\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !}} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{24cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale S FESIC--Puissance 11}, pdftitle = {14 mai 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Concours Fesic--Puissance 11 -- 11 mai 2016} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Terminale S}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic--Puissance 11 -- 14 mai 2016 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h ; répondre par Vrai ou Faux sans justification.\\ $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1\hfill Lecture-interprétation énoncé}} \medskip \parbox{0.42\linewidth}{Soit $f$ une fonction définie, dérivable et ne s'annulant pas sur l'intervalle $I = [0~;~4]$. On pose $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé \Oij{} et $g$ la fonction définie sur [0~;~4] par $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$. La tangente $T_{\text{A}}$ au point A(3~;~2) passe par le point B(2~;~0). }\hfill \parbox{0.56\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-1,-1)(5.75,5.75) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(5.75,5.75) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=6,subgriddots=6](0,0)(5.75,5.75) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{x 2 sub dup mul 1 add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{4}{2 x mul 4 sub} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2,1)(3,2) \uput[r](0.4,4.25){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[r](4,4){$T_{\text{A}}$} \uput[u](5.5,0){$x$}\uput[r](0,5.5){$y$} \psline[linestyle=dashed]{<->}(2,0)(2,1)(0,1) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(1,1)(3,1) \uput[dr](2,0){B}\uput[r](3,2){A} \end{pspicture*}} \medskip \textbf{a.~} $f'(2) = 1$. \textbf{b.~} $f'(3) = f(3)$. \textbf{c.~} Une équation de $T_{\text{A}}$ est $y = 2x + 2$. \textbf{d.~} $g'(3) = \dfrac{1}{2}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2\hfill Logique}} \medskip Soit $x$ un réel donné. \textbf{a.~} Si $\sqrt{x} = 2$ alors $|x| = 4$. \textbf{b.~} La réciproque du a. est toujours vraie. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I = [-3~;~7]$. \textbf{c.~} Si,pour tout $x \in I,\: f'(x) > 0$ et $f(-3) = 1$ alors pour tout $x \in I,\: f(x) > 0$. \textbf{d.~} Si une suite est croissante et admet une limite finie alors e11e est nécessairement bornée. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill Probabilités conditionnelles}} \medskip On joue avec deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 4. Le premier dé, $D_1$, est un dé \og honnête \fg{} c'est-à-dire pour lequel la sortie de chacune des faces est équiprobable. Le deuxième dé, $D_2$, est truqué de façon que : $\bullet~~$la face numérotée 1 et la face numérotée 4 ont une chance sur douze de sortir ; $\bullet~~$la face numérotée 3 a une chance sur quatre de sortir. \medskip \parbox{0.52\linewidth}{ \textbf{a.~} On lance le dé \no 2 , la probabilité de l'évènement \og on a obtenu la face numérotée 2 \fg{} est égale à $\dfrac{7}{12}$. Dans toute la suite, on lance un dé pris au hasard. \textbf{b.~} La probabilité d'obtenir l'évènement \og on a obtenu la face numérotée 1 \fg{} est égale à $\dfrac{1}{9}$. \textbf{c.~} Les évènements \og on a obtenu un numéro pair\fg{} et \og on a utilisé le dé $D_1$\fg{} sont indépendants. \textbf{d.~} Sachant qu'on a obtenu la face numérotée 1, la probabilité qu'on ait utilisé le dé $D_1$ est égale à $\dfrac{3}{4}$.} \hfill \parbox{0.44\linewidth}{\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{$\Omega$}} { \pstree{\TR{$D_1$}} {\TR{1} \TR{2} \TR{3} \TR{4} } \pstree{\TR{$D_2$}} { \TR{1} \TR{2} \TR{3} \TR{4} } } } \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill Lien entre tableau et arbre de probabilités}} \medskip Dans un lycée, les 200 élèves de Terminale se répartissent suivant les 3 activités : sport (S), théâtre (T) et dessin (D). On donne les informations suivantes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 20 garçons choisissent le théâtre et 34 garçons choisissent le dessin. \item[$\bullet~~$] 28 filles choisissent le sport et 72 filles choisissent le dessin. \item[$\bullet~~$] Le nombre total de garçons représente 30\,\% de J'effectif total. \item[$\bullet~~$] Le sport est choisi par 10\,\% des garçons et par 20\,\% des filles. \item[$\bullet~~$] On pose $x$ le nombre total de filles. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $G$ l'évènement \og l'élève est un garçon \fg, $F$ l'évènement \og l'élève est une fille \fg, $S$ l'évènement \og l'élève fait du sport \fg, $T$ l'évènement \og l'élève fait du théâtre\fg{} et $D$ l'événement \og l'élève fait du dessin \fg. On rassemble les informations précédentes dans le tableau et l'arbre ci-dessous. \medskip \parbox{0.62\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Garçons (G)& Filles (F) &Total\\ \hline Sport (S) & & 28 &\\ \hline Théâtre (T) & 20 & &\\ \hline Dessin (D) & 34 &72 &\\ \hline Total & &$x$ &200\\ \hline \end{tabularx}} \hfill \parbox{0.36\linewidth} { \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{$\Omega$}} { \pstree{\TR{$D_1$}\naput{0,3}} {\TR{$S$}\naput{0,1} \TR{$T$}\naput{\ldots} \TR{$D$}\nbput{\ldots} } \pstree{\TR{$D_2$}} {\TR{$S$}\naput{0,2} \TR{$T$}\nbput{\ldots} \TR{$D$}\nbput{\ldots} } } } \medskip \textbf{a.~} La probabilité qu'un garçon fasse du sport est égale à $0,1$. \textbf{b.~} $x = 160$. \textbf{c.~} La probabilité qu'un élève fasse du théâtre est égale à $0,3$. \textbf{d.~} $P_T(F) = \dfrac{2}{5}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5 \hfill Calcul du nombre d'abonnés d'une société}} \medskip Le service commercial d'une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l'évolution du nombre d'abonnés était définie de la manière suivante: $\bullet~~$chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés ; $\bullet~~$chaque année, 40\,\% des abonnements de l'année précédente ne sont pas renouvelés. En 2010 cette société comptait \np{1500} abonnés. La suite $\left(a_n\right)$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année $2010 + n$. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = a_n - \np{1000}$. \medskip \textbf{a.~} $a_1 = \np{1300}$. \textbf{b.~} $a_{n+1} = 0,6 \times a_n + 400$. \textbf{c.~} La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,4$. \textbf{d.~} $a" = 500 \times 0,6^{n-1} + \np{1000}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 6 \hfill Calculs de limites}} \medskip \textbf{a.~} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 3x^2 - 4x + 7 = - \infty$. \textbf{b.~} Si, pour tout $x \in \R^{*},\: -\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) - 3\leqslant 0$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. \textbf{c.~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{2^n + 3}{3^n + 2} = \dfrac{3}{2}$. \textbf{d.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{n}{2n + (- 1)^n} = \dfrac{1}{2}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 7 \hfill Notions de base sur les complexes}} \medskip \textbf{a.~} $(2\text{i})^4 = - 16$. \textbf{b.~} La forme trigonométrique de $- \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$ est $- 3\left[\cos \left(\dfrac{\pi}{6} \right) + \text{i}\sin \left(\dfrac{\pi}{6} \right) \right]$. \textbf{c.~} Soit $z_1,\:z_2 \in \C,\:\: z_1 = z_2 \iff \left|z_1\right| = \left|z_2\right|$. \textbf{d.~} arg $\left(\dfrac{(1 + \text{i})^2}{\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \right) = - \dfrac{7\pi}{6} \quad [2\pi]$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 8 \hfill Calculs d'intégrales}} \medskip \textbf{a.~} $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^2}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}$. \textbf{b.~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\:\text{d}x = \sqrt{2} - 1$. \textbf{c.~} $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin x}{\cos x}\:\text{d}x = \dfrac{\ln 3}{2}$. \textbf{d.~} $\displaystyle\int_2^4 \dfrac{x^2 - 1}{x + 1}\:\text{d}x = 2$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 9 \hfill Étude de fonction}} \medskip \parbox{0.4\linewidth}{On considère la fonction $f$ définie sur $]-1~;~1[$ par $f(x) = \dfrac{1}{1 - x^2}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} (fig. ci-contre).}\hfill \parbox{0.56\linewidth}{\psset{xunit=3cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-1.1,-0.65)(1.1,5.15) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-1,-0.1)(1,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5](0,0)(-1,-0.1)(1,5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.99}{0.99}{1 1 x dup mul sub div} \uput[l](0.85,4.75){\blue $\mathcal{C}_f$} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.5}{0.5}{1 1 x dup mul sub div} \psline(0.5,0)(-0.5,0)(-0.5,1.3)} \end{pspicture*} } \medskip \textbf{a.~} La dérivée de $f$ est définie sur $]-1~;~1[$ par $f'(x) = \dfrac{2x}{\left(1- x^2\right)^2}$. \textbf{b.~} La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse $x = 0,5$ est parallèle à la droite $(D)$ d'équation $16x - 9y - 7 = 0$. \textbf{c.~} La fonction $F$ définie sur $]-1~;~1[$ par $F(X) = - \dfrac{1}{2}\ln \left(\dfrac{1 - x}{1 + x}\right)$ est une primitive de $f$. \textbf{d.~} L'aire du domaine (hachuré sur la figure) compris entre les droites d'équations $x = - \dfrac{1}{2},\: x = \dfrac{1}{2}$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}_f$ vaut, en unités d'aires du repère, $\dfrac{1}{2}\ln (3)$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 10 \hfill Problème autour de la fonction exponentielle}} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \text{e}^{2x} -2\text{e}^{x} + 5x + 4.\] On définit $f'$ la dérivée de $f$ et $f''$ la dérivée de $f'$. \medskip \textbf{a.~} $f'(x) = 2\text{e}^{2x} - 2\text{e}^{x} + 5$ et $f''(x) = 2\text{e}^{x}\left(2\text{e}^{x} -1\right)$. \textbf{b.~} $2\text{e}^{x} - 1 > 0 \iff x < \ln 2$. \textbf{c.~} La fonction $f'$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$. \textbf{d.~} $f$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 11\hfill Problème autour de la fonction ln}} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $I = ]5~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \ln (2x + 1) - 3\ln (x - 5) + 5.\] On note $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij. \medskip \textbf{a.~} $f'(x) = \dfrac{4x+ 13}{(2x+1)(5 - x)}$. \textbf{b.~} $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $x = 5$ comme asymptote verticale. \textbf{c.~} $f(x) = \ln \left[\dfrac{\text{e}^5(2x + 1)}{(x - 5)^3}\right]$. \textbf{d.~} $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $y = 5$ comme asymptote horizontale en $+ \infty$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 12\hfill Utilisation des algorithmes dans une suite}} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{Soit $N$ un entier naturel. On considère l'algorithme ALGO \no 1 ci-contre : Par exemple, si on saisit la valeur 2 pour $N$, l'algorithme affiche le nombre 9 comme valeur de $U$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Variables &$N$ &$I$ &$U$\\ \hline Initialisation &2 &--- & 1\\ \hline Boucle pour &2 &1 & 4\\ \hline &2 &2 & 9\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, \:$u_{n+1} = u_n + 2n + 3$. \medskip \textbf{a.~} L'algorithme ALGO \no 1 permet d'afficher la valeur de $u_N$ connaissant $N$. \textbf{b.~} $u_4 = 16$. \textbf{c.~} L'algorithme ALGO \no 2 permet d'afficher la valeur de $u_N$ connaissant $N$. \textbf{d.~} Pour tout entier naturel $n,\:$ $ u_n = (n + 1)^2$.