II-C} Si $g$ est deux fois dérivable et si sa dérivée seconde est positive sur $\R$, alors la courbe $\mathcal{C}_g$ est en dessous de chacune de ses tangentes.

\medskip

\textbf{Exercice III}

\medskip

\textbf{III-A} Pour tout nombre réel $x, \:\e{3x + 1} = \e{x} + \text{e}$.

\textbf{III-B} Pour tout nombre réel $x$ non nul, $\dfrac{\ln \left(x^2\right)}{\ln \left(x^2 + 4\right)} = \ln \left(\dfrac{x^2}{x^2 + 4} \right)$.

\textbf{III-C} Pour tout nombre réel $x$ positif, $2\ln\left(\e{\sqrt x}\right) = x$.

\textbf{III-D} L'ensemble des solutions de l'équation $\e{2x} - 3\e x   + 2 = 0$ est $\{0\}$.

\medskip

\textbf{Exercice IV}

\medskip

Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{\e{2x} + 1}{\e x + 1}$.

\textbf{IV-A} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}h(x) = 0$.

\textbf{IV-B} $\displaystyle\lim_{x \to + 0}h(x) = 1$.

\textbf{IV-C} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty 0}h(x) = 1$.

\textbf{IV-D} Pour tout réel $x,\: h'(x) = \dfrac{\e{3x} + 2\e{2x} - \e{x}}{\e{2x} + 1}$.

\bigskip

\textbf{\large Deuxième partie - Suites numériques}

\medskip

\textbf{Exercice V}

\medskip

Soit $\left(u_n)_{n\in \N}\right)$ la suite géométrique de raison $q = \dfrac12$ et telle que $u_2 = 1$. 2

\textbf{V-A} La suite $\left(u_n)_{n\in \N}\right)$ est convergente.

\textbf{V-B}  Pour tout entier naturel $n,\: u_n= \left(\dfrac12\right)^n$.

\textbf{V-C}  Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_1 + u_2 + \ldots  + u_n = 4\left[(1 -  \left(\dfrac12\right)^n\right]$.

\medskip

\textbf{Exercice VI}

\medskip

Soit $\left(v_n)_{n\in \N}\right)$ la suite définie par $v_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = v_n + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$.

\textbf{VI-A} $v_1 = \dfrac16$.

\textbf{VI-B} La suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante.

\textbf{VI-C}  La suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ converge vers $0$.

\textbf{VI-D}  Pour tout entier naturel $n,\: v_n = \dfrac{n}{n+1}$.

\bigskip

\textbf{\large Troisième partie - Probabilités}

\medskip

$\Omega$ désigne l'univers d'une expérience aléatoire $E$ et $P$ désigne une probabilité sur $\Omega$ .

\medskip

\textbf{Exercice VII}

\medskip

Pour tous évènements $A$ et $B$ de probabilité dans l'intervalle ]0~;~1[, on a :

\textbf{VII-A} $P_B(A) \times P(B) = P_A(B) \times P(A)$.

\textbf{VII-B} $P_A(A) = 1$.

\textbf{VII-C} $P_{\overline{A}}(B) = 1 - P_A(B)$.

\textbf{VII-D} $P(B) = P_A(B) + P_{\overline{A}}(B)$.

\medskip

\textbf{Exercice VIII}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,2$.

\textbf{VIII-A} $P(1 \leqslant X \leqslant 3) = P(X \leqslant 2) - P(X =0)$.

\textbf{VIII-B} $P(X > 1)$ est strictement positive.

\textbf{VIII-C} $P(X = 0) = 0,2^{10}$.

\bigskip

\textbf{\large Quatrième partie - Géométrie dans le plan}

\medskip

\textbf{Exercice IX}

\medskip

On considère les points A, B et C de coordonnées respectives dans un repère orthonormé $\mathcal{R}$ :
\begin{center}A$(-1~;~1)$, \quad B(3~;~4)\quad et \quad C(8~;~2).\end{center}

\smallskip

\textbf{IX-A} La longueur du segment [AB] est $\sqrt 7$.

\textbf{IX-B}  Une équation de la droite (AB) est $3x - 4y +7 = 0$.

\textbf{IX-C}  Une équation de la médiatrice du segment [AB] est $8x + 6y - 25 = 0$.

\textbf{IX-D}  Le projeté orthogonal D du point C sur la droite (AB) a pour coordonnées $\left(5~;~\dfrac{11}{2}\right)$.

\newpage

\textbf{\large Mathématiques Spécialité}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 \hfill 18 points}

\medskip

Dans cet exercice, $n$ est un entier naturel non nul.

Tous les résultats seront donnés sous la forme d'une fraction irréductible.

\medskip

Une entreprise décide d'offrir à certains clients qui se connectent sur son site de vente en ligne une remise de $5$~euros sur leur prochain achat.

La distribution des bons d'achat est programmée de la manière suivante:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité que le premier client connecté obtienne un bon d'achat est $\dfrac15$.
\item[$\bullet~~$] si le $n$-ième client connecté gagne un bon d'achat, alors le client suivant gagne également un bon d'achat avec une probabilité de $\dfrac{3}{10}$ ;
\item[$\bullet~~$] si le $n$-ième client connecté ne gagne pas de bon d'achat, alors le client suivant ne gagne pas non plus de bon d'achat avec une probabilité de $\dfrac{9}{10}$.
\end{itemize}

\medskip

On considère les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $A_n$ : \og le $n$-ième client connecté gagne un bon d'achat de 5 euros \fg
\item[ ] $\overline{A_n}$ : \og le $n$-ième client connecté ne gagne pas un bon d'achat de 5 euros \fg.
\end{description}

On note $a_n = P\left(A_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $a_1$.
\item Compléter l'arbre de probabilités donné dans la feuille de réponses.
\item Exprimer $P\left(A{n+1} \cap A_n\right)$ et $P\left(A_{n+1} \cap \overline{A_n}\right)$ en fonction de $u_n$.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_{n+1} = \dfrac15 a_n + \dfrac{1}{10}$. 

