\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{24cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Concours Fesic mai 2012} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lfoot{\small{Terminale S}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic mai 2012 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $- 1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R^{\star}$ par $f(x) = \dfrac{(1 - x)\left(1- \text{e}^x\right)}{x}$. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] On a : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$. \item[\textbf{b.}] On a: $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 1$. \item[\textbf{c.}] On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par: $g(x) = f(x)$ si $x \neq 0$ et $g(0) = - 1$. La fonction $g$ est continue sur $\R$ \item[\textbf{d.}] On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} ( n -1 )\left(1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}\right) = - 1$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln \left(\text{e}^{2x} - 2\text{e}^{x} + 1\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] L'ensemble de définition de $f$ est $\R$ \item[\textbf{b.}] On a : $f(x) < 0$ si et seulement si $x < 0$. \item[\textbf{c.}] Pour tout $x \in \R^{\star}$, on peut écrire $f(x) = 2 \ln \left(\text{e}^{x} - 1\right)$. \item[\textbf{d.}] La courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal du plan possède pour asymptotes les axes du repère et la droite d'équation $y = 2x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip Pour tout $n \in \N^{\star}$, on définit la fonction $f_{n}$, sur $]0~;~ + \infty[$ par $f_{n}(x) = \ln(x) + 2 \ln (n) - nx$ et on appelle $C_{n}$ la courbe représentant $f_{n}$, dans un repère orthonormal du plan. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Pour tout $n \in \N^{\star}$ et tout $x \in ]0~;~ + \infty[$, on a : $f^{\prime}_{n}(x) = \dfrac{n + 2x - xn^2}{nx}$. \item[\textbf{b.}] On fixe $n$ dans $\N^{\star}$ ; $f_{n}$ est décroissante sur $]0~;~ + \infty[$. \item[\textbf{c.}] Pour tout $n \in \N^{\star}$ on appelle $M_{n}$ l'extremum de la courbe $C_{n}$. On note $\left(x_{n}~;~y_{n}\right)$ les coordonnées de $M_{n}$. La suite $\left(x_{n}\right)_{n}$ est décroissante et la suite $\left(y_{n}\right)_{n}$ est croissante. \item[\textbf{d.}] On fixe $n$ dans $\N^{\star}$. La fonction $F_{n}$ définie par : $F_{n}(x) = x \ln x - x + 2x \ln n - nx$ est la primitive de $f_{n}$ sur $]0~;~+ \infty[$ qui tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 4}} \medskip On considère la représentation graphique suivante d'une fonction $f$. On appelle $C$ la courbe représentant $f$ et on suppose que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote à $C$ aux voisinages de $+ \infty$ et de $- \infty$. On appelle $f^{\prime}$ la dérivée de $f$ lorsqu'elle existe. \begin{figure}[ht] \psset{unit=1.25cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-4,-3)(5,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(5,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt] \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-4,1.2)(-3,1.2275)(-2,1.24)(-1.43,1)(-1,0)(-0.83,-1)(-0.75,-2)(-0.7,-3) \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,0)(0.1,-0.02)(0.2,-0.1)(0.4,-0.42)(0.8,-0.17)(1,0)(2,0.44)(3,0.6)(4,0.65)(5,0.67) %\psbezier[linecolor=blue](-5,1.2)(-4,1.23)(-5,1.25)(-4,1.23) %\psbezier[linecolor=blue](-4,1.23)(-3,1.23)(-2,1.2)(-3,1.22) %\psbezier[linecolor=blue](-3,1.22)(-2.5,1.22)(-3,1.3)(-2,1.18) %\psbezier[linecolor=blue](-2,1.18)(-1,1.15)(-1.2,1)(-1,0) %\psbezier[linecolor=blue](-1,0)(-0.85,-1)(-0.92,0)(-0.8,-1) %\psbezier[linecolor=blue](-0.8,-1)(-0.7,-2)(-0.68,-1)(-0.6,-2) \end{pspicture} \end{center} \end{figure} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ existe. \item[\textbf{b.