\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !}} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{enumitem} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add,pst-all} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale S FESIC--Puissance Alpha}, pdftitle = {mai 1998}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Concours Fesic} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Terminale S}} \rfoot{\small{mai 1998}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Concours FESIC mai 1998 \decofourright\\[6pt]Durée : 2 h}} \end{center} \vspace{0,25cm} Dans toute question où il intervient le plan (respectivement l'espace) est rapporté à un un repère orthonormal \Oij $= (\text{O}xy)$ (respectivement pour l'espace \Oijk $= (\text{O}xyz)$). \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Soit $f$ la fonction définie par eX -1 \[f(x) = x - \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x + 1}\] et $C$ sa courbe représentative. \medskip \begin{enumerate} \item L'ensemble de définition de $f$ est $\R*$. \item La fonction $f$ est impaire. \item Les droites $\Delta_1$ d'équation $y = x - 1$ et $\Delta_2$ d'équation $y = x + 1$ sont asymptotes à la courbe $C$. \item $C$ est au-dessus de $\Delta_1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip Soit $f$ la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x -1} + 2\] $D$ son domaine de définition et $C$ sa courbe représentative. \medskip \begin{enumerate} \item On peut prolonger la fonction $f$ par continuité en $0$ en posant $f(0) = 2$. \item La droite $\Delta$ d'équation $y = - x + 2$ est asymptote à $C$. \item La fonction $g$ définie par \[g(x) = (1 - x)\text{e}^x - 1\] est négative ou nulle sur $\R$. \item La fonction $f$ est décroissante sur $D$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip Soit $f$ la fonction définie par \[f(x)= \ln \left(\dfrac{x + 1}{|x - 3|}\right)\] $D$ son domaine de définition et $C$ sa courbe représentative. \begin{enumerate} \item On a : $D = ]3~;~+\infty[$. \item La fonction $f$ est positive sur $D$. \item Pour tout $x \in D$, on a : \[f'(x) =\dfrac{-4}{(x + 1)|x - 3|}\] \item $C$ admet pour tangente au point d'abscisse $2$ la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{4}{3} (x - 2) + \ln 3$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}} \medskip Soit $f$ la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{\ln |x - 1|}{x - 1}\] $D$ son domaine de définition et $C$ sa courbe représentative. \medskip \begin{enumerate} \item On a : $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 0$. \item La courbe représentative $C'$ de la fonction $x \longmapsto f(x + 1)$ admet le point 0 pour centre de symétrie. \item La fonction $f$ admet un maximum au point d'abscisse $1 + \text{e}$. \item Pour $a \in ]0~;~1/\text{e}[$, l'équation $f(x) = a$ admet exactement $2$ solutions dans $D$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5}} \medskip Soit $f$ la fonction définie par \[\left\{\begin{array}{l c l} f(x) &=& \dfrac{x}{1 + \text{e}^{1/x}}\:\text{si} \: x \ne 0\\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.\] et $C$ sa courbe représentative. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout $x \in \R$, on a : $f(x) \leqslant x$. \item La fonction $f$ est continue en $0$. \item On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$. \item La droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{x}{2}$ est asymptote à $C$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 6}} \medskip Soit $f$ la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{\cos x}{\sqrt{2 + \sin x}}\] et $C$ sa courbe représentative. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout $x$ réel, on a : $f(\pi - x) + f(x) = 0$. \item La courbe $C$ admet le point I de coordonnées $(\pi/2~;~0)$ pour centre de symétrie. \item Pour tout $x$ réel, on a : $|f(x)| \leqslant 1$. \item La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) =\sqrt{2 + \sin x}$ est une primitive de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 7}} \medskip Soit $f$ et $F$ les fonctions définies respectivement par \[f(t) = \dfrac{1}{t \ln t}\quad \text{et}\quad F(x) = \displaystyle\int_2^x f(t)\:\text{d}t.\] \smallskip \begin{enumerate} \item La fonction $F$ est définie sur $]0~;~ +\infty[$ et pour tout $x > 0$, on a : \[F(x) = \ln (|\ln x|) - \ln (|\ln 2|)\] \item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$. \item Pour tout $x > 2$, on a : \[F'(x) = \dfrac{1}{x \ln x} - \dfrac{1}{2 \ln 2}.