Justifier la réponse.
\end{enumerate}
Dans la suite, on pose $u_n = a_n - \dfrac18$ pour tout entier naturel $n$ non nul.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$.
		\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 1}$ est une suite géométrique. 
		
Préciser sa raison $q$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Montrer que $a_n = \dfrac{3}{8 \times 5^n}  + \dfrac18$, pour tout entier naturel $n$ non nul.
	\end{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(a_n\right)_{n\geqslant 1}$ est convergente et donner sa limite $\ell$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_n > \dfrac18$.
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n_0$ à partir duquel $a_n - \dfrac18 \leqslant 10^{-5}$.
		
Justifier la réponse en utilisant la fonction logarithme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Mathématiques Spécialité}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 22 points}

\medskip

\emph{Une question à choix multiples est signalée par la mention QCM. Plusieurs réponses sont proposées et il n'y a
qu'une seule bonne réponse. \\
Vous entourerez la réponse choisie sur la feuille de réponses.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse sera pénalisée par des points négatifs.\\
Le total des points obtenu à cet exercice ne peut être strictement négatif.\\
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $X^2 - 4X + 2 = 0$.

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
L'espace est rapporté à un repère orthonormé
\Oijk. On donne les points de coordonnées
suivantes :

A(0~;~0~;~0),\quad B$\left(0~;~1~;~-\sqrt 3\right)$,

C(0~;~2~;~0), \quad D$\left(0~;~1~;~\sqrt 3\right)$,

E(4~;~0~;~0), \quad F$\left(4~;~1~;~-\sqrt 3\right)$

G(4~;~2~;~0), \quad H$\left(4~;~1~;~\sqrt 3\right)$.

Soit $I$ un point de coordonnées $(a~;~0~;~0)$ où $a$ est un nombre réel de l'intervalle [0~;~4].
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.56\linewidth}
\psset{unit=0.85cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-4.7)(5.2,4.5)
%\psgrid
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-2.8)(0,4.4)%verticale
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(-3.6,0.2)(5.1,-0.2)%AC
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-3.2,-1.45)%AE
\pspolygon(0,0)(1.8,2.2)(3.6,-0.15)(1.8,-2.35)%ADCB
\pspolygon(-2.9,-1.3)(-1.1,0.9)(0.7,-1.45)(-1.1,-3.65)%EHGF
\psline(0,0)(-2.9,-1.3)%AE
\psline(0.7,-1.45)(3.6,-0.15)%GC
\psline(-1.1,-3.65)(1.8,-2.35)%FB
\psline(1.8,2.2)(-1.1,0.9)%DH
\psdots(0.35,-3)(0.35,1.55)%JL

\uput[ul](0,0){A} \uput[d](1.8,-2.35){B} \uput[ur](3.6,-0.15){C} \uput[ur](1.8,2.2){D}
\uput[ul](-2.9,-1.3){E} \uput[d](-1.1,-3.65){F} \uput[dr](0.7,-1.45){G}
\uput[u](-1.1,0.9){H} \uput[u](0.35,1.55){L} \uput[d](0.35,-3){J}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\item Déterminer les coordonnées des points J et L, milieux respectifs des segments [BF] et [DH].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le réel $\lambda$ tel que $\vect{\text{AI}} = \lambda \cdot \vect{\text{AE}}$.
		
On exprimera $\lambda$ en fonction de $a$.
		\item \textbf{QCM} -- Quel est l'ensemble décrit par le point $I$ lorsque $a$ décrit l'intervalle [0~;~4] ?
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
A. le segment [AE]&C. le cercle de diamètre [AE]\\
B. la droite (AE)&D. un plan de vecteur normal $\vect{\text{AE}}$\\
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On admet que les composantes des vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IL}}$ s'expriment en fonction de $a$ sous la forme:

$\vect{\text{IJ}}\left(2 - a~;~1~;~- \sqrt 3\right)$ et $\vect{\text{IL}}\left(2 - a~;~1~;~\sqrt 3\right)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Exprimer IJ$^2$ et IL$^2$ en fonction de $a$. On ne demande pas de développer l'expression. 

On observera, sans la justifier, l'égalité des longueurs IJ et IL.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les nombres réels $m, n$, et $p$ tels que $\vect{\text{IJ}} \cdot \vect{\text{IL}} = m a^2 + n a + p$. 
		
Justifier la réponse.
		\item En déduire les valeurs de $a$ pour lesquelles les vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IL}}$ sont orthogonaux.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

Dans les questions qui suivent, on prend $a = 2 + \sqrt 2$.

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les points I, J et L définissent un plan.
		\item Justifier que le vecteur $\vect{n}\left(1~;~\sqrt 2~;~0\right)$ est normal au plan (IJL).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (IJL). 

Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Donner une représentation paramétrique de la droite (CG).
\item Déterminer les coordonnées de K, point d'intersection de la droite (CG) et du plan (IJL). 

Justifier la réponse.
\item Préciser la nature du quadrilatère IJKL. Aucune justification n'est attendue.
\end{enumerate}
\end{document}