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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Concours Fesic 16 mai 2009}
\lfoot{\small{Terminale S}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic 16 mai 2009 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln\left(\dfrac{3x + 2}{5x} \right)$.

On appelle D l'ensemble de définition de $f$, D$'$ l'ensemble de définition de sa dérivée $f'$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}]  Pour tout $x \in$ D, on a $f(x) = \ln (3x + 2) - \ln x  - \ln 5$
\item[\textbf{b.}] Pour tout $x \in \text{D}'$, on a $f'(x) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{5x}{3x + 2}$. 
\item[\textbf{c.}] D$' = \R - \left\{0~;~- \dfrac{2}{3}\right\}$. 
\item[\textbf{d.}] On a $f(x) = 0$ si et seulement si $x = 1$.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Soient $n \in \N^{*},~ P$ un polynôme de degré $n$ et $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = P(x) \times \text{e}^{2x - 1}.\]

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}]   Il existe un polynôme $Q$ de même degré que $P$ (degré $n$) tel que, quel que soit $x \in \R,~ f'(x) = Q(x)\times \text{e}^{2x - 1}$.
\item[\textbf{b.}] Quels que soient le polynôme $P$ et son degré, $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
\item[\textbf{c.}] L'inéquation $\text{e}^{2x - 1} \geqslant 3$ n'a pas de solution. 
\item[\textbf{d.}] On suppose ici que $P$ est le polynôme défini par $P(x) = x^2 + 1$. On suppose que $a,~ b$ et $c$ sont trois réels tels que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 

$F(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^{2x - 1}$ soit une primitive de $f$.

Alors on a le système $\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
2a + b&=&0\\
b + c&=&1
\end{array}\right.$

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ respectivement par :

\[ f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x +1} + 2 \quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^x(1 - x) + 1.\] 

On admet que l'équation $g(x) = 0$ possède une et une seule solution dans $\R$ et on appelle $\alpha$ cette solution.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère du plan.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}]  La droite d'équation $y = x + 2$ est asymptote à $\mathcal{C}$. 
\item[\textbf{b.}] $g$ est décroissante sur $\R^{-}$ et croissante sur $\R^{+}$. 
\item[\textbf{c.}] Quel que soit $x \in \R,~f'(x)$ est du signe opposé à $g(x)$. 
\item[\textbf{d.}] On a $f(\alpha) = \alpha + 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

On considère le graphique ci-dessous réalisé dans un repère orthonormal.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-4,-3)(5,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.05}{5}{x ln}
\psplot[linecolor=green,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{-2.974}{5}{x 3 add ln 2 ln add}
\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,4){$y$}\uput[dr](1,0){A}\uput[d](-2.65,1){B}
\uput[d](2.71828,1){C} \uput[dr](0,1.79176){D} \uput[d](3.5,1.3){\blue $\Gamma$} \uput[u](3.5,2.55){\green $\mathcal{C}$}
\psline{->}(1,0)(-2,0.69)
\psdots(2.71828,1)(0,1.79176)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

$\mathcal{C}$ est la représentation d'une fonction $f$ et $\Gamma$ est celle de la fonction ln (logarithme népérien).

On sait que $\mathcal{C}$ est l'image de $\Gamma$ par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$, avec A(1~;~0) et B$(-2~;~\ln 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}]   $f$ est la fonction définie par $f(x) = \ln 2x + 6)$. 
\item[\textbf{b.}]  La distance entre deux points $M$ et $N$ appartenant respectivement à $\Gamma$ et à $\mathcal{C}$ et situés à la même ordonnée est constante. 
\item[\textbf{c.}]  La tangente à $\Gamma$ en A est parallèle à la tangente à $\mathcal{C}$ en B. 
\item[\textbf{d.}]  La droite (CD) est parallèle à la droite (AB).
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}]  Quel que soit $x_{0} \in ]1~;~+ \infty[$, on a $\left[\ln \left(\ln (x)\right)\right]'\left(x_{0} \right) = \dfrac{2\ln x_{0}}{x_{0}}$.
\item[\textbf{b.}]  L'ensemble des solutions de l'inéquation $\text{e}^{2x} - 3\text{e}^x - 4 \geqslant 0$  est $[\ln 4~;~+ \infty[$. 
\item[\textbf{c.}]  On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = x \sin \dfrac{1}{x}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. $f$ est continue en 0. 
\item[\textbf{d.}]  On considère la fonction $g$ définie sur $\R^{+}$ par: $g(t) = t\ln t$ pour $t > 0$ et $g(0) = 0$.