\] \item On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{F(x)}{x} = 1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 8}} \medskip Pour $x > 0$, on pose \[F(x) = \displaystyle\int_1^x \dfrac{\text{e}^t}{\text{e}^t - 1}\:\text{d}.\] et on note $C$ la courbe représentative de la fonction $F$. \medskip \begin{enumerate} \item $C$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1. \item Pour tout $x \in ]0~;~1]$, on a : \[F ( x) = \ln \left(\dfrac{\text{e} - 1}{\text{e}^x - 1}\right).\] \item On peut prolonger $F$ par continuité en $0$. \item La fonction $F$ est négative et strictement décroissante sur l'intervalle ]$0~;~1]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 9}} \medskip Soit l'équation différentielle \[y'' + y' + y = 0 \quad (E).\] \smallskip \begin{enumerate} \item Pour tous $a$ et $b$ réels, la fonction \[f(x) = \text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(a\cos \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} x \right) + b \sin \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} x \right) \right)\] est solution de $(E)$ sur $\R$. \item Les fonctions solutions de $(E)$ ont pour période $\dfrac{4\pi}{\sqrt{3}}$. \smallskip Soit $g$ la solution de $(E)$ qui vérifie $g(0) = 0$ et $g \left(\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\right) = 1$. \item La fonction $g$ n'a pas de limite en $+\infty$. \item Pour tout $x$ réel on a : \[g(x) = \left[\text{exp}\left(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}} - \dfrac{x}{2} \right)\right] \cdot \sin \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} x \right).\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 10}} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul et $I_n$ définie par \[I_n= \displaystyle\int_0^1 \dfrac{\text{e}^{nx}}{\text{e}^x + 1}\:\text{d}x.\] \medskip \begin{enumerate} \item La suite $\left(I_n\right)_{n\in \N*}$ est décroissante. \item Pour tout $n \i, \N*$, on a : $I_n + I_{n+1} = \dfrac{\text{e}^n}{n}$. \item On a : $I_1 = \ln (\text{e} + 1) - \ln 2$. \item On a : $I_2 = \text{e} - 1 - \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2} \right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 11}} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul et $I_n$ définie par \[I_n= \displaystyle\int_0^1 (1 - t)^n \text{e}^t \:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item On a : $I_1 = 2 - \text{e}$. \item Pour tout entier naturel non nul $n$, on a : \[I_{n+1} = (n+ 1) I_n -1.\] \item La suite $\left(I_n\right)_{n\in \N*}$ est géométrique. \item La suite $\left(I_n\right)_{n\in \N*}$ est bornée. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 12}} \medskip On considère la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par la relation \[v_0 \times v_1 \times v_ \times \ldots \times v_n = \dfrac{1}{3^{n^2 + n}}.\] \begin{enumerate} \item On a: $v_3 = \dfrac{1}{3^{12}}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n+1} = 3^2v_n$. \item La suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est géométrique. \item On a : \[\ln v_0 + \ln v_1 + \ln v_2 + ... + \ln v_{10} = \dfrac{1}{110 \ln 3}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 13}} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ de nombres complexes définie par $u_0 = -1$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = 2 - \dfrac{2}{u_n}$ pour tout entier naturel $n$, et la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par \[v_n = \dfrac{u_n - (1 - \text{i})}{u_n - (1 + i)}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est périodique. \item La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers $1 + \text{i}$. \item La suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est périodique. \item Pour tout entier naturel non nul $n$, on a : \[v_1 + v_2 + v_3 + \ldots + v_n = 0.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 14}} \medskip On considère la fonction définie par $f(x) = \sqrt{\dfrac{x+1}{2}}$ pour $x \geqslant 0$ et la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par son premier terme $u_0 \in [0~;~1]$ donné et la relation de récurrence $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$. Enfin, soit $\alpha$ un réel appartenant à [0~;~1] tel que $f(\alpha) = \alpha$. \medskip \begin{enumerate} \item Le réel $-1/2$ est solution de l'équation $x = \sqrt{\dfrac{x+1}{2}}$ . \item Pour tout entier naturel $n$, on a : $0 \leqslant u_n \leqslant 1$. \item Pour tout réel $x \in [0~;~1]$, on a : $|f'(x)| \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on a : \[\left|u_n - \alpha \right| \leqslant \dfrac{1}{\left(2\sqrt{2}\right)^n}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 15}} \medskip Soit $F$ l'application du plan $P$ dans lui-même qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z' = f(z)$, où $f(z) = \dfrac{2z}{1 + z\overline{z}}$ \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout $z$ complexe, on a : $f\left(\overline{z}\right) = \overline{f(z)}$. \item Si $z$ est un complexe non nul, on a : \[f(z) = f\left(\dfrac{1}{z}\right) \iff z \in \R^*.