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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Concours Fesic  mai 2010}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic mai 2010 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}\ln \left(\dfrac{1 + x}{1 - x} \right).\]


On appelle $D$ l'ensemble de définition de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}]  $D = ]- 1~;~+1[$.
\item[\textbf{b.}] $f$  est paire.
\item[\textbf{c.}] $f$ est décroissante sur $D$.
\item[\textbf{d.}] Quel que soit le réel $b$, l'équation $f(x) = b$ possède l'unique solution $x = \dfrac{\text{e}^{2b}- 1}{\text{e}^{2b}+ 1}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l}f(x) = \dfrac{x + 1}{x}\text{e}^{- \frac{1}{x}}~\text{si}~x \neq 0\\
f(0) = 0
\end{array}\right.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $f$ est continue en $0$.
\item[\textbf{b.}] $f$ est dérivable sur $\R^{-*}$ et sur $\R^{+*}$ et, pour $x \neq 0,~f^{\prime}(x)$ est du signe de $x$.
\item[\textbf{c.}] $\mathcal{C}$ possède la même droite pour asymptote en $+\infty$ et en $- \infty$.
\item[\textbf{d.}] Quel que soit le réel $x$, on a $f(x) < 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+\infty[$ par :

\[f(t) = \sin(\ln t).\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal du plan.
 
Soit $F$ la fonction définie sur $[1~;~+\infty[$ par $F(x) = \displaystyle\int_{1}^x f(t)\:\text{d}t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On a $f(\text{e}) = \dfrac{\pi}{2}$.
\item[\textbf{b.}] Si $t \in \left[1~;~\text{e}^\pi \right]$, alors on a $f (t) \geqslant 0$.
\item[\textbf{c.}] $F\left(\text{e}^\pi\right)$  représente l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1,~ x = \text{e}^\pi$  et $y = 0$.
\item[\textbf{d.}] Quel que soit $x > 1$, on a $F^{\prime}(x) \leqslant 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.

On appelle $\Gamma$ la courbe représentant $f$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentant la fonction dérivée $f^{\prime}$ de $f$. On a
représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ de $f^{\prime}$ : $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à l'origine du repère. La droite $\Delta$ est
la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-4,-1.5)(4,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4,1.5)
\psline[linestyle=dashed](-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{4}{1 2.71828 x neg exp sub}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-4}{0}{ 2.71828 x  exp 1 sub}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(4,1.5)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La courbe $\Gamma$ de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\item[\textbf{b.}] $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 1$.
\item[\textbf{c.}] La courbe $\Gamma$ possède une et une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\item[\textbf{d.}] On a $f^{\prime\prime}(0) = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $\displaystyle\int_{-5}^7 |x|\:\text{d}x = 12.$
\item[\textbf{b.}] $\displaystyle\int_{0}^1 (2x + 5)\text{e}^x\:\text{d}x = 5\text{e} - 3$.
\item[\textbf{c.}] $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(x+1)\left(\text{e}^x - 1 \right)}{x} = 2$.
\item[\textbf{d.}] Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) =  x^2 \sin ^2 x$. $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour $x \in \R$, on a
$f'( x ) = 2 x \sin ^2 x + x^2 \cos 2 x$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On considère un tétraèdre ABCD. On appelle I le milieu de [AD], J celui de [BC], K le barycentre de
$\{(\text{A}, 2), (\text{B}, 1)\}$, L le barycentre de $\{(\text{C}, 1), (\text{D}, 2)\}$ et G le barycentre de $\{(\text{A}, 2), (\text{B}, 1), (\text{C}, 1), (\text{A}, 2)\}$.

On veut montrer que les points I, J, K et L sont coplanaires. On tient pour cela le raisonnement suivant :

\og G est le barycentre de {(\text{I}, 4), (\text{J}, 2)} et de {(\text{K}, 3), (\text{L}, 3)}. Donc G, I et J sont alignés, ainsi que G, K et Z
sont alignés. On en déduit que I, J, K et L sont coplanaires.» Ce raisonnement est exact.
\item[\textbf{b.}] On considère les deux intégrales I $ = \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 8} \dfrac{\text{e}^x + 3}{\text{e}^x + 4}\:\text{d}x$
 et J $ = \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 8} \dfrac{1}{\text{e}^x + 4}\:\text{d}x$.
 
On veut calculer I et J. On tient pour cela le raisonnement suivant :

\og On a I + J $ = \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 8} \dfrac{\text{e}^x + 4}{\text{e}^x + 4}\:\text{d}x = \ln 8 - \ln 2 = 2\ln 2$.

De plus, $\text{I} - 3\text{J} = \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 8} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 4}\:\text{d}x = \left[\ln \left(\text{e}^x + 4 \right)\right]_{\ln 2}^{\ln 8} = \ln 12 -  \ln 6 = \ln 2$.

On en déduit I $ = \dfrac{7\ln 2}{4}$ et J $ = \dfrac{\ln 2}{4}$ \fg. 

Ce raisonnement est exact.
\item[\textbf{c.}] On considère la fonction $f$ définie sur $\R^{+*}$ par :  $f (x) = x \ln x$ si $x > 0$ et $f(0) = 0$. On appelle $\mathcal{C}$ la courbe
représentant $f$ dans un repère du plan.

On cherche à savoir si $\mathcal{C}$ possède ou non une demi-tangente au point d'abscisse $0$. On tient pour cela le raisonnement suivant :

\og On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ (limite de référence). Comme $f(0) = 0$, c'est que $f$ est continue en $0$. De plus on
a $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = - \infty$. On en déduit que $\mathcal{C}$ possède au point d'abscisse $0$ une demi-tangente d'équation $x = 0$. \fg{} Ce raisonnement est exact.
\item[\textbf{d.}] On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = x^2 \sin \left(\dfrac{1}{x} \right)$ si $x > 0$ et 

$f(0) = 0$. On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère. On cherche à savoir si $\mathcal{C}$ possède ou non une tangente au point d'abscisse $0$. On tient pour cela le raisonnement suivant :

\og Pour tout $x \neq 0$ , on a:
$-1 < \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) < 1$, donc $- x^2 < f(x) < x^2$. Or $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(- x^2\right) =  \displaystyle\lim_{x \to 0} \left(x^2\right) = 0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$. Comme $f(0) = 0$, c'est que $f$ est continue en $0$. De plus $f$ est dérivable sur $\R^{-*}$ et sur $\R^{+*}$ et, pour $x \neq 0$ , on a $f'(x) =  2x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + x^2 \cos \left(\dfrac{1}{x} \right) = 2x\sin \left(\dfrac{1}{x} \right) - \cos \left(\dfrac{1}{x} \right)$.
Or on a $- x \leqslant  2x\sin \left(\dfrac{1}{x} \right) \leqslant x$
si $x > 0$ et $x \leqslant 2x\sin \left(\dfrac{1}{x} \right) \leqslant - x$
si $x < 0$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} 2x\sin \left(\dfrac{1}{x} \right) = 0$. Mais comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos \left(\dfrac{1}{x} \right)$
n'existe pas, alors $f(x)$
n'a pas de limite quand $x$ tend vers $0$. Donc $f$ n'est pas dérivable en $0$. On en déduit que $\mathcal{C}$ ne possède pas de tangente au point d'abscisse $0$ \fg. Ce raisonnement est exact.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

À chaque point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z ' = z^2 + z + 1$.

On appelle A le point d'affixe 1 et on note E$_{0}$ l'ensemble des points dont l'affixe $z$ est solution de l'équation
$z' = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Pour tout $z$ différent de 1, on a $z' = \dfrac{1 - z^3}{1 - z}$.
\item[\textbf{b.}] L'ensemble E$_{0}$ est réduit à deux points B et C symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
\item[\textbf{c.}] Quel que soit le point $M$ d'affixe $z$ appartenant à E$_{0}$ et quel que soit l'entier $n,~ z_{n}$ est soit l'affixe du point
A, soit celle d'un élément de E$_{0}$.
\item[\textbf{d.}] L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z' \in \R$ est la réunion de deux droites perpendiculaires.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.

