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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
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\thispagestyle{empty}
\lhead{\small Concours Fesic 14 mai 2008}
\lfoot{\small{Terminale S}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic mai 2008 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv.\\
On considère trois points A, B et C d'affixes respectives 
\[z_{\text{A}} = 1+ \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{B}} = 1+ \text{i} ,\quad  \text{et} \quad  z_{\text{C}} = 2\text{i}\left(\cos \dfrac{\pi}{12} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{12} \right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On a $\text{arg}\left( z_{\text{C}}\right)
= \dfrac{\pi}{12}$.
\item[\textbf{b.}] L'écriture algébrique de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$  est : $\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$.

\item[\textbf{c.}]  L'écriture trigonométrique de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$ est : $\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{12} + \text{i} \sin \dfrac{\pi}{12}\right)$.

\item[\textbf{d.}]  On a : $\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}} = \dfrac{\text{OC}}{\sqrt{2}}.$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On considère deux réels $a$ et $b$ et l'équation [E] : $z^4   + az^3  + bz^2  + az +1 = 0$ dans $\C$.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Si $z_{0}$ est solution de [E] alors $\overline{z_{0}}$ et
$\dfrac{1}{z_{0}}$ le sont aussi.
\item[\textbf{b.}] Si $1+ 2\text{i}$ est solution de [E] alors
$\dfrac{1}{1- 2\text{i}}$ aussi.
\item[\textbf{c.}] Le changement de variable $Z =  z + \dfrac{1}{z}$
conduit à résoudre [E$'$] : $Z^2 + aZ + b = 0$.
\item[\textbf{d.}] On peut factoriser l'expression $z^4   + az^3  + bz^2  + az +1$ par deux polynômes de degré deux à coefficients réels.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv.

On appelle A le point d'affixe 2, B le point d-affixe $-3 - \text{i}$ et C le point d'intersection de (OB) avec la médiatrice de [OA].
On considère dans $\C$ les équations suivantes [E$_{1}$] et [E$_{2}$] :

\[[\text{E}_{1}] :  |z| = |z - 2|\quad  \text{et} \quad  [\text{E}_{2}]  :  \text{arg}(z) = \text{arg}( z + 3 + \text{i}).\]

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}]  L'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie [E$_{1}$] est la médiatrice de [OA].
\item[\textbf{b.}] L'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie [E$_{2}$] est le segment [OB], exclusions faites de O et
B.
\item[\textbf{c.}] L'affixe du point C vérifie simultanément [E$_{1}$] et [E$_{2}$].
\item[\textbf{d.}] Le point C a pour coordonnées $\left(1~;~\dfrac{1}{3} \right)$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal.
Soient $a \in \R,~ (\mathcal{C})$ la courbe représentant la fonction exponentielle et ($T$) la tangente à $(\mathcal{C})$ au point
d'abscisse $a$.

Soient $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = \text{e}^x - \text{e}^x(x + 1 - a)$  et ($\Gamma$) sa courbe représentative dans le m\^eme repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Une équation de ($T$) est : $ y = \text{e}^a(x + 1 - a)$.
\item[\textbf{b.}] La dérivée $f'$  de $f$ est croissante sur $\R$.
\item[\textbf{c.}] $(\mathcal{C})$ est au-dessous de ($T$) avant le point A$\left(a~ ;~\text{e}^a\right)$  est au-dessus de ($T$) après A.
\item[\textbf{d.}] \`A tout réel $x_{0}$ on associe les points $M_{0}$ de $(\mathcal{C})$ et $N_{0}$ de ($\Gamma$) d'abscisse commune $x_{0}$.
$x_{0}$ étant fixé, il existe une valeur de $a$ telle que $(\mathcal{C})$ et ($\Gamma$) possèdent des tangentes parallèles respectivement en $M_{0}$ et $N_{0}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip

Dans le repère orthonormal ci-dessous sont représentées les courbes des fonctions logarithme népérien, exponentielle et identité $( x \longmapsto x)$.

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\psplot{-4}{1.36}{2.71828 x exp}
\psplot{0.02}{4}{x ln}
\psplot[linestyle=dashed]{-4}{4}{x}
\psline[linestyle=dashed](2,0.69)(0.2,-1.6)
\psline[linestyle=dashed](1.1,-0.455)(-0.455,-0.455)(-0.455,0.634)(0.634,0.634)
\uput[dr](0.2,-1.6){$A$} \uput[u](2,0.69){$B$}\uput[r](1.1,-0.455){$I$}
\uput[d](-0.455,-0.455){$J$} \uput[ul](-0.455,0.634){$K$} \uput[dr](3.4,1.2){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[r](1.1,3){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[u](0.634,0.634){$C$}\uput[u](3.8,0){$x$} \uput[l](0,3.8){$y$}
\uput[r](3.8,3.8){$\Delta$} 
\end{pspicture}

$a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs et $A$ et $B$ sont deux points de $\mathcal{C}_{1}$ d'abscisses respectives $a$ et $b$.

On appelle $I$ le milieu de [$AB]$.

