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%tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Terminale S FESIC--Puissance 11},
pdftitle = {13 mai 2017},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Concours Fesic--Puissance 11 -- 13 mai 2017}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic--Puissance 11 -- 13 mai 2017 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h ; répondre par Vrai ou Faux sans justification.\\ 
$+ 1$ si bonne réponse, $- 1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1\hfill }}

\textbf{Lecture graphique}

\medskip

Dans le repère orthonormé \Oij, on donne les points
A(0,4~;~3,6), B(3~;~1), C(1~;~1), D(1~;~2), E(0~;~2),
F(1~;~0), G(3~;~3) et H(2~;~1).

\smallskip

\parbox{0.53\linewidth}{Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies sur l'intervalle [0~;~3]
de courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_u$ et $\mathcal{C}_v$ tracées
ci-contre.

On donne les informations suivantes:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]La droite (OA) est tangente à $\mathcal{C}_u$ à l'origine du
repère .
\item[$\bullet~~$]La droite (AB) est tangente à $\mathcal{C}_u$ au point B .
\item[$\bullet~~$]Les droites (EF) et (GH) sont tangentes à $\mathcal{C}_v$
respectivement aux points E et G.
\item[$\bullet~~$]$\mathcal{C}_u$ et $\mathcal{C}_v$ admettent respectivement aux points D
et C une tangente horizontale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}}
\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(4.2,4.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(4.2,4.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(4.2,4.2)
\psline(-0.4,2.8)(1.25,-0.5)(3.5,4)
\psline(0,4)(4,0)\psline(0,0)(0.4444,4)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(0.4,3.6)(2,1.35)(3,1)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3}{x  dup mul 2 mul 3 div x 5 mul 3 div sub 2 add}
\uput[ur](0.4,3.6){A} \uput[ur](3,1){B} \uput[ur](1,1){C} \uput[u](1,2){D} 
\uput[dl](0,2){E} \uput[ur](1,0){F} \uput[ul](3,3){G} \uput[dr](2,1){H} 
\uput[d](2.5,1.3){\blue $\mathcal{C}_u$} \uput[u](2.5,2.4){\red $\mathcal{C}_v$}
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,2)(0.6,1)(1,0)(3,3)
\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture*}
}

\medskip

\textbf{a.} $v'(3) = 3$.

\textbf{b.}  $u'(0)=9$.

\textbf{c.} $\left(\dfrac{1}{v}\right)'(1) = v'(1)$.

\textbf{d.} $(u \times v)'(3) = 1$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\textbf{Petites questions de logique sur les fonctions}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur [0~;~1] .

\medskip

\textbf{a.} $f(0,5)$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$·

\textbf{b.} Si $f(0) > 1$ et $f(1) < 0$ alors l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution dans
l'intervalle [0~;~1].

\parbox{0.6\linewidth}{Soit $g$ une fonction définie sur l'intervalle $[- 2,5~;~4,5]$
de courbe représentative $\mathcal{C}_g$ ci-contre.


\textbf{c.} Si $g(x) = 0$ alors $x = 4$.

\textbf{d.} Si $x \in \{-1~;~0~;~2~;~4\}$ alors $g'(x)\times g(x) = 0$.}
\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-2)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(5,3)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.4,3)(-2,0)(-1.5,-0.75)(-1,-1)(0,0)(1,1.32)(2,2)(3,1.45)(4,0)(4.5,-1)
\uput[u](3.6,0.6){\blue $\mathcal{C}_g$}
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-2,-1)(0,-1)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(1,2)(3,2)
\end{pspicture}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\textbf{Suites et algorithmes}

\medskip

On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2 + 12}$.

Pour tout entier naturel $n$ on pose $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n^2 - 4$.

On donne les valeurs arrondies à $10^{-2}$ suivantes:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\sqrt{2}$&$\sqrt{3}$&$\sqrt{5}$&$\sqrt{6}$&$\sqrt{7}$&$\sqrt{8}$&$\sqrt{10}$&$\sqrt{11}$&$\sqrt{12}$&$\sqrt{13}$&$\sqrt{14}$&$\sqrt{15}$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}1,41&1,73&2,24&2,45&2,62&2,83&3,16&3,32&3,46&3,61&3,74&3,87\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{a.}  $u_1 = \sqrt{3}$, \:  $u_2 = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$  et $u_3 = \dfrac{3\sqrt{7}}{4}$.

\textbf{b.} La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique .

\textbf{c.} On démontre  que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = \sqrt{\dfrac{4^n - 1}{4^{n-1}}}$.

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{
On considère l'algorithme suivant :

\vspace{1cm}}

\textbf{d.} Si $E = 0,1$ alors $N = 2$.
\hfill \parbox{0.68\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables 	&$N$ est un nombre entier naturel\\
			&$U$ est un nombre réel\\
			&$E$ est un nombre réel\\\hline
Traitement 	&Lire $E$\\
			&Affecter à $N$ la valeur $0$\\
			&Affecter à $U$ la valeur $0$\\
			&Tant que $2 - U > E$ faire\\
			&\hspace{0.3cm}Début Tant que\\
			&\hspace{0.3cm}$U$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{U^2 + 12}}{2}$\\
			&\hspace{0.3cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
			&Fin Tant que\\\hline
Sortie		&Afficher  $N$\\ \hline
\end{tabularx}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}



\textbf{Limites et asymptotes}

\medskip

\textbf{a.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{3x+1}{x^2 - 3} = - \infty$.

\textbf{b.}$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{2}{3}x\text{e}^x = - \infty$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1~;~ +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 1} + 1}{x + 1}$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans le repère orthonormé \Oij.

\textbf{c.} $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $y = 1$ comme asymptote horizontale en $+ \infty$.

\textbf{d.} $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $x = - 1$ comme asymptote verticale.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\textbf{Calculs d'intégrales}

\medskip

\textbf{a.} $\displaystyle\int_0^1  2x\text{e}^{x^2}\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}^2}{2}$.

\textbf{b.} $\displaystyle\int_1^2 \left(2 - \dfrac{3}{x^2} \right)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}$.

\textbf{c.} $\displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{1}{\sqrt{t}}\:\text{d}t = 2\left(\text{e} - \text{e}^{\frac{1}{2}} \right)$.

\textbf{d.} $\displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{1}{x} \ln (x)\:\text{d}x  = \dfrac{3}{\text{e}}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\textbf{Étude de deux fonctions}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par $f(x) = \ln (2x)$ et $g(x) = \ln \left(x^2 - 1\right)$ de courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

\medskip

\textbf{a.} $g\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0$.

\textbf{b.} $g'(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}$.

\textbf{c.} La tangente à $\mathcal{C}_g$ en $x = \sqrt{2}$ a pour équation $y = 2\sqrt{2}x - 4$.

\textbf{d.} Si $x \in  \left]1~;~1 + \sqrt{2}\right]$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est située au dessus de $\mathcal{C}_f$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\textbf{Étude d'une fonction exponentielle}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{x^2 - 2x}$.

\medskip

\textbf{a.} $f(1)= -\dfrac{1}{\text{e}}$.

\textbf{b.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  f(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x)$.

\textbf{c.} $f'(x) = f(x)$.

\textbf{d.} L'équation $f(x) = \dfrac{1}{3}$ admet deux solutions dans $\R$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\textbf{Notions de base sur les complexes}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

Le point A a pour affixe $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$.

Soit $C$ le cercle de centre O passant par le point A.

Soit B un point de $C$ d'affixe réelle $z_{\text{B}}$ positive.

On définit le point E tel que le quadrilatère OBEA soit un losange.

\medskip

\textbf{a.} $z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.

\textbf{b.} L'affixe du point B est $z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2}$.

\textbf{c.} L'affixe du point E est $z_{\text{E}} = \left(1 + \sqrt{2}\right) + \text{i}$.

\textbf{d.} $\text{OE} = 2\sqrt{2}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\textbf{Petit exercice de probabilité}

\medskip

Mon vélo est sujet à de trop fréquentes crevaisons.

Une fois sur dix, quand je prends mon vélo au moins l'une des deux roues est crevée ; la probabilité que la
roue avant soit crevée vaut $0,05$ et les crevaisons à la roue avant et à la roue arrière sont indépendantes.

