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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Concours Fesic  mai 2011}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Concours Fesic mai 2011 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Soit $f$la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^x\sin x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$. 
\item[\textbf{b.}] $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. 
\item[\textbf{c.}] $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} \dfrac{f(x)}{x} = + \infty$.
\item[\textbf{d.}] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} xf(x) = - \infty$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathcal{D}= ]-1~;~1[$ par $f(x) = x + \ln \left(\dfrac{1 - x}{1 + x}\right)$. 

On appelle $\mathcal{C}$la courbe représentant $f$ dans un repère du plan.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 
\item[\textbf{b.}] Quel que soit $a \in \mathcal{D},\, \displaystyle\int_{-a}^a f(x)\:\text{d}x = 0$. 
\item[\textbf{c.}] $f$ est dérivable sur $\mathcal{D}$ et, quel que soit $x \in \mathcal{D},\, f^{\prime}(x) = 1 + \dfrac{2}{x^2 - 1}$. 
\item[\textbf{d.}] Un énoncé peut demander, sans erreur de rigueur mathématique, d'\og étudier le sens de variation de $f(x)$ \fg. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Soient $f_{1}$ la fonction définie sur $\R^{+*}$ par $f_{1}(x) = \ln \left(\text{e}^x - 1\right)$ et $f_{2}$ la fonction définie sur $\R$ par $f_{2}(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1\right)$.
 
On appelle $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ les courbes représentant respectivement $f_{1}$ et $f_{2}$ dans un même repère du plan et on appelle $\Delta$ la droite d'équation $y = x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Au voisinage de $+ \infty,\, \mathcal{C}_{1}$ possède l'asymptote d'équation $y = x - 1$. 
\item[\textbf{b.}] Quel que soit $x \in \R^{+*}$, on a $f_{2} \circ f_{1}(x) = x$. 
\item[\textbf{c.}] Soient $a \in \R^{+*}$ et $\alpha \in \R$. On suppose qu'au point $A\left(a~;~f_{1}(a)\right)$,\, $\mathcal{C}_{1}$ possède une tangente de coefficient directeur $\alpha$.
 
Il existe un point de $\mathcal{C}_{2}$ en lequel $\mathcal{C}_{2}$ possède une tangente de coefficient directeur $\dfrac{1}{\alpha}$. 
\item[\textbf{d.}] Pour montrer que $\Delta$ est asymptote à $\mathcal{C}_{2}$ au voisinage de $+ \infty$, un élève peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, \og je vais montrer que $\displaystyle\lim \left(f_{2}(x) - \Delta \right) = 0$ \fg. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

Soit $f_{1}$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f_{1}(x) = x \ln(1 + x)$.
 
Soit $f_{2}$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f_{2}(x) = x \ln (x)$  si $x \neq 0$ et $f_{2}(0) = 0$.
 
On appelle $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ les courbes représentant respectivement $f_{1}$ et $f_{2}$ dans un même repère orthogonal du plan d'unités 3~cm en abscisses et 2~cm en ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $f_{2}$ est continue en $0$. 
\item[\textbf{b.}] $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(f_{1}(x) - f_{2}(x)\right) = 0$. 
\item[\textbf{c.}] On considère la surface délimitée par les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ d'une part et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = $e d'autre part.
 
L'aire de cette surface en cm$^2$ est $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} x \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x$. 
\item[\textbf{d.}] 	$\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ possèdent deux tangentes parallèles entre elles au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle [E] :\quad  $y^{\prime} - 2y = (2x - 1)\text{e}^x$. On appelle $f$ la solution de [E] qui s'annule en $0$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La courbe représentant $f$ dans un repère du plan possède une tangente au point d'abscisse $0$ d'équation $y = x$. 
\item[\textbf{b.}] Quel que soit $x \in \R,\, f(x) = 2 \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t + \displaystyle\int_{0}^x (2t - 1)\text{e}^{t} \:\text{d}t$. 
\item[\textbf{c.}] Si $f'(x)$ possède une limite finie quand $x$ tend vers $- \infty$, alors $f(x)$ possède une limite finie quand $x$ tend vers $-\infty$. 
\item[\textbf{d.}] La fonction $f$, définie par $f(x) = \text{e}^{2x} + (2x - 1)\text{e}^x$, est la fonction définie dans l'énoncé. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{\frac{- 1}{x}}$  si $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. 

