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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Concours Fesic  mai 2012}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic mai 2012 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $- 1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R^{\star}$ par $f(x) = \dfrac{(1 - x)\left(1- \text{e}^x\right)}{x}$. 

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On a : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.
\item[\textbf{b.}] On a: $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 1$. 
\item[\textbf{c.}] On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par: $g(x) = f(x)$ si $x \neq 0$ et $g(0) = - 1$. La fonction $g$ est continue sur $\R$ 
\item[\textbf{d.}] On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} ( n -1 )\left(1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}\right) = - 1$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln \left(\text{e}^{2x} - 2\text{e}^{x} + 1\right)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] L'ensemble de définition de $f$ est $\R$ 
\item[\textbf{b.}] On a : $f(x) < 0$ si et seulement si $x < 0$. 
\item[\textbf{c.}] Pour tout $x \in \R^{\star}$, on peut écrire $f(x) = 2 \ln \left(\text{e}^{x} - 1\right)$. 
\item[\textbf{d.}] La courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal du plan possède pour asymptotes les axes du repère et la droite d'équation $y = 2x$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip
Pour tout $n \in \N^{\star}$, on définit la fonction $f_{n}$, sur $]0~;~ + \infty[$ par $f_{n}(x) = \ln(x) + 2 \ln (n) - nx$ et on appelle $C_{n}$ la courbe représentant $f_{n}$, dans un repère orthonormal du plan. 

\medskip
			 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}]  Pour tout $n \in \N^{\star}$ et tout $x \in ]0~;~ + \infty[$, on a : $f^{\prime}_{n}(x) = \dfrac{n + 2x - xn^2}{nx}$. 
\item[\textbf{b.}] On fixe $n$ dans $\N^{\star}$ ;  $f_{n}$ est décroissante sur $]0~;~ + \infty[$. 
\item[\textbf{c.}] Pour tout $n \in \N^{\star}$ on appelle $M_{n}$ l'extremum de la courbe $C_{n}$. On note $\left(x_{n}~;~y_{n}\right)$ les coordonnées de $M_{n}$. 

La suite $\left(x_{n}\right)_{n}$ est décroissante et la suite $\left(y_{n}\right)_{n}$ est croissante. 
\item[\textbf{d.}] On fixe $n$ dans $\N^{\star}$. La fonction $F_{n}$ définie par : $F_{n}(x) = x \ln x - x + 2x \ln n - nx$ est la primitive de $f_{n}$ sur $]0~;~+ \infty[$  qui tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip
 
On considère la représentation graphique suivante d'une fonction $f$.
 
On appelle $C$ la courbe représentant $f$ et on suppose que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote à $C$ aux voisinages de $+ \infty$ et de $- \infty$.
 
On appelle $f^{\prime}$ la dérivée de $f$ lorsqu'elle existe. 

\begin{figure}[ht]
\psset{unit=1.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-3)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt]
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-4,1.2)(-3,1.2275)(-2,1.24)(-1.43,1)(-1,0)(-0.83,-1)(-0.75,-2)(-0.7,-3)
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,0)(0.1,-0.02)(0.2,-0.1)(0.4,-0.42)(0.8,-0.17)(1,0)(2,0.44)(3,0.6)(4,0.65)(5,0.67)
%\psbezier[linecolor=blue](-5,1.2)(-4,1.23)(-5,1.25)(-4,1.23)
%\psbezier[linecolor=blue](-4,1.23)(-3,1.23)(-2,1.2)(-3,1.22)
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%\psbezier[linecolor=blue](-2,1.18)(-1,1.15)(-1.2,1)(-1,0)
%\psbezier[linecolor=blue](-1,0)(-0.85,-1)(-0.92,0)(-0.8,-1)
%\psbezier[linecolor=blue](-0.8,-1)(-0.7,-2)(-0.68,-1)(-0.6,-2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ existe. 
\item[\textbf{b.}] Quand $x_{0}$ tend vers $0$ par valeurs positives, $\displaystyle\int_{x_{0}}^1 f(x)\:\text{d}x$ représente l'aire, en unités d'aire, de la surface  comprise entre la courbe et l'axe des abscisses. 
\item[\textbf{c.}] La limite de $f^{\prime}(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à 1. 
\item[\textbf{d.}] Entre 0 et 4, la fonction $f^{\prime}$ est décroissante, puis croissante, puis à nouveau décroissante. 
\end{enumerate}