On notera ceci : $J \in \Delta,%
 K \in \mathcal{C}_{2}$, les droites ($IJ$) et ($KC$) sont parallèles à l'axe des abscisses ;  la droite $(JK)$ est parallèle à l'axe des ordonnées.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Le point $I$ a les coordonnées $\left( \dfrac{a + b}{2}~;~ \ln \left(\sqrt{ab}\right)\right)$.
\item[\textbf{b.}] L'abscisse de $C$ est $\text{e}^{\sqrt{ab}}$.
\item[\textbf{c.}] La tangente à $\mathcal{C}_{1}$ au point d'abscisse
$\dfrac{a + b}{2}$ est parallèle à la droite $\Delta$%
si et seulement si $a + b = 2$.
\item[\textbf{d.}] Le symétrique de $A$ par rapport à%
$\Delta$ a pour coordonnées $(\ln a~;~a)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Afin de résoudre l'inéquation $\text{e}^x - \text{e}^{2x} < 0$, on utilise le raisonnement suivant :\\
\og Si $x$ est une solution, alors $x \in \R$ et on a $\text{e}^x - \dfrac{2}{\text{e}^x} < 0.$  Le changement de variable $X = \text{e}^x$ donne
$X - \dfrac{2}{X}< 0$, soit $\dfrac{X^2 - 2}{X} < 0.$
Or on a $X = \text{e}^x > 0$. Il faut donc $X^2  - 2 < 0$, soit aussi $\left( X - \sqrt{2}\right)\left( X + \sqrt{2}\right) < 0$. On en
déduit $- \sqrt{2} < X < \sqrt{2}$, donc $- \sqrt{2} < \text{e}^x < \sqrt{2}$.

ln étant une fonction croissante, on obtient $x < \ln 2$. Ces conditions nécessaires sont suffisantes. Solution :
$x < \ln 2$.

Ce raisonnement est exact.
\item[\textbf{b.}] On considère la suite définie par : 

\parbox{0.4\linewidth}{$u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et
pour tout $n \in \N$ par $u_{n+1} = u_{n}^2 + \dfrac{1}{8}$.

On désigne par $C$ la courbe représentant la
fonction $f$ définie sur $\R_{+}$ par : $f(x) = x^2  + \dfrac{1}{8}$ 
 et on désigne par $\Delta$ la droite d'équation $y = x$.
Afin de construire les quatre premiers termes de la
suite $u$, on a réalisé la construction ci-contre.

\emph{Cette construction est exacte.}} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=4cm}\begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.2,1.2)
\psplot{0}{1.03}{x dup mul 1 8 div add}
\psplot{0}{1.1}{x}
\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=red](0.5,0)(0.5,0.5)(0.613,0.5)(0.613,0.613)(0.6986,0.613)(0.6986,0.6986)(0.7574,0.6986)
\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=red](0.613,0)(0.613,0.5)
\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=red](0.6986,0)(0.6986,0.613)
\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=red](0.7574,0)(0.7574,0.6986)
\uput[d](0.5,0){{\scriptsize $u_{0}$}} \uput[d](0.613,0){{\scriptsize $u_{1}$}}\uput[d](0.6986,0){{\scriptsize $u_{2}$}}\uput[d](0.7574,0){{\scriptsize $u_{3}$}}
\uput[d](1.1,0){$x$} \uput[l](0,1.1){$y$}
\uput[l](1,1.05){$\mathcal{C}$} \uput[r](1.1,1.08){$\Delta$}
\end{pspicture}}%
\item[\textbf{c.}] On considère la suite $u$ et la fonction $f$ présentées à l'item \textbf{b.}

Afin de montrer que $u$ est croissante, on utilise le raisonnement par récurrence suivant :

\og Soit P($n$) l'inéquation : $u_{n+1} \geqslant  u_{n} \geqslant 0$.\\
Initialisation : on a  $u_{1} \geqslant u_{0} \geqslant 0$, donc P($0$) est vraie.

Hérédité : Soit $p \in \N$ tel que P($p$) soit vraie. Alors $u_{p+1} \geqslant u_{p} \geqslant 0$. Comme $f$ est croissante sur $\R_{+}$ et ne
prend que des valeurs positives, alors $f\left(u_{p+1}\right) \geqslant f\left(u_{p}\right) \geqslant $f($0$), soit $u_{p+2} \geqslant u_{p+1} \geqslant 0$. Donc P($p + 1$) est vraie.

Conclusion : De ces deux assertions et d'après le théorème de raisonnement par récurrence, je déduis que quel que soit $n\in \N,~ P(n)$ est vraie.\\
On obtient, pour tout $n \in \N,\: u_{n+1} \geqslant u_{n}$, ce qui prouve que $u$ est croissante.

\emph{Ce raisonnement est exact.}

\medskip

\item[\textbf{d.}] On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~- 3] \cup [1~;~+\infty[$ par : $f(x) = \sqrt{x^2  + 2x - 3}$.

On cherche à savoir si la courbe $\mathcal{C}$ représentant $f$ possède une tangente au point A( 1 ; 0 ). On utilise pour cela le raisonnement suivant :
\og  Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ en A est donnée par $y = (x - 1) f'(1) + f(1)$.

Or on a $f'(x) = \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2  + 2x - 3}}$, donc $f'(1)$ n'existe pas et donc $f$ n'est pas dