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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Concours Fesic --  mai 2019}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}

\pagestyle{fancy}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic --  mai 1997 \decofourright\\[6pt]Durée : 2 h 30}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{L'usage de la calculatrice est interdit pour cette épreuve, ainsi que tout
document ou formulaire.\\
L'épreuve comporte $20$ exercices indépendants. Vous ne devez en traiter
que $15$ maximum. Si vous en traitez davantage, seuls les $15$ premiers
seront corrigés.\\
Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous
devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).\\
Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4
affirmations est donnée (l'abstention et l'annulation ne sont pas
considérées comme réponse).\\
Toute réponse exacte rapporte un point.\\
Toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point.\\
L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte,
c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point.\\
Une bonification de deux points est ajoutée chaque fois qu'un exercice
est traité correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 4
affirmations sont exactes).\\
Lattention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type
d'exercices proposés, une lecture attentive des énoncés est absolument
nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très
précis.\\
Dans toute question où il intervient, le plan (respectivement l'espace) est
rapporté à un repère orthonormé \:\Oij $=  (\text{O}xy)$\: (respectivement
pour l'espace \:\Oijk $= (\text{O}xyz)$.}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par


\[f(x) = \dfrac{x+ 1}{x-1}\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\medskip


\textbf{a.}  La fonction $f$ est paire.

\textbf{b.} Pour tout réel $x$ tel que $x \ne 0$ et $x \ne 1$ on a : $f\left(\dfrac{1}{x}\right)  + f(x) = 0$.

\textbf{c.} La courbe $\mathcal{C}$ admet le point I de coordonnées (1~;~1) pour centre de
symétrie.

\textbf{d.} Pour tout réel $x$ tel que $x > 1$, on a : $f \circ f(x) = x$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Soit E l'ensemble des fonctions $f$ vérifiant les conditions suivantes :

$(i)$ il existe trois réels $(a, b, c)$ tels que $c \ne 0$ et, pour tout réel $x \ne - c$,
on a : 

\[f(x)=\dfrac{ax + b}{x+c}\]

$(ii)$ la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ passe par le point A de coordonnées
$(0~;~- 1)$ ;

$(iii)$ $\mathcal{C}_f$ admet au point A une tangente de coefficient directeur $- 2.$

\medskip

\textbf{a.} La fonction $g$ définie sur $\R - \{1\}$ par

\[g(x)= \dfrac{x + 1}{x - 1}\]

appartient à E.

\textbf{b.} Si $f(x) = ax+ b$ est une fonction appartenant à E, on a les relations
x+c
suivantes entre $a$, $b$ et $c$ :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
a-1&=&2b\\
c&=& - b.
\end{array}\right.\]

\textbf{c.} L'ensemble E contient une infinité de fonctions.

\textbf{d.} Si $f$ appartient à E sa courbe $\mathcal{C}_f$ n'admet pas de tangente parallèle à la
droite d'équation $y = x$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par :

\[f(x) = - \dfrac{x}{2} + \ln \left(\dfrac{x - 1}{x}\right),\]

$D$ son domaine de définition et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\medskip

\textbf{a.} On a $D = ]1~;~+ \infty[$.

\textbf{b.} $\mathcal{C}$ admet une unique tangente horizontale.

\textbf{c.}La fonction $f$ est croissante sur $]1~;~+ \infty[$.

\textbf{d.} La droite $\Delta$ d'équation $y = - \dfrac{x}{2} + 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip
Soit $f$ la fonction définie par :

\[f(x) = \dfrac{\ln \left(1 + \text{e}^x\right)}{\text{e}^x},\]

$D$ son ensemble de définition et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\medskip

\textbf{a.} On a $D = \left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$.

\textbf{b.} On a, pour tout $x$ appartenant à $D$ :

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x}+ \text{e}^{ - x} \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right).\]

\textbf{c.} On a $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

\textbf{d.} On a $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}  f(x) = 0.$

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip
Soit $f$ la fonction définie par:

\[f(x) = x (\ln x)^2 - 2x \ln x+ 2x - 2\]

et $C$ sa courbe représentative.