\medskip

\parbox{0.62\linewidth}{Je vais chercher mon vélo un jour quelconque, on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$V$ l'évènement \og la roue avant est crevée \fg.
\item[$\bullet~~$]$R$ l'évènement \og la roue arrière est crevée \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}}\hfill
\parbox{0.36\linewidth}{
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$~} \naput{0,05}}
	{\TR{$R$} \naput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$} \nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V}$~} \nbput{\ldots}}
	{\TR{$R$} \naput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$} \nbput{\ldots}
	}
}
}

\medskip

\textbf{a.} $P(V \cup R) = 0,1$ et $P(V \cap R) = 0,05 \times P(R)$.

\textbf{b.} J'ai constaté que la roue arrière était crevée ; la probabilité que la roue avant le soit également vaut $0,05$.

\textbf{c.} La roue avant et la roue arrière ont la même probabilité d'être crevées.

\textbf{d.} Il y a une chance sur 380 pour que les deux roues soient crevées.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\textbf{Probabilités continues}

\medskip

Soit $\mu_1$ et $\mu_2$ deux nombres réels, $\sigma_1$ et $\sigma_2$ deux nombres réels positifs.

Sur le graphique ci-dessous ont été représentées $\mathcal{C}_{f_1}$ et $\mathcal{C}_{f_2}$ respectivement les courbes représentatives des fonctions densité $f_1$ et $f_2$ de deux lois normales 
$\mathcal{N}\left(\mu_1~;~\sigma_1^2\right)$ et $\mathcal{N}\left(\mu_2~;~\sigma_2^2\right)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-0.5)(3,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3,-0.5)(3,1)
\rput(0,-0.8){($\mathcal{C}_{f_1}$ en pointillés et $\mathcal{C}_{f_2}$ en trait plein)}
%\psplot[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-3}{3}{2 2 3.14159265 mul sqrt mul 2.71828 x  2 div 2 exp exp div  0.125 mul}
%\psplot[linewidth=1.25pt]{-3}{3}{0.5 2 3.14159265 mul sqrt mul 2.71828 x  0.8 sub 0.5 div 2 exp exp div  0.5 mul}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-3}{3}{x 0 1.25 GAUSS}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{3}{x 0.75 0.5 GAUSS}
\uput[u](-1.5,0.25){\blue $\mathcal{C}_{f_1}$}\uput[u](0.8,0.8){\red $\mathcal{C}_{f_2}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{a.} $\mu_1 < \mu_2$ et $\sigma_1 < \sigma_2$.

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{Soit $\lambda_1$ et $\lambda_2$ deux nombres réels strictement positifs.

Sur le graphique ci-contre ont été représentées $\mathcal{C}_{g_1}$ et $\mathcal{C}_{g_2}$ respectivement les courbes représentatives des fonctions densité $g_1$ et $g_2$ de deux lois exponentielles de paramètres respectifs $\lambda_1$ et $\lambda_2$.} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.2)(4,3.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{-}(0,0)(0,0)(4,3.25)
\psplot[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{4}{2.71828 x neg exp}
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{2.5 2.71828 x 2.5 mul  exp div}
\rput(1.5,-1.1){($\mathcal{C}_{g_1}$ en pointillés et $\mathcal{C}_{g_2}$ en trait plein)}
\uput[u](2.5,0.15){$\mathcal{C}_{g_1}$}\uput[r](0.15,2){$\mathcal{C}_{g_2}$}
\end{pspicture}}


\textbf{b.} $\lambda_1 < \lambda_2$.

\medskip

Dans une région agricole, le rendement des parcelles de blé peut être assimilé à une variable aléatoire
suivant la loi normale d'espérance $100$ et d'écart-type $8$ (en quintaux par hectare.)

On choisit une parcelle au hasard et on note $R$ son rendement.

\textbf{c.} La variable aléatoire $Z = \dfrac{R -100}{8^2}$ suit la loi normale centrée réduite.


\textbf{d.} La probabilité que la parcelle ait un rendement inférieur à $116$ quintaux par hectare est égale à $0,9$.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\textbf{Notions de base dans l'espace}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère des deux plans (P) et (Q)
d'équations cartésiennes respectives (P) :$\: x - y = 0$ et (Q) :\: $y + 2z - 3 = 0$.

Ces plans se coupent selon une droite $\Delta$ et on pose K le point de coordonnées K(1~;~0~;~2).

\medskip

\textbf{a.} (P) et (Q) sont deux plans orthogonaux,

\textbf{b.} Le vecteur $\vect{u}(2~;~2~;~-1)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.


\textbf{c.} $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&t\\
y &=& t \\
z &=&\dfrac{3 - t}{2}
\end{array}\right.$ avec $t \in \R$ est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

\textbf{d.} Le plan (R) d'équation cartésienne $2x + 2y - z = 0$ est parallèle à $\Delta$ et contient la droite (OK).

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\textbf{Utilisation des complexes en géométrie}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

Soit (E) l'équation $z^2 - 6z + 12 = 0$.

\textbf{a.} (E) admet deux solutions complexes $z_1$ et $z_2$.

On pose $z_1$ la solution ayant une partie imaginaire positive.

\textbf{b.} $4 - z_1 = 2\text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 4$ et $M_1$ et $M_2$ les points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$.

\textbf{c.} $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M_1}\right) = \dfrac{\pi}{6}\:\: (\text{mod} 2\pi)$.

\textbf{d.} Le point $M_1$ est situé sur le cercle de diamètre [OA].

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

\textbf{Un peu de trigonométrie dans l'escargot}

Dans le triangle OA$_0\text{B}_0$ isocèle en O, A$_1$ est le milieu du segment $\left[\text{A}_0~;~\text{B}_0\right]$.

On note B$_1$ le symétrique de A$_1$ par rapport à la droite $\left(\text{OB}_0\right)$ et A$_2$ le milieu du segment $\left[\text{A}_1~;~\text{B}_1\right]$.

En réitérant le processus on obtient, pour tout entier naturel $n$, une suite de triangles isocèles OA$_n$B$_n$ (cf figure ci -dessous).

On pose $\alpha = \widehat{\text{A}_0\text{O}\text{A}_1}$ et $\ell = \text{OA}_0$.

\begin{center}
\psset{unit=1.05cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(4,3)
%\psgrid
\def\tri{\pspolygon(0;0)(3;-112)(3;-68)\psline(0;0)(2.782;-90)\uput[dl](3;-112){\footnotesize A$_0$}
\uput[dr](2.782;-90){\footnotesize A$_1$}\uput[r](3;-68){\footnotesize B$_0$}}
\tri
\rput{22}{\pspolygon(0;0)(2.782;-112)(2.782;-68)\psline(0;0)(2.782;-90)}
\rput{44}{\pspolygon(0;0)(2.579;-112)(2.579;-68)\psline(0;0)(2.391;-90)}
\rput{66}{\pspolygon(0;0)(2.391;-112)(2.391;-68)\psline(0;0)(2.217;-90)}
\rput{88}{\pspolygon(0;0)(2.217;-112)(2.217;-68)\psline(0;0)(2.056;-90)}
\rput{110}{\pspolygon(0;0)(2.056;-112)(2.056;-68)\psline(0;0)(1.906;-90)}
\rput{132}{\pspolygon(0;0)(1.906;-112)(1.906;-68)\psline(0;0)(1.767;-90)}
\rput{154}{\pspolygon(0;0)(1.767;-112)(1.767;-68)\psline(0;0)(1.639;-90)}
\rput{176}{\pspolygon(0;0)(1.639;-112)(1.639;-68)\psline(0;0)(1.519;-90)}
%\rput{198}{\pspolygon(0;0)(1.519;-112)(1.519;-68)\psline(0;0)(1.409;-90)}
\uput[r](0.9,-2.4){\footnotesize A$_2$} \uput[r](1.95,-2){\footnotesize  B$_1$} \uput[r](1.65,-1.7){\footnotesize A$_3$} \uput[r](2.4,-1){\footnotesize B$_2$} 
\uput[ur](2,-1){\footnotesize A$_4$} \uput[r](2.4,-0.1){\footnotesize B$_3$} \uput[ur](2.05,-0.1){\footnotesize A$_5$} \uput[r](2.1,0.8){\footnotesize B$_4$}
\uput[u](1.9,0.6){\footnotesize A$_6$} \uput[u](1.55,1.4){\footnotesize B$_5$} \uput[u](1.3,1.2){\footnotesize A$_7$} \uput[u](0.8,1.75){\footnotesize B$_6$}
\uput[u](0.7,1.5){\footnotesize A$_8$} 
\uput[ul](0.5,1.8){\footnotesize B$_7$}
\uput[l](0.1,1.65){\footnotesize A$_9$}
\uput[l](-0.5,1.6){\footnotesize B$_8$}
\rput(-0.1,-0.6){\footnotesize $\alpha$}\rput(-0.7,-1.3){$\ell$}
\uput[l](0,0){\footnotesize O}
\psframe(0,-2.8)(-0.2,-2.6)
\rput{21.4}(0.95,-2.4){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{42.8}(1.66,-1.77){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{64.2}(2,-0.9){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{85.6}(2.02,-0.07){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{107}(1.8,0.62){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{128.4}(1.3,1.18){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{149.8}(0.7,1.46){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{171.2}(0.1,1.5){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
%\multido{\n=22+22}{7}{\rput{\n}(0;0){\psscalebox{0.8}{\tri}}}
\uput[d](0,-3.5){\og Il y a loin de la route aux escargots \fg}
\uput[d](0,-4){Paul Éluard - Proverbes}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{a.} Pour tout entier naturel $n$ on a $\text{OA}_{n+1} = \sin \alpha \times \text{OA}_n$ et $\text{A}_n\text{A}_{n+1} = \cos \alpha \times \text{OA}_n$.