\newpage
 
\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On a : $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \sin x\:\text{d}x = \text{e}^{\pi} + 1$. 
\item[\textbf{b.}] Pour tout $a \in \R_{+}$, on a : $\displaystyle\int_{- a}^{a} t^3 \text{e}^{-t^2}\: \text{d}t = 0$. 
\item[\textbf{c.}] La fonction $f$ définie sur $\R_{+}^{\star}$ par $f(x) = x\text{e}^{\frac{1}{x}\ln x}$ 	est dérivable sur $\R_{+}^{\star}$  et sa dérivée est la fonction $f^{\prime}$ 
définie par $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\text{e}^{\frac{1}{x}\ln x}(x + 1 - \ln x)$. 
\item[\textbf{d.}] La suite $u$ définie sur $\N^{\star}$ par $u_{n} = \left(n^2 - 1\right)\sqrt{n}$ est croissante.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On cherche l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par 

\[f(x) = \ln \left(\dfrac{15 + 2x - x^2}{x^2 + 10x + 21} \right).\] 

On tient pour cela le raisonnement suivant: 

\og $f$ est définie si et seulement si on a $\dfrac{15 + 2x - x^2}{x^2 + 10x + 21} > 0$. Or $15 + 2x - x^2 =$

$ (3 + x)(5 - x)$  et $x^2 + 10x + 21 = (x + 3)(x + 7)$. Il faut donc et il suffit d'avoir $\dfrac{5 - x}{x + 7}  > 0$, soit $x \in  ]-7~;~5[$. 

Conclusion : l'ensemble de définition cherché est $]-7~;~ 5[$. \fg{} Ce raisonnement est exact. 
\item[\textbf{b.}] On considère la fonction $f$ définie sur $I = \R_{+}^{\star}$ par $f(x) = x^2 - x \ln \left(x^2\right)$.
 
On cherche à montrer que $f$ est croissante sur $I$. On tient pour cela le raisonnement suivant : 

\og $f$ est dérivable sur $I$. Pour $x \in I$, on a $f^{\prime}(x) = 2(x - 1 - \ln x)$. Or la représentation graphique de la fonction $\ln$ est située en dessous de ses tangentes en tout point. En particulier, elle est située en dessous de sa tangente au point d'abscisse $1$ qui est la droite d'équation $y = x - 1$.
 
On en déduit que, quel que soit $x \in I$, on a : $\ln x \leqslant x - 1$. Il s'ensuit que l'on a : $f^{\prime}(x) > 0$. Ceci étant vrai pour tout $x \in I$, on en déduit que $f$ est croissante sur $I$. \fg{} Ce raisonnement est exact. 
\item[\textbf{c.}] On considère quatre points A, B, C et D de l'espace, deux à deux distincts. On appelle I le milieu de [AB] et, pour tout $m \in \R$, on appelle $G_{m}$, le barycentre de $\{(\text{A},~ 1), (\text{B},~ 1), (\text{C},~ m-2),(\text{D},~ m)\}$.
 
On cherche à montrer que, quel que soit $m \in \R$, $G_{m}$ est situé dans le plan (ICD). On tient pour cela le raisonnement suivant : 

\og  I est le milieu de [AB], donc I est le barycentre de $\{(\text{A},~ 1), (\text{B},~ 1)\}$. Quel que soit $m \in \R$, et par associativité du barycentre, $G_{m}$ est alors le barycentre de $\{(\text{I},~ 2), (\text{C},~ m - 2), (\text{D},~ m)\}$. 

On en déduit que $G_{m}$ appartient au plan (ICD). \fg{} Ce raisonnement est exact. 
\item[\textbf{d.}] On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = \text{e}^{-x} - \ln x - x$. On considère la rédaction suivante qui donne le sens de variation de $f$.
 
