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%tapuscrit : Denis Vergès
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%\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}}
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Terminale S FESIC--Puissance 11},
pdftitle = {14 mai 2016},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Concours Fesic--Puissance 11 -- 11 mai 2016}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic--Puissance 11 -- 14 mai 2016 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h ; répondre par Vrai ou Faux sans justification.\\ 
$+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1\hfill Lecture-interprétation énoncé}}

\medskip

\parbox{0.42\linewidth}{Soit $f$ une fonction définie, dérivable et ne s'annulant pas sur
l'intervalle $I = [0~;~4]$. On pose $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$
dans le repère orthonormé \Oij{} et $g$ la fonction définie sur
[0~;~4] par $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$.

La tangente $T_{\text{A}}$ au point A(3~;~2) passe par le point B(2~;~0).
}\hfill \parbox{0.56\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5.75,5.75)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(5.75,5.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=6,subgriddots=6](0,0)(5.75,5.75)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{x 2 sub dup mul 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{4}{2 x mul 4 sub}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2,1)(3,2)
\uput[r](0.4,4.25){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[r](4,4){$T_{\text{A}}$}
\uput[u](5.5,0){$x$}\uput[r](0,5.5){$y$}
\psline[linestyle=dashed]{<->}(2,0)(2,1)(0,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(1,1)(3,1)
\uput[dr](2,0){B}\uput[r](3,2){A}
\end{pspicture*}}
\medskip

\textbf{a.~} $f'(2) = 1$.

\textbf{b.~} $f'(3) = f(3)$.

\textbf{c.~} Une équation de $T_{\text{A}}$ est $y = 2x + 2$.

\textbf{d.~} $g'(3) = \dfrac{1}{2}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2\hfill Logique}}

\medskip

Soit $x$ un réel donné.

\textbf{a.~} Si $\sqrt{x} = 2$ alors $|x| = 4$.

\textbf{b.~} La réciproque du a. est toujours vraie.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I = [-3~;~7]$.

\textbf{c.~} Si,pour tout $x \in I,\: f'(x) > 0$ et $f(-3) = 1$ alors  pour tout $x \in I,\:  f(x) > 0$.

\textbf{d.~} Si une suite est croissante et admet une limite finie alors e11e est nécessairement bornée.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill Probabilités conditionnelles}}

\medskip

On joue avec deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 4.

Le premier dé, $D_1$, est un dé \og honnête \fg{} c'est-à-dire pour lequel la sortie de
chacune des faces est équiprobable.

Le deuxième dé, $D_2$, est truqué de façon que :

$\bullet~~$la face numérotée 1 et la face numérotée 4 ont une chance sur douze de
sortir ;

$\bullet~~$la face numérotée 3 a une chance sur quatre de sortir.

\medskip

\parbox{0.52\linewidth}{
\textbf{a.~} On lance le dé \no 2 , la probabilité de l'évènement \og on a obtenu la  face
numérotée 2 \fg{} est égale à $\dfrac{7}{12}$.

Dans toute la suite, on lance un dé pris au hasard.

\textbf{b.~} La probabilité d'obtenir l'évènement \og on a obtenu la face numérotée 1 \fg{}
est égale à $\dfrac{1}{9}$.

\textbf{c.~} Les évènements \og on a obtenu un numéro pair\fg{} et \og on a utilisé le dé $D_1$\fg{} sont indépendants.

\textbf{d.~} Sachant qu'on a obtenu la face numérotée 1, la probabilité qu'on ait utilisé le dé $D_1$ est égale à $\dfrac{3}{4}$.}
\hfill \parbox{0.44\linewidth}{\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{$\Omega$}}
{
	\pstree{\TR{$D_1$}}
		{\TR{1}
		\TR{2}
		\TR{3}
		\TR{4}
	}
	\pstree{\TR{$D_2$}}
	{	\TR{1}
		\TR{2}
		\TR{3}
		\TR{4}
	}	
}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill Lien entre tableau et arbre de probabilités}}

\medskip

Dans un lycée, les 200 élèves de Terminale se répartissent suivant les 3 activités : sport (S), théâtre (T) et dessin (D).

On donne les informations suivantes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20 garçons choisissent le théâtre et 34 garçons choisissent le dessin.
\item[$\bullet~~$] 28 filles choisissent le sport et 72 filles choisissent le dessin.
\item[$\bullet~~$] Le nombre total de garçons représente 30\,\% de J'effectif total.
\item[$\bullet~~$] Le sport est choisi par 10\,\% des garçons et par 20\,\% des filles.
\item[$\bullet~~$] On pose $x$ le nombre total de filles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $G$ l'évènement \og l'élève est un garçon \fg, $F$ l'évènement \og l'élève est une fille \fg, $S$ l'évènement \og l'élève fait du sport \fg, $T$ l'évènement \og l'élève fait du théâtre\fg{} et $D$ l'événement \og l'élève fait du dessin \fg.

