\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !}} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-func,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale S FESIC--Puissance 11}, pdftitle = {13 mai 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Concours Fesic--Puissance 11 -- 13 mai 2017} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Terminale S}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic--Puissance 11 -- 13 mai 2017 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h ; répondre par Vrai ou Faux sans justification.\\ $+ 1$ si bonne réponse, $- 1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1\hfill }} \textbf{Lecture graphique} \medskip Dans le repère orthonormé \Oij, on donne les points A(0,4~;~3,6), B(3~;~1), C(1~;~1), D(1~;~2), E(0~;~2), F(1~;~0), G(3~;~3) et H(2~;~1). \smallskip \parbox{0.53\linewidth}{Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies sur l'intervalle [0~;~3] de courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_u$ et $\mathcal{C}_v$ tracées ci-contre. On donne les informations suivantes: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]La droite (OA) est tangente à $\mathcal{C}_u$ à l'origine du repère . \item[$\bullet~~$]La droite (AB) est tangente à $\mathcal{C}_u$ au point B . \item[$\bullet~~$]Les droites (EF) et (GH) sont tangentes à $\mathcal{C}_v$ respectivement aux points E et G. \item[$\bullet~~$]$\mathcal{C}_u$ et $\mathcal{C}_v$ admettent respectivement aux points D et C une tangente horizontale. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm}} \hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1.3cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(4.2,4.2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(4.2,4.2) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(4.2,4.2) \psline(-0.4,2.8)(1.25,-0.5)(3.5,4) \psline(0,4)(4,0)\psline(0,0)(0.4444,4) \psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(0.4,3.6)(2,1.35)(3,1) %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3}{x dup mul 2 mul 3 div x 5 mul 3 div sub 2 add} \uput[ur](0.4,3.6){A} \uput[ur](3,1){B} \uput[ur](1,1){C} \uput[u](1,2){D} \uput[dl](0,2){E} \uput[ur](1,0){F} \uput[ul](3,3){G} \uput[dr](2,1){H} \uput[d](2.5,1.3){\blue $\mathcal{C}_u$} \uput[u](2.5,2.4){\red $\mathcal{C}_v$} \psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,2)(0.6,1)(1,0)(3,3) \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} } \medskip \textbf{a.} $v'(3) = 3$. \textbf{b.} $u'(0)=9$. \textbf{c.} $\left(\dfrac{1}{v}\right)'(1) = v'(1)$. \textbf{d.} $(u \times v)'(3) = 1$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \textbf{Petites questions de logique sur les fonctions} \medskip Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur [0~;~1] . \medskip \textbf{a.} $f(0,5)$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$· \textbf{b.} Si $f(0) > 1$ et $f(1) < 0$ alors l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution dans l'intervalle [0~;~1]. \parbox{0.6\linewidth}{Soit $g$ une fonction définie sur l'intervalle $[- 2,5~;~4,5]$ de courbe représentative $\mathcal{C}_g$ ci-contre. \textbf{c.} Si $g(x) = 0$ alors $x = 4$. \textbf{d.} Si $x \in \{-1~;~0~;~2~;~4\}$ alors $g'(x)\times g(x) = 0$.} \hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(-3,-2)(5,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-2)(5,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(5,3) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.4,3)(-2,0)(-1.5,-0.75)(-1,-1)(0,0)(1,1.32)(2,2)(3,1.45)(4,0)(4.5,-1) \uput[u](3.6,0.6){\blue $\mathcal{C}_g$} \psline[linewidth=1pt]{<->}(-2,-1)(0,-1) \psline[linewidth=1pt]{<->}(1,2)(3,2) \end{pspicture} } \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \textbf{Suites et algorithmes} \medskip On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2 + 12}$. Pour tout entier naturel $n$ on pose $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n^2 - 4$. On donne les valeurs arrondies à $10^{-2}$ suivantes: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\sqrt{2}$&$\sqrt{3}$&$\sqrt{5}$&$\sqrt{6}$&$\sqrt{7}$&$\sqrt{8}$&$\sqrt{10}$&$\sqrt{11}$&$\sqrt{12}$&$\sqrt{13}$&$\sqrt{14}$&$\sqrt{15}$\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{8mm}1,41&1,73&2,24&2,45&2,62&2,83&3,16&3,32&3,46&3,61&3,74&3,87\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{a.