}] Quand $x_{0}$ tend vers $0$ par valeurs positives, $\displaystyle\int_{x_{0}}^1 f(x)\:\text{d}x$ représente l'aire, en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe et l'axe des abscisses. \item[\textbf{c.}] La limite de $f^{\prime}(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à 1. \item[\textbf{d.}] Entre 0 et 4, la fonction $f^{\prime}$ est décroissante, puis croissante, puis à nouveau décroissante. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 5}} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] On a : $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \sin x\:\text{d}x = \text{e}^{\pi} + 1$. \item[\textbf{b.}] Pour tout $a \in \R_{+}$, on a : $\displaystyle\int_{- a}^{a} t^3 \text{e}^{-t^2}\: \text{d}t = 0$. \item[\textbf{c.}] La fonction $f$ définie sur $\R_{+}^{\star}$ par $f(x) = x\text{e}^{\frac{1}{x}\ln x}$ est dérivable sur $\R_{+}^{\star}$ et sa dérivée est la fonction $f^{\prime}$ définie par $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\text{e}^{\frac{1}{x}\ln x}(x + 1 - \ln x)$. \item[\textbf{d.}] La suite $u$ définie sur $\N^{\star}$ par $u_{n} = \left(n^2 - 1\right)\sqrt{n}$ est croissante. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 6}} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] On cherche l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par \[f(x) = \ln \left(\dfrac{15 + 2x - x^2}{x^2 + 10x + 21} \right).\] On tient pour cela le raisonnement suivant: \og $f$ est définie si et seulement si on a $\dfrac{15 + 2x - x^2}{x^2 + 10x + 21} > 0$. Or $15 + 2x - x^2 =$ $ (3 + x)(5 - x)$ et $x^2 + 10x + 21 = (x + 3)(x + 7)$. Il faut donc et il suffit d'avoir $\dfrac{5 - x}{x + 7} > 0$, soit $x \in ]-7~;~5[$. Conclusion : l'ensemble de définition cherché est $]-7~;~ 5[$. \fg{} Ce raisonnement est exact. \item[\textbf{b.}] On considère la fonction $f$ définie sur $I = \R_{+}^{\star}$ par $f(x) = x^2 - x \ln \left(x^2\right)$. On cherche à montrer que $f$ est croissante sur $I$. On tient pour cela le raisonnement suivant : \og $f$ est dérivable sur $I$. Pour $x \in I$, on a $f^{\prime}(x) = 2(x - 1 - \ln x)$. Or la représentation graphique de la fonction $\ln$ est située en dessous de ses tangentes en tout point. En particulier, elle est située en dessous de sa tangente au point d'abscisse $1$ qui est la droite d'équation $y = x - 1$. On en déduit que, quel que soit $x \in I$, on a : $\ln x \leqslant x - 1$. Il s'ensuit que l'on a : $f^{\prime}(x) > 0$. Ceci étant vrai pour tout $x \in I$, on en déduit que $f$ est croissante sur $I$. \fg{} Ce raisonnement est exact. \item[\textbf{c.}] On considère quatre points A, B, C et D de l'espace, deux à deux distincts. On appelle I le milieu de [AB] et, pour tout $m \in \R$, on appelle $G_{m}$, le barycentre de $\{(\text{A},~ 1), (\text{B},~ 1), (\text{C},~ m-2),(\text{D},~ m)\}$. On cherche à montrer que, quel que soit $m \in \R$, $G_{m}$ est situé dans le plan (ICD). On tient pour cela le raisonnement suivant : \og I est le milieu de [AB], donc I est le barycentre de $\{(\text{A},~ 1), (\text{B},~ 1)\}$. Quel que soit $m \in \R$, et par associativité du barycentre, $G_{m}$ est alors le barycentre de $\{(\text{I},~ 2), (\text{C},~ m - 2), (\text{D},~ m)\}$. On en déduit que $G_{m}$ appartient au plan (ICD). \fg{} Ce raisonnement est exact. \item[\textbf{d.}] On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = \text{e}^{-x} - \ln x - x$. On considère la rédaction suivante qui donne le sens de variation de $f$. \og $f(x)$ est dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ et, pour $x \in ]0~;~ + \infty[$ , on a $f^{\prime}(x) = - \text{e}^{-x} - \dfrac{1}{x} - 1$. $f^{\prime}(x)$ est la somme de trois nombres négatifs, donc on a : $f^{\prime}(x)< 0$. Il s'ensuit que $f(x)$ est décroissante sur $]0~;~ + \infty[$. \fg{} Cette rédaction est rigoureuse. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 7}} \medskip On considère l'équation différentielle [E] : $y^{\prime} + 2y = 4$. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Soit $z$ une fonction dérivable sur $\R$. $z$ est solution de [E] si et seulement si $z - 2$ est solution de l'équation $y^{\prime} + 2y = 0$. \item[\textbf{b.}] L'application $f$, définie par $f(x) = 2\left(1 - \text{e}^{2(1 -x)}\right)$ est une solution de [E]. \item[\textbf{c.}] L'application $g$, définie par $g(x) = 2 - \text{e}^{2x+4}$ est la solution de [E] vérifiant $g(-2) = 1$. \item[\textbf{d.}] L'application $h$, définie par $h(x) = 2 + \left(\dfrac{1}{\text{e}^{x + 1}}\right)^2$ est la solution de [E] vérifiant $h^{\prime}(- 1) = - 2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 8}} \medskip On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B. Chaque mois, 20\,\% des fourmis de A passent en B et 30\,\% des fourmis de B passent en A. Au bout d'un nombre de mois égal à $n$, on note $u_{n}$ et $v_{n}$ le nombre total (en milliers de fourmis) de fourmis présentes respectivement dans les fourmilières A et B. On a dénombré que, initialement, on avait $u_{0} = 320$ et $v_{0} = 180$. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Pour tout $n \in \N$, on a : \renewcommand{\arraystretch}{1.8}$\left\{\begin{array}{l c l} u_{n+1} &=&\dfrac{4}{5}u_{n} + \dfrac{3}{10}v_{n}\\ v_{n+1} &=&\dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{7}{10}v_{n}. \end{array}\right.$ \renewcommand{\arraystretch}{1} \item[\textbf{b.}] La suite $s = u + v$ est une suite constante. \item[\textbf{c.}] La suite $t = -2u + 3v$ est géométrique de raison 1 et vérifie, pour tout $n \in \N$ : $t_{n} = \dfrac{-100}{2^n}$. \item[\textbf{d.}] Quel que soit $n \in \N$, on a : $v_{n} = 200 - \dfrac{20}{2^n}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 9}} \medskip Soit $u$ une suite numérique dont aucun terme n'est nul. On définit la suite $v$ par : $v_{n} = 1 + \dfrac{1}{u_{n}}$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Si $u$ est convergente, alors $v$ est convergente. \item[\textbf{b.}] Si $u$ est minorée par $1$, alors $v$ est majorée par $2$. \item[\textbf{c.}] Si $u$ est majorée par $0,5$ alors $v$ est minorée par $3$. \item[\textbf{d.}] On suppose ici que $u$ est définie par : $u_{0} > 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_{n}}{u_{n} + 2}$. Alors $v$ est une suite géométrique. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 10}} \medskip On considère les suites $u$ et $v$ définies par : $u_{n} = 1 + \dfrac{1}{1!} +\dfrac{1}{2!} + \ldots + \dfrac{1}{n!}$ et $v_{n} = u_{n} + \dfrac{1}{n \times n !}$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$. \item[\textbf{b.}] La suite $v$ est croissante. \item[\textbf{c.}] Les suites $u$ et $v$ sont adjacentes. \item[\textbf{d.}] Quel que soit $n \in \N^{\star}$, on a : $2 \leqslant u_{n} < u_{n+1} < v_{n+1} < v_{n} \leqslant 3$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 11}} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv, on appelle A le point dont l'affixe est $- \text{i}$. Pour tout point $M$ distinct de A, d'affixe $z = x + \text{i}y$ (écriture algébrique), on associe le point $M'$ d'affixe $z' = x' + \text{i}y'$ (écriture algébrique) telle que : $z' = \dfrac{z}{z + \text{i}}$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] On a : $x' = \dfrac{x^2 + y^2 + y}{x^2 + (y + 1)^2}$. \item[\textbf{b.}] On a : $\overline{z'} = \dfrac{z}{z + \text{i}}$. \item[\textbf{c.}] L'ensemble des points $M$ tels que $z' = \overline{z'}$ est l'axe des ordonnées privé du point A. \item[\textbf{d.