La courbe représentant $g$ dans un repère du plan possède une demi-tangente au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}]  On considère la suite $u$, définie par : $u_{0} = 3$  et, pour tout $n \in \N,~ u_{n} = \dfrac{4u_{n} - 2}{u_{n} + 1}$.

On veut montrer que quel que soit $n \in \N$ , on a $u_{n} > 1$. On tient pour cela le raisonnement par récurrence suivant :
 
\og  Soit $P(n)$ l'inéquation $[u_{n} > 1]$.
  
Initialisation : cas $n = 0$. $u_{0} = 3 > 1$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité : Soit $p \in \N$. Supposons que $P(p)$ soit vraie. Montrons que $P(p + 1)$ est vraie.
 
On a $u_{p} > 1$ d'après l'hypothèse de récurrence. Donc $4u_{p} - 2 > 4 \times 1 - 2$, soit $4u_{p} - 2 > 2$.
  
De même $u_{p} + 1 > 1 + 1$, donc $u_{p} + 1 > 2$. On en déduit $\dfrac{4u_{p} + 2}{u_{p} + 1} > \dfrac{2}{2}$ et donc $u_{p+1} > 1$. Donc $P(p + 1)$ est vraie.
   
Conclusion : De ces deux assertions et d'après le théorème de raisonnement par récurrence, on déduit que quel que soit $n \in \N,~ P(n)$ est vraie.\fg
  
Ce raisonnement est exact.
\item[\textbf{b.}] On considère les fonctions $f$ et $g$ définies respectivement par : \[x \in \left]- \dfrac{3}{2}~;~+ \infty \right[,~f(x) = \ln (2x + 3)~\text{et}~x \in \R,~g(x) = \dfrac{\text{\^e}^x - 3}{2}.\]

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentant respectivement $f$ et $g$ dans un repère orthonormal du plan et on appelle $\Delta$ la droite d'équation $y = x$.
 
On veut montrer que $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont symétriques par rapport à $\Delta$. On tient pour cela le raisonnement suivant :
  
\og  Soient $x \in \left]- \dfrac{3}{2}~;~+ \infty \right[,~y \in \R,~M$
 le point de $\mathcal{C}_{f}$ de coordonnées $(x~;~ y)$ et $N$ le point de coordonnées $(y~;~x)$.
 
Par définition, $\Delta$ est médiatrice de [MN]. Or $M \in \mathcal{C}_{f}$, donc $y = f(x) = \ln (2x + 3)$. On en déduit $2x + 3 = \text{e}^{y}$ et donc $x = \dfrac{\text{e}^{y} - 3}{2}$. Il s'ensuit que le point $N$ appartient à $\mathcal{C}_{g}$. Ceci étant vrai pour tout point $M$ ainsi défini, c'est que $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont symétriques par rapport à $\Delta$ \fg

Ce raisonnement est exact.
\item[\textbf{c.}] On considère la suite $u$ définie par : $u_{0} = 3$ et, pour tout $n \in \N, u_{n+1} = \dfrac{u_{n}^2 + 8}{6}$. On veut montrer que $u$ est croissante.

On tient pour cela le raisonnement suivant :
 
\og Un raisonnement par récurrence prouve que quel que soit $n \in \N$ , on a $u_{n} > 0$. Or la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2 + 8}{6}$ est croissante sur $]0~;~+ \infty[$ et quel que soit $n \in \N$ , on a $u_{n+1} = f\left(u_{n} \right)$. On en déduit que $u$ est croissante. \fg

Ce raisonnement est exact.

\item[\textbf{d.}] On considère le polynôme $P$ défini par $P(x) = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4$. On veut montrer que $P(x)$ est factorisable par $(x - 1)^2.$

On tient pour cela le raisonnement suivant :

\og On a $P(1) = 0$. Il existe donc un polynôme $Q_{1}$ tel que, pour tout $x, P(x) = (x - 1)Q_{1}(x)$.

Pour tout $x$, on a : $P'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 12$.

Mais aussi : $P'(x) = Q_{1}(x) + (x - 1)Q(x)$.

Or $P'(1) = 0$. On a donc $Q_{1}(1) = 0$. Il existe donc un polynôme $Q_{2}$ tel que pour tout $x, Q_{1}(x) = (x - 1)Q_{2}(x)$, soit aussi $P(x) = (x - 1)^2Q_{2}(x)$ \fg.  Ce raisonnement est exact.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\medskip

Dans le plan complexe de centre O, on considère les points A, B et C d'affixes respectives : $a = \sqrt{3}(1 + \text{i}), b = \text{i}\sqrt{3}, c = \dfrac{\sqrt{3}}{2}(- 1 + \text{i})$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] OABC est un trapèze. 
\item[\textbf{b.}] (OC) et (BC) sont perpendiculaires. 
\item[\textbf{c.}] Le barycentre G du système $\{(\text{A}, 2), (\text{B}, -1), (\text{C}, 3)\}$ a pour affixe $2a - b + 3c$. 
\item[\textbf{d.}] OABC possède deux côtés de même longueur.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\medskip

On considère dans $\C$ l'équation [E]: $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$. Un nombre complexe $z$ étant donné, on note $\overline{z}$ le complexe conjugué de $z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] [E] possède au plus 4 solutions. 
\item[\textbf{b.}] Si $z_{0}$ est une solution de [E], alors $- z_{0},~\overline{z_{0}}$ et $- \overline{z_{0}}$ sont d'autres solutions. 
\item[\textbf{c.}] Les solutions de [E] ont toutes le même module. 
\item[\textbf{d.}] Les solutions de [E] ont toutes le même argument (à $2\pi$ près).
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv. On considère le point A d'affixe $a = 1 - \text{i}\sqrt{3}$, la rotation $r$ de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et la translation $t$ de vecteur $\vect{\text{OA}}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Le point A a les coordonnées polaires $\left(2~;~- \dfrac{\pi}{3}\right)$. 
\item[\textbf{b.}] L'image de O par $r$ est le point B de coordonnées cartésiennes $\left(\sqrt{3}~;~1\right)$. 
\item[\textbf{c.}] Le point image de O par $r \circ t$ est le point A. 
\item[\textbf{d.}] Si C est le point d'affixe $c$, alors le point d'affixe $\dfrac{1}{2}\text{i}ac$ est l'image de C par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\medskip

On considère la fonction $\varphi$ définie par : $\varphi(t) = \dfrac{\text{e}^t}{t}$. Soient deux réels $a$ et $b$ et la fonction $f$ définie par $f(x) = \text{e}^{-x}\displaystyle\int_{a}^b \dfrac{\text{e}^t}{t}\:\text{d}t$. En particulier, on a $f(0) = \displaystyle\int_{a}^b \dfrac{\text{e}^t}{t}\:\text{d}t$. On appelle D l'ensemble de définition de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Si $a = 1$, alors $f$ est définie quel que soit $b$. 
\item[\textbf{b.}] Si $b = 1$, alors $f$ est définie quel que soit $a$. 
\item[\textbf{c.}] Si $a = 2$ et $b = 1$, alors f(0) représente l'aire (en unités d'aire) de la surface comprise entre les droites d'équation $y = 0,~x = 2,~x = 1$ et la courbe représentant la fonction $\varphi$. 
\item[\textbf{d.}] Dans cette question, on suppose $0 < a < b$. $f$ est solution de l'équation différentielle $y' + y = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\medskip

On considère les intégrales I $= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \cos^2 t \:\text{d}t$  et J $ = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \sin^2 t \:\text{d}t$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Quel que soit le réel $t,~ \cos ^2 t - \sin ^2 t = \sin (2t)$. 
\item[\textbf{b.}] $\text{I} - \text{J} = - \dfrac{1}{2}$. 
\item[\textbf{c.}] $\text{I} + \text{J} = \pi$. 
\item[\textbf{d.}] L'aire représentée par I est la même que celle représentée par J.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et BC = 8. On définit la suite des points $\left(H_{n}\right)$ ainsi : $H_{0} = $B  et $H_{n+1}$ est le projeté orthogonal de $H_{n}$ sur (AC) si $n$ est pair et sur (BC) si $n$ est impair. On définit les suites $\left(\ell_{n}\right)$  et $\left(L_{n}\right)$ par :

$\ell_{n} = H_{n}H_{n+1}$ et $L_{n} = \ell_{0} + \ell_{1} + \cdots + \ell_{n}$.} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(6,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.3)(5.8,0.3)(0.2,3.233)
\uput[dl](0.2,0.3){A} \uput[ul](0.2,3.233){B} \uput[ur](5.8,0.3){C} 
\uput[ur](0.2,3.233){$H_{0}$} \uput[dr](0.2,0.3){$H_{1}$} \uput[ur](1.4,2.6){$H_{2}$} 
\uput[d](1.4,0.3){$H_{3}$} \uput[ur](2.38,2.08){$H_{4}$} \uput[d](2.38,0.3){$H_{5}$} 
\psline(0.2,0.3)(1.4,2.6)(1.4,0.3)(2.38,2.08)(2.38,0.3)
\psline[linestyle=dashed](2.38,0.3)(3.,1.5)
\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $\ell_{1} = H_{1}H_{2} = 2$. 
\item[\textbf{b.}] Quel que soit $n \in \N$, le triangle $H_{n}H_{n+1}H_{n+2}$ est un demi-triangle équilatéral.
\item[\textbf{c.}] La suite $\left(\ell_{n}\right)$ est géométrique. 
\item[\textbf{d.}] Quand $n$ tend vers $+ \infty$, $L_{n}$ tend vers un nombre fini inférieur à 30.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