On cherche à savoir si $f$ est continue en $0$. On tient pour cela le raisonnement suivant : \og On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{-1}{x} = - \infty$. On en déduit $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$. 

Comme on a posé $f(0) = 0$, on en déduit que $f$ est continue en $0$. \fg 

Ce raisonnement est exact. 
\item[\textbf{b.}] On considère la fonction $f$ définie sur $\R^{+}$ par $f(x) = x \ln x$ si $x > 0$ et $f(0) = 0$.
 
On cherche à savoir si $f$ est dérivable en 0 à droite. On tient pour cela le raisonnement suivant :
 
\og $f$ est définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$. Pour tout $x > 0$, on a $f'(x) = 1 + \ln x$. Or la limite de $f^{\prime}(x)$ quand $x$ tend vers $0$ ($x > 0$) n'est pas un nombre réel.
 
Cela suffit pour en déduire que $f$ n'est pas dérivable en $0$ à droite.\fg

Ce raisonnement est exact. 
\item[\textbf{c.}] On cherche à calculer la limite éventuelle de $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. On tient pour cela le raisonnement suivant :
 
\og Soit $f$ la fonction définie sur $]-1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln (1 + x)$. On sait que $f$ est dérivable sur $]-1~;~+\infty[$ et 
que, pour $x > -1,\, f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{1 + x}$. Or, en utilisant le changement de variable $x = \dfrac{1}{n}$, on obtient :

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (1 + x)}{x} = f'(0) = 1$. 

De plus, pour tout $n \in \N^{*},\, \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = \text{e}^{n\ln \left(1 + \frac{1}{n} \right)}$. Compte tenu de ce qui précède, on déduit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = \displaystyle\lim_{t \to 1} \text{e}^t = \text{e}$. 

Conclusion: la limite cherchée existe et vaut e.\fg

Ce raisonnement est exact. 
\item[\textbf{d.}] Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv, on considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$, B d'affixe $z_{\text{B}} = 3 + 3\text{i}$ et C tel que ABC soit équilatéral direct.
 
Pour calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ de C, on rédige de la façon suivante : 
 
\og C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle $\frac{\pi}{3}$, donc $\vect{\text{AC}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \vect{\text{AB}}$. On en déduit :
 
$z_{\text{C}} - z_{\text{A}} = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \left(z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right)$, soit, après calculs, $z_{\text{C}} =  \left(2 - 2\sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$. \fg

La rédaction utilisée est rigoureuse.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\medskip

On a représenté, ci-dessous, la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ et les courbes $\mathcal{C},\,\mathcal{C}'$ et $\mathcal{C}''$ représentant respectivement une fonction $f$, sa dérivée $f^{\prime}$ et la dérivée $f^{\prime\prime}$ de $f^{\prime}$.


\medskip

\psset{unit=1.75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
\psline[linestyle=dashed](-3,-3)(3,3)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x x 1 sub x dup mul 1 add div sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-3}{3}{x dup mul x  2 mul sub 1 sub x dup mul 1 add x dup mul 1 add mul div 1 add}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=olive,algebraic=true]{-3}{3}{6*x^2-2*x^3+6*x-2)/(x^2+1)^3}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=olive]{-3}{3}{x dup mul 6 mul x dup mul x mul 2 mul  sub 6 x mul add 2 sub x 2 exp 1 add x 2 exp 1 add mul x 2 exp 1 add mul  div}
\uput[dr](3,2.8){$\mathcal{C}$}\uput[dr](3,1){$\mathcal{C}'$}\uput[dr](3,0.05){$\mathcal{C}''$}\uput[ul](2.5,2.5){$\Delta$}\uput[ul](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y = \dfrac{1}{2}x + 1$.
\item[\textbf{b.}] Quel que soit le point $M$ de $\mathcal{C}$, le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ en $M$ est inférieur à $\dfrac{3}{2}$. 
\item[\textbf{c.}] $\displaystyle\int_{-1}^0 f^{\prime}(x)\:\text{d}x = 1$. 
\item[\textbf{d.}] L'aire, en unités d'aire, de la surface limitée par les courbes $\mathcal{C}'$ et $\mathcal{C}''$ d'une part, et les droites d'équation $x = - 1,\, x = 0$ d'autre part, vaut $f^{\prime}(- 1) + f(0)$, soit $2,5$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\medskip
 
Pour tout $n \in \N$, on considère les fonctions $f_{n}$ définies sur $\R^{+}$  par $f_{n}(x) = x^3 + 2nx - 1$ et on appelle $\mathcal{C}_{n}$ la courbe associée à $f_{n}$ dans un repère du plan.
 