\medskip

\textbf{a.} La fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et, pour
tout $x$ de cet intervalle, on a :

\[f'(x) = (\ln x)^2.\]

\textbf{b.} La droite $\Delta$ d'équation $x = 0$ est asymptote à $C$.

\textbf{c.} La fonction $f$ admet un extremum en 1.

\textbf{d.} Pour tout $x > 0$, on a :

\[f(x) = \displaystyle\int_1^x (\ln t)^2 \:\text{d}t.\]

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\medskip

\textbf{a.} On a $(32)^{1,2} = 64$.

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par :

\[f(x) = 5^x \quad \text{et}\quad  g(x) = (0,2)^x.\]

\textbf{b.} Pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = (\ln 5) f(x)$.

\textbf{c.} On a :

\[\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{4}{\ln 5}.\]

\textbf{d.} Pour tout x réel, on a $g(x) = f(- x)$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2\text{e}^{- 2x}$ et $C$ sa courbe représentative.

\medskip

\textbf{a.} Pour tout réel $m$, l'équation $f(x) = m$ admet au moins une solution.

\textbf{b.} La courbe $C$ admet exactement deux tangentes parallèles à l'axe des
abscisses.

\textbf{c.} L'équation $x^2 = \text{e}^{2x}$ admet trois solutions dans $\R$.

\textbf{d.} La fonction $F$ définie par 

\[F(x) = \left(x^2 + x+ \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{- 2x}\]

est une primitive de $f$ sur $\R$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\medskip

Soit $f$, $g$ et $h$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$ respectivement
par :

\[f(x) = \text{e}^{- x} \sin x,\: g(x) = \text{e}^{- x}, h(x) = -  \text{e}^{- x}.\]

On note respectivement $\mathcal{C}_f$, \: $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ leurs courbes représentatives.

\medskip

\textbf{a.} La fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~2\pi]$ et, pour tout $x$ de $[0~;~2\pi]$,
on a:

\[f'(x) = \sqrt{2}\text{e}^{- x} cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right).\]

\textbf{b.} La droite $\Delta$ d'équation $y = x$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$ au point
d'abscisse 0.

\textbf{c.} La courbe $\mathcal{C}_f$ est située entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

\textbf{d.} Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un unique point commun et en ce point
elles admettent la même tangente, et il en est de même des courbes $\mathcal{C}_f$
et $\mathcal{C}_h$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[F(x)  = \displaystyle\int_0^x \text{e}^{- t^2}\: \text{d}t.\]

\smallskip

\textbf{a.} La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a :

\[F'(x) = \text{e}^{-x^2} - 1.\]

\textbf{b.} La fonction $F$ est positive sur $\R$.

\textbf{c.} Pour tout réel $x \geqslant 1$, on a :

\[F(x) - F(1) \leqslant  \displaystyle\int_1^x \text{e}^{- t^2}\: \text{d}t.\]

\textbf{d.} Pour tout réel $x$, on a : $F(x) = F(- x)$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par : 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x} - x}\]

et, pour  $n$ entier naturel, soit: $I_n = \displaystyle\int_0^n f(x) \:\text{d}x$.

\medskip

\textbf{a.} La fonction $f$ est définie sur $\R$.

\textbf{b.} La suite $\left(I_n\right)$ est croissante.

\textbf{c.} Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :

\[I_n - \displaystyle\int_0^n\dfrac{x}{\text{e}^x - x}\:\text{d}x = n + 1.\]

\textbf{d.} La suite $\left(I_n\right)$ tend vers $+ \infty$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul et $I_n$ définie par :

\[I_n = \displaystyle\int_{\ln n}^{\ln (n+ 1)}  \dfrac{\text{e}^t}{\text{e}^t + 1}\:\text{d}t.\]

\smallskip

\textbf{a.} Pour tout $n \geqslant  1$, on a $I_n \geqslant 0$.