}] $M'$ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 si et seulement si $M$ appartient à la médiatrice de [OA]. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 12}} \medskip Soit $a$ un nombre complexe non réel. Dans le plan complexe, on considère le point A d'affixe $a$, le point B d'affixe $\text{i}a$, le point C d'affixe $- a$ et le point D dont l'affixe est le conjugué de $a$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] C est l'image de A par la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ \item[\textbf{b.}] On a : $\left(\vect{\text{DA}},~ \vect{\text{DC}} \right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, o\`u $k \in \Z$. \item[\textbf{c.}] L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - a| = |z + a|$ est la droite (AC). \item[\textbf{d.}] Les points A, B, C et D sont situés sur un même cercle. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 13}} \medskip Le plan complexe est rapporté €š à un repère orthonormal \Ouv. Soient $Z = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2 - 2\text{i}}$ et $M$ le point du plan d'affixe $Z$. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Le complexe $2 - 2\text{i}$ est de module $2\sqrt{2}$ et l'un de ses arguments est $\dfrac{\pi}{4}$. \item[\textbf{b.}] On a : O$M = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M}\right) = \dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi, \:k \in \Z$. \item[\textbf{c.}] Quel que soit $n \in \N$, on a $Z^n = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\left (\cos \left(\dfrac{7n \pi}{12} \right) + \text{i} \sin \left(\dfrac{7n \pi}{12} \right)\right)$. \item[\textbf{d.}] Il existe $n \in \N^{\star}$ tel que le point $M_{n}$ d'affixe $Z^n$ appartienne à l'axe des abscisses. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 14}} \medskip Le code d'entrée dans un immeuble est composé de quatre chiffres. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] II y a \np{9999} codes différents. \item[\textbf{b.}] Pour éviter les erreurs de saisie, certains occupants demandent qu'un même chiffre ne puisse pas être répété deux fois consécutivement. Il y a alors \np{7290} codes différents possibles. \item[\textbf{c.}] Certains occupants préféreraient que les 4 chiffres soient tous différents. II y aurait alors $\binom{10}{4}$ codes différents possibles. \item[\textbf{d.}] Comme cet immeuble est situé à Paris, certains occupants souhaitent que le code choisi contienne le nombre \og 75 \fg. Il y aurait alors $168$ codes différents possibles. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 15}} \medskip On considère un espace probabilisé $(\Omega,~p)$ et deux évènements $A$ et $B$ dans $\Omega$. On sait que $p(A) = \dfrac{1}{5}$, que $p_{A}(B) = \dfrac{1}{3}$ et que $p\left(\overline{A} \cap B\right) = \dfrac{2}{3}$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] On a : $p_{\overline{A}}(B) = \dfrac{5}{6}$ ; \item[\textbf{b.}] On a : $p\left(A \cap \overline{B}\right) = \dfrac{1}{3}$ ; \item[\textbf{c.}] On a : $p(B) = \dfrac{11}{15}$. \item[\textbf{d.}] On a : $p_{\overline{B}}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{2}{15}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 16}} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les plans P et Q d'équations respectives : P : $y = x + 2$ et Q : $z = 3 - 2y$. On appelle (D) la droite d'intersection de P avec Q. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] La droite (D) accepte pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées $(1~;~1~;~- 2)$. \item[\textbf{b.}] La droite (D) passe par le point A(- 1~;~1~;~1). \item[\textbf{c.}] Une équation du plan contenant la droite (D) et passant par O est : $3x + y + 2z = 0$. \item[\textbf{d.}] La droite (D) coupe l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \end{document}