On rassemble les informations précédentes dans le tableau et l'arbre ci-dessous.

\medskip

\parbox{0.62\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
			&Garçons (G)& Filles (F) &Total\\ \hline
Sport (S)	&			& 28	&\\ \hline
Théâtre (T)	& 20		&		&\\ \hline
Dessin (D)	& 34 		&72 	&\\ \hline
Total		&			&$x$ 	&200\\ \hline
\end{tabularx}}
\hfill \parbox{0.36\linewidth}
{
	\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{$\Omega$}}
	{
	\pstree{\TR{$D_1$}\naput{0,3}}
		{\TR{$S$}\naput{0,1}
		\TR{$T$}\naput{\ldots}
		\TR{$D$}\nbput{\ldots}
		}
	\pstree{\TR{$D_2$}}
		{\TR{$S$}\naput{0,2}
		\TR{$T$}\nbput{\ldots}
		\TR{$D$}\nbput{\ldots}
		}
	}
}

\medskip

\textbf{a.~} La probabilité qu'un garçon fasse du sport est égale à $0,1$.

\textbf{b.~} $x = 160$.

\textbf{c.~} La probabilité qu'un élève fasse du théâtre est égale à $0,3$.

\textbf{d.~} $P_T(F) = \dfrac{2}{5}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5 \hfill Calcul du nombre d'abonnés d'une société}}

\medskip

Le service commercial d'une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté
que l'évolution du nombre d'abonnés était définie de la manière suivante:

$\bullet~~$chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés ;

$\bullet~~$chaque année, 40\,\% des abonnements de l'année précédente ne sont pas renouvelés.

En 2010 cette société comptait \np{1500} abonnés.

La suite $\left(a_n\right)$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année $2010 + n$.

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = a_n - \np{1000}$.

\medskip

\textbf{a.~} $a_1 = \np{1300}$.

\textbf{b.~} $a_{n+1} = 0,6 \times a_n + 400$.

\textbf{c.~} La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,4$.

\textbf{d.~} $a" = 500 \times  0,6^{n-1} + \np{1000}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6 \hfill Calculs de limites}}

\medskip

\textbf{a.~} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 3x^2 - 4x + 7 = - \infty$.

\textbf{b.~} Si, pour tout $x \in \R^{*},\: -\dfrac{1}{x} \leqslant  f(x) - 3\leqslant 0$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

\textbf{c.~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{2^n + 3}{3^n + 2} = \dfrac{3}{2}$.

\textbf{d.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{n}{2n + (- 1)^n} = \dfrac{1}{2}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7 \hfill Notions de base sur les complexes}}

\medskip


\textbf{a.~}  $(2\text{i})^4 = - 16$.

\textbf{b.~}  La forme trigonométrique  de $- \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$ est $- 3\left[\cos \left(\dfrac{\pi}{6} \right) + \text{i}\sin \left(\dfrac{\pi}{6} \right)  \right]$.
 
\textbf{c.~}  Soit $z_1,\:z_2  \in \C,\:\: z_1 = z_2  \iff \left|z_1\right| = \left|z_2\right|$.

\textbf{d.~}  arg $\left(\dfrac{(1 + \text{i})^2}{\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \right) = - \dfrac{7\pi}{6} \quad [2\pi]$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8 \hfill Calculs d'intégrales}}

\medskip

\textbf{a.~}  $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^2}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}$.

\textbf{b.~}  $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\:\text{d}x = \sqrt{2} - 1$.
 
\textbf{c.~}  $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin x}{\cos x}\:\text{d}x = \dfrac{\ln 3}{2}$.

\textbf{d.~}  $\displaystyle\int_2^4 \dfrac{x^2 - 1}{x + 1}\:\text{d}x = 2$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 9 \hfill Étude de fonction}}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{On considère la fonction $f$ définie sur $]-1~;~1[$ par $f(x) = \dfrac{1}{1 - x^2}$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{}
(fig. ci-contre).}\hfill
\parbox{0.56\linewidth}{\psset{xunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.65)(1.1,5.15)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-1,-0.1)(1,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5](0,0)(-1,-0.1)(1,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.99}{0.99}{1 1 x dup mul sub div}
\uput[l](0.85,4.75){\blue $\mathcal{C}_f$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.5}{0.5}{1 1 x dup mul sub div}
\psline(0.5,0)(-0.5,0)(-0.5,1.3)}
\end{pspicture*}
}

\medskip
\textbf{a.~} La dérivée de $f$ est définie sur $]-1~;~1[$ par $f'(x) = \dfrac{2x}{\left(1- x^2\right)^2}$.

