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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Concours Fesic}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}
\rfoot{\small{mai 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours FESIC mai 1998 \decofourright\\[6pt]Durée : 2 h}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Dans toute question où il intervient le plan (respectivement l'espace) est rapporté à un
un repère orthonormal \Oij $= (\text{O}xy)$ (respectivement pour l'espace \Oijk $= (\text{O}xyz)$).

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par
eX -1
\[f(x) = x - \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x + 1}\]

et $C$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'ensemble de définition de $f$ est $\R*$.
\item La fonction $f$ est impaire.
\item Les droites $\Delta_1$ d'équation $y = x - 1$ et $\Delta_2$ d'équation $y = x + 1$ sont asymptotes à la courbe $C$.
\item $C$ est au-dessus de $\Delta_1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par

\[f(x)  = \dfrac{x}{\text{e}^x -1}  + 2\]
 
$D$ son domaine de définition et $C$ sa courbe représentative.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item On peut prolonger la fonction $f$ par continuité en $0$ en posant $f(0) = 2$.
\item La droite $\Delta$ d'équation $y = - x + 2$ est asymptote à $C$.
\item La fonction $g$ définie par
\[g(x) = (1 - x)\text{e}^x - 1\]

est négative ou nulle sur $\R$.
\item La fonction $f$ est décroissante sur $D$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par

\[f(x)= \ln \left(\dfrac{x + 1}{|x - 3|}\right)\]


$D$ son domaine de définition et $C$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
\item On a : $D = ]3~;~+\infty[$.
\item La fonction $f$ est positive sur $D$.
\item Pour tout $x \in D$, on a :

\[f'(x) =\dfrac{-4}{(x + 1)|x - 3|}\]

\item  $C$ admet pour tangente au point d'abscisse $2$ la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{4}{3} (x - 2) + \ln 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par

\[f(x) = \dfrac{\ln |x - 1|}{x - 1}\]

$D$ son domaine de définition et $C$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On a : $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 0$.
\item La courbe représentative $C'$ de la fonction $x \longmapsto  f(x + 1)$ admet le point 0 pour centre de symétrie.
\item La fonction $f$ admet un maximum au point d'abscisse $1 + \text{e}$.
\item Pour $a \in ]0~;~1/\text{e}[$, l'équation $f(x) = a$ admet exactement $2$ solutions dans $D$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par
\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x) &=& \dfrac{x}{1 + \text{e}^{1/x}}\:\text{si} \: x \ne 0\\
f(0) &=& 0
\end{array}\right.\]

et $C$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in \R$, on a : $f(x) \leqslant x$.
\item La fonction $f$ est continue en $0$.
\item On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$.
\item La droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{x}{2}$ est asymptote à $C$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par

\[f(x) = \dfrac{\cos x}{\sqrt{2 + \sin x}}\]

et $C$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout $x$ réel, on a : $f(\pi - x) + f(x) = 0$.
\item  La courbe $C$ admet le point I de coordonnées $(\pi/2~;~0)$ pour centre de symétrie.
\item  Pour tout $x$ réel, on a : $|f(x)| \leqslant  1$.
\item  La fonction $F$ définie sur $\R$  par $F(x) =\sqrt{2 + \sin x}$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\medskip

Soit $f$ et $F$ les fonctions définies respectivement par

\[f(t) = \dfrac{1}{t \ln t}\quad \text{et}\quad  F(x) = \displaystyle\int_2^x f(t)\:\text{d}t.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $F$ est définie sur $]0~;~ +\infty[$ et pour tout $x > 0$, on a :

\[F(x) = \ln (|\ln x|) - \ln (|\ln 2|)\]

\item  La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$.
\item  Pour tout $x > 2$, on a :

\[F'(x) = \dfrac{1}{x \ln x}  - \dfrac{1}{2 \ln 2}.\]

\item  On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \dfrac{F(x)}{x} = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\medskip

Pour $x > 0$, on pose

\[F(x) = \displaystyle\int_1^x \dfrac{\text{e}^t}{\text{e}^t - 1}\:\text{d}.\]

et on note $C$ la courbe représentative de la fonction $F$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $C$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.
\item  Pour tout $x \in ]0~;~1]$, on a :

\[F ( x) = \ln \left(\dfrac{\text{e} - 1}{\text{e}^x - 1}\right).\]

\item  On peut prolonger $F$ par continuité en $0$.
\item  La fonction $F$ est négative et strictement décroissante sur l'intervalle ]$0~;~1]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\medskip

Soit l'équation différentielle

\[y'' + y' + y = 0 \quad (E).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tous $a$ et $b$ réels, la fonction

\[f(x) = \text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(a\cos \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} x \right) + b \sin \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} x \right)  \right)\]

est solution de $(E)$ sur $\R$.
\item  Les fonctions solutions de $(E)$ ont pour période $\dfrac{4\pi}{\sqrt{3}}$.