\textbf{b.} Pour tout entier naturel $n$ on a $\text{OA}_n = \ell \times  (\cos \alpha)^n$.

\smallskip

On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(L_n\right)$ définie par 

$L_n =  \text{A}_0\text{A}_1 + \text{A}_1\text{A}_2 + \cdots + \text{A}_{n-1}\text{A}_n$.

\textbf{c.} $L_n = \ell \times \sin \alpha \times \dfrac{1 - (\cos \alpha)^{n+1}}{1 - \cos \alpha}$.

On rappelle que, pour tout réel $x$, on a $\sin^2(x) = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ et $\sin (2x) = 2 \times \sin x \times \cos x$.

\textbf{d.} $L_n = \ell \times   \dfrac{1 - (\cos \alpha)^{n}}{\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 14}}


\textbf{Fonction dépendant d'un paramètre}

\medskip

Pour tout nombre réel $k$ strictement positif, on définit la fonction $f_k$ par 

$f_k(x) =  (x + k )\text{e}^{-x}$ de courbe représentative $\mathcal{C}_k$.

\smallskip

\textbf{Par exemple si \boldmath $k = 7$, la fonction $f_7$ est définie sur $\R${} par $f_7(x) = (x + 7)\text{e}^{-x}$ \:de courbe représentative $\mathcal{C}_7$.} \unboldmath

\smallskip

\textbf{a.} $\mathcal{C}_k$ coupe les axes du repère aux points de coordonnées $(k~;~0)$ et $(0~;~k)$.

\textbf{b.} Si $k = 3$ alors la fonction $f_3$ admet $\text{e}^2$ comme minimum sur $\R$.

\textbf{c.} La fonction $F_k$, définie par $F_k(x) = (- x- 1- k)\text{e}^{-x}$ est une primitive de $f_k$.

\textbf{d.} L'aire de la portion de plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_3$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale à $4 - 5\text{e}^{-1}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\textbf{Notions d'espace dans un cube}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{ABCDEFGH est un cube de côté 1 et $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$ est un repère orthonormé de l'espace.

\textbf{a.} Le volume du tétraèdre BCDG est égal à $\dfrac{1}{6}$.

\textbf{b.} L'aire du triangle BDG est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(8,5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(5.1,0)(8,2.8)(2.9,2.8)
\psframe(2.2,0.8)(4.5,3.1)%ABFE
\psline(4.5,0.8)(5.6,2)(5.6,4.3)(4.5,3.1)%BCGF
\psline(5.6,4.3)(3.3,4.3)(2.2,3.1)%GHE
\psline[linestyle=dashed](2.2,0.8)(3.3,2)(3.3,4.3)%ADH
\psline[linestyle=dashed](3.3,2)(5.6,2)%
\uput[dl](2.2,0.8){A} \uput[dr](4.5,0.8){B} \uput[r](5.6,2){C} \uput[l](3.3,2){D} 
\uput[ul](2.2,3.1){E} \uput[r](4.5,3.1){F} \uput[ur](5.6,4.3){G} \uput[ul](3.3,4.3){H} 
\end{pspicture}
}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{\textbf{Définition} : On appelle \textbf{distance du point \boldmath $\Omega$\unboldmath{} au plan} (P) la plus petite distance $\Omega M$ avec $M$ un point du plan (P), elle représente la distance $\Omega$H avec H le projeté orthogonal du point $\Omega$ dans le
plan (P),

