\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !}} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} %\usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{enumitem} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add,pst-all} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale S FESIC--Puissance Alpha}, pdftitle = {27 avril 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Concours Fesic --Puissance Alpha} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Terminale S}} \rfoot{\small{27 avril 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic --Puissance Alpha 27 avril 2019 \decofourright\\[6pt]Durée : 2 h}} \end{center} \vspace{0,25cm} \emph{Durée de l'épreuve: \\ Présentation et méthodologie de l'épreuve de Mathématiques\\ $\bullet~~$ $2$ h.\\ $\bullet~~$ $16$ exercices proposés ~ $12$ exercices à traiter au choix.\\ $\bullet~~$Chaque exercice comporte $4$ propositions. Chaque exercice est indépendant des autres exercices proposés.\\ $\bullet~~$ Les exercices proposés se présentent sous la forme de QCM de type Vrai ou Faux.\\[5pt] \textbf{Présentation}\\ Cette épreuve a pour but d'évaluer votre capacité à analyser un problème donné, et à sélectionner les outils calculatoires et ou graphiques adéquats pour le résoudre. La connaissance de l'algèbre, de la géométrie et de l'analyse seront donc de mise pour aborder cette épreuve.\\[7pt] \textbf{Principe et objectifs de l'épreuve}\\ $\bullet~~$ Cette épreuve a pour but d'évaluer l'étendue de vos connaissances dans le domaine des mathématiques, et votre capacité à mener des études analytiques, algébriques et géométriques.\\ $\bullet~~$ Les $16$ exercices proposés couvrent l'ensemble du programme de Terminale S, de façon à ce que chaque élève puisse sélectionner des exercices dont le programme a déjà été abordé au sein de son lycée.\\[7pt] \textbf{Évaluation de l'épreuve}\\ $\bullet~~$L'évaluation est basée sur un bonus/malus : une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvaise réponse retire $0,5$ point, et l'absence de réponse équivaut à $0$ point.\\ $\bullet~~$Pour un même exercice, si les $4$ réponses de l'élève sont correctes, alors il sera attribué automatiquement $1$ point supplémentaire.} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 1}} \textbf{Un peu de lecture graphique} \medskip Dans le repère \Oij, on donne les points A(2~;~4), B(0~;~1), C(3~;~10), D(0~;~8). On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ représentée par la courbe $\mathcal{C}$ et $F$ une primitive de $f$ représentée par la courbe en pointillée $(\Gamma)$. A est un point de la courbe $\mathcal{C}$, B et C sont deux points de la courbe $(\Gamma)$. La droite (AD) représente la tangente à $\mathcal{C}$ au point A. \begin{center} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6} \begin{pspicture*}(-2,-4.5)(5.2,12.2) \multido{\n=-2+1}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-4.5)(\n,12.2)} \multido{\n=-4+2}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(5.2,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-4.5)(5.2,12.2) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-2}{4.9}{x dup mul 3 mul 1 add x 3 exp 2 mul 3 div sub}\uput[l](-0.35,-1){\red $\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4.9}{x 3 x sub mul 2 mul}\uput[r](4,7){\blue $(\Gamma)$} \psline[linewidth=1.25pt](-2,12)(5,-2) \psdots(2,4)(0,8)(3,10)(0,1) \uput[ur](2,4){A} \uput[ur](0,8){D}\uput[u](3,10){C} \uput[dl](0,1){B} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item La fonction $f'$ est positive sur l'intervalle [0~;~3]. \item $f'(2) = - 3$. \item Le coefficient directeur de la tangente