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%Tapuscrit : Denis Vergès
%RElecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\textbf{\Large GROUPEMENT D'ÉCOLES D'INGENIEURS PUBLIQUES À PARCOURS INTÉGRÉ}\\
ISAT  ESIREM  POLYTECH Nice-Sophia  POLYTECH Orléans
EEIGM  ENSGSI  ESSTIN  TELECOM Lille 1  ISEL
ISTIA  ISTASE  ISTV  Sup GALILÉE
\medskip


Mardi 30 avril 2019

\medskip

\textbf{SUJET DE MATHÉMATIQUES}
\end{center}

\emph{Chaque exercice contient des questions à choix multiples. Elles sont signalées par la mention QCM. Pour chaque QCM, quatre réponses sont proposées et il peut y avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Vous entourerez la (ou les) réponse(s) choisie/s) sur la feuille de réponses. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse sera pénalisée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse.}

\bigskip

%\textbf{Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés}



\textbf{EXERCICE I \hfill}

\medskip

\begin{enumerate}
\item QCM

Quel est l'ensemble $E$ des réels $x$ vérifiant $1 - \ln x \geqslant 0$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.} $E = [1~;~+\infty[$ 	&\textbf{B.} $E = [\text{e}~;~+\infty[$\\
\textbf{C.} $E = ]-\infty~;~\text{e}]$ &\textbf{D.} $E = ]0~;~\text{e}]$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par:

\[\text{pour tout réel }\:x > 0,\: f(x) = \text{e}^{\frac{\ln x}{x}}\quad \text{et} \quad g(x) = \dfrac{\ln x}{x}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan P.
\begin{enumerate}[start=2]
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Justifier la réponse.
\item On en déduit que $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote $\Delta$. Donner une équation de $\Delta$.
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Justifier la réponse.
\item  $g'$ désigne la dérivée de $g$. Calculer, pour tout $x > 0$,\: $g'(x)$. Détailler le calcul.
\item  $f'$ désigne la dérivée de $f$. Pour tout $x > 0$, on peut écrire $f'(x)$ sous la forme:
\[f'(x) = (1 - \ln x) h(x).\]

Donner l'expression de $h(x)$ en fonction de $x$. Quel est le signe de $h(x)$ ?
\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item Soit A le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $x_{\text{A}} = \text{e}$ et d'ordonnée $y_{\text{A}}$.

Donner la valeur exacte de $y_{\text{A}}$, puis une valeur approchée de $y_{\text{A}}$ à $10^{-1}$ près.
\item  QCM

Soit B le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $x_{\text{B}} = 1$. $T_{\text{B}}$ désigne la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B.

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~}$T_{\text{B}}$ a pour équation $y = x - \text{e}$ 
&\textbf{B.~~}$T_{\text{B}}$ a pour équation $y = \text{e}x$\\
\textbf{C.~~}$T_{\text{B}}$ a pour équation $y =  x$
&\textbf{D.~~}$T_{\text{B}}$ passe par le point O
\end{tabularx}
\medskip
\item  QCM

Soit C le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $x_{\text{C}}= \dfrac{1}{2}$ et d'ordonnée $y_{\text{C}}$. Que vaut $y_{\text{C}}$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~}$y_{\text{C}} = \dfrac{1}{4}$&\textbf{B.~~} $y_{\text{C}} =  \text{e}^{\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}}$\\
\textbf{C.~~} $y_{\text{C}} = \text{e}^{\frac{\ln 2}{2}}$&\textbf{D.~~} $y_{\text{C}} = \text{e}^{- 2\ln 2}$
\end{tabularx}
\medskip
\item  Placer, sur la figure, les points A, B et C.

Tracer la droite $\Delta$, la tangente $T_{\text{B}}$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A. Puis tracer la courbe $\mathcal{C}_f$
\item \textbf{VRAI-FAUX}

Soit $m$ un réel. On s'intéresse au nombre de réels $x > 0$ vérifiant l'équation:
\[f(x) = m.\]

Pour chacune des trois assertions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

\emph{Aucune justification n'est demandée. Une réponse incorrecte sera pénalisée, une absence de réponse ne sera pas pénalisée.}

\textbf{A.~~}Si $m \in \left]1~;~y_{\text{A}}\right[$, l'équation a exactement deux solutions.

\textbf{B.~~}Si $m < 0$ ou $m \geqslant y_{\text{A}}$, l'équation n'admet aucune solution.

\textbf{C.~~}Si $m = 1$, l'équation a exactement deux solutions.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE II}

\medskip

Les deux parties sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{Première partie - QCM}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lors d'une même expérience aléatoire, deux évènements $A$ et $B$ vérifient:

\[P(A) = 0,4\quad P(B) = 0,6 \quad  P\left(A \cap \overline{B}\right) = 0,3.\]

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.} $P(A \cap B) = 0,1$ &\textbf{B.} $P(A \cap B) = 0,24$\\
\textbf{C.} $P(A \cup B) = 1$ &\textbf{D.} $P(A \cup B) = 0,9$
\end{tabularx}
\medskip

\item $X$ désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [3~;~18].

Soit $p_1$ la probabilité que $X$ soit compris entre 5 et 10 sachant que $X$ est strictement supérieur à 4. Que vaut $p_1$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.} $p_1 = \dfrac{4}{15}$ &\textbf{B.} $p_1 = \dfrac{5}{13}$\\[7pt]
\textbf{C.} $p_1 = \dfrac{5}{14}$ &\textbf{D.} $p_1 = \dfrac{1}{3}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $\lambda > 0$. $X$ désigne une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Soit $p_2$ la probabilité que $X$ soit compris entre 2 et 5. Que vaut $p_2$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.}  $p_2 = \dfrac{\text{e}^{-2\lambda}}{\text{e}^{-5\lambda}}$&
\textbf{B.}  $p_2= \text{e}^{-3\lambda}$\\[5pt]
\textbf{C.}  $p_2 = \text{e}^{-2\lambda} - \text{e}^{-5\lambda}$&
\textbf{D.}  $p_2 = \text{e}^{-5\lambda} - \text{e}^{-2\lambda}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $\lambda > 0$. $X$ désigne une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Soit $p_3$ la probabilité que $X$ soit supérieure à son espérance E$(X)$. Que vaut $p_3$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.} $p_3 = \dfrac{1}{\text{e}}$&\textbf{B.} $p_3 = \dfrac{1}{2}$\\
\textbf{C.} $p_3 = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$&\textbf{D.} $p_3 = \text{e}^{- \lambda^2}$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul. Pour un jeu de dé, qui se joue en $n$ parties, on utilise un seul dé non pipé à six faces. On suppose que les résultats des parties successives sont indépendants.

Lors d'une partie, le joueur lance le dé.

\setlength\parindent{12mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] S'il obtient un chiffre pair, alors il reçoit autant d'euros que le nombre apparu sur le dé.
\item[$\bullet~~$] S'il obtient un chiffre impair, alors il perd $m$ euros, $m$ désignant un réel positif.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $G_n$ la variable aléatoire correspondant au gain du joueur lors de la $n$-ième partie. Ce gain est donc positif ou négatif.

On suppose que le joueur décide de faire une seule partie.

\medskip

\begin{enumerate}[start=5]
\item Compléter le tableau donnant la loi de $G_1$.
\item Donner la probabilité $P_1$ que le joueur ait un gain positif.
\item Donner, en fonction de $m$, la valeur de l'espérance E$\left(G_1\right)$. Détailler le calcul.
\item  Pour quelles valeurs de $m$ a-t-on E$\left(G_1\right) \geqslant 0$ ?
\end{enumerate}

Dans la question suivante, on suppose que le joueur joue successivement deux parties et que $m = 4$.

\begin{enumerate}[start=9]
\item  On note $G_T = G_1 + G_2$ la variable aléatoire correspondant au gain total du joueur à l'issue des deux parties. 