On considère, dans $\C$, l'équation 

\[(\text{E}) : \quad z^2 - 2\overline{z} + 1 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Les complexes $-1 + 2\text{i}$ et son conjugué sont solutions de (E).
\item[\textbf{b.}] Cette équation est une équation polynômiale de degré 2 qui possède deux solutions.
\item[\textbf{c.}] On pose $z = x + \text{i}y,~ x$ et $y$ étant réels. Si $z$ est solution de (E), alors $y^2 = (x - 1)^2$.
\item[\textbf{d.}] La somme des solutions de (E) est égale à $-1$.
\vspace{0,5cm}
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\medskip

On considère un triangle ABC et le point M milieu de [BC].

On appelle B$'$ l'image de B par la rotation de centre A et d'angle
$\dfrac{\pi}{2}$ et C$'$ l'image de $C$ par la rotation de
centre A et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$.

On munit le plan complexe d'un repère de centre A dans lequel B, C, B$'$, C$'$ et M ont les affixes respectives
$b,~ c,~ b',~ c'$ et $m$.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
%\psgrid
\psline[linestyle=dashed](-4,0)(4,0)
\SpecialCoor
\psdots(0;0)(2.5;30)(3;-26)(2.5;120)(3;-116)
\uput[u](0;0){A} \uput[ur](2.5;30){B} \uput[ur](3;-26){C} 
\uput[ul](2.5;120){B$'$} \uput[dl](3;-116){C$'$} \uput[ur](2.4;0){M}
\pspolygon(0;0)(2.5;30)(3;-26)
\psline(2.5;120)(0;0)(3;-116)
\psline[linestyle=dashed](2.5;30)(2.5;120)
\psline[linestyle=dashed](3;-26)(3;-116) 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $c' + \text{i}c = 0$ et $b' - \text{i}b = 0$.
\item[\textbf{b.}] $\dfrac{c' - b'}{m} = - 2\text{i}.$
\item[\textbf{c.}] (AM) et (B$'$C$'$) sont perpendiculaires.
\item[\textbf{d.}] B$'$C = 2AM.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\medskip

Soient $a \in \R$ et $\varphi$ une fonction définie et continue sur $\R$. On considère l'équation différentielle [E] :

\[y'+ ay = \varphi(x).\]

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Si $\varphi$ est définie par $\varphi(x) = x^3 - 1$, alors quel que soit le réel $a$, il existe un polynôme de degré 2, solution
de [E].
\item[\textbf{b.}] Si $\varphi$ est définie par $\varphi(x) = \text{e}^{2x}$, alors quel que soit le réel $a$, il existe $b \in \R$ tel que la fonction $f$, définie par $f(x) =   b\text{e}^{2x}$ soit solution de [E].
\item[\textbf{c.}] Si $\varphi$ est la fonction constante nulle et si $f$ est une solution de [E], alors la courbe représentant $f$ possède
au point d'abscisse $0$ une tangente d'équation $y = ( 1 - ax ) f(0)$.
\item[\textbf{d.}] Si $a = 0$, alors quelle que soit la fonction $\varphi$ définie et continue sur $\R$, [E] possède une solution.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\medskip

On considère la suite $u$ définie par $u_{1} = 1$ et, pour tout $n \in \N*,~u_{n+1} = \left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2} \right)u_{n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La suite $u$ est géométrique de raison $\left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2} \right)$.
\item[\textbf{b.}] Quel que soit $n \in \N* , u_{n} = \dfrac{n}{(n -  1)!}$. 
\item[\textbf{c.}] La suite $u$ est décroissante à partir de $n = 2$.
\item[\textbf{d.}] La suite $u$ est convergente.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur I = $]- \infty~;~3[$ par $f(x) = \dfrac{2}{3 - x}$.

Soit $u$ la suite définie par $u_{0} = 1,5$ et, pour tout $n \in \N,~u_{n+1} = f \left(u_{n}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $f$ est croissante.
\item[\textbf{b.}] $u$ est croissante.
\item[\textbf{c.}] Quel que soit $n \in \N$, on a : $1 < u_{n} < 2$.
\item[\textbf{d.}] Si $u$ est convergente et si $\ell$ est sa limite, alors $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

On considère la suite $u$ définie par $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ 
et, pour $n \in \N,~ u_{n+1} = \sqrt{2}\left(u_{n}\right)^2$. On admettra que quel que soit
$n \in \N$, on a $u_{n} > 0$. On considère alors la suite $v$ définie par  $v_{n} = \ln \left(\sqrt{2} \right)u_{n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La suite $v$ est géométrique.
\item[\textbf{b.}] $v_{10} = - 512 \times \ln 2$.
\item[\textbf{c.}] Quel que soit $n \in \N,~\displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} =  (\ln 2)\left(1 - 2^n \right)$.
\item[\textbf{d.}] Pour tout $n \in \N$, on a $u_{0} \times u_{1} \times u_{2} \times \cdots \times u_{n} = \dfrac{1}{2^{2^n}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\medskip

On dispose de quatre urnes numérotées de 1 à 4. Les urnes sont composées ainsi :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item  Urne U$_{1}$ : 1 boule bleue et 3 boules rouges ;
\item  Urne U$_{2}$ : 2 boules bleues et 4 boules rouges ;
\item  Urne U$_{3}$ : 3 boules bleues et 5 boules rouges ;
\item  Urne U$_{4}$ : 6 boules rouges.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Un joueur choisit une urne au hasard, puis prélève une boule au hasard de cette urne. Le joueur est gagnant s'il tire une boule bleue; il est perdant sinon. On désigne par :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\Omega$ l'univers des possibilités et $P$ la probabilité associée ;
\item[$\bullet~$] $P_{A}$ la probabilité conditionnée par un évènement $A$ de $\Omega$ ;
\item[$\bullet~$] $G$ l'évènement : \og le joueur gagne \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $U_{n}$ l'évènement : \og le joueur choisit l'urne $U_{n}$ \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $P_{U_{1}}(G) = \dfrac{2}{3}P_{U_{3}}(G)$.
\item[\textbf{b.}] $P(G) = \dfrac{9}{8}$.
\item[\textbf{c.}] $P\left(U_{1}\right) = \dfrac{1}{6}$.
\item[\textbf{d.}] $P_{U_{2}}(G) = P_{G}\left(U_{2}\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

On considère les points A(1~;~2~;~3), B$(?1~;~4~;~3)$,
C$(-2~;~1~;~3)$ et D$(5~;~4~;~- 3)$.

On appelle K le barycentre de $\{(\text{C}, 1)~;~(\text{D}, ?2)\}$ et J le milieu de [BC]. On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Dans le triangle ABC, les médianes se coupent au point de coordonnées $(-2~;~7~;~9)$.
\item[\textbf{b.}] Les coordonnées de K sont $(-12~;~-7~;~9)$.
\item[\textbf{c.}] Une équation paramétrique du segment [KJ] est $\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&12 -  9t\\
y&=&7 -  3t\\
z&=&- 9 +  8t
\end{array}\right.$, où $t \in \left[0~;~\dfrac{3}{2}\right]$.
\item[\textbf{d.}] Une équation du plan perpendiculaire à (KJ) passant par A est 

$9x + 3y - 8z + 9 = 0$.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

On considère le plan P d'équation $\left\{\begin{array}{l c l}
y&=& 2x -  1\\
z&\in &\R
\end{array}\right.$ et la droite D d'équation $\left\{\begin{array}{l c r}
y&=& 2x -  1\\
z&= &0
\end{array}\right.$.

Soient A(1~ ;~1~;~1), B$(3~;~5~;~-3)$ et C$(1~;~- 4~;~2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] A et B sont deux points de P.
\item[\textbf{b.}] D est perpendiculaire à P.
\item[\textbf{c.}] La distance de C à P est $\sqrt{5}$ (en unités de repère).
\item[\textbf{d.}] L'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ tels que 

$( x - 1)(x - 3) + (y - 1)(y - 5) + (z - 1)(z + 3 ) = 0$ est la sphère
de diamètre [AB].
\end{enumerate}
\end{document}