} $u_1 = \sqrt{3}$, \: $u_2 = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$ et $u_3 = \dfrac{3\sqrt{7}}{4}$. \textbf{b.} La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique . \textbf{c.} On démontre que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = \sqrt{\dfrac{4^n - 1}{4^{n-1}}}$. \medskip \parbox{0.3\linewidth}{ On considère l'algorithme suivant : \vspace{1cm}} \textbf{d.} Si $E = 0,1$ alors $N = 2$. \hfill \parbox{0.68\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline Variables &$N$ est un nombre entier naturel\\ &$U$ est un nombre réel\\ &$E$ est un nombre réel\\\hline Traitement &Lire $E$\\ &Affecter à $N$ la valeur $0$\\ &Affecter à $U$ la valeur $0$\\ &Tant que $2 - U > E$ faire\\ &\hspace{0.3cm}Début Tant que\\ &\hspace{0.3cm}$U$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{U^2 + 12}}{2}$\\ &\hspace{0.3cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ &Fin Tant que\\\hline Sortie &Afficher $N$\\ \hline \end{tabularx}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}} \textbf{Limites et asymptotes} \medskip \textbf{a.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{3x+1}{x^2 - 3} = - \infty$. \textbf{b.}$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{2}{3}x\text{e}^x = - \infty$. Soit $f$ la fonction définie sur $]-1~;~ +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 1} + 1}{x + 1}$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans le repère orthonormé \Oij. \textbf{c.} $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $y = 1$ comme asymptote horizontale en $+ \infty$. \textbf{d.} $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $x = - 1$ comme asymptote verticale. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5}} \textbf{Calculs d'intégrales} \medskip \textbf{a.} $\displaystyle\int_0^1 2x\text{e}^{x^2}\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}^2}{2}$. \textbf{b.} $\displaystyle\int_1^2 \left(2 - \dfrac{3}{x^2} \right)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}$. \textbf{c.} $\displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{1}{\sqrt{t}}\:\text{d}t = 2\left(\text{e} - \text{e}^{\frac{1}{2}} \right)$. \textbf{d.} $\displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{1}{x} \ln (x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{\text{e}}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 6}} \textbf{Étude de deux fonctions} \medskip Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par $f(x) = \ln (2x)$ et $g(x) = \ln \left(x^2 - 1\right)$ de courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \medskip \textbf{a.} $g\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0$. \textbf{b.} $g'(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}$. \textbf{c.} La tangente à $\mathcal{C}_g$ en $x = \sqrt{2}$ a pour équation $y = 2\sqrt{2}x - 4$. \textbf{d.} Si $x \in \left]1~;~1 + \sqrt{2}\right]$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est située au dessus de $\mathcal{C}_f$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 7}} \textbf{Étude d'une fonction exponentielle} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{x^2 - 2x}$. \medskip \textbf{a.} $f(1)= -\dfrac{1}{\text{e}}$. \textbf{b.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \textbf{c.} $f'(x) = f(x)$. \textbf{d.