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\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
% Tapuscrit François Hache 
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
%\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}

\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

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pdfsubject = {FESIC Puissance alpha},
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\usepackage[np]{numprint}
%%%
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%    crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%    crochet droit
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small FESIC - Puissance alpha}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
%\textbf{Durée de l'épreuve : 3 heures -- Coefficient 2}
%
%\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~FESIC - Puissance alpha - 2018~\decofourright}}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{ \large Instructions aux candidats}
\end{center}

Durée de l'épreuve : 2 h

Chaque épreuve contient 16 exercices indépendants. 

Le candidat doit répondre à 12 exercices sur les 16 qui lui sont présentés, ce qui lui permet d'éliminer les exercices qui porteraient sur une partie du programme non traitée à la date des épreuves écrites. 

S'il répond à plus de 12 exercices, seuls les 12 premiers seront corrigés.

Chaque exercice comporte 4 affirmations signalées par les lettres a, b, c, d. 

\begin{list}{\textbullet}{Pour chacune des affirmations:}
\item Le candidat indique si l'affirmation est vraie (V) ou fausse (F), ou il s'abstient;

\item Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse V ou F à l'une des 4 affirmations est donnée ;

\item Toute bonne réponse rapporte un point, toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point ;

\item L'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme des réponses, elles ne rapportent ni ne retirent aucun point ;

\item Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un exercice est traité correctement (c'est à dire si le candidat a fourni 4 réponses exactes à l'exercice).
\end{list}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}1 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Bases en analyse}

\bigskip

Les quatre questions suivantes sont indépendantes.

\begin{enumerate}
\item La dérivée de $x \longmapsto x \times \e^{x}$ est $x \longmapsto \e^{x}$.
\item $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x) - 1}{x} = +\infty$
\item Soit $f$ une fonction définie sur $\R$. Si $f'=f$, alors $f$ est la fonction nulle.
\end{enumerate}

Soit $A$ et $B$ deux événements d'une même expérience aléatoire tels que
$P(A)=0,2$, $P(B) = 0,5$ et $P(A\cup B) = 0,7$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item $A$ et $B$ sont incompatibles.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}2 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Bases en géométrie}

\bigskip

Pour le \textbf{a)} et \textbf{b)}, on se place dans le plan complexe \Ouv.

Les questions \textbf{a)} et \textbf{b)} sont indépendantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $z= -6 \left ( \cos \dfrac{2\pi}{3} + \i \sin \dfrac{2\pi}{3} \right )$ alors $\arg(z) = \dfrac{2\pi}{3} + [2\pi]$.
\item Si M est un point d'affixe $z$ de partie imaginaire non nulle et M$'$ un point d'affixe $z'=-z$, alors M et M$'$ sont symétriques par rapport à O.
\end{enumerate}

Pour le \textbf{c)} et \textbf{d)}, on se place dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace.

On pose $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ les plans d'équations respectives $4x+6y-10z+3=0$ et $-6x-9y+15z - 8=0$.

Soit $(d)$ la droite de représentation paramétrique
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x & 2t+1\\
y & -t-3\\
z & 5t-1
\end{array}
\right .$
où $t$ désigne un nombre réel.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ sont sécants.
\item Le point A\,$(2~;\, 3~;\, -5)$ appartient à la droite $(d)$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}3 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Lecture graphique}

\bigskip

On considère la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ ainsi que la tangente à cette courbe au point A de coordonnées $(0~;\, 1)$.


\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\def\xmin {-1.9}   \def\xmax {4.5}
\def\ymin {-0.4}   \def\ymax {3.6}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=4,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-110][$y$,200]
\uput{10pt}[dl](0,0){0}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\f{2.7183 x neg exp x 1 add dup mul mul}                           % définition de la fonction
%\def\f{x dup dup mul mul}
\def\inf{-1} \def\sup{2}
\pscustom[fillstyle=vlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath
}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{x 1 add}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](0,1)(1,1.47)
\psline[arrowsize=3pt 3]{<->}(0.5,1.47)(1.5,1.47)
\uput[ul](0,1){\textbf{A}} \uput[u](1,1.47){\textbf{B}}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](1,0)(1,1.47)(0,1.47)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0,0)(0,1)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $f'(0)=1$
\item $f'(1)=1,5$
\item L'équation $f(x)=x$ possède une unique solution sur $\cd -1,5~;\, 4\cg$.
\item $2 \leqslant \ds\int_{-1}^{2} f(x) \d x \leqslant 4$
\end{enumerate}

%\vspace{0.5cm}
\newpage

\textbf{Exercice \no{}4 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\begin{multicols}{2}
\textbf{Volume d'un parallélépipède rectangle}

On veut réaliser, dans l'angle d'un plan de travail, un placard ayant la forme d'un parallélépipède rectangle. Pour des raisons pratiques, si sa largeur est $x$, sa profondeur est $12-x$ et la hauteur est égale à la profondeur.

On suppose $x \in \cd 0~;\, 12\cg$ (les dimensions sont exprimées en dm).

\columnbreak

\begin{flushright}

\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {5}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=10,  gridlabels=0, gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](-1,-1)(13,13) 
%\psaxes[arrowsize=3pt 3,Dx=1,Dy=25,ticks=all]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput{10pt}[dl](0,0){0}
\psframe(0,0)(2,2.5)
\psline(2,0)(3.2,1.7)(3.2,4.2)(2,2.5)
\psline(0,2.5)(1.2,4.2)(3.2,4.2)
\psline(3.2,1.7)(4.2,1.7) \psline[linecolor=gray,linestyle=dashed](2,0)(3,0)
\psline{<->}(2.6,0)(3.8,1.7)
\uput[r](3.2,0.85){$12-x$}
\psline(0,0)(-0.6,-0.85)   \psline[linecolor=gray,linestyle=dashed](2,0)(1.4,-0.85)
\psline{<->}(-0.3,-0.425)(1.7,-0.425)
\uput[d](0.65,-0.425){$x$}
\pscircle(0.2,1.4){0.1}
\end{pspicture*}
\end{flushright}
\end{multicols}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Le volume $V(x)$ en dm$^3$ de ce placard est égal à $V(x)=\left ( -12x+x^2\right )\times \left ( x-12\right )$.
\end{enumerate}

On pose $f$ la fonction définie sur  $\cd 0~;\, 12\cg$  par $f(x)=x^3-24x^2+144x$ de courbe représentative $(\mathcal{C})$ ci-dessous.

\begin{center}
\scalebox{0.85}
{
\psset{xunit=1cm,yunit=0.04cm}
\def\xmin {-0.95}   \def\xmax {12.2}
\def\ymin {-20}   \def\ymax {280}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=10,  gridlabels=0, gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](-1,-1)(13,13) 
\psaxes[arrowsize=3pt 3,Dx=1,Dy=25,ticks=all]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput{10pt}[dl](0,0){0}
\def\f{x x x 24 sub mul 144 add mul}%%% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{0}{12}{\f}
\end{pspicture*}
}%%% fin du scalebox
\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\cd 0~;\, 12\cg$, $f'(x) \geqslant 0$.
\item $V(x)=2\times f(x)$
\item Dans le cas particulier où le parallélépipède rectangle serait un cube, son volume serait compris entre 200 et 225 dm$^3$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}5 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Utilisation d'une suite dans un algorithme.}

\bigskip

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\N$, 
$u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left (u_n - n \right ) -1$.

On donne l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
Entrée: & $n$ est un entier naturel\\
Initialisation: & $u$ prend la valeur 1\\
& $i$ prend la valeur 0\\
Traitement: & Tant que $i<n$\\
 & \begin{tabular}{@{\hspace*{0.2cm}}| l}
$u$ prend la valeur $\dfrac{1}{2}\left (u-i\right )-1$\\[7pt]
$i$ prend la valeur $i+1$\\
\end{tabular}\\
& Fin Tant que\\
Sortie: & Afficher $u$
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour $n=3$, l'algorithme nous donne la tableau suivant:

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|*3{>{\ca}p{1cm}|}}
\hline
\rowcolor[gray]{0.8}$n$ & $u$ & $i$ \\
\hline
$3$ & $1$ & $0$\\
\hline
$3$ & $-\dfrac{1}{2\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$ & $1$\\
\hline
$3$ & $-\dfrac{7}{4\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$ & $2$\\
\hline
$3$ & $-\dfrac{23}{4\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$ & $3$\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\item Pour $n=3$, l'algorithme calcule $u_n$.
\end{enumerate}

On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par $v_n=u_n+n$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=1$.
\item Pour tout $n\in\N$, $u_n = \dfrac{1}{2^n}+n$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}6 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Utilisation d'un algorithme avec les complexes.}

\bigskip

On se place dans le plan complexe \Ouv.