\textbf{b.~} La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse $x = 0,5$ est parallèle
à la droite $(D)$ d'équation $16x - 9y - 7 = 0$.

\textbf{c.~} La fonction $F$ définie sur $]-1~;~1[$ par $F(X) = - \dfrac{1}{2}\ln \left(\dfrac{1 - x}{1 + x}\right)$ est une primitive de $f$.

\textbf{d.~} L'aire du domaine (hachuré sur la figure) compris entre les droites d'équations $x = - \dfrac{1}{2},\: x = \dfrac{1}{2}$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}_f$ vaut, en unités d'aires du repère, $\dfrac{1}{2}\ln (3)$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 10 \hfill Problème autour de la fonction exponentielle}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$  par 

\[f(x) = \text{e}^{2x} -2\text{e}^{x} + 5x + 4.\]

On définit $f'$ la dérivée de $f$ et $f''$ la dérivée de $f'$.

\medskip

\textbf{a.~} $f'(x) = 2\text{e}^{2x} - 2\text{e}^{x} + 5$ et $f''(x) = 2\text{e}^{x}\left(2\text{e}^{x} -1\right)$.

\textbf{b.~} $2\text{e}^{x}  - 1 > 0 \iff  x < \ln 2$.

\textbf{c.~} La fonction $f'$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$.

\textbf{d.~} $f$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 11\hfill Problème autour de la fonction ln}}

\medskip


On considère la fonction $f$ définie sur $I = ]5~;~+ \infty[$
 par 
 
 \[f(x) = \ln (2x + 1) - 3\ln (x - 5) + 5.\]

On note $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\textbf{a.~}  $f'(x) = \dfrac{4x+ 13}{(2x+1)(5 - x)}$.

\textbf{b.~} $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $x = 5$ comme asymptote verticale.

\textbf{c.~} $f(x) = \ln \left[\dfrac{\text{e}^5(2x + 1)}{(x - 5)^3}\right]$.

\textbf{d.~} $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $y = 5$ comme asymptote horizontale en $+ \infty$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 12\hfill Utilisation des algorithmes dans une suite}}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{Soit $N$ un entier naturel.

On considère l'algorithme ALGO \no 1 ci-contre :

Par exemple, si on saisit la valeur 2 pour $N$, l'algorithme affiche le
nombre 9 comme valeur de $U$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Variables 		&$N$ 	&$I$ 	&$U$\\ \hline
Initialisation 	&2 		&---	& 1\\ \hline
Boucle pour 	&2 		&1		& 4\\ \hline
				&2 		&2		& 9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier
naturel $n$, \:$u_{n+1}  = u_n + 2n + 3$.

\medskip

\textbf{a.~}  L'algorithme ALGO \no 1 permet d'afficher la valeur de $u_N$
connaissant $N$.

\textbf{b.~} $u_4 = 16$.

\textbf{c.~} L'algorithme ALGO \no 2 permet d'afficher la valeur de $u_N$
connaissant $N$.

\textbf{d.~} Pour tout entier naturel $n,\:$

$ u_n = (n + 1)^2$.}
\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\begin{tabular}{|l|}\hline
ALGO \no 1\\
~\\
Début programme\\
\hspace{0,5cm}Lire $N$\\
\hspace{0,5cm}U prend la valeur 1\\
\hspace{0,5cm}Pour $I$ allant de 1 à $N$\\
\hspace{1cm}Début Pour\\
\hspace{1cm}$U$ prend la valeur $U + 2\times I + 1$\\
\hspace{1cm}Fin Pour\\
\hspace{0,5cm}Afficher $U$\\
Fin du programme\\ \hline
ALGO \no 2\\
~\\
Début programme\\
\hspace{0,5cm}Lire $N$\\
\hspace{0,5cm}$U$ prend la valeur 1\\
\hspace{0,5cm}$I$ prend la valeur 0\\
Tant que $I < N$ Faire\\
\hspace{1cm}Début Tant que\\
\hspace{1cm}$U$ prend la valeur $U + 2\times I + 1$\\
\hspace{1cm}$I$ prend la valeur $I + 1$\\
\hspace{1cm}Fin Tant que\\
\hspace{0,5cm}Afficher $U$\\
Fin du programme\\ \hline
\end{tabular}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 13\hfill Probabilités continues}}

\medskip

La durée de vie (exprimée en années) d'un appareil électroménager avant la première panne est une variable
aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.