} L'équation $f(x) = \dfrac{1}{3}$ admet deux solutions dans $\R$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 8}} \textbf{Notions de base sur les complexes} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. Le point A a pour affixe $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$. Soit $C$ le cercle de centre O passant par le point A. Soit B un point de $C$ d'affixe réelle $z_{\text{B}}$ positive. On définit le point E tel que le quadrilatère OBEA soit un losange. \medskip \textbf{a.} $z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. \textbf{b.} L'affixe du point B est $z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2}$. \textbf{c.} L'affixe du point E est $z_{\text{E}} = \left(1 + \sqrt{2}\right) + \text{i}$. \textbf{d.} $\text{OE} = 2\sqrt{2}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 9}} \textbf{Petit exercice de probabilité} \medskip Mon vélo est sujet à de trop fréquentes crevaisons. Une fois sur dix, quand je prends mon vélo au moins l'une des deux roues est crevée ; la probabilité que la roue avant soit crevée vaut $0,05$ et les crevaisons à la roue avant et à la roue arrière sont indépendantes. \medskip \parbox{0.62\linewidth}{Je vais chercher mon vélo un jour quelconque, on note : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$V$ l'évènement \og la roue avant est crevée \fg. \item[$\bullet~~$]$R$ l'évènement \og la roue arrière est crevée \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm}}\hfill \parbox{0.36\linewidth}{ \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$V$~} \naput{0,05}} {\TR{$R$} \naput{\ldots} \TR{$\overline{R}$} \nbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{V}$~} \nbput{\ldots}} {\TR{$R$} \naput{\ldots} \TR{$\overline{R}$} \nbput{\ldots} } } } \medskip \textbf{a.} $P(V \cup R) = 0,1$ et $P(V \cap R) = 0,05 \times P(R)$. \textbf{b.} J'ai constaté que la roue arrière était crevée ; la probabilité que la roue avant le soit également vaut $0,05$. \textbf{c.} La roue avant et la roue arrière ont la même probabilité d'être crevées. \textbf{d.} Il y a une chance sur 380 pour que les deux roues soient crevées. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 10}} \textbf{Probabilités continues} \medskip Soit $\mu_1$ et $\mu_2$ deux nombres réels, $\sigma_1$ et $\sigma_2$ deux nombres réels positifs. Sur le graphique ci-dessous ont été représentées $\mathcal{C}_{f_1}$ et $\mathcal{C}_{f_2}$ respectivement les courbes représentatives des fonctions densité $f_1$ et $f_2$ de deux lois normales $\mathcal{N}\left(\mu_1~;~\sigma_1^2\right)$ et $\mathcal{N}\left(\mu_2~;~\sigma_2^2\right)$. \begin{center} \psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(-3,-1)(3,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-0.5)(3,1) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3,-0.5)(3,1) \rput(0,-0.8){($\mathcal{C}_{f_1}$ en pointillés et $\mathcal{C}_{f_2}$ en trait plein)} %\psplot[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-3}{3}{2 2 3.14159265 mul sqrt mul 2.71828 x 2 div 2 exp exp div 0.125 mul} %\psplot[linewidth=1.25pt]{-3}{3}{0.5 2 3.14159265 mul sqrt mul 2.71828 x 0.8 sub 0.5 div 2 exp exp div 0.5 mul} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-3}{3}{x 0 1.25 GAUSS} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{3}{x 0.75 0.5 GAUSS} \uput[u](-1.5,0.25){\blue $\mathcal{C}_{f_1}$}\uput[u](0.8,0.8){\red $\mathcal{C}_{f_2}$} \end{pspicture} \end{center} \textbf{a.} $\mu_1 < \mu_2$ et $\sigma_1 < \sigma_2$. \medskip \parbox{0.5\linewidth}{Soit $\lambda_1$ et $\lambda_2$ deux nombres réels strictement positifs. Sur le graphique ci-contre ont été représentées $\mathcal{C}_{g_1}$ et $\mathcal{C}_{g_2}$ respectivement les courbes représentatives des fonctions densité $g_1$ et $g_2$ de deux lois exponentielles de paramètres respectifs $\lambda_1$ et $\lambda_2$.} \hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1.2)(4,3.25) \psaxes[linewidth=1.25pt]{-}(0,0)(0,0)(4,3.25) \psplot[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{4}{2.71828 x neg exp} \psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{2.5 2.71828 x 2.5 mul exp div} \rput(1.5,-1.1){($\mathcal{C}_{g_1}$ en pointillés et $\mathcal{C}_{g_2}$ en trait plein)} \uput[u](2.5,0.15){$\mathcal{C}_{g_1}$}\uput[r](0.15,2){$\mathcal{C}_{g_2}$} \end{pspicture}} \textbf{b.