On donne l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
Entrée: & $\theta$ est un nombre réel\\
			  & $a$ est un nombre réel\\
			  & $b$ est un nombre réel\\
			  & $a'$ est un nombre réel\\
			  & $b'$ est un nombre réel\\
Traitement: & $a'$ prend la valeur $a \times \cos\left (\theta\right )$\\
                     & $a'$ prend la valeur $a'-b\times \sin \left (\theta\right )$\\
                     & $b'$ prend la valeur $a \times \sin \left (\theta\right )$\\
                     & $b'$ prend la valeur $b'+b\times \cos \left (\theta\right )$\\
Sortie:	& Afficher $a'$\\
               & Afficher $b'$\\                     
\end{tabular}
\end{center}

Pour le \textbf{a)} et \textbf{b)} on suppose $\theta=\dfrac{\pi}{3}$, $a=1$ et $b=1$.

\begin{enumerate}
\item $a'=\dfrac{\ds\sqrt{3}-1}{2}$
\item $b'=\dfrac{\ds\sqrt{3}+1}{2}$
\end{enumerate}

Dans toute la suite on posera M le point d'affixe $z=a+\i b$ et M$'$ le point d'affixe $z'=a'+ \i b'$ avec $a'$ et $b'$ les deux nombres obtenus dans l'algorithme précédent.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Si $\theta=\dfrac{\pi}{3}$, $a=1$ et $b=1$ alors $\left | z\strut \right |=\ds\sqrt{2}$.
\item Dans le cas général où $\theta \in \R$, $z'=\e^{\i \theta}z$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}7 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Bases de logique}

\bigskip

Pour le \textbf{a)} et \textbf{b)} on suppose $z$ un nombre complexe et $\Gamma$ un sous-ensemble de $\C$.

\begin{enumerate}
\item $z\neq 0$ si et seulement si $\texttt{Re}(z)\neq 0$ et $\texttt{Im}(z)\neq 0$.
\item La contraposée de \og si $z\in\Gamma$ alors $\texttt{Re}(z)=0$ \fg{} est \og si $\texttt{Re(z)} =0$ alors $z \in \Gamma$ \fg{}.  
\end{enumerate}

Pour le \textbf{c)} et \textbf{d)} on suppose $f$ une fonction définie eur $I= \cd -3~;\, 5\cg$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Si $f(-3)<0$ et $f(5)>0$ alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $I$.
\item Si $f$ admet une primitive sur  $I= \cd -3~;\, 5\cg$ alors $f$ est continue sur  $I= \cd -3~;\, 5\cg$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}8 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Calculs de limites}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item $\ds\lim_{x \to -\infty} \exp\left (x\right )=-\infty$
\item $\ds\lim_{x \to +\infty}  \ln\left ( \dfrac{1}{x^2}\right ) = 0$
\item Si, pour tout réel $x$ non nul, $\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{x-1}{x^2+1}$ alors $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
\item $\ds\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin\left (x\right ) - 1}{x-\dfrac{\pi}{2}}=1$  
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}9 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Calculs d'intégrales}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item $\ds\int_{2}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} \d x = 4+2\times \sqrt{2}$
\item $\ds\int_{0}^{1} \dfrac{2x}{x^2+1} = \ln\left (2\right )$
\item La fonction $x \longmapsto \left (x^2-2x+2\right )\times \e^{x}-2$ est une primitive définie sur $\R$ de la fonction $x \longmapsto x^2 \times \e^{x}$.
\item $\ds\int_{0}^{1} x^2\times \e^{x} \d x = 3\e - 2$
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}10 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Notions de base sur les nombres complexes}

\bigskip

On se place dans le plan complexe \Ouv. On considère A le point d'affixe $z_{\text A} = -2\i$, B le point d'affixe $z_{\text B} = -2$ et E le point d'affixe $z_{\text E} = 2+2\i\sqrt{3}$.

\begin{enumerate}
\item L'écriture trigonométrique de $2+2\i\sqrt{3}$ est $4\left (\cos\left (\dfrac{\pi}{3} \right ) + \i \sin \left (\dfrac{\pi}{3}\right ) \right )$.
\item E est situé sur le cercle de centre O et de rayon $R=2$.
\item L'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $\left | z+2\i\strut\right | = \left |2+z\strut\right|$ est la médiatrice du segment \cd{}AB\cg.
\item L'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $2z\overline{z} = 1$ est un cercle de rayon 2.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}11 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Utilisation des nombres complexes en géométrie}

\bigskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Soit $f$ la transformation du plan complexe qui, à tout point M d'affixe $z\neq 0$, associe le point M$'$ d'affixe $z'=1+\dfrac{\i}{z}$.

\begin{enumerate}
\item L'image par $f$ du point A d'affixe $z_{\text A}=1+\i$ est le point A$'$ d'affixe $z_{\text{A}'} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\i$.
\end{enumerate}

Dans toute la suite, on pose $z=x+\i y$ avec $x\neq 0$ et $y\neq 0$ et $z'=x'+\i y'$ avec $x'$, $y' \in \R$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item $\texttt{Re}\left (z'\right ) = x' = \dfrac{x^2+y^2+y}{x^2+y^2}$
\item $\texttt{Im}\left (z'\right ) = y' = \dfrac{x}{x^2+y^2}$
\item L'ensemble des points M d'affixe $z\neq 0$ tel que $z'$ soit un imaginaire pur est le cercle $(\mathcal{C})$ de centre A\,$\left (0~;\, -\dfrac{1}{2} \right )$ et de rayon $R=\dfrac{1}{2}$ privé du point O.
\end{enumerate}

%\vspace{0.5cm}
\newpage

\textbf{Exercice \no{}12 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\'Etude d'une fonction logarithme}

\bigskip

On considère la fonction $f$ définie par: $f(x)=\ln\left (1-x^2\right )$.

On note $D$ l'ensemble de définition de $f$.

\begin{enumerate}
\item $1-x^2 \geqslant 0$ si et seulement si $-1 \leqslant x \leqslant 1$.
\item $D= \cd -1~;\, 1\cg$
\item La fonction $f$ a pour fonction dérivée la fonction $f'$ définie sur $D$ par $f'(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$.
\item L'équation $f(x)=1$ a pour solutions $x= \ds\sqrt{\e-1}$ et $x=-\ds\sqrt{\e-1}$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}13 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\'Etude d'une fonction exponentielle}

\bigskip

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{\e^{2x}}{x^2+1}$.
On désigne par $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal du plan.

\begin{enumerate}
\item $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
\item $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
\item La fonction $f$ a pour fonction dérivée la fonction $f'$ définie sur $\R$ par $f'(x)=\dfrac{2\left (x^2-x+2\right )}{\left (\e^{-x}\left ( x^2+1\right ) \right )}$.
\item $f$ est croissante sur $\cg -\infty~;\, 0\cg$ et décroissante sur $\cd 0~;\,+\infty\cd$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}14 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Bases en probabilités}

\bigskip

On considère dans \textbf{a)} deux événements $E$ et $F$ d'une même expérience aléatoire.

\begin{enumerate}
\item $P_{\overline{F}}(E) = 1 - P_{F}(E)$
\end{enumerate}

Pour le \textbf{b)}, \textbf{c)} et \textbf{d}, nous utiliserons les hypothèses suivantes:

Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. Un joueur tire au hasard une boule dans l'urne.

Si la boule est blanche, il lance un dé tétraédrique dont les faces numérotées de 1 à 4 ont la même probabilité d'apparition.

Si la boule est noire, il lance un jeton dont les faces numérotées de 1 à 2 ont la même probabilité d'apparition.

On considère les événements suivants:

$G$: \og Le joueur obtient le numéro 1 \fg{}, $B$: \og Le joueur tire une boule blanche \fg{}.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item $P(B\cap G) = \dfrac{5}{32}$
\item $P(G)=\dfrac{13}{32}$
\item $P_{G}(B)=\dfrac{5}{11}$
\end{enumerate}  

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}15 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Différentes lois de probabilités}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle $\cd 0~;\, 5\cg$.

$P\left (1 \leqslant X \leqslant \dfrac{5}{2} \right ) = 0,4$
\item Soit $Y$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda >0$.

Pour tout $c\in\R_{+}$, $P(Y>c) = \e^{-\lambda c}$.
\item Soit $T$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{10}$.

$P(T \leqslant 10) = 1 - \dfrac{1}{\e}$
\item Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathcal{N}\left (\mu~;\, \sigma^2\right )$ et vérifiant \\
$P(0 \leqslant Z \leqslant 2) = 0,75$.

La loi de $Z$ n'est pas la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left (0~;\, 1\right )$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice \no{}16 \hrulefill}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Repérage dans l'espace}

\bigskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk{} on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x+2y+3z-2=0$ et la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est, pour tout réel $t$, 
\[\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x & t\\
y & 2-3t\\
z & -3-t
\end{array}
\right ..\]

\begin{enumerate}
\item Le point A\,$(-1~;\, 3~;\, -2)$ appartient à $\mathcal{D}$.
\item Le plan $\mathcal{P}$ et la droite $\mathcal{D}$ sont sécants au point B de coordonnées $(-3~;\, 4~;\, -1)$.
\item La droite $\mathcal{D}'$, de représentation paramétrique 
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x & \phantom{-2}k\\
y & -2k+1\\
z & \phantom{-2}k
\end{array}
\right .$
pour tout réel $k$, est sécante au plan $\mathcal{P}$.
\item Les droites  $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires.

\end{enumerate}


\end{document}