Si $f$ est une fonction indéfiniment dérivable sur $\R$, on définit les dérivées successives de $f$ :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f^{(0)} = f$ (lire : la dérivée d'ordre $0$ de $f$ est égale à $f$) ;
\item[$\bullet~~$] $f^{(1)} = f'$ (dérivée 1\up{re} de f) ;
\item[$\bullet~~$] $f^{(2)} = f''$ (dérivée deuxième de $f$ c'est-à-dire la dérivée de $f'$) ;
\item[$\bullet~~$] pour $n \in \N,~f^{(n+1)} = \left(f^{(n)}\right)'$ (la dérivée $(n + 1)$-ième de $f$ est la dérivée de la dérivée $n$-ième).
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $\varphi(x) = x\text{e}^x$. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour $x \in \R$ par : $u_{n}(x) = \varphi^{(n)}(x)$ (dérivée $n$-ième de $\varphi$ calculée en $x$).

Pour $n \in \N$, on appelle $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentant la fonction $u_{n}$ dans un repère du plan. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Quel que soit $n \in \N$ et quel que soit $x \in \R$, on a $u_{n}(x) = (x + n)\text{e}^x$. 
\item[\textbf{a.}] Dans cette question, $x$ est un réel fixé. La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique. 
\item[\textbf{a.}] Dans cette question, $n$ est un entier naturel fixé.

 La fonction $u_{n}$ est décroissante sur $]- \infty~;~- n[$ et croissante sur $[- n~;~+ \infty[$. 
\item[\textbf{a.}] Dans cette question, $n$ est un entier naturel fixé.

La courbe $\mathcal{C}_{n}$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_{n + 1}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $\displaystyle\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} \times 3^{2k}$ vaut 1 milliard. 
\item[\textbf{b.}] Pour un département donné, on peut faire plus de plaques minéralogiques de véhicules composées de 4 chiffres et 2 lettres que de plaques composées de 3 chiffres et 3 lettres. (On supposera que tous les chiffres et toutes les lettres de l'alphabet sont utilisables). 
\item[\textbf{c.}] Un dé est pipé de sorte que la probabilité d'apparition de chaque face est proportionnelle au numéro de cette face. La probabilité d'apparition du 3 est $\dfrac{1}{7}$. 
\item[\textbf{d.}] Un parking dispose de $10$ places libres. Il y a $\displaystyle\binom{10}{3}$ possibilités de ranger $3$ voitures dans ce parking.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\medskip

Un dé cubique équilibré possède 4 faces noires et 2 faces blanches. Un 2\up{e} dé équilibré ayant la forme d'un tétraèdre régulier possède 3 faces blanches et 1 face noire. On choisit un dé au hasard et on le lance. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La probabilité que la face cachée soit noire est $0,5$. 
\item[\textbf{b.}] La probabilité que le dé choisi soit cubique sachant que la face cachée est blanche est $\dfrac{4}{13}$.

Une variable aléatoire $X$ (en minutes) suit une loi de répartition uniforme sur [10~;~30]. 
\item[\textbf{c.}] L'espérance associée à $X$ est 10 min. 
\item[\textbf{d.}] La probabilité d'avoir $X < 25$ sachant que l'on a $X > 15$ est $\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] L'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ pour lesquels il existe $k \in [-1~;~1]$ vérifiant le système $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2k + 1\\
y&=&- k + 2\\
z&=&3k - 1
\end{array} \right.$
 est le segment [AB], où on a A$(1~;~2~;~- 1)$ et B(5~;~0~;~5). 
\item[\textbf{b.}] Le plan d'équation $2x - 3y + z +1 = 0$ possède le vecteur $\vect{n}(-2~;~3~;~-1)$ pour vecteur normal. 
\item[\textbf{c.}] La droite d'équation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2k + 1\\
y&=&- k + 2\\
z&=&3k - 1
\end{array} \right.$, avec $k \in \R$, est perpendiculaire au plan d'équation $2x - 3y + z +1 = 0$. 
\item[\textbf{d.}] L'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ vérifiant le système $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=		&3\\
y&=		&2\\
z&\in	&\R
\end{array} \right.$ est une droite.
\end{enumerate}
\end{document}