\smallskip

Soit $g$ la solution de $(E)$ qui vérifie $g(0) = 0$ et $g \left(\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\right) = 1$.
\item  La fonction $g$ n'a pas de limite en $+\infty$.
\item  Pour tout $x$ réel on a :

\[g(x) = \left[\text{exp}\left(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}} - \dfrac{x}{2} \right)\right] \cdot \sin \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} x \right).\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul et $I_n$ définie par

\[I_n=  \displaystyle\int_0^1 \dfrac{\text{e}^{nx}}{\text{e}^x + 1}\:\text{d}x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La suite $\left(I_n\right)_{n\in \N*}$  est décroissante.
\item  Pour tout $n \i,  \N*$, on a : $I_n + I_{n+1} = \dfrac{\text{e}^n}{n}$.
\item  On a : $I_1 = \ln (\text{e} + 1) - \ln 2$.
\item  On a : $I_2 = \text{e} - 1 - \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2} \right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul et $I_n$ définie par

\[I_n=  \displaystyle\int_0^1  (1 - t)^n \text{e}^t \:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item On a : $I_1 = 2 - \text{e}$.
\item  Pour tout entier naturel non nul $n$, on a :

\[I_{n+1} = (n+ 1) I_n -1.\]

\item  La suite $\left(I_n\right)_{n\in \N*}$ est géométrique.
\item  La suite $\left(I_n\right)_{n\in \N*}$ est bornée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\medskip

On considère la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par la relation

\[v_0 \times  v_1 \times v_ \times \ldots \times v_n = \dfrac{1}{3^{n^2 + n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On a: $v_3 = \dfrac{1}{3^{12}}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n+1} = 3^2v_n$.
\item  La suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est géométrique.
\item  On a :

\[\ln v_0 + \ln v_1 + \ln v_2 + ... + \ln v_{10} = \dfrac{1}{110 \ln 3}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ de nombres complexes définie par $u_0 = -1$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = 2 - \dfrac{2}{u_n}$ pour tout entier naturel $n$, et la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par

\[v_n = \dfrac{u_n - (1 - \text{i})}{u_n - (1 + i)}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est périodique.
\item  La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers $1 + \text{i}$.
\item  La suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est périodique.
\item  Pour tout entier naturel non nul $n$, on a :

\[v_1 + v_2 + v_3 + \ldots + v_n = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\medskip

On considère la fonction définie par $f(x) = \sqrt{\dfrac{x+1}{2}}$ pour $x \geqslant 0$ et la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par son premier terme $u_0 \in  [0~;~1]$ donné et la relation de récurrence $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier
naturel $n$. Enfin, soit $\alpha$ un réel appartenant à [0~;~1] tel que $f(\alpha) = \alpha$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le réel $-1/2$ est solution de l'équation $x = \sqrt{\dfrac{x+1}{2}}$ .
\item  Pour tout entier naturel $n$, on a : $0 \leqslant u_n \leqslant 1$.
\item  Pour tout réel $x \in [0~;~1]$, on a : $|f'(x)| \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$.

\item  Pour tout entier naturel $n$, on a :

\[\left|u_n - \alpha \right| \leqslant \dfrac{1}{\left(2\sqrt{2}\right)^n}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\medskip

Soit $F$ l'application du plan $P$ dans lui-même qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z' = f(z)$, où $f(z) = \dfrac{2z}{1 + z\overline{z}}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout $z$ complexe, on a : $f\left(\overline{z}\right) = \overline{f(z)}$.
\item  Si $z$ est un complexe non nul, on a :

\[f(z) = f\left(\dfrac{1}{z}\right) \iff  z \in \R^*.\]

\item  L'ensemble des points invariants par $F$ est le cercle trigonométrique (cercle de centre
O et de rayon 1).
\item  Pour tout point $M$ du plan, les points O, $M$ et $M' = F(M)$ sont alignés.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\medskip

Pour tout nombre complexe $z$, on pose

\[f(z) = z^3 - 2\left(\sqrt{3} + \text{i}\right) z^2 + 4\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right) z - 8\text{i}.\]