On admet que, quel que soit $n \in \N$, l'équation $f_{n}(x) = 0$ possède une et une seule solution dans [0~;~1] ; cette solution (dont la valeur dépend de $n$) sera notée $\alpha_{n}$.
 
À titre d'exemple, on a schématisé ci-dessous deux courbes $\mathcal{C}_{n}$ et $\mathcal{C}_{m}$. 

\medskip
\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-2)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(2,4)
\psplot{0}{1.25}{x 3 exp 2 x mul add 1 sub}
\psplot{0}{0.35}{x 3 exp 14 x mul add 1 sub}
\psgrid[gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Quel que soit $ n \in \N,\, \mathcal{C}_{n}$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{n+1}$. 
\item[\textbf{b.}] La suite $\left(\alpha_{n}\right)_{n}$ est décroissante. 
\item[\textbf{c.}] La suite $\left(\alpha_{n}\right)_{n}$ est convergente. 
\item[\textbf{d.}] On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 2n\alpha_{n} = 0$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\medskip
 
On considère les suites $u$ et $v$ définies respectivement sur $\N^{*}$ par : 

\[u_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^n}\:\text{d}x\quad \text{et}\quad  v_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{x^n}{1 + x^n}\:\text{d}x. \]

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La suite $u$ est croissante. 
\item[\textbf{b.}] La suite $u + v$ est constante. 
\item[\textbf{c.}] Quel que soit $n \in \N^{*}$, on a 	$\dfrac{1}{2(n + 1)} \leqslant v_{n} \leqslant \dfrac{1}{n + 1}$.
\item[\textbf{d.}]  La suite $u$ converge vers $1$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On suppose que $u$ est une suite réelle croissante.
 
On peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, que « quel que soit 

$n \in \N,\, u_{n}$ est croissant \fg.

\medskip
 
\item[\textbf{b.}] On suppose que $u$ est une suite réelle strictement croissante.
 
On peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, que 

\og quel que soit $n \in \N,\, \left(u_{n}\right)_{n} < \left(u_{n+1}\right)_{n}$ \fg. 
\item[\textbf{c.}] On suppose que $u$ et $v$ sont deux suites réelles qui possèdent la même limite.
 
Alors on a nécessairement : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(v_{n} - u_{n}\right) = 0$. 
\item[\textbf{d.}] On suppose que $u$ est une suite réelle.
 
$u$ est bornée si et seulement si la suite de ses valeurs absolues est majorée. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\medskip

Soit $f$ l'application définie sur $\C$ par $f(z) = z^4 - \text{i}z^2 + 2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] L'équation $f(z) = 0$ possède les solutions $1 + \text{i}$ et $\dfrac{1 - \text{i}}{\sqrt{2}}$. 
\item[\textbf{b.}] Le produit des solutions de l'équation $f(z) = 0$ est égal à $2$. 
\item[\textbf{c.}] Quel que soit $z \in \C,\, f\left(\overline{z}\right) = \overline{f(z)}$.
\item[\textbf{d.}] Si $\rho \in \R^{+*}$ et si $|z| = \rho$, alors $|f(z)| =  \rho^4 -  \rho^2 + 2$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv.

Soient $a = 2 - \text{i}$ et $b = - 1 + \text{i}$.
 
On considère les points $U,\, A,\, A'$ et $B$ d'affixes respectives $\dfrac{1}{2},\, a,\, \overline{a}$ et $b$.

On appelle $C$ le point d'affixe $c$ tel que $B$ soit l'image de $A$ par la rotation de centre $C$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] L 'homothétie de centre $U$ et de rapport $-1$ transforme $A$ en $B$. 
\item[\textbf{b.}] On a $c = - 1 - \text{i}$. 
\item[\textbf{c.}] Le quadrilatère $AA'BC$ est un rectangle. 
\item[\textbf{d.}] Les points $A,\, A',\, B$ et $C$ sont cocycliques. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv.