\textbf{c.} La distance du point C au plan (BDG) est égale à $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

\textbf{d.} Une équation cartésienne du plan (BDG) est $x + y - z - 1 = 0$}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(6.5,5.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0.5)(4.4,0.5)(6.4,2.2)(2,2.2)
\psline(3.5,0)(3.5,0.5)
\psline[linestyle=dotted](3.5,0.5)(3.5,1.4)
\pspolygon(3.5,1.4)(3.5,4.3)(1.7,1)
\rput(5.7,1.9){P}
\uput[u](3.5,4.3){$\Omega$} \uput[l](1.7,1){$M$} \uput[r](3.5,1.4){H}
%\psgrid
\psline(3.3,1.37)(3.3,1.6)(3.5,1.65) 
\psarc(6.4,2.2){1cm}{180}{222}
\end{pspicture}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\textbf{Étude d'une spirale}

\medskip

Soit \Oij{} un repère orthonormé du plan.

$D_1$ et $D_2$ sont les droites d'équations $D_1 : \: y = - x$, \: $D_2 : \: y = x$ et M$_0$ représente le point de coordonnées (2~;~0).

On construit M$_1$ le projeté orthogonal de M$_0$ sur la droite $D_2$,\: M$_2$ le projeté orthogonal de M$_1$ sur l'axe des ordonnées, M$_3$ le projeté orthogonal de M$_2$ sur la droite $D_1$ et M$_4$ le projeté orthogonal de M$_3$ sur l'axe des abscisses.

On réitère le même procédé afin de définir, pour tout entier naturel $n$ , la suite de points $\left(\text{M}_n\right)$ représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.75)(2.1,1.2)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-0.5)(2.1,1.2)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)
\psline(2,0)(1,1)(0,1)(-0.5,0.5)(-0.5,0)(-0.25,-0.25)(0,-0.25)(0.125,-0.125)(0.125,0)(0.0625,0.0625)%M_0M_1M_2M_3M_4M_5M_6M_7M_8M_9
\uput[u](2,0){\footnotesize M$_0$} \uput[ul](1,1){\footnotesize M$_1$} \uput[ul](0,1){\footnotesize M$_2$} 
\uput[dl](-0.5,0.5){\footnotesize M$_3$} \uput[dl](-0.5,0){\footnotesize M$_4$} \uput[dr](-0.25,-0.25){\footnotesize M$_5$} 
\uput[dr](0,-0.25){\footnotesize M$_6$} \uput[r](0.125,-0.125){\footnotesize M$_7$} \uput[ur](0.125,0){\footnotesize M$_8$} \uput[u](0.0625,0.0625){\footnotesize M$_9$} 
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-0.5,-0.5)(1.2,1.2)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1,1)(0.5,-0.5)
\rput{-90}(0,1){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)}
\rput{-45}(-0.5,0.5){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)}
\rput(-0.5,0){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)}
\rput{45}(-0.25,-0.25){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)}
\rput{90}(0,-0.25){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)}
\rput{-225}(0.125,-0.125){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.05,0.05)}
\rput{-135}(0.0625,0.0625){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.05,0.05)}
\rput{-135}(1,1){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)}
\rput{-135}(1,1){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0.1)}
\uput[d](1,0){$a$}\uput[d](2,0){2}\uput[ul](-0.5,0){$b$}
\rput{45}(1.2,1.1){\blue $D_2 : y = x$}
\rput{-45}(-0.9,0.8){\red $D_1 : y = - x$}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $a$ l'abscisse du point M$_1$ et $b$ l'abscisse du point M$_4$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels.

\medskip

\textbf{a.} $a = 1$ et $\text{M}_1\text{M}_2 = 1$.

\textbf{b.} $\text{M}_2\text{M}_3 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on définit les suites $\left(l_n\right)$ et $\left(S_n\right)$ à l'aide des relations 

\[l_n = \text{M}_n\text{M}_{n+1}\quad \text{et}\quad S_n = \sum_{k=0}^n l_k.\]

\textbf{c.} $l_{n+1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times l_n$.

\textbf{d.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = 2\sqrt{2} + 1$.



\end{document}