} $\lambda_1 < \lambda_2$. \medskip Dans une région agricole, le rendement des parcelles de blé peut être assimilé à une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $100$ et d'écart-type $8$ (en quintaux par hectare.) On choisit une parcelle au hasard et on note $R$ son rendement. \textbf{c.} La variable aléatoire $Z = \dfrac{R -100}{8^2}$ suit la loi normale centrée réduite. \textbf{d.} La probabilité que la parcelle ait un rendement inférieur à $116$ quintaux par hectare est égale à $0,9$. \newpage \textbf{\textsc{Exercice 11}} \textbf{Notions de base dans l'espace} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère des deux plans (P) et (Q) d'équations cartésiennes respectives (P) :$\: x - y = 0$ et (Q) :\: $y + 2z - 3 = 0$. Ces plans se coupent selon une droite $\Delta$ et on pose K le point de coordonnées K(1~;~0~;~2). \medskip \textbf{a.} (P) et (Q) sont deux plans orthogonaux, \textbf{b.} Le vecteur $\vect{u}(2~;~2~;~-1)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$. \textbf{c.} $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&t\\ y &=& t \\ z &=&\dfrac{3 - t}{2} \end{array}\right.$ avec $t \in \R$ est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. \textbf{d.} Le plan (R) d'équation cartésienne $2x + 2y - z = 0$ est parallèle à $\Delta$ et contient la droite (OK). \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 12}} \textbf{Utilisation des complexes en géométrie} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. Soit (E) l'équation $z^2 - 6z + 12 = 0$. \textbf{a.} (E) admet deux solutions complexes $z_1$ et $z_2$. On pose $z_1$ la solution ayant une partie imaginaire positive. \textbf{b.} $4 - z_1 = 2\text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 4$ et $M_1$ et $M_2$ les points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$. \textbf{c.} $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M_1}\right) = \dfrac{\pi}{6}\:\: (\text{mod} 2\pi)$. \textbf{d.} Le point $M_1$ est situé sur le cercle de diamètre [OA]. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 13}} \medskip \textbf{Un peu de trigonométrie dans l'escargot} Dans le triangle OA$_0\text{B}_0$ isocèle en O, A$_1$ est le milieu du segment $\left[\text{A}_0~;~\text{B}_0\right]$. On note B$_1$ le symétrique de A$_1$ par rapport à la droite $\left(\text{OB}_0\right)$ et A$_2$ le milieu du segment $\left[\text{A}_1~;~\text{B}_1\right]$. En réitérant le processus on obtient, pour tout entier naturel $n$, une suite de triangles isocèles OA$_n$B$_n$ (cf figure ci -dessous). On pose $\alpha = \widehat{\text{A}_0\text{O}\text{A}_1}$ et $\ell = \text{OA}_0$. \begin{center} \psset{unit=1.05cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(4,3) %\psgrid \def\tri{\pspolygon(0;0)(3;-112)(3;-68)\psline(0;0)(2.782;-90)\uput[dl](3;-112){\footnotesize A$_0$} \uput[dr](2.782;-90){\footnotesize A$_1$}\uput[r](3;-68){\footnotesize B$_0$}} \tri \rput{22}{\pspolygon(0;0)(2.782;-112)(2.782;-68)\psline(0;0)(2.782;-90)} \rput{44}{\pspolygon(0;0)(2.579;-112)(2.579;-68)\psline(0;0)(2.391;-90)} \rput{66}{\pspolygon(0;0)(2.391;-112)(2.391;-68)\psline(0;0)(2.217;-90)} \rput{88}{\pspolygon(0;0)(2.217;-112)(2.217;-68)\psline(0;0)(2.056;-90)} \rput{110}{\pspolygon(0;0)(2.056;-112)(2.056;-68)\psline(0;0)(1.906;-90)} \rput{132}{\pspolygon(0;0)(1.906;-112)(1.906;-68)\psline(0;0)(1.767;-90)} \rput{154}{\pspolygon(0;0)(1.767;-112)(1.767;-68)\psline(0;0)(1.639;-90)} \rput{176}{\pspolygon(0;0)(1.639;-112)(1.639;-68)\psline(0;0)(1.519;-90)} %\rput{198}{\pspolygon(0;0)(1.519;-112)(1.519;-68)\psline(0;0)(1.409;-90)} \uput[r](0.9,-2.4){\footnotesize A$_2$} \uput[r](1.95,-2){\footnotesize B$_1$} \uput[r](1.65,-1.7){\footnotesize A$_3$} \uput[r](2.4,-1){\footnotesize B$_2$} \uput[ur](2,-1){\footnotesize