On appelle A le point d'affixe $- \text{i}$.
 
À tout point $M$ d'affixe $z$, distinct de A et de O, on associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{z}{z + \text{i}}$.
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On a O$M'= \dfrac{\text{O}M}{\text{A}M}$. 
\item[\textbf{b.}] $\left(\vect{u},\, \vect{\text{O}M'}\right) = \left(\vect{\text{O}M}, \vect{\text{A}M}\right)\quad  [2\pi]$. 
\item[\textbf{c.}] Si $M'$ est un point du cercle de centre O et de rayon 1, alors $M$ est sur une droite parallèle à l'axe des ordonnées. 
\item[\textbf{d.}] Si $M'$ est sur l'axe des ordonnées, alors $M$ est sur le cercle de diamètre [OA]. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\medskip 

Soit $n \in \N,\, n \geqslant 3$.

Une urne contient :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $n$ boules blanches, dont 2 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2; 
\item[$\bullet~~$] $n + 1$ boules rouges, dont 3 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2; 
\item[$\bullet~~$] $n + 2$ boules noires, dont 4 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Toutes les boules sont indiscernables entre elles au toucher.
 
On prélève successivement, avec remise intermédiaire, 3 boules de l'urne.

On appelle A l'évènement: \og les trois boules tirées sont de la même couleur \fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La probabilité d'obtenir A est  $\dfrac{n^3 +(n+1)^3 +(n + 2)^3}{27(n + 1)^3}$.
\item[\textbf{b.}] L'évènement contraire de A est : \og les trois boules tirées sont de couleur deux à deux distincte \fg. 
\item[\textbf{c.}] La probabilité que les trois boules tirées soient rouges est constante. 
\item[\textbf{d.}] La probabilité que les trois boules tirées soient de couleur différente et portent chacune le numéro 1  est $\dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{n + 1} + \dfrac{4}{n + 2}$. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La durée de vie d'un appareil électronique est une variable aléatoire qui suit une loi sans vieillissement de paramètre $0,03$.
 
Soient $t$ et $h$ deux réels positifs.
 
Sachant que l'appareil fonctionne à l'instant $t$, la probabilité qu'il fonctionne encore à l'instant $t + h$ est $1 - \text{e}^{0,03h}$. 
\item[\textbf{b.}]Une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On sait que la probabilité d'avoir $X \leqslant  5$ est $0,2$.
 
On a $\lambda = \dfrac{\ln 0,8}{\ln 5}$.  
\item[\textbf{c.}] Une variable aléatoire $X$ qui suit une loi sans vieillissement de paramètre $\dfrac{1}{2}$.
 
La probabilité d'avoir $X$ supérieur ou égal à $\ln 4$ est égale à la probabilité d'avoir $X$ inférieur à $\ln 4$. 
 \item[\textbf{d.}] Soient deux réels $a$ et $b,\, a < b$. Une variable aléatoire $X$ suit une loi de répartition uniforme sur $[a~;~b]$.
  
On sait que la probabilité d'avoir $X$ compris entre $0$ et $5$ est $0,2$.

On a nécessairement $a = 0$ et $b = 25$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\medskip 

L'espace est muni du repère orthonormal \Oijk.
 
On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - 2y + 2z - 1 = 0$, les points A(1~;~1~;~1), B$(- 1~;~5~;~- 3)$ et C(3~;~0~;~5). 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Une équation du segment [AB] est $\left\{\begin{array}{l c l}y& =& 1 + t\\
 y &=& 1- 2t\\ . 
z &= 1+2t
\end{array}\right.$ , avec $t \in [0~;~1]$.
\item[\textbf{b.}] La distance de B à $\mathcal{P}$ est égale à la norme du vecteur $\vect{\text{AB}}$. 
\item[\textbf{c.}] La sphère de centre A passant par B coupe le plan $\mathcal{P}$ en un cercle de centre A et de même rayon. 
\item[\textbf{d.}] L'isobarycentre de \{A,\, B,\, C\} est un point de $\mathcal{P}$. 
\end{enumerate}
\end{document}