Calculer la probabilité $P_2$ que le joueur ait un gain total nul. Détailler le calcul.
\end{enumerate}

Dans la suite, $n$ est quelconque.

\begin{enumerate}[start=10]
\item  Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties où le joueur a un gain positif.

Donner la loi de $X$. Préciser ses paramètres.
\item  Notons $q_n$ la probabilité que le joueur ait un gain positif à au moins une des $n$ parties.

Donner l'expression de $q_n$ en fonction de $n$.
\item  Déterminer le nombre minimal $n_0$ de parties que le joueur doit faire pour que la probabilité précédente soit strictement supérieure à $0,99$. Détailler les calculs.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE III}

\medskip

\emph{La première question est indépendante.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item VRAI-FAUX

On considère, dans l'espace, deux droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ et deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.

Pour chacune des assertions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. 

\emph{Aucune justification n'est demandée. Une réponse incorrecte sera pénalisée, une absence de réponse ne sera pas pénalisée.}

\textbf{A.} Si $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas parallèles, alors elles sont sécantes.

\textbf{B.} Si $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont sécantes, alors elles sont coplanaires.

\textbf{C.} Si $\mathcal{D}$ est orthogonale à $\mathcal{P}$, alors elle est orthogonale à toute droite contenue dans $\mathcal{P}$.

\textbf{D.} Si $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles, alors toute droite de $\mathcal{P}$ est parallèle à toute droite de $\mathcal{P}'$,
\end{enumerate}

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère:

\setlength\parindent{12mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les points A, B et C de coordonnées respectives:
\[\text{A}(1~;~1~;~1),\quad \text{B}\left(1~;~1~;~\dfrac{3}{2}\right),\quad \text{C} (2~;~1~;~1).\]
\item[$\bullet~~$]le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne : $x - y + 2z - 3 = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}[start=2]
\item Parmi les points A, B et C, lesquels appartiennent au plan $\mathcal{P}$ ?
\item QCM

Parmi les vecteurs suivants, lesquels sont normaux au plan $\mathcal{P}$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} $\vect{n_1}(2~;~0~;~-1)$ &\textbf{B.~~} $\vect{n_2}(-1~;~2~;~-3)$\\
\textbf{C.~~} $\vect{n_3}(1~;~-1~;~2)$ &\textbf{D.~~} $\vect{n_4}(-2~;~2~;~-4)$\/
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par le point A et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

Donner un système d'équations paramétriques de la droite $\mathcal{D}$.
\item Soit K le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$.

Déterminer les coordonnées $\left(x_{\text{K}}~;~y_{\text{K}}~;~z_{\text{K}}\right)$ du point K. Justifier la réponse.
\item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point A et orthogonal à la droite (BC).

Donner une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$.
\item  QCM

Parmi les systèmes paramétriques suivants, lesquels représentent la droite (BC) ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2 + 2k\\
y &=& 1 \\
z &=&0+k
\end{array}\right., k \in \R$& \textbf{B.~~}$\left\{\begin{array}{l c l}  
 x &=& - 2k\\
 y &=& 1\\
 z&=&2+k
\end{array}\right., k \in \R$\\
\textbf{C.~~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 + 2k\\
y &=& k\\
z &=& -\frac{1}{2}+ k
\end{array}\right., k \in \R$
&\textbf{D.~~} $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2 + 3k\\
y &=& 1 + 2k\\
z &=& 1 +\frac{5}{2}k
\end{array}\right., k \in \R$.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Soit H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).

Donner les coordonnées $\left(x_{\text{H}}~;~y_{\text{H}}~;~z_{\text{H}}\right)$ du point H.
\item Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point A et parallèle à $\mathcal{P}$. Justifier la réponse.
\item Calculer la distance $d$ entre les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}_2$. Détailler le calcul.
\item VRAI-FAUX

Pour chacune des assertions suivantes concernant les positions relatives des droites (BC) et (HK), indiquer si elle est vraie ou fausse. 

