\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multicol} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-3dplot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Baccalauréat L spécialité} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \lhead{\small Concours Fesic 14 mai 2008} \lfoot{\small{Terminale S}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic mai 2008 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv.\\ On considère trois points A, B et C d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 1+ \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{B}} = 1+ \text{i} ,\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = 2\text{i}\left(\cos \dfrac{\pi}{12} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{12} \right).\] \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] On a $\text{arg}\left( z_{\text{C}}\right) = \dfrac{\pi}{12}$. \item[\textbf{b.}] L'écriture algébrique de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$ est : $\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$. \item[\textbf{c.}] L'écriture trigonométrique de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$ est : $\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{12} + \text{i} \sin \dfrac{\pi}{12}\right)$. \item[\textbf{d.}] On a : $\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}} = \dfrac{\text{OC}}{\sqrt{2}}.$ \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip On considère deux réels $a$ et $b$ et l'équation [E] : $z^4 + az^3 + bz^2 + az +1 = 0$ dans $\C$. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Si $z_{0}$ est solution de [E] alors $\overline{z_{0}}$ et $\dfrac{1}{z_{0}}$ le sont aussi. \item[\textbf{b.}] Si $1+ 2\text{i}$ est solution de [E] alors $\dfrac{1}{1- 2\text{i}}$ aussi. \item[\textbf{c.}] Le changement de variable $Z = z + \dfrac{1}{z}$ conduit à résoudre [E$'$] : $Z^2 + aZ + b = 0$. \item[\textbf{d.}] On peut factoriser l'expression $z^4 + az^3 + bz^2 + az +1$ par deux polynômes de degré deux à coefficients réels. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. On appelle A le point d'affixe 2, B le point d-affixe $-3 - \text{i}$ et C le point d'intersection de (OB) avec la médiatrice de [OA]. On considère dans $\C$ les équations suivantes [E$_{1}$] et [E$_{2}$] : \[[\text{E}_{1}] : |z| = |z - 2|\quad \text{et} \quad [\text{E}_{2}] : \text{arg}(z) = \text{arg}( z + 3 + \text{i}).\] \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] L'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie [E$_{1}$] est la médiatrice de [OA]. \item[\textbf{b.}] L'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie [E$_{2}$] est le segment [OB], exclusions faites de O et B. \item[\textbf{c.}] L'affixe du point C vérifie simultanément [E$_{1}$] et [E$_{2}$]. \item[\textbf{d.}] Le point C a pour coordonnées $\left(1~;~\dfrac{1}{3} \right)$ \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal. Soient $a \in \R,~ (\mathcal{C})$ la courbe représentant la fonction exponentielle et ($T$) la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $a$. Soient $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = \text{e}^x - \text{e}^x(x + 1 - a)$ et ($\Gamma$) sa courbe représentative dans le m\^eme repère. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Une équation de ($T$) est : $ y = \text{e}^a(x + 1 - a)$. \item[\textbf{b.}] La dérivée $f'$ de $f$ est croissante sur $\R$. \item[\textbf{c.}] $(\mathcal{C})$ est au-dessous de ($T$) avant le point A$\left(a~ ;~\text{e}^a\right)$ est au-dessus de ($T$) après A. \item[\textbf{d.}] \`A tout réel $x_{0}$ on associe les points $M_{0}$ de $(\mathcal{C})$ et $N_{0}$ de ($\Gamma$) d'abscisse commune $x_{0}$. $x_{0}$ étant fixé, il existe une valeur de $a$ telle que $(\mathcal{C})$ et ($\Gamma$) possèdent des tangentes parallèles respectivement en $M_{0}$ et $N_{0}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5}} \medskip Dans le repère orthonormal ci-dessous sont représentées les courbes des fonctions logarithme népérien, exponentielle et identité $( x \longmapsto x)$. \medskip \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4) \psplot{-4}{1.36}{2.71828 x exp} \psplot{0.02}{4}{x ln} \psplot[linestyle=dashed]{-4}{4}{x} \psline[linestyle=dashed](2,0.69)(0.2,-1.6) \psline[linestyle=dashed](1.1,-0.455)(-0.455,-0.455)(-0.455,0.634)(0.634,0.634) \uput[dr](0.2,-1.6){$A$} \uput[u](2,0.69){$B$}\uput[r](1.1,-0.455){$I$} \uput[d](-0.455,-0.455){$J$} \uput[ul](-0.455,0.634){$K$} \uput[dr](3.4,1.2){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[r](1.1,3){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](0.634,0.634){$C$}\uput[u](3.8,0){$x$} \uput[l](0,3.8){$y$} \uput[r](3.8,3.8){$\Delta$} \end{pspicture} $a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs et $A$ et $B$ sont deux points de $\mathcal{C}_{1}$ d'abscisses respectives $a$ et $b$. On appelle $I$ le milieu de [$AB]$. On notera ceci : $J \in \Delta,% K \in \mathcal{C}_{2}$, les droites ($IJ$) et ($KC$) sont parallèles à l'axe des abscisses ; la droite $(JK)$ est parallèle à l'axe des ordonnées. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Le point $I$ a les coordonnées $\left( \dfrac{a + b}{2}~;~ \ln \left(\sqrt{ab}\right)\right)$. \item[\textbf{b.}] L'abscisse de $C$ est $\text{e}^{\sqrt{ab}}$. \item[\textbf{c.}] La tangente à $\mathcal{C}_{1}$ au point d'abscisse $\dfrac{a + b}{2}$ est parallèle à la droite $\Delta$% si et seulement si $a + b = 2$. \item[\textbf{d.}] Le symétrique de $A$ par rapport à% $\Delta$ a pour coordonnées $(\ln a~;~a)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 6}} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Afin de résoudre l'inéquation $\text{e}^x - \text{e}^{2x} < 0$, on utilise le raisonnement suivant :\\ \og Si $x$ est une solution, alors $x \in \R$ et on a $\text{e}^x - \dfrac{2}{\text{e}^x} < 0.$ Le changement de variable $X = \text{e}^x$ donne $X - \dfrac{2}{X}< 0$, soit $\dfrac{X^2 - 2}{X} < 0.$ Or on a $X = \text{e}^x > 0$. Il faut donc $X^2 - 2 < 0$, soit aussi $\left( X - \sqrt{2}\right)\left( X + \sqrt{2}\right) < 0$. On en déduit $- \sqrt{2} < X < \sqrt{2}$, donc $- \sqrt{2} < \text{e}^x < \sqrt{2}$. ln étant une fonction croissante, on obtient $x < \ln 2$. Ces conditions nécessaires sont suffisantes. Solution : $x < \ln 2$. Ce raisonnement est exact. \item[\textbf{b.}] On considère la suite définie par : \parbox{0.4\linewidth}{$u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout $n \in \N$ par $u_{n+1} = u_{n}^2 + \dfrac{1}{8}$. On désigne par $C$ la courbe représentant la fonction $f$ définie sur $\R_{+}$ par : $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{8}$ et on désigne par $\Delta$ la droite d'équation $y = x$. Afin de construire les quatre premiers termes de la suite $u$, on a réalisé la construction ci-contre. \emph{Cette construction est exacte.}} \hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=4cm}\begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.2,1.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.2,1.2) \psplot{0}{1.03}{x dup mul 1 8 div add} \psplot{0}{1.1}{x} \psline[linewidth=0.3pt,linecolor=red](0.5,0)(0.5,0.5)(0.613,0.5)(0.613,0.613)(0.6986,0.613)(0.6986,0.6986)(0.7574,0.6986) \psline[linewidth=0.3pt,linecolor=red](0.613,0)(0.613,0.5) \psline[linewidth=0.3pt,linecolor=red](0.6986,0)(0.6986,0.613) \psline[linewidth=0.3pt,linecolor=red](0.7574,0)(0.7574,0.6986) \uput[d](0.5,0){{\scriptsize $u_{0}$}} \uput[d](0.613,0){{\scriptsize $u_{1}$}}\uput[d](0.6986,0){{\scriptsize $u_{2}$}}\uput[d](0.7574,0){{\scriptsize $u_{3}$}} \uput[d](1.1,0){$x$} \uput[l](0,1.1){$y$} \uput[l](1,1.05){$\mathcal{C}$} \uput[r](1.1,1.08){$\Delta$} \end{pspicture}}% \item[\textbf{c.}] On considère la suite $u$ et la fonction $f$ présentées à l'item \textbf{b.} Afin de montrer que $u$ est croissante, on utilise le raisonnement par récurrence suivant : \og Soit P($n$) l'inéquation : $u_{n+1} \geqslant u_{n} \geqslant 0$.\\ Initialisation : on a $u_{1} \geqslant u_{0} \geqslant 0$, donc P($0$) est vraie. Hérédité : Soit $p \in \N$ tel que P($p$) soit vraie. Alors $u_{p+1} \geqslant u_{p} \geqslant 0$. Comme $f$ est croissante sur $\R_{+}$ et ne prend que des valeurs positives, alors $f\left(u_{p+1}\right) \geqslant f\left(u_{p}\right) \geqslant $f($0$), soit $u_{p+2} \geqslant u_{p+1} \geqslant 0$. Donc P($p + 1$) est vraie. Conclusion : De ces deux assertions et d'après le théorème de raisonnement par récurrence, je déduis que quel que soit $n\in \N,~ P(n)$ est vraie.\\ On obtient, pour tout $n \in \N,\: u_{n+1} \geqslant u_{n}$, ce qui prouve que $u$ est croissante. \emph{Ce raisonnement est exact.} \medskip \item[\textbf{d.