\] \item L'ensemble des points invariants par $F$ est le cercle trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1). \item Pour tout point $M$ du plan, les points O, $M$ et $M' = F(M)$ sont alignés. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 16}} \medskip Pour tout nombre complexe $z$, on pose \[f(z) = z^3 - 2\left(\sqrt{3} + \text{i}\right) z^2 + 4\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right) z - 8\text{i}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item On a pour tout $z$ complexe: \[f(z) = (z - 2\text{i}) \left(z^2 - 2\sqrt{3}z + 4\right).\] \item L'équation $f(z) = 0$ admet trois solutions, dont une imaginaire pure et deux complexes conjuguées. \item Le nombre complexe $z_1 = \sqrt{3} - \text{i}$ est solution de l'équation $f(z) = 0$. \end{enumerate} \smallskip On note $M_0$, $M_1$ et $M_2$ les points du plan dont les affixes sont solution de l'équation $f(z) = 0$. \begin{enumerate}[resume] \item Les points $M_0$, $M_1$ et $M_2$ sont sur un même cercle de centre O. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 17}} \medskip Soit A, B, C, D quatre points non coplanaires de l'espace, I le milieu de [A, B] et J le milieu de [C, D]. Soit $m$ un réel et $S(m)$ le système de points pondérés \[[(\text{A}, 1)\: ;\: (\text{B}, 1)\: ;\: (\text{C}, m - 2) \:;\: (\text{D}, m)]\]. On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des réels $m$ pour lesquels le système $S(m)$ admet un barycentre, qu'on note alors $C_m$. \medskip \begin{enumerate} \item L'ensemble $\mathcal{E}$ est égal à $\R$ privé des réels $0$ et $2$. \item Le point $G_2$ est le milieu du segment [I, D]. \item Pour tout $m \in \mathcal{E}$, $C_m$ est le barycentre du système [(I, 2) ; (J, $2m - 2$)]. \item Pour tout $m \in \mathcal{E}$, le milieu du segment $[G_m, G_{-m}]$ est le point J. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 18}} \medskip Soit, dans l'espace, le plan $P$ d'équation $3x - 2y + 5z - 7 = 0$, A le point de coordonnées $(6~;~-5~;~11)$ et H son projeté orthogonal sur le plan $P$. Soit enfin $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~-2~;~5)$. \begin{enumerate} \item On considère les vecteurs $\vect{u}$ de coordonnées (2~;~2~;~1) et $\vect{v}$ de coordonnées $(0~;~ -1~;~ 1)$. Alors le triplet $\left(\text{H}~;~\vect{u}~;~\vect{v}\right)$ est un repère du plan $P$. \item On a : $\vect{\text{AH}} \wedge \vect{n} = \vect{0}$ . \item La distance de A au plan $P$ est $\left|\vect{\text{AH}} \wedge \vect{n} \right|$. \item Les coordonnées du point H sont $(0~;~-1~;~1)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 19}} \medskip Deux personnes $A$ et $B$ écrivent chacune au hasard un nombre à deux chiffres. Soit $m$ le nombre écrit par $A$ et $n$ celui écrit par $B$ ; tous les couples $(m, n)$, avec $10 \leqslant m \leqslant 99$ et $10 \leqslant n \leqslant 99$ sont supposés équiprobables. \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité pour que $A$ et $B$ écrivent le même nombre est $\dfrac{1}{81}$. \item La probabilité d'obtenir un couple $(m, n)$ tel que $10 \leqslant m < 50$ et $10 \leqslant n < 50$ est $\dfrac{8}{9}$. \item La probabilité d'obtenir un couple $(m, n)$ tel que $m$ soit un entier pair et $n$ un entier impair est $\dfrac{1}{2}$. \item La probabilité d'obtenir un couple $(m, n)$ tel que $m < n$ est $\dfrac{89}{180}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 20}} \medskip Soit $n$ un entier naturel, $n \geqslant 2$. $n$ personnes jouent à un jeu où il peut y avoir un nombre quelconque de gagnants. La probabilité pour que le joueur $A$ gagne est $p(A) = 1/3$ ; la probabilité pour que le joueur $B$ gagne sachant que $A$ a gagné est égale à $1/4$. On sait enfin que la probabilité pour que $B$ gagne sachant que $A$ a perdu est égale à $4/9$. \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité pour que B gagne est égale à $5/12$. \item La probabilité pour que A et B gagnent est égale à $7/12$. \item Les évènements \og A gagne\fg{} et \og B gagne \fg{} sont indépendants. \item La probabilité que A gagne sachant que B a gagné est égale à $9/41$. \end{enumerate} \end{document}