\textbf{b.} Pour tout $n \geqslant  1$, on a: $I_n = \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.

\textbf{c.} La suite $\left(I_n\right)_{n \geqslant 1}$ est décroissante.

\textbf{d.} Pour tout $n \geqslant  1$, on a : $I_1 + I_2 + \ldots + I_n = \ln (n + 2)$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique vérifiant $u_4 = 0$ et $u_6 = - 1$.

\medskip

\textbf{a.} On a $u_5 = - \dfrac{1}{2}$.

\textbf{b.} Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = \dfrac{4 - n}{2}$.

\textbf{c.} Pour tout entier $n \geqslant 9$, on a :

\[u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} \leqslant 0.\]

\textbf{d.} La suite $\left(v_n\right)$ définie, pour $n$ entier naturel non nul, par :

\[v_n = \dfrac{1}{n} \text{e}^{u_n}\]

est convergente.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

On considère la fonction définie par $f(x) = x \ln x$ pour $x > 0$ et la suite
$\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0 > \text{e}$ donné et la relation de
récurrence $u_{n + 1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ :

\medskip

\textbf{a.} Pour tout $x$ de l'intervalle $[\text{e}~;~+ \infty[$, on a : $f'(x) \geqslant 2$.

\textbf{b.} Pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > \text{e}$.

\textbf{c.} La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

\textbf{d.} Pour tout entier naturel $n$, on a :

\[\left|u_{n + 1} - e\right| \geqslant 2\left|u_n - \text{e}\right|.\]

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul et $f_n$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f_n(x) = x^5 + nx - 1.\]

\smallskip

\textbf{a.} La suite $\left(f_n(1)\right)_{n\geqslant 1}$ est une suite géométrique.

\textbf{b.} Pour tout entier $n \geqslant  1$, la fonction $f_n$ est une bijection de $\R$ sur $\R$.

\textbf{c.} Pour tout entier $n \geqslant  1$, l'équation $f_n(x) = 0$ admet une unique
solution.

On note $\alpha_n$ l'unique solution positive de l'équation $f_n(x) = 0$.

\textbf{d.}  Pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $0 < \alpha_n < \dfrac{1}{n}$ .

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\medskip

\textbf{a.} Soit j le nombre complexe j $= - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. On a :

\[\text{j}^{\np{1996}} + \text{j}^{\np{1997}} + \text{j}^{\np{1998}} = 1.\]

\textbf{b.} Si un argument du nombre complexe non nul $z$ est $\alpha$, alors un
argument de $- \dfrac{4}{z}$ est $- \alpha$.

\textbf{c.} Soit $z$ un nombre complexe non nul. Si $\dfrac{z}{\overline{z}}$ est un réel positif, alors $z$
est réel.

\textbf{d.} Soit $z$ un nombre complexe. Si $|z| = 1$, alors il existe un entier naturel
non nul $n$ tel que $z^n = 1$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\medskip

Soit les nombres complexes suivants :

\[z_1 = \dfrac{\sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}}{2}, \quad z_2 = 1  - \text{i} \quad  \text{et} \quad  Z = \dfrac{z_1}{z_2}.\]

On note A le point du plan d'affixe $z_1$, et B le point d'affixe $z_2$.

\medskip

\textbf{a.} Un argument de $z_1$ est $- \dfrac{\pi}{3}$

\textbf{b.} Il existe une rotation $R$ de centre O transformant A en B.

\textbf{c.} On a $Z = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$.

\textbf{d.} L'ensemble E des points $M$ d'affixe $z$ tels que

\[z_2 z + \overline{z_2} \overline{z} + 1 = 0\]

est la droite d'équation $x+ y= - \dfrac{1}{2}$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 17}}

\medskip

Soit $\left(z_n\right)$ la suite complexe définie par son premier terme $z_0 = 8$ et la relation
de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

\[z_{n+1} = \left(\dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{4}\right)z_n\]

On note $\left(M_n\right)$ la suite de points du plan complexe d'affixes $z_n$
respectivement.