\emph{Aucune justification n'est demandée. Une réponse incorrecte sera
pénalisée, une absence de réponse ne sera pas pénalisée}.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} Elles sont sécantes &\textbf{B.~~} Elles sont parallèles\\
\textbf{C.~~} Elles sont orthogonales &\textbf{D.~~} Elles sont coplanaires\\
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{EXERCICE IV}

\medskip

\emph{Les trois parties sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Dans tout l'exercice, $a$ désigne un nombre réel strictement supérieur à 1.}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv.

Soient A et B les points d'affixes respectives:

\[z_{\text{A}} = 2 + 2 \text{i}\sqrt{a^2  - 1}\quad \text{et}\quad z_{\text{B}} = 4.\]
 
On définit les points C, D, H par :
 
\setlength\parindent{12mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] C est le symétrique de A par rapport à l'axe $\left(\text{O},~ \vect{u}\right)$ ;
\item[$\bullet~~$] D est le symétrique de A par rapport au point O ;
\item[$\bullet~~$] H est le projeté orthogonal de B sur la droite (AD).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $z_{\text{C}}$, $z_{\text{D}}$ et $z_{\text{H}}$ les affixes respectives des points C, D et H.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on suppose que $a = 2$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire la forme algébrique de $z_{\text{A}}$. Donner son module $\left|z_{\text{A}}\right|$.

Puis écrire la forme exponentielle de $z_{\text{A}}$.
\item  Donner la valeur de $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique et exponentielle.
\item  QCM

Parmi les expressions suivantes, laquelle correspond à la forme exponentielle de $z_{\text{D}}$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} $z_{\text{D}} = 4\text{e}^{- \frac{\text{i}\pi}{3}}$ &\textbf{B.~~} $z_{\text{D}} = - 4\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{3}}$\\
\textbf{C.~~} $z_{\text{D}} = 4\text{e}^{- \frac{2\text{i}\pi}{3}}$&\textbf{D.~~} $z_{\text{D}} = - 4\text{e}^{- 2\frac{\text{i}\pi}{3}}$\\

\end{tabularx}
\medskip

\item  Sur la figure, placer les points A, B, C, D.

Faire apparaître la construction qui vous permet de placer les points correctement.
\item Donner la nature précise du triangle OAB et du quadrilatère ABCD.
\item Justifier géométriquement que $z_{\text{H}} = \dfrac{1}{2}z_{\text{A}}$. En déduire la forme algébrique de $z_{\text{H}}$.

Placer le point H sur la figure de la question \textbf{4.}
\item  QCM

Soit $\mathcal{A}$ l'aire, en unités d'aire, du quadrilatère ABCD. Quelle est la valeur exacte de $\mathcal{A}$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} $\mathcal{A} = 24\sqrt{3}$ &\textbf{B.~~} $\mathcal{A} = 16\sqrt{3}$\\
\textbf{C.~~} $\mathcal{A} = 12\sqrt{3}$ &\textbf{D.~~} $\mathcal{A} = 8\sqrt{3}$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate} 
 
\emph{Dans la suite, $a$ est quelconque}
 
\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\begin{enumerate}[start=8]
\item Notons $\ell_1$ et $\ell_2$ les longueurs respectives des diagonales [OB] et [AC] du losange OABC.

Donner la valeur exacte de $\ell_1$. 

Donner une expression de $\ell_2$ en fonction de $a$.
\item  Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ le quadrilatère OABC est-il un carré ? 

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Soient $(E)$ et $(E')$ les équations d'inconnue complexe $z$ :

\[(E) :\ z^2 - 4z + 4a^2 = 0\qquad  (E') : z^3 - 4z^2 + 4a^2z = 0\]

\begin{enumerate}[start=10]
\item Justifier que l'équation $(E)$ admet deux racines complexes non réelles.
\item On note $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de l'équation $(E)$.

Donner les expressions de $z_1$ et $z_2$ en fonction de $a$.
\item En déduire l'ensemble $\mathcal{E}'$ des solutions de l'équation $(E')$.
\end{enumerate}
\end{document}