\og  $f(x)$ est dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ et, pour $x \in ]0~;~ + \infty[$ , on a $f^{\prime}(x) = - \text{e}^{-x} - \dfrac{1}{x} - 1$.  $f^{\prime}(x)$ est la somme de trois nombres négatifs, donc on a : $f^{\prime}(x)< 0$. Il s'ensuit que $f(x)$ est décroissante sur $]0~;~ + \infty[$. \fg{} Cette rédaction est rigoureuse.
\end{enumerate} 
\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\medskip
On considère l'équation différentielle [E] : $y^{\prime} + 2y = 4$.
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Soit $z$ une fonction dérivable sur $\R$. $z$ est solution de [E] si et seulement si $z - 2$ est solution de l'équation $y^{\prime} + 2y = 0$. 
\item[\textbf{b.}] L'application $f$, définie par $f(x) = 2\left(1 - \text{e}^{2(1 -x)}\right)$ est une solution de [E]. 
\item[\textbf{c.}] L'application $g$, définie par $g(x)  = 2 - \text{e}^{2x+4}$ est la solution de [E] vérifiant $g(-2) = 1$. 
\item[\textbf{d.}] L'application $h$, définie par $h(x) = 2 + \left(\dfrac{1}{\text{e}^{x + 1}}\right)^2$ est la solution de [E] vérifiant $h^{\prime}(- 1) = - 2$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\medskip
 
On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B.
 
Chaque mois, 20\,\% des fourmis de A passent en B et 30\,\% des fourmis de B passent en A.
 
Au bout d'un nombre de mois égal à $n$, on note $u_{n}$ et $v_{n}$ le nombre total (en milliers de fourmis) de fourmis présentes respectivement dans les fourmilières A et B.
 
On a dénombré que, initialement, on avait $u_{0} = 320$ et $v_{0} = 180$. 

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Pour tout $n \in \N$, on a :  
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1} &=&\dfrac{4}{5}u_{n} + \dfrac{3}{10}v_{n}\\ 
v_{n+1} &=&\dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{7}{10}v_{n}.
\end{array}\right.$
\renewcommand{\arraystretch}{1} 
\item[\textbf{b.}] La suite $s = u + v$ est une suite constante. 
 \item[\textbf{c.}] La suite $t = -2u + 3v$ est géométrique de raison 1 et vérifie, pour tout $n \in \N$ :   
$t_{n} = \dfrac{-100}{2^n}$. 
\item[\textbf{d.}] Quel que soit $n \in \N$, on a : $v_{n} = 200 - \dfrac{20}{2^n}$.  
\end{enumerate}
\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\medskip

Soit $u$ une suite numérique dont aucun terme n'est nul. On définit la suite $v$ par : $v_{n} = 1 + \dfrac{1}{u_{n}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Si $u$ est convergente, alors $v$ est convergente. 
\item[\textbf{b.}] Si $u$ est minorée par $1$, alors $v$ est majorée par $2$. 
\item[\textbf{c.}] Si $u$ est majorée par $0,5$ alors $v$ est minorée par $3$. 
\item[\textbf{d.}] On suppose ici que $u$ est définie par : $u_{0} > 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_{n}}{u_{n} + 2}$. Alors $v$ est une suite géométrique.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\medskip

On considère les suites $u$ et $v$  définies par : $u_{n} = 1 + \dfrac{1}{1!} +\dfrac{1}{2!} + \ldots + \dfrac{1}{n!}$ et $v_{n} = u_{n} + \dfrac{1}{n \times n !}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$. 
\item[\textbf{b.}] La suite $v$ est croissante. 
\item[\textbf{c.}] Les suites $u$ et $v$ sont adjacentes. 
\item[\textbf{d.}] Quel que soit $n \in  \N^{\star}$, on a : $2 \leqslant  u_{n} < u_{n+1} < v_{n+1} < v_{n} \leqslant 3$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv, on appelle A le point dont l'affixe est $- \text{i}$. 

Pour tout point $M$ distinct de A, d'affixe $z = x + \text{i}y$ (écriture algébrique), on associe le point $M'$ d'affixe $z' = x' + \text{i}y'$ (écriture algébrique) telle que : $z' = \dfrac{z}{z + \text{i}}$.  