\medskip

\textbf{a.~}  Pour tout réel $t$ strictement positif, $p(X\geqslant  t) = 1 - \text{e}^{ -\lambda t}$.

\textbf{b.~} Si la probabilité d'avoir une panne la première année est égale à $0,2$, alors 

$\lambda  = \ln \left(\dfrac{5}{4}\right)$.

\parbox{0.55\linewidth}{Soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale
$\mathcal{N}\left(0~;~\sigma^2\right)$ avec $\sigma > 0$.

Pour tout $u \in \R$, on pose $\Pi (u) = P(Y \leqslant  u)$.

$\Pi(u)$ représente l'aire de la surface hachurée ci-contre.

\textbf{c.~} $P(0 \leqslant Y \leqslant \sigma) > 0,4$.

\textbf{d.~} $\Pi(- \sigma) \leqslant \dfrac{1}{10}$.}\hfill
\parbox{0.43\linewidth}{\psset{yunit=1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.25)(2,3)

\def\m{0}% moyenne 
\def\s{0.5}% écart type
\def\f{3/(\s*sqrt(2*3.141))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\inf{-3} \def\sup{3}
\pscustom[fillstyle=vlines]
{
\psplot{\inf}{0.75}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(0.75,0)\lineto(-3,0)
\closepath % indispensable !
}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-0.25)(2,3)
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-3}{3}{\f}
\rput(0,1){$\Pi(u)$}
\uput[d](0.75,0){$u$}\uput[dl](0,0){$0$}
\end{pspicture}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 14\hfill Géométrie analytique}}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on donne les plans (P) et (Q) d'équations
cartésiennes respectives (P) : $x + y + 3z = 1$ et (Q) : $- y + 2z = 4$.
{

(D) est la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& - 5t + 1\\
y &=& \phantom{-}2t\\
z &=& \phantom{- 5}t - 1
\end{array}\right.\:$ pour tout $t$ réel.

\medskip

\textbf{a.~}  Le plan (Q) est orthogonal à l'axe des abscisses.

\textbf{b.~} Les plans (P) et (Q) sont sécants suivant une droite $\Delta$.

\textbf{c.~} Une équation cartésienne de $\Delta$ est $x + 5z = 5$.

\textbf{d.~} D est parallèle à $\Delta$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 15 \hfill Utilisation des complexes en géométrie}}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. On désigne par A, B, C et D les points
d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i},\: z_{\text{B}} = \text{i},\: z_{\text{C}} = 6 - \text{i}$ et $z_{\text{D}} = - 2 + 5\text{i}$.


\medskip

\textbf{a.~}  $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}} = \text{i}$.

\textbf{b.~} Le triangle ABC est équilatéral.

$x$ et $y$ désignent deux nombres réels, on note $f$ la fonction qui, à tout point $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ distinct de i, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})}{z - \text{i}}$.

\textbf{c.~} La partie imaginaire de $z'$ est $\dfrac{x^2 - 2x + y^2 + 2 y - 3}{x^2 + (y - 1)^2}$.

\textbf{d.~} L'ensemble $\gamma $ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit un réel est une droite.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 16\hfill Utilisation des algorithmes en géométrie}}

\medskip

On effectue le programme de construction ci-dessous :

\parbox{0.4\linewidth}{
\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(1.1,1)
\psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.39)(1.1,1)
\pspolygon(0,0)(0.5,0.866)(1,0)
\def\tri{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,-0.2887)}
\rput(0,0.577){\tri}\rput(0.333,0){\tri}\rput(0.6666,0.577){\tri}
\uput[ur](0,0){A} \uput[u](0.333,0){A$_1$} \uput[u](0.666,0){A$_2$} 
\uput[ur](1,0){B} \uput[r](0.82,0.3){B$_1$} \uput[ur](0.666,0.58){B$_2$} 
\uput[r](1,0.58){B$_3$} \uput[u](0.5,0.866){C} \uput[ul](0.333,0.58){C$_1$} 
\uput[l](0.167,0.3){C$_2$} \uput[ur](0,0.58){C$_3$} 
\end{pspicture}}\hfill\parbox{0.58\linewidth}{
Étape 1 :

$\bullet~~$ On divise chaque côté d'un triangle équilatéral de côté 1 en 3 segments de
même longueur (par exemple les segments : [A~;~C$_2$], [C$_2$~;~ C$_1$] et [C$_1$~;~C]).

$\bullet~~$ Sur chacun des côtés du triangle, on construit, à l'extérieur du triangle, un
triangle équilatéral ayant pour base le second segment (par exemple le triangle
C$_1$C$_2$C$_3$ ayant pour base le segment [C$_2$~;~C$_1$] pour le côté [A~;~C]).