} \hfill \parbox{0.48\linewidth}{\begin{tabular}{|l|}\hline ALGO \no 1\\ ~\\ Début programme\\ \hspace{0,5cm}Lire $N$\\ \hspace{0,5cm}U prend la valeur 1\\ \hspace{0,5cm}Pour $I$ allant de 1 à $N$\\ \hspace{1cm}Début Pour\\ \hspace{1cm}$U$ prend la valeur $U + 2\times I + 1$\\ \hspace{1cm}Fin Pour\\ \hspace{0,5cm}Afficher $U$\\ Fin du programme\\ \hline ALGO \no 2\\ ~\\ Début programme\\ \hspace{0,5cm}Lire $N$\\ \hspace{0,5cm}$U$ prend la valeur 1\\ \hspace{0,5cm}$I$ prend la valeur 0\\ Tant que $I < N$ Faire\\ \hspace{1cm}Début Tant que\\ \hspace{1cm}$U$ prend la valeur $U + 2\times I + 1$\\ \hspace{1cm}$I$ prend la valeur $I + 1$\\ \hspace{1cm}Fin Tant que\\ \hspace{0,5cm}Afficher $U$\\ Fin du programme\\ \hline \end{tabular}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 13\hfill Probabilités continues}} \medskip La durée de vie (exprimée en années) d'un appareil électroménager avant la première panne est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. \medskip \textbf{a.~} Pour tout réel $t$ strictement positif, $p(X\geqslant t) = 1 - \text{e}^{ -\lambda t}$. \textbf{b.~} Si la probabilité d'avoir une panne la première année est égale à $0,2$, alors $\lambda = \ln \left(\dfrac{5}{4}\right)$. \parbox{0.55\linewidth}{Soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(0~;~\sigma^2\right)$ avec $\sigma > 0$. Pour tout $u \in \R$, on pose $\Pi (u) = P(Y \leqslant u)$. $\Pi(u)$ représente l'aire de la surface hachurée ci-contre. \textbf{c.~} $P(0 \leqslant Y \leqslant \sigma) > 0,4$. \textbf{d.~} $\Pi(- \sigma) \leqslant \dfrac{1}{10}$.}\hfill \parbox{0.43\linewidth}{\psset{yunit=1cm,algebraic=true} \begin{pspicture}(-2,-0.25)(2,3) \def\m{0}% moyenne \def\s{0.5}% écart type \def\f{3/(\s*sqrt(2*3.141))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \def\inf{-3} \def\sup{3} \pscustom[fillstyle=vlines] { \psplot{\inf}{0.75}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(0.75,0)\lineto(-3,0) \closepath % indispensable ! } \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-0.25)(2,3) \psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-3}{3}{\f} \rput(0,1){$\Pi(u)$} \uput[d](0.75,0){$u$}\uput[dl](0,0){$0$} \end{pspicture} } \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 14\hfill Géométrie analytique}} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on donne les plans (P) et (Q) d'équations cartésiennes respectives (P) : $x + y + 3z = 1$ et (Q) : $- y + 2z = 4$. { (D) est la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& - 5t + 1\\ y &=& \phantom{-}2t\\ z &=& \phantom{- 5}t - 1 \end{array}\right.\:$ pour tout $t$ réel. \medskip \textbf{a.~} Le plan (Q) est orthogonal à l'axe des abscisses. \textbf{b.~} Les plans (P) et (Q) sont sécants suivant une droite $\Delta$. \textbf{c.~} Une équation cartésienne de $\Delta$ est $x + 5z = 5$. \textbf{d.~} D est parallèle à $\Delta$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 15 \hfill Utilisation des complexes en géométrie}} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. On désigne par A, B, C et D les points d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i},\: z_{\text{B}} = \text{i},\: z_{\text{C}} = 6 - \text{i}$ et $z_{\text{D}} = - 2 + 5\text{i}$. \medskip \textbf{a.~} $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}} = \text{i}$. \textbf{b.~} Le triangle ABC est équilatéral. $x$ et $y$ désignent deux nombres réels, on note $f$ la fonction qui, à tout point $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ distinct de i, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})}{z - \text{i}}$. \textbf{c.~} La partie imaginaire de $z'$ est $\dfrac{x^2 - 2x + y^2 + 2 y - 3}{x^2 + (y - 1)^2}$. \textbf{d.~} L'ensemble $\gamma $ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit un réel est une droite. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 16\hfill Utilisation des algorithmes en géométrie}} \medskip On effectue le programme de construction ci-dessous : \parbox{0.4\linewidth}{ \psset{unit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(1.1,1) \psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.39)(1.1,1) \pspolygon(0,0)(0.5,0.866)(1,0) \def\tri{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,-0.2887)} \rput(0,0.577){\tri}\rput(0.333,0){\tri}\rput(0.6666,0.577){\tri} \uput[ur](0,0){A} \uput[u](0.333,0){A$_1$} \uput[u](0.666,0){A$_2$} \uput[ur](1,0){B} \uput[r](0.82,0.3){B$_1$} \uput[ur](0.666,0.58){B$_2$} \uput[r](1,0.58){B$_3$} \uput[u](0.5,0.866){C} \uput[ul](0.333,0.58){C$_1$} \uput[l](0.167,0.3){C$_2$} \uput[ur](0,0.58){C$_3$} \end{pspicture}}\hfill\parbox{0.58\linewidth}{ Étape 1 : $\bullet~~$ On divise chaque côté d'un triangle équilatéral de côté 1 en 3 segments de même longueur (par exemple les segments : [A~;~C$_2$], [C$_2$~;~ C$_1$] et [C$_1$~;~C]). $\bullet~~$ Sur chacun des côtés du triangle, on construit, à l'extérieur du triangle, un triangle équilatéral ayant pour base le second segment (par exemple le triangle C$_1$C$_2$C$_3$ ayant pour base le segment [C$_2$~;~C$_1$] pour le côté [A~;~C]). Étapes suivantes : Sur chaque triangle obtenu à l'étape précédente, on construit deux nouveaux triangles équilatéraux selon le même procédé de construction que celui de l'étape 1.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}} \psset{unit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(1.1,1.1) \psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.39)(1.1,1) \pspolygon(0,0)(0.5,0.866)(1,0) \def\tri{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,-0.2887)} %\rput(0,0.577){\tri}\rput(0.333,0){\tri}\rput(0.6666,0.577){\tri} \end{pspicture}&\psset{unit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(1.1,1.1) \psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.39)(1.1,1) \pspolygon(0,0)(0.5,0.866)(1,0) \def\tri{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,-0.2887)} \rput(0,0.577){\tri}\rput(0.333,0){\tri}\rput(0.6666,0.577){\tri} \end{pspicture}\\ Étape 0& Étape 1\\ \psset{unit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(1.1,1.1) \psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.39)(1.1,1) \pspolygon(0,0)(0.5,0.866)(1,0) \def\tri{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,-0.2887)} \def\tria{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,0.2887)} %\def\tri1{\psscaleboxto(0.333 0.33){\tri}} \rput(0,0.577){\tri}\rput(0.333,0){\tri}\rput(0.6666,0.577){\tri} \rput(0.111,0.577){\scalebox{0.333}{\tria}} \rput(0.778,0.577){\scalebox{0.333}{\tria}} \rput(0,0.38){\scalebox{0.333}{\tria}} \rput(0.889,0.38){\scalebox{0.333}{\tria}} \rput(0.333,-0.19){\scalebox{0.333}{\tria}} \rput(0.56,-0.19){\scalebox{0.333}{\tria}} \end{pspicture}&\psset{unit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(1.1,1.1) \psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.39)(1.1,1) \pspolygon(0,0)(0.5,0.866)(1,0) \def\tri{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,-0.2887)} \def\tria{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,0.2887)} \rput(0,0.577){\tri}\rput(0.333,0){\tri}\rput(0.6666,0.577){\tri} \rput(0.111,0.577){\scalebox{0.333}{\tria}} \rput(0.778,0.577){\scalebox{0.333}{\tria}} \rput(0,0.38){\scalebox{0.333}{\tria}} \rput(0.889,0.38){\scalebox{0.333}{\tria}} \rput(0.333,-0.19){\scalebox{0.333}{\tria}} \rput(0.56,-0.19){\scalebox{0.333}{\tria}} \rput(0.111,0.64){\scalebox{0.111}{\tri}} \rput(0.185,0.64){\scalebox{0.111}{\tri}} \rput(0.78,0.64){\scalebox{0.111}{\tri}} \rput(0.854,0.64){\scalebox{0.111}{\tri}} \rput(0.,0.44){\scalebox{0.111}{\tri}} \rput(0.965,0.44){\scalebox{0.111}{\tri}} \rput(0.04,0.38){\scalebox{0.111}{\tri}} \rput(0.92,0.38){\scalebox{0.111}{\tri}} \rput(0.335,-0.12){\scalebox{0.111}{\tri}} \rput(0.63,-0.12){\scalebox{0.111}{\tri}} \rput(0.38,-0.19){\scalebox{0.111}{\tri}} \rput(0.595,-0.19){\scalebox{0.111}{\tri}} \end{pspicture}\\ Étape 2 &Étape 3\\ \end{tabularx} \bigskip Pour tout entier naturel $n$, on pose : $\bullet~~$$u_n$ le nombre de triangles construits à l'étape $n$, $\bullet~~$$\ell_n$ la longueur du côté du triangle équilatéral construit à l'étape $n$, $\bullet~~$$h_n$ la hauteur du triangle équilatéral construit à l'étape $n$, $\bullet~~$$s_n$ la surface que l'on colore à l'étape $n$. \medskip \textbf{a.~} $h_1 = \dfrac{1}{2\times\sqrt{3}}$. \textbf{b.~} La suite $\left(\ell_n\right)_{n \geqslant 0}$ est une suite géométrique de raison $q =\dfrac{1}{3}$. \textbf{c.~} $h_n = \dfrac{\sqrt{3}}{2 \times 3^n}$. \textbf{d.~} Si $n \geqslant 1$, \: alors $s_n = \dfrac{3 \times \sqrt{3} \times \left(\dfrac{2}{9}\right)^n}{8}$. \end{document}