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On a : $x' = \dfrac{x^2 + y^2 + y}{x^2 + (y + 1)^2}$.
\item[\textbf{b.}] On a : $\overline{z'} = \dfrac{z}{z + \text{i}}$. 
\item[\textbf{c.}] L'ensemble des points $M$ tels que $z' = \overline{z'}$ est l'axe des ordonnées privé du point A. 
\item[\textbf{d.}] $M'$ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 si et seulement si $M$ appartient à la médiatrice de [OA].
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\medskip

Soit $a$ un nombre complexe non réel.
 
Dans le plan complexe, on considère le point A d'affixe $a$, le point B d'affixe $\text{i}a$, le point C d'affixe $- a$ et le point D dont l'affixe est le conjugué de $a$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] C est l'image de A par la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ 
\item[\textbf{b.}] On a : $\left(\vect{\text{DA}},~ \vect{\text{DC}} \right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, o\`u $k \in \Z$. 
\item[\textbf{c.}] L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - a| = |z + a|$ est la droite (AC). 
\item[\textbf{d.}] Les points A, B, C et D sont situés sur un même cercle. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté  à un repère orthonormal \Ouv. Soient 

$Z = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2 - 2\text{i}}$ et $M$ le point du plan  d'affixe $Z$.
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Le complexe $2 - 2\text{i}$ est de module $2\sqrt{2}$ et l'un de ses arguments est $\dfrac{\pi}{4}$.
\item[\textbf{b.}] On a :  O$M = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M}\right)  = \dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi, \:k \in \Z$. 
\item[\textbf{c.}] Quel que soit $n \in \N$, on a $Z^n = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\left
(\cos \left(\dfrac{7n \pi}{12} \right) + \text{i} \sin \left(\dfrac{7n \pi}{12} \right)\right)$. 
\item[\textbf{d.}] Il existe $n \in \N^{\star}$ tel que le point $M_{n}$ d'affixe $Z^n$ appartienne à l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\medskip

Le code d'entrée dans un immeuble est composé de quatre chiffres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] II y a \np{9999} codes différents.
\item[\textbf{b.}] Pour éviter les erreurs de saisie, certains occupants demandent qu'un même chiffre ne puisse pas être répété deux fois consécutivement. 

Il y a alors \np{7290} codes différents possibles. 
\item[\textbf{c.}] Certains occupants préféreraient que les 4 chiffres soient tous différents. II y aurait alors $\binom{10}{4}$ codes différents possibles. 
\item[\textbf{d.}] Comme cet immeuble est situé à Paris, certains occupants souhaitent que le code choisi contienne le nombre \og 75 \fg. Il y aurait alors $168$ codes différents possibles.
\end{enumerate} 
\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\medskip

On considère un espace probabilisé $(\Omega,~p)$ et deux évènements $A$ et $B$ dans $\Omega$. 

On sait que $p(A) = \dfrac{1}{5}$, que $p_{A}(B) = \dfrac{1}{3}$ et que $p\left(\overline{A} \cap B\right) = \dfrac{2}{3}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On a : $p_{\overline{A}}(B) = \dfrac{5}{6}$ ;
\item[\textbf{b.}] On a : $p\left(A \cap \overline{B}\right) = \dfrac{1}{3}$ ; 
\item[\textbf{c.}] On a : $p(B) = \dfrac{11}{15}$. 
\item[\textbf{d.}] On a : $p_{\overline{B}}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{2}{15}$. 
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\medskip
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les plans P et Q d'équations respectives : P : $y = x + 2$ et Q : $z = 3 - 2y$.
 
On appelle (D) la droite d'intersection de P avec Q.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La droite (D) accepte pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées $(1~;~1~;~- 2)$. 
\item[\textbf{b.}] La droite (D) passe par le point A(- 1~;~1~;~1). 
\item[\textbf{c.}] Une équation du plan contenant la droite (D) et passant par O est : 

$3x + y + 2z = 0$. 
\item[\textbf{d.}] La droite (D) coupe l'axe des ordonnées. 
\end{enumerate} 



\end{document}