Étapes suivantes :

Sur chaque triangle obtenu à l'étape précédente, on construit deux nouveaux
triangles équilatéraux selon le même procédé de construction que celui de
l'étape 1.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(1.1,1.1)
\psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.39)(1.1,1)
\pspolygon(0,0)(0.5,0.866)(1,0)
\def\tri{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,-0.2887)}
%\rput(0,0.577){\tri}\rput(0.333,0){\tri}\rput(0.6666,0.577){\tri}
\end{pspicture}&\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(1.1,1.1)
\psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.39)(1.1,1)
\pspolygon(0,0)(0.5,0.866)(1,0)
\def\tri{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,-0.2887)}
\rput(0,0.577){\tri}\rput(0.333,0){\tri}\rput(0.6666,0.577){\tri}
\end{pspicture}\\
Étape 0& Étape 1\\
\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(1.1,1.1)
\psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.39)(1.1,1)
\pspolygon(0,0)(0.5,0.866)(1,0)
\def\tri{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,-0.2887)}
\def\tria{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,0.2887)}
%\def\tri1{\psscaleboxto(0.333 0.33){\tri}}
\rput(0,0.577){\tri}\rput(0.333,0){\tri}\rput(0.6666,0.577){\tri}
\rput(0.111,0.577){\scalebox{0.333}{\tria}}
\rput(0.778,0.577){\scalebox{0.333}{\tria}}
\rput(0,0.38){\scalebox{0.333}{\tria}}
\rput(0.889,0.38){\scalebox{0.333}{\tria}}
\rput(0.333,-0.19){\scalebox{0.333}{\tria}}
\rput(0.56,-0.19){\scalebox{0.333}{\tria}} 
\end{pspicture}&\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(1.1,1.1)
\psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.39)(1.1,1)
\pspolygon(0,0)(0.5,0.866)(1,0)
\def\tri{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,-0.2887)}
\def\tria{\pspolygon(0,0)(0.333,0)(0.16667,0.2887)}
\rput(0,0.577){\tri}\rput(0.333,0){\tri}\rput(0.6666,0.577){\tri}
\rput(0.111,0.577){\scalebox{0.333}{\tria}}
\rput(0.778,0.577){\scalebox{0.333}{\tria}}
\rput(0,0.38){\scalebox{0.333}{\tria}}
\rput(0.889,0.38){\scalebox{0.333}{\tria}}
\rput(0.333,-0.19){\scalebox{0.333}{\tria}}
\rput(0.56,-0.19){\scalebox{0.333}{\tria}} 
\rput(0.111,0.64){\scalebox{0.111}{\tri}}
\rput(0.185,0.64){\scalebox{0.111}{\tri}}
\rput(0.78,0.64){\scalebox{0.111}{\tri}}
\rput(0.854,0.64){\scalebox{0.111}{\tri}}
\rput(0.,0.44){\scalebox{0.111}{\tri}}
\rput(0.965,0.44){\scalebox{0.111}{\tri}}
\rput(0.04,0.38){\scalebox{0.111}{\tri}}
\rput(0.92,0.38){\scalebox{0.111}{\tri}}
\rput(0.335,-0.12){\scalebox{0.111}{\tri}}
\rput(0.63,-0.12){\scalebox{0.111}{\tri}}
\rput(0.38,-0.19){\scalebox{0.111}{\tri}}
\rput(0.595,-0.19){\scalebox{0.111}{\tri}}
\end{pspicture}\\
Étape 2 &Étape 3\\
\end{tabularx}

\bigskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose :

$\bullet~~$$u_n$ le nombre de triangles construits à l'étape $n$,

$\bullet~~$$\ell_n$ la longueur du côté du triangle équilatéral construit à l'étape $n$,

$\bullet~~$$h_n$ la hauteur du triangle équilatéral construit à l'étape $n$,

$\bullet~~$$s_n$ la surface que l'on colore à l'étape $n$.

\medskip

\textbf{a.~} $h_1 = \dfrac{1}{2\times\sqrt{3}}$.

\textbf{b.~}  La suite $\left(\ell_n\right)_{n \geqslant 0}$ est une suite géométrique de raison $q =\dfrac{1}{3}$.

\textbf{c.~} $h_n = \dfrac{\sqrt{3}}{2 \times 3^n}$.

\textbf{d.~} Si $n \geqslant  1$, \: alors $s_n = \dfrac{3 \times \sqrt{3} \times \left(\dfrac{2}{9}\right)^n}{8}$.
\end{document}