à $(\Gamma)$ au point d'abscisse $x = 2$ est égal à 4. \item $\displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x = 9$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \textbf{Quelques questions de logique} \medskip Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a}(0,0)(0,0)(3.5,2.5) \psframe(3.236,2) \psline(2,0)(2,2)(1,0) \psarc[linestyle=dashed](1,0){2.218}{0}{65} \uput[d](1,0){I} \uput[d](2,0){B}\uput[ur](3.236,0){M}\uput[d](3.236,0){$\Phi$} \uput[ur](3.236,2){N}\uput[u](2,2){C}\uput[l](0,2){D} \uput[d](0.5,0){$\frac{a}{2}$}\uput[d](1.5,0){$\frac{a}{2}$} \uput[l](0,1){$a$}\uput[r](2,1){$a$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}} \textbf{Un peu de lecture graphique} \medskip Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 2$ de courbe représentative $\left(\mathcal{C}_f\right)$ et $b_0$ le nombre réel 3. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_n\right)$ par $v_{n+1} =\dfrac{v_n^2 + 2}{2v_n}$ et $v_0 = b_0 = 3$. On pose $B_0$ le point de coordonnées $\left(b_0~;~ 0\right)$ et $A_0$ le point de $\left(\mathcal{C}_f\right)$ d'abscisse $b_0$. La tangente à $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point $A_0$ coupe l'axe des abscisses au point $B_1$ de coordonnées $\left(b_1~;~ 0\right)$. $A_1$, est le point de $\left(\mathcal{C}_f\right)$ d'abscisse $b_1$, et $B_2$ le point d'intersection de la tangente à $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point $A_1$, avec l'axe des abscisses. On recommence le même raisonnement et on pose, pour tout entier naturel $n$,\: $b_n$ l'abscisse du point $B_n$. \begin{center} \psset{xunit=2.8cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.25,-3)(3.2,8) %\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=5,Dx=5]{->}(0,0)(0,-3)(3.2,8) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=5](0,0)(0,-3)(3.2,8) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.1}{x dup mul 2 sub} \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,7) \psplot[plotpoints=2000]{1.8}{3.1}{x 6 mul 11 sub} \psline[linestyle=dashed](1.8333,0)(1.8333,1.361) \psplot[plotpoints=2000]{1}{3.1}{x 11 mul 3 div 193 36 div sub } \uput[d](3,0){$B_0$} \uput[ul](3,7){$A_0$} \uput[d](0.2,-1.9){\blue $\left(\mathcal{C}_f\right)$} \uput[ul](1.833,1.4){$A_1$}\uput[d](1.833,0){$B_1$}\uput[d](1.462,0){$B_2$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $\alpha$, la tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse $\alpha$, a pour équation $y = 2\alpha x+\alpha^2 - 2$. \item $b_1 = \dfrac{11}{6}$. \item Pour tout entier naturel $n$,\: $b_{n+1} = b_n^2 -2$. \item Soit $N$ un entier naturel non nul. Les algorithmes suivants permettent de calculer le $N-$ième terme de la suite $\left(v_n\right)$. %%%%%% %Fin du Pour Afficher V %1 V'+l 'v %K_K+J %Fin du Tant que Afficher V % %d) Soit N un entier naturel non nul. Les deux algorithmes suivants permettent de calculer le l'fm, terme de la suite (v,) % %v ___ %%%%%% \begin{center} \begin{tabular}{c c} \begin{tabular}{|l |l|}\hline Variables &$K$ est un nombre entier\\ &$V$ est un nombre réel\\ &$N$ est un nombre entier\\ \hline Initialisation& $V \gets 3$\\ \hline Traitement&Lire N\\ &Pour $K$ variant de $2$ à $N+1$\\ &\hspace{0,3cm}Début du Pour\\ & \hspace{1cm}$\left|V \gets \dfrac{V^2+2}{2V}\right.$\\ &\hspace{0,3cm}Fin du Pour\\ \hline Sortie&Afficher $V$\\ \hline \end{tabular} & \begin{tabular}{|l |l|}\hline Variables&$K$ est un nombre entier\\ &$V$ est un nombre réel\\ &N est un nombre entier\\ \hline Initialisation &$V \gets 3$\\ &$K\gets 1$\\ \hline Traitement&Lire $N$\\ &Tant que $K < N + 1$ faire\\ &\hspace{0,3cm}Début du Tant que\\ & \hspace{1cm}\begin{tabular}{|l} $V \gets \dfrac{V^2+2}{2V}$\\ $K \gets K + 1$\\ \end{tabular}\\ &\hspace{0,3cm}Fin du Tant que\\ \hline Sortie&Afficher $V$\\ \hline \end{tabular}\\ \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5}} \textbf{Probabilités conditionnelles} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{À l'exercice de probabilité du concours Puissance Alpha de l'année dernière, 4 affirmations a), b), c) et d) étaient proposées. La probabilité que l'élève réponde correctement à la première affirmation était de $0,8$. Si l'élève répondait correctement à une affirmation il avait 9 chances sur 10 de répondre correctement à la suivante. En revanche, si l'élève se trompait sur une affirmation, il avait $7$ chances sur $10$ de continuer de se tromper. $i$ est un entier naturel compris entre 1 et 4 et $C_i$ est l'évènement \og l'élève répond correctement à l'affirmation \no $i$ \fg.} \hfill \parbox{0.54\linewidth}{\footnotesize{} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=1.75cm,treesep=0.5cm,shortput=nab,nrot=:U]{\TR{$\Omega~~~$}} {\pstree{\TR{$C_1$~~}\ncput*{\ldots}} {\pstree{\TR{$C_2$~~}\ncput*{\ldots}} {\pstree{\TR{$C_3$~~}\ncput*{\ldots}} { \TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} \TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{C_3}~~$}\ncput*{\ldots}} { \TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} \TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots} } } \pstree{\TR{$\overline{C_2}$~~}\ncput*{\ldots}} {\pstree{\TR{$C_3$~~}\ncput*{\ldots}} { \TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} \TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{C_3}$~~}\ncput*{\ldots}} { \TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} \TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots} } } } \pstree{\TR{$\overline{C_1}$~~}\ncput*{\ldots}} {\pstree{\TR{$C_2$~~}\ncput*{\ldots}} {\pstree{\TR{$C_3$~~}\ncput*{\ldots}} { \TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} \TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{C_3}~~$}\ncput*{\ldots}} { \TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} \TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots} } } \pstree{\TR{$\overline{C_2}$~~}\ncput*{\ldots}} {\pstree{\TR{$C_3$~~}\ncput*{\ldots}} { \TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} \TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{C_3}$~~}\ncput*{\ldots}} { \TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} \TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots} } } } } } \begin{enumerate} \item La probabilité de répondre correctement aux 4 affirmations est égale à $p = 0,8\times 0,9^4$. \item La probabilité de répondre correctement à l'affirmation b) est égale à $p' = 0,78$. \item La probabilité de répondre correctement à l'affirmation a) sachant qu'on a répondu correctement à l'affirmation b) est égale à $p'' = 0,9$. \item La probabilité de répondre correctement aux affirmations b), c) et d) est égale à $0,9^3$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 6}} \textbf{Calculs d'intégrales} \medskip \begin{enumerate} \item $\displaystyle\int_1^{\text{e}}\dfrac{1}{x} \ln (x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}$. \item $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{3x}{\sqrt{x^2 + 1}} \:\text{d}x = \dfrac{3\sqrt{2}-3}{2}$. \item $\displaystyle\int_0^4 \dfrac{2}{\sqrt{x}} \text{e}^{\sqrt{x}}\:\text{d}x = 4\left(\text{e}^2 - 1 \right)$. \item $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{1}{\cos ^2 (x)}\:\text{d}x = \sqrt{3} - 1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 7}} \textbf{Calculs de limites} \medskip \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \sqrt{2x^2 - x + 1} - x = 0$. \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x - 3\text{e}^x+ 1}{2x + 5} = \dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \smallskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,\; $u_{n+1} = \dfrac{3}{4}u_n$. Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par $S_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$. \begin{enumerate}[resume] \item La suite $\left(u_n\right)$ diverge. \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = + \infty$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 8}} \textbf{Petite étude de fonction exponentielle} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R*$ par $f(x) = \text{e}^{\frac{x - 1}{x^2}}$ de courbe représentative $\left(\mathcal{C}_f\right)$ et $\Delta$ la droite d'équation $y = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\R*$,\: $f'(x) = \left(\dfrac{2 - x}{x^3} \right)\text{e}^{\frac{x - 1}{x^2}}$. \item $\left(\mathcal{C}_f\right)$ admet la droite $\Delta$ comme asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$. \item $\left(\mathcal{C}_f\right)$ admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale. \item L'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions sur $\R*$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 9}} \textbf{Petite étude de fonction ln} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $I= ]1~;~+\infty[$ par $f(x) =\dfrac{ \ln (x + 1)}{\ln (x)}$ de courbe représentative $\left(\mathcal{C}_f\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $I$,\: $f(x) = \ln \left(\dfrac{x+1}{x}\right)$. \item Pour tout nombre réel $x$, de l'intervalle $I$, on a $f'(x) = \dfrac{x \ln \left(\frac{x}{x + 1}\right) - \ln (x+1)}{x(x+ 1)(\ln(x))^2}$. \item La fonction $f$ est strictement croissante sur $I$. \item $\left(\mathcal{C}_f\right)$ admet la droite $\Delta$ d'équation $y = 0$ comme asymptote horizontale en $+ \infty$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 10}} \textbf{Petite étude de suite} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $I = ]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{4} - 2\ln (x)$ et $\Phi$ la fonction définie sur $J = \left[\text{e}^{- \frac{1}{8}}~;~+\infty\right[$ par $\Phi(x) = \displaystyle\sqrt{1 + 8 \ln (x)}$. On pose $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \Phi \left(u_n\right)$. On rappelle, dans toute la suite de l'exercice, que $\ln (2) \approx 0,7$, \: $\ln (3) \approx 1,1$ et $\ln (4) \approx 1,4$. \medskip \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)= - \infty$. \item L'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions dont l'une $x_0$ appartient à l'intervalle [3~;~4]. \item $x_0 = \Phi \left(x_0\right)$. \item Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \geqslant 3$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 11}} \textbf{Notions de base sur les nombres complexes} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item $\left(-\sqrt{3} + \text{i}\right)^3 = 8\text{i}$. \item La forme exponentielle de $-\sqrt{3} - \text{i}$ est $- 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. \end{enumerate} \medskip Soit $f$ la transformation complexe du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z \ne 3\text{i}$ associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{\overline{z} + \text{i}}{\overline{z} + 3\text{i}}$. \begin{enumerate}[resume] \item L'équation $\left|z'\right| = 1$ admet une unique solution dans $\C$. \item L'équation $z' = 2$ admet une unique solution dans $\C$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 