\medskip

\textbf{a.} Le nombre $z_3$ est un réel positif.

\textbf{b.} Pour tout entier naturel $n$, on a :
z -z
\[\dfrac{z_{n+} - z_n}{z_{n+1}}= \text{i}\sqrt{3}.\]

\textbf{c.} Pour tout entier naturel $n$, le triangle O$M_nM_{n+1}$ est rectangle en $M_n$.

\textbf{d.} Pour tout entier naturel $n$, on a : $M_nM_{n +1}  = \sqrt{3}\text{O}M_{n + 1}$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 18}}

\medskip

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB $= a > 0$ et AC $= 2a$.

On note G le barycentre du système de points (A, 1), (B, $- 1$), (C, 1) et
on note H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).

\medskip

\textbf{a.} On a : AH $= \dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.

\textbf{b.} Le quadrilatère CGBA est un parallélogramme.

\textbf{c.} On a $\vect{\text{BA}} . \vect{\text{BC}} = 2a^2$.

\textbf{d.} L'ensemble des points M du plan vérifiant $\text{MB}^2 -  \text{MC}^2 = 2a^2$ est une
droite perpendiculaire à (BC).

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 19}}

\medskip

Dans l'espace, on considère les points de coordonnées A(2~;~0~;~0),
B(0~;~4~;~0) et C(0~;~0~;~3) et, pour tout réel $a$, le système de points
pondérés $\{( 4 - a) ( 1 - a) ( a)\}$. 

\[S(\alpha) : \left\{\left(\text{A},~\dfrac{4 - \alpha}{6}\right)~;~\left(\text{B},~\dfrac{1 - \alpha}{3}\right) ~;~\left(\text{C} ,~\dfrac{\alpha}{2}\right)\right\}.\]

\smallskip

\textbf{a.} Une équation du plan (ABC) est

\[x + \dfrac{y}{2} +\dfrac{2}{3}z - 2 = 0.\]

\textbf{b.} Le centre de gravité du triangle ABC est barycentre d'un système
$S(\alpha)$.
\textbf{c.} Pour tout réel $\alpha$, le système $S(\alpha)$ admet un barycentre.

\textbf{d.} L'ensemble des barycentres des systèmes $S(\alpha)$, lorsque $\alpha$ décrit $\R$, est
une droite de vecteur directeur $\vect{u}  = - 2\vect{\imath}  - 8\vect{\jmath} + 9\vect{k}$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 20}}

\medskip

L'ensemble E $= \{a, b, c, d, e\}$ est un univers sur lequel on définit une
probabilité $p$.

\medskip

\textbf{a.} Si $p(\{a, b, c\}) = \dfrac{3}{5}$ et $p(\{a, d, e\}) = \dfrac{9}{20}$ alors $p(\{a, e\}) \geqslant \dfrac{1}{20}$.

On suppose, pour les questions \textbf{b.} et \textbf{c.}, que $A$ et $B$ sont deux
évènements de E tels que 

$p(A) = \dfrac{2}{3}$,\: $p(B) = \dfrac{3}{5}$ et $p\left(A \cap \overline{B}\right ) = \dfrac{4}{15}$

où $\overline{B}$ désigne l'évènement contraire de $B$.

\textbf{b.} On a $p(A \cup B) = \dfrac{13}{15}$.

\textbf{c.} Les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.

\smallskip

Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher, portant les lettres
$a, b, c , d, e $ respectivement. 

On effectue 5 tirages successifs d'une boule avec remise. On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.

\textbf{d.} La probabilité de tirer exactement 2 fois une voyelle est $q = \dfrac{2^2 \times 3^3}{5^5}$.


\end{document}