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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{mai 2007}}
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\begin{center}
\textbf{\Large GROUPEMENT D'ÉCOLES D'INGENIEURS PUBLIQUES À PARCOURS INTÉGRÉ}\\
ISAT  ESIREM  POLYTECH Nice-Sophia  POLYTECH Orléans
EEIGM  ENSGSI  ESSTIN  TELECOM Lille 1  ISEL
ISTIA  ISTASE  ISTV  Sup GALILÉE

Mercredi 9 mai 2007

SUJET DE MATHÉMATIQUES


\end{center}

\textbf{EXERCICE I \hfill  10 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = (1 - x)\text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
		\item En déduire que $f$ admet une asymptote $\Delta$ au voisinage de $- \infty$ dont on donnera une équation.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f'(x)$ où $f'$ est la dérivée de $f$.
		\item  Compléter le tableau des variations de $f$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de la tangente $T_{1}$ au point $A$ d'abscisse 1 de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et une
équation de la tangente $T_{-1}$ au point $B$ d'abscisse $-1$.
		\item Expliquer pourquoi l'on peut affirmer que les tangentes $T_{1}$ et $T_{-1}$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item  On se propose d'étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T_{-1}$.

Pour cela, on considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
\[g(x) = (1 - x)\text{e}^x - \left(\dfrac{x + 3}{\text{e}}\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $g'(x$ et $g''(x)$ où $g'$ et $g''$ sont les dérivées première et seconde de $g$.
		\item Étudier le signe de $g''$ et le sens de variation de $g'$. Préciser la valeur de $g'(-1)$.
		
Étudier le signe de $g'$ et le sens de variation de $g$. Préciser la valeur de $g(-1)$.
		
Enfin donner le signe de $g$.
		\item Indiquer alors la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la tangente $T_{-1}$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer l'asymptote $\Delta$, les tangentes $T_{1}$ et $T_{-1}$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
	
Pour tracer ces courbes, on considèrera les valeurs approchées suivantes :
\[\text{e} \approx  2,7\quad  \text{et} \quad \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0,4.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE II \hfill  4 points}

\medskip

Pour descendre du sommet S d'une montagne, des skieurs ont la possibilité d'emprunter plusieurs parcours. Ils doivent impérativement passer par l'un des deux restaurants se trouvant tous les deux à \nombre{2200}~mètres d'altitude. Les deux restaurants ne sont pas situés sur le même versant de la montagne. On les
nomme $R_{1}$ et $R_{2}$.

Après la pause repas, pour atteindre le village $V$ qui se trouve à \nombre{1100}~m d'altitude, les skieurs ont deux possibilités : ils peuvent descendre directement au village ou faire une halte au restaurant $R_{3}$ qui se
trouve à \nombre{1800}~m d'altitude, pour prendre un café.

La probabilité que les skieurs choisissent de passer par $R_{1}$ est égale à
$\dfrac{1}{3}$.

En partant de $R_{1}$, la probabilité que les skieurs descendent directement au village est égale à $\dfrac{3}{4}$.

En partant de $R_{2}$, la probabilité que les skieurs descendent directement au village est égale à $\dfrac{2}{3}$.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,4)
\psline(0,0)(4.6,3.6)(6.9,0)
\psline(2.9,2.2)(4,1.2)(5.4,2.15)
\psline(4,1.2)(4,0)
\psline(2.9,2.15)(3.7,0)
\psline(4.2,0)(5.5,2.1)
\rput{36}(3.8,3.25){5 km}\rput{-56}(5.2,3.15){4 km}
\rput{-45}(3.5,2.1){4 km} \rput{32}(4.7,1.85){4,5 km}
\rput{-72}(3.,1){5,5 km} \rput{-90}(4.2,0.7){2 km}
\rput{64}(5.1,1.2){6 km}
\psframe(2.85,2.1)(3,2.4)\psframe(3.9,1.3)(4.1,1.6)
\psframe(5.4,2.1)(5.6,2.3) \psframe(3.7,0)(4.2,0.2)
\uput[u](4.6,3.6){$S$}\uput[ul](2.85,2.3){$R_{1}$}
\uput[dl](4,1.3){$R_{3}$}\uput[ur](5.5,2.3){$R_{2}$}
\uput[r](4.2,0.1){$V$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter l'arbre représentant tous les trajets possibles du sommet S au village V.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité $P_{}$ que les skieurs prennent un café au restaurant $R_{3}$, sachant qu'ils ont déjeuné ensemble au restaurant $R_{1}$.
		\item  Déterminer la probabilité $P_{2}$ que les skieurs prennent un café au restaurant $R_{3}$.
		\item  Déterminer la probabilité $P_{3}$ que les skieurs aient déjeuné au restaurant $R_{1}$, sachant qu'ils ont pris un café au restaurant $R_{3}$.
 	\end{enumerate}
\item Les distances en kilomètres entre les différents points sont : 
	
\centerline{$SR_{1} = 5,~ SR_{2} = 4,~R_{2}R_{3} = 4,~ 5, R_{1}R_{3} = 4,~ R_{3}V = 2, R_{1}V = 5,~ 5,~ R_{2}V = 6$} \text{(cf. figure ci-dessus)}
	
Soit $D$ la variable aléatoire représentant la distance parcourue par les skieurs pour aller du sommet $S$ au village $V$.

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $D$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE III \hfill  6 points}

\medskip

On se place dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère les trois points non alignés A, B, C suivants, donnés par leurs coordonnées :

\[\text{A}(1~;~0~;~-1) \quad  \text{B}(3~;~-1~;~2) \quad \text{C}(2~;~-2~;~-1), \]

et le point E de coordonnées : E$(4~;~-1~;~-2)$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite (CE) est orthogonale à la droite (AB) et à la droite (AC).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par A,~B et C.
		\item Calculer la distance $d(\text{E}~;~\mathcal{P})$ du point E au plan $\mathcal{P}$.
 	\end{enumerate}
\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (AE).
\item On considère la droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations paramétriques est :
	\[\mathcal{D} : \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 0\\
y &=& 2 + t\\ 
z &=& -1 + t\\
\end{array}\right.\quad t \in  \R\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner un point J et un vecteur directeur $\vect{w}$ de $\mathcal{D}$.
		\item  Expliquer pourquoi la droite $\mathcal{D}$ est contenue dans le plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}		
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le point $M$ de $\mathcal{D}$ tels que les vecteurs
$\vect{\text{E}M}$ et $\vect{v}(0~;~1~;~1)$ soient orthogonaux.
		\item En déduire la distance $d(E~;~\mathcal{D})$ du point E à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}