12}} \textbf{Utilisation des nombres complexes en géométrie} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. A, B, C et D sont les points du plan complexe d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \text{i}\sqrt{3}$, \:$z_{\text{B}} = -\text{i}\sqrt{3}$, \:$z_{\text{C}} = 3 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}$. Le point E, d'affixe $z_{\text{E}}$ est le symétrique du point D par rapport au point O. \medskip \begin{enumerate} \item $z_{\text{E}}= -3 - 2\text{i}\sqrt{3}$. \item L'ensemble des points $M$ du plan complexe tels que $|z|= z$ est une droite. \item Les points A, B, C et D sont sur un même cercle de centre $\Omega$ d'affixe $3$. \item $\left(\vect{\text{BC}},~ \vect{\text{BE}}\right) = \dfrac{\pi}{3}\quad (\text{mod}\: 2\pi)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 13}} \textbf{Section dans un cube} \medskip ABCDIJKL est un cube de côté 1 et $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AI}}\right)$ est un repère orthonormé de l'espace. On pose G le centre de gravité du triangle BIK. \medskip \parbox{0.48\linewidth}{ \begin{enumerate} \item Le point G a pour coordonnées $\left(-\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right)$. \item Les points J, G et D sont alignés. \item La droite (JD) et le plan (BIK) sont perpendiculaires. \item Le volume du tétraèdre IKBJ est égal a $\dfrac{1}{6}$. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,0)(7,7.5) \pspolygon(0,0.5)(5,0)(5,5)(0,5.5)%ABJI \pspolygon(5,0)(0,5.5)(7,7)%BIK \psline(5,0)(7,2)(7,7)(5,5)%BCKJ \psline(7,7)(2,7.5)(0,5.5)%KLI \psline[linestyle=dashed](0,0.5)(2,2.5)(7,2)%ADC \psline[linestyle=dashed](2,2.5)(2,7.5)%DL \uput[l](0,0.5){A} \uput[d](5,0){B}\uput[r](7,2){C} \uput[ul](2,2.5){D} \uput[l](0,5.5){I}\uput[r](5,5){J} \uput[ur](7,7){K} \uput[ul](2,7.5){L}\uput[l](3.9,3.9){G} \psline[linestyle=dashed](0,5.5)(6,3.5)%IG \psline[linestyle=dashed](5,0)(3.5,6.25)%BG \end{pspicture}} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 14}} \textbf{Petit tour d'horizon sur les probabilités continues} \medskip Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose: \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels que $0 < \alpha \leqslant \beta < 1$ \item[$\bullet~~$] $U$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [0~;1] \item[$\bullet~~$] $X$ la variable aléatoire définie par la relation $X = -\dfrac{1}{\lambda}\ln (1- U)$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $a \in ]0~;~1[$,\: $P(U = a) > 0$. \item Pour tout nombre réel $a$ strictement positif, $p(X }(0,0)(0,0)(9,4.5) \pswedge[fillstyle=vlines](4,0){4}{0}{180} \pswedge[fillcolor=white,fillstyle=hlines*](3.5,0){3.5}{0}{180} \pswedge[fillcolor=white,fillstyle=vlines*](3,0){3}{0}{180} \pswedge[fillcolor=white,fillstyle=hlines*](2.5,0){2.5}{0}{180} \pswedge[fillcolor=white,fillstyle=vlines*](2,0){2}{0}{180} \pswedge[fillcolor=white,fillstyle=hlines*](1.5,0){1.5}{0}{180} \pswedge[fillcolor=white,fillstyle=vlines*](1,0){1}{0}{180} \pswedge[fillcolor=white,fillstyle=solid](0.5,0){0.5}{0}{180} \multido{\n=1+1}{8}{\rput(\n,-1){$M_{\n}$}} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item $A_1 = 3\pi$ et $A_2 = 5\pi$. \item $A_n = 2\times \pi\times n + \pi$. \item La suite $\left(A_n\right)_{n\geqslant 1}$ est une suite arithmétique de raison $r = 2\pi$. \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n= A_1 + A_2 + \ldots + A_n = \dfrac{\pi}{8}\times n\times (n+2)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 16}} \textbf{Travail autour d'un cuboctaèdre} \medskip ABCDEFGH est un cube de côté 1 et $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$ est un repère orthonormé de l'espace. \parbox{0.3\linewidth}{\textbf{Définition} On appelle \textbf{cuboctaèdre} le solide ayant pour sommets les milieux des arêtes d'un cube.} \hfill \parbox{0.69\linewidth}{ \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(0.5,0)(11,10) %\psgrid \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](8.9,1.25)(10.8,5)(8.9,7.25)(7,3.5)%ONMJ \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](8.9,7.25)(7.8,8.5)(2.9,8.25)(4,7)%MRPK \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](4,1)(7,3.5)(4,7)(1,4.5)%IJKL \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](4,1)(7,3.5)(8.9,1.25)%IJO \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](7,3.5)(4,7)(8.9,7.25)%JKM \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](4,7)(1,4.5)(2.9,8.25)%KLP \pspolygon(1,1.5)(7,0.5)(7,6.5)(1,7.5)%ABFE \uput[dl](1,1.5){A} \uput[d](7,0.5){B} \uput[r](10.8,2){C} \uput[ul](1,7.5){E} \uput[u](7,6.5){F} \uput[ur](10.8,8){G} \uput[u](4.8,9){H} \psline(7,0.5)(10.8,2)(10.8,8)(7,6.5)%BCGF %\uput[dl](4.8,3){D} \psline(10.8,8)(4.8,9)(1,7.5)%GHE \uput[l](2.9,2.25){Q}\uput[d](4,1){I}\uput[r](7,3.5){J} \uput[dr](8.9,1.25){O} \uput[ul](2.9,8.25){P}\uput[u](7.8,8.5){R}\uput[u](8.9,7.25){M}\uput[r](10.8,5){N} \uput[l](1,4.5){L}\uput[u](4,7){K} \psline(2.9,8.25)(1,4.5)(4,1)(8.9,1.25)%PLIO \psline[linestyle=dashed](1,1.5)(2.9,2.25)%AQ \psline[linestyle=dashed](9.4,2.25)(10.8,2)%CT \psline[linestyle=dashed](4.8,9)(4.8,8.3)%HS \end{pspicture} \end{center}} Dans le cube ABCDEFGH, on définit I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S et T les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [EF], [AE], [FG], [CG], [BC], [EH], [AD], [HG], [BD] et [CD]. On appelle $(\Gamma)$ le cubocatèdre ainsi obtenu (cf. figure ci-dessus). $\Delta$ est la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&0,5\\ y&=&0,25- 0,13t\\ z &=&1,25-0,13t \end{array}\right.$ avec $t \in \R$. \begin{enumerate} \item Le cuboctaèdre $(\Gamma)$ se compose de 6 faces carrées, huit faces triangulaires et a un volume $V = \dfrac{5}{6}$. \item Les plans (SQT) et (KMJ) sont sécants. \item Les plans (JKM) et (LKP) sont sécants suivant une droite parallèle à la droite (IR). \item Les plans (JKM) et (LKP) sont sécants suivant la droite $\Delta$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large CORRIGÉS} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline EXERCICE 1&a)~~ FAUX&b)~~ FAUX&c)~~ VRAI&d)~~ VRAI\\ \hline EXERCICE 2&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ FAUX&d)~~ FAUX\\ \hline EXERCICE 3&a)~~ VRAI&b)~~ FAUX&c)~~ VRAI&d)~~ FAUX\\ \hline EXERCICE 4&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ FAUX&d)~~ VRAI\\ \hline EXERCICE 5&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ FAUX&d)~~ FAUX\\ \hline EXERCICE 6&a)~~ VRAI&b)~~ FAUX&c)~~ VRAI&d)~~ VRAI\\ \hline EXERCICE 7&a)~~ FAUX&b)~~ FAUX&c)~~ FAUX&d)~~ FAUX\\ \hline EXERCICE 8&a)~~ VRAI&b)~~ VRAI&c)~~ FAUX&d)~~ FAUX\\ \hline EXERCICE 9&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ FAUX&d)~~ FAUX\\ \hline EXERCICE 10&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ VRAI&d)~~ VRAI\\ \hline EXERCICE 11&a)~~ VRAI&b)~~ FAUX&c)~~ FAUX&d)~~ VRAI\\ \hline EXERCICE 12&a)~~ FAUX&b)~~ FAUX&c)~~ VRAI&d)~~ VRAI\\ \hline EXERCICE 13&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ VRAI&d)~~ VRAI\\ \hline EXERCICE 14&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ VRAI&d)~~ FAUX\\ \hline EXERCICE 15&a)~~ FAUX&b)~~ FAUX&c)~~ FAUX&d)~~ VRAI\\ \hline EXERCICE 16&a)~~ VRAI&b)~~ FAUX&c)~~ VRAI&d)~~ VRAI\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}