}] On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~- 3] \cup [1~;~+\infty[$ par : $f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 3}$. On cherche à savoir si la courbe $\mathcal{C}$ représentant $f$ possède une tangente au point A( 1 ; 0 ). On utilise pour cela le raisonnement suivant : \og Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ en A est donnée par $y = (x - 1) f'(1) + f(1)$. Or on a $f'(x) = \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}$, donc $f'(1)$ n'existe pas et donc $f$ n'est pas dérivable en $1$. On en déduit que $\mathcal{C}$ ne possède pas de tangente en A. \fg \emph{Ce raisonnement est exact.} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 7}} \medskip Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \text{e}^{-x}\sqrt{\text{e}^{x} - 1}$. On appelle $D$ l'ensemble de définition de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $f$ est dérivable sur $D = [0 ~;~ +\infty[$. \item[\textbf{b.}] $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \item[\textbf{c.}] Quel que soit $x \in D,~ f(x ) \in \left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$. \item[\textbf{d.}] L'équation $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ admet une unique solution sur $D$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 8}} \medskip Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \dfrac{1}{x} + \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$. On appelle $D$ l'ensemble de définition de $f$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $D = ] -\infty~ ;~ -1[$ ; \item[\textbf{b.}] $f$ admet des primitives sur $] -\infty~ ;~ -1[$ ; l'une d'elles est la fonction $F$ définie sur $] -\infty~ ;~ -1[$ par \[F(x) = (1+ x )\ln (1+ x) + (1- x)\ln x.\] \item[\textbf{c.}] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} xf(x) = 1$. \item[\textbf{d.}] Soit $n \in \N*$. On a : $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n} f(k) = \dfrac{2}{n(n+1)} + \ln (n+1)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 9}} \medskip Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[ 0 ~;~ +\infty[$. Soient $F$ et $G$ les fonctions définies sur $[ 0 ~;~ +\infty[$ respectivement par : \[F(x) = \int_{1}^x f(t)\:\text{d}t \quad \text{et}\quad G(x) = x\int_{1}^x f(t)\:\text{d}t.\] On désigne par $\Gamma$ la représentation graphique de $f$ dans un repère du plan. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $G(0) = G(1)$. \item[\text{b.}] $G$ est dérivable sur $[ 0 ~;~ +\infty[$ et pour tout $x \in [ 0 ~;~ +\infty[$, on a $G'(x) = F(x) + xf(x).$ \item[\textbf{c.}] On ne peut pas prévoir le sens de variation de $G$ sur $[ 0 ~;~ +\infty[$ avec les seules hypothèses de l'énoncé. \item[\text{d.}] L'aire de la surface limitée par les droites d'équations $x = 0,~x = 2,~ y = 0$ et la courbe $\Gamma$ se calcule par $F(2) + F(0)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 10}} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] La solution de l'équation différentielle $2y' + y = 0$ qui prend la valeur $5$ en $1$ est la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 5\text{e}^{\frac{1 - x}{2}}$. \item[\textbf{b.}] L'ensemble des solutions de l'équation $\ln (4 - x) \leqslant 1$ est $[ 4 - \text{e}~;~+\infty[$. \item[\textbf{c.}] Soient $a \in \R_{+}*$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentant la fonction ln dans un repère orthonormal du plan d'origine O. Soient A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$, B le projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses et C le point d'intersection de la tangente à $\mathcal{C}$ en A avec l'axe des abscisses. C est le milieu de [OB] si et seulement si $a = \sqrt{\text{e}}$. \item[\text{d.}] Soit $a \in \R$. Soient trois points A, B et C deux à deux distincts et non alignés. Soit G le barycentre de $\left\{\left(\text{A},~\text{e}^a\right)~ ;~ \left( \text{B}, \right)~ ;~ \left(\text{C} ~;~ 2 \right)\right\}$. Dans le repère $\left( \text{A}~  ;~  \vect{\text{AB}}, ~\vect{\text{AC}} \right)$ le point G a les coordonnées $( x,~ y)$ telles que $x = \dfrac{1}{\left(\text{e}^a + 1 \right)^2}$ et $y = \dfrac{2\text{e}^a}{\left(\text{e}^a + 1 \right)^2}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 11}} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R_{+}$ par : \[f(x) = 3 - \dfrac{4}{x+2}.\] On considère la suite $u$ définie pour $n \in \N$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{0}& = &4\\ u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)\\ \end{array}\right.\] On admettra que la suite $u$ est bien définie. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $f$ est croissante sur $\R_{+}$. \item[\textbf{b.}] $u$ est croissante. \item[\textbf{c.}] Quel que soit $n \in \N,~ u_{n} \geqslant 2$. \item[\textbf{d.}] $u$ est convergente. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 12}} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R_{+}$ par : \[f(x) = 3 - \dfrac{4}{x+2}.\] On considère la suite $u$ définie pour $n \in \N$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{0}& = &4\\ u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)\quad \text{et} \quad v_{n} = \dfrac{u_{n} + 1}{u_{n} - 2}.\\ \end{array}\right.\] On admettra que les suites $u$ et $v$ sont bien définies. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $v$ est géométrique de raison $4$. \item[\textbf{b.}] $\displaystyle\sum_{k=5}^{15} v_{k} = v_{5} \times \dfrac{4^{10} - 1}{3}$. \item[\textbf{c.}] Pour tout $n \in \N,~u_{n} = \dfrac{2v_{n} + 1}{v_{n} - 1}$. \item[\text{d.}] La suite $u$ converge vers $-1$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 13}} \medskip Soient $b$ et $n$ deux entiers naturels tels que $b > 2$ et $n \geqslant 2$. Une urne contient 2 boules blanches et $(b - 2)$ boules noires, indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l'urne, on repère sa couleur et on la remet dans l'urne. On répète ainsi $n$ fois cette expérience. On désigne par $p_{n}$ la probabilité de tirer une boule blanche et une seule lors des $(n - 1)$ premiers tirages et une boule noire au $n$-ième tirage. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $p_{2} = 1 - \dfrac{2}{b^2}$. \item[\textbf{b.}] $p_{n} = \dfrac{2(n - 1)}{b}\left(1 - \dfrac{2}{b} \right)^{n-1}$. \item[\textbf{c.}] $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \ln \left(p_{n}\right)0 = + \infty$. \item[\textbf{d.}] $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{p_{n}} 1{n - 1} = 1$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 14}} \medskip Un jeu consiste à lancer trois fois de suite et de façon indépendante un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On obtient ainsi une partie complète en trois manches, chaque lancer constituant une manche. Le joueur gagne la partie s'il obtient \og 1 \fg{} ou \og 2 \fg{} à chaque lancer. Il perd dans les autres cas. La partie coûte 1~euro ; le joueur reçoit 27~euros s'il gagne la partie. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] La probabilité de gagner une partie est $\dfrac{1}{27}$. \item[\textbf{b.}] Ce jeu est équitable. \item[\textbf{c.}] La probabilité pour un joueur de gagner au moins une fois en trois parties est $\dfrac{1}{9}$ \item[\textbf{d.}] La probabilité qu'un joueur gagne une partie sachant qu'il a gagné la première manche est la m\^eme que la probabilité qu'il gagne la première manche sachant qu'il a gagné la partie. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 15}} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal. On considère le système \[ \text{[S]} : \quad \left\{\begin{array}{l c r} x + 2y - 3z&=& 1\\ -3x + y + 2z &=& - 3\\ 2x - 3y + z&=& 2\\ \end{array}\right.\] On appelle $P$ le plan d'équation cartésienne $x + 2y - 3z = 1$ et $D$ la droite définie par le système d'équations : $ \left\{\begin{array}{l c r} -3x + y + 2z &=& - 3\\ 2x - 3y + z&=& 2\\ \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Le système [S] admet pour unique solution en $(x~;~ y~  ;~ z)$ le triplet ( 2 ; 1 ; 1). \item[\textbf{b.}] La droite $D$ est contenue dans le plan $P$. \item[\textbf{c.}] Le système $ \left\{\begin{array}{l c l} x - y &=& 1\\ y - z&=& 0\\ \end{array}\right.$ est un autre système qui permet de définir la droite $D$. \item[\text{d.}] Le vecteur $\vect{u}(2~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de la droite $D$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 16}} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. On considère par leurs coordonnées les points A$\left(1~;~- 1+ \sqrt{2}~;~2\right)$, B$\left(3~;~- 1 - \sqrt{2}~;~4\right)$ et C$(2~;~- 1~;~3)$ . On appelle $\Sigma$ l'ensemble des points de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ tels que : $(x -1 )( x - 3) + (y +1- \sqrt{2})(y +1+ \sqrt{2})+ (z - 2)(z - 4) = 0$. $\mathcal{P}$ est le plan d'équation cartésienne : $x - y + z \sqrt{2} = 3\sqrt{2} -1$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $\Sigma$ est une sphère dont un diamètre est [AB]. \item[\textbf{b.}] $\Sigma$ est une sphère de centre C. \item[\textbf{c.}] La distance de C à $\mathcal{P}$ est $\dfrac{3\left(1 + \sqrt{2} \right)}{2}$. \item[\textbf{d.}] $\mathcal{P}$ est tangent à $\Sigma$. \end{enumerate} \begin{center}\decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \end{center} \end{document}