\smallskip
\begin{enumerate}
\item  On a pour tout $z$ complexe:

\[f(z) = (z - 2\text{i}) \left(z^2 - 2\sqrt{3}z + 4\right).\]

\item  L'équation $f(z) = 0$ admet trois solutions, dont une imaginaire pure et deux complexes
conjuguées.
\item  Le nombre complexe $z_1 = \sqrt{3} - \text{i}$ est solution de l'équation $f(z) = 0$.
\end{enumerate}

\smallskip

On note $M_0$, $M_1$ et $M_2$ les points du plan dont les affixes sont solution de l'équation $f(z) = 0$.

\begin{enumerate}[resume]
\item  Les points $M_0$, $M_1$ et $M_2$ sont sur un même cercle de centre O.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 17}}

\medskip

Soit A, B, C, D quatre points non coplanaires de l'espace, I le milieu de [A, B] et J le milieu
de [C, D]. Soit $m$ un réel et $S(m)$ le système de points pondérés

\[[(\text{A}, 1)\: ;\: (\text{B}, 1)\: ;\: (\text{C}, m - 2) \:;\: (\text{D}, m)]\].

On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des réels $m$ pour lesquels le système $S(m)$ admet un barycentre, qu'on
note alors $C_m$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
 L'ensemble $\mathcal{E}$ est égal à $\R$ privé des réels $0$ et $2$.
\item  Le point $G_2$ est le milieu du segment [I, D].
\item  Pour tout $m \in \mathcal{E}$, $C_m$ est le barycentre du système [(I, 2) ; (J, $2m - 2$)].
\item  Pour tout $m \in  \mathcal{E}$, le milieu du segment $[G_m, G_{-m}]$ est le point J.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 18}}

\medskip

Soit, dans l'espace, le plan $P$ d'équation $3x - 2y + 5z - 7 = 0$, A le point de coordonnées
$(6~;~-5~;~11)$ et H son projeté orthogonal sur le plan $P$. Soit enfin $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~-2~;~5)$.

\begin{enumerate}
\item On considère les vecteurs $\vect{u}$ de coordonnées (2~;~2~;~1) et $\vect{v}$ de coordonnées $(0~;~ -1~;~ 1)$.

Alors le triplet $\left(\text{H}~;~\vect{u}~;~\vect{v}\right)$ est un repère du plan $P$.
\item  On a : $\vect{\text{AH}} \wedge \vect{n} = \vect{0}$ .
\item  La distance de A au plan $P$ est $\left|\vect{\text{AH}} \wedge \vect{n} \right|$.
\item  Les coordonnées du point H sont $(0~;~-1~;~1)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 19}}

\medskip
Deux personnes $A$ et $B$ écrivent chacune au hasard un nombre à deux chiffres. Soit $m$ le nombre
écrit par $A$ et $n$ celui écrit par $B$ ; tous les couples $(m, n)$, avec $10 \leqslant m \leqslant 99$ et $10 \leqslant n \leqslant 99$ sont supposés équiprobables.



\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité pour que $A$ et $B$ écrivent le même nombre est $\dfrac{1}{81}$.
\item  La probabilité d'obtenir un couple $(m, n)$ tel que $10 \leqslant m < 50$ et $10 \leqslant n < 50$ est $\dfrac{8}{9}$.
\item  La probabilité d'obtenir un couple $(m, n)$ tel que $m$ soit un entier pair et $n$ un entier impair est $\dfrac{1}{2}$.
\item  La probabilité d'obtenir un couple $(m, n)$ tel que $m < n$ est $\dfrac{89}{180}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 20}}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel, $n \geqslant 2$. $n$ personnes jouent à un jeu où il peut y avoir un nombre quelconque de gagnants.

La probabilité pour que le joueur $A$ gagne est $p(A) = 1/3$ ; la probabilité pour que le joueur $B$
gagne sachant que $A$ a gagné est égale à $1/4$. On sait enfin que la probabilité pour que $B$ gagne
sachant que $A$ a perdu est égale à $4/9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité pour que B gagne est égale à $5/12$.
\item La probabilité pour que A et B gagnent est égale à $7/12$.
\item Les évènements \og A gagne\fg{} et \og B gagne \fg{} sont indépendants.
\item La probabilité que A gagne sachant que B a gagné est égale à $9/41$.
\end{enumerate}
\end{document}