A$_4$} \uput[r](2.4,-0.1){\footnotesize B$_3$} \uput[ur](2.05,-0.1){\footnotesize A$_5$} \uput[r](2.1,0.8){\footnotesize B$_4$} \uput[u](1.9,0.6){\footnotesize A$_6$} \uput[u](1.55,1.4){\footnotesize B$_5$} \uput[u](1.3,1.2){\footnotesize A$_7$} \uput[u](0.8,1.75){\footnotesize B$_6$} \uput[u](0.7,1.5){\footnotesize A$_8$} \uput[ul](0.5,1.8){\footnotesize B$_7$} \uput[l](0.1,1.65){\footnotesize A$_9$} \uput[l](-0.5,1.6){\footnotesize B$_8$} \rput(-0.1,-0.6){\footnotesize $\alpha$}\rput(-0.7,-1.3){$\ell$} \uput[l](0,0){\footnotesize O} \psframe(0,-2.8)(-0.2,-2.6) \rput{21.4}(0.95,-2.4){\psframe(0,0)(0.2,0.2)} \rput{42.8}(1.66,-1.77){\psframe(0,0)(0.2,0.2)} \rput{64.2}(2,-0.9){\psframe(0,0)(0.2,0.2)} \rput{85.6}(2.02,-0.07){\psframe(0,0)(0.2,0.2)} \rput{107}(1.8,0.62){\psframe(0,0)(0.2,0.2)} \rput{128.4}(1.3,1.18){\psframe(0,0)(0.2,0.2)} \rput{149.8}(0.7,1.46){\psframe(0,0)(0.2,0.2)} \rput{171.2}(0.1,1.5){\psframe(0,0)(0.2,0.2)} %\multido{\n=22+22}{7}{\rput{\n}(0;0){\psscalebox{0.8}{\tri}}} \uput[d](0,-3.5){\og Il y a loin de la route aux escargots \fg} \uput[d](0,-4){Paul Éluard - Proverbes} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{a.} Pour tout entier naturel $n$ on a $\text{OA}_{n+1} = \sin \alpha \times \text{OA}_n$ et $\text{A}_n\text{A}_{n+1} = \cos \alpha \times \text{OA}_n$. \textbf{b.} Pour tout entier naturel $n$ on a $\text{OA}_n = \ell \times (\cos \alpha)^n$. \smallskip On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(L_n\right)$ définie par $L_n = \text{A}_0\text{A}_1 + \text{A}_1\text{A}_2 + \cdots + \text{A}_{n-1}\text{A}_n$. \textbf{c.} $L_n = \ell \times \sin \alpha \times \dfrac{1 - (\cos \alpha)^{n+1}}{1 - \cos \alpha}$. On rappelle que, pour tout réel $x$, on a $\sin^2(x) = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ et $\sin (2x) = 2 \times \sin x \times \cos x$. \textbf{d.} $L_n = \ell \times \dfrac{1 - (\cos \alpha)^{n}}{\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 14}} \textbf{Fonction dépendant d'un paramètre} \medskip Pour tout nombre réel $k$ strictement positif, on définit la fonction $f_k$ par $f_k(x) = (x + k )\text{e}^{-x}$ de courbe représentative $\mathcal{C}_k$. \smallskip \textbf{Par exemple si \boldmath $k = 7$, la fonction $f_7$ est définie sur $\R${} par $f_7(x) = (x + 7)\text{e}^{-x}$ \:de courbe représentative $\mathcal{C}_7$.} \unboldmath \smallskip \textbf{a.} $\mathcal{C}_k$ coupe les axes du repère aux points de coordonnées $(k~;~0)$ et $(0~;~k)$. \textbf{b.} Si $k = 3$ alors la fonction $f_3$ admet $\text{e}^2$ comme minimum sur $\R$. \textbf{c.} La fonction $F_k$, définie par $F_k(x) = (- x- 1- k)\text{e}^{-x}$ est une primitive de $f_k$. \textbf{d.} L'aire de la portion de plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_3$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale à $4 - 5\text{e}^{-1}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 15}} \textbf{Notions d'espace dans un cube} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{ABCDEFGH est un cube de côté 1 et $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$ est un repère orthonormé de l'espace. \textbf{a.} Le volume du tétraèdre BCDG est égal à $\dfrac{1}{6}$. \textbf{b.} L'aire du triangle BDG est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.}\hfill \parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-1.5,0)(8,5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(5.1,0)(8,2.8)(2.9,2.8) \psframe(2.2,0.8)(4.5,3.1)%ABFE \psline(4.5,0.8)(5.6,2)(5.6,4.3)(4.5,3.1)%BCGF \psline(5.6,4.3)(3.3,4.3)(2.2,3.1)%GHE \psline[linestyle=dashed](2.2,0.8)(3.3,2)(3.3,4.3)%ADH \psline[linestyle=dashed](3.3,2)(5.6,2)% \uput[dl](2.2,0.8){A} \uput[dr](4.5,0.8){B} \uput[r](5.6,2){C} \uput[l](3.3,2){D} \uput[ul](2.2,3.1){E} \uput[r](4.5,3.1){F} \uput[ur](5.6,4.3){G} \uput[ul](3.3,4.3){H} \end{pspicture} } \medskip \parbox{0.6\linewidth}{\textbf{Définition} : On appelle \textbf{distance du point \boldmath $\Omega$\unboldmath{} au plan} (P) la plus petite distance $\Omega M$ avec $M$ un point du plan (P), elle représente la distance $\Omega$H avec H le projeté orthogonal du point $\Omega$ dans le plan (P), \textbf{c.} La distance du point C au plan (BDG) est égale à $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$. \textbf{d.} Une équation cartésienne du plan (BDG) est $x + y - z - 1 = 0$}\hfill \parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-1,0)(6.5,5.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0.5)(4.4,0.5)(6.4,2.2)(2,2.2) \psline(3.5,0)(3.5,0.5) \psline[linestyle=dotted](3.5,0.5)(3.5,1.4) \pspolygon(3.5,1.4)(3.5,4.3)(1.7,1) \rput(5.7,1.9){P} \uput[u](3.5,4.3){$\Omega$} \uput[l](1.7,1){$M$} \uput[r](3.5,1.4){H} %\psgrid \psline(3.3,1.37)(3.3,1.6)(3.5,1.65) \psarc(6.4,2.2){1cm}{180}{222} \end{pspicture} } \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 16}} \textbf{Étude d'une spirale} \medskip Soit \Oij{} un repère orthonormé du plan. $D_1$ et $D_2$ sont les droites d'équations $D_1 : \: y = - x$, \: $D_2 : \: y = x$ et M$_0$ représente le point de coordonnées (2~;~0). On construit M$_1$ le projeté orthogonal de M$_0$ sur la droite $D_2$,\: M$_2$ le projeté orthogonal de M$_1$ sur l'axe des ordonnées, M$_3$ le projeté orthogonal de M$_2$ sur la droite $D_1$ et M$_4$ le projeté orthogonal de M$_3$ sur l'axe des abscisses. On réitère le même procédé afin de définir, pour tout entier naturel $n$ , la suite de points $\left(\text{M}_n\right)$ représentée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=3cm} \begin{pspicture}(-1,-0.75)(2.1,1.2) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-0.5)(2.1,1.2) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1) \psline(2,0)(1,1)(0,1)(-0.5,0.5)(-0.5,0)(-0.25,-0.25)(0,-0.25)(0.125,-0.125)(0.125,0)(0.0625,0.0625)%M_0M_1M_2M_3M_4M_5M_6M_7M_8M_9 \uput[u](2,0){\footnotesize M$_0$} \uput[ul](1,1){\footnotesize M$_1$} \uput[ul](0,1){\footnotesize M$_2$} \uput[dl](-0.5,0.5){\footnotesize M$_3$} \uput[dl](-0.5,0){\footnotesize M$_4$} \uput[dr](-0.25,-0.25){\footnotesize M$_5$} \uput[dr](0,-0.25){\footnotesize M$_6$} \uput[r](0.125,-0.125){\footnotesize M$_7$} \uput[ur](0.125,0){\footnotesize M$_8$} \uput[u](0.0625,0.0625){\footnotesize M$_9$} \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-0.5,-0.5)(1.2,1.2) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1,1)(0.5,-0.5) \rput{-90}(0,1){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)} \rput{-45}(-0.5,0.5){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)} \rput(-0.5,0){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)} \rput{45}(-0.25,-0.25){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)} \rput{90}(0,-0.25){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)} \rput{-225}(0.125,-0.125){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.05,0.05)} \rput{-135}(0.0625,0.0625){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.05,0.05)} \rput{-135}(1,1){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)} \rput{-135}(1,1){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)} \uput[d](1,0){$a$}\uput[d](2,0){2}\uput[ul](-0.5,0){$b$} \rput{45}(1.2,1.1){\blue $D_2 : y = x$} \rput{-45}(-0.9,0.8){\red $D_1 : y = - x$} \end{pspicture} \end{center} On note $a$ l'abscisse du point M$_1$ et $b$ l'abscisse du point M$_4$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels. \medskip \textbf{a.} $a = 1$ et $\text{M}_1\text{M}_2 = 1$. \textbf{b.} $\text{M}_2\text{M}_3 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \smallskip Pour tout entier naturel $n$, on définit les suites $\left(l_n\right)$ et $\left(S_n\right)$ à l'aide des relations \[l_n = \text{M}_n\text{M}_{n+1}\quad \text{et}\quad S_n = \sum_{k=0}^n l_k.\] \textbf{c.} $l_{n+1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times l_n$. \textbf{d.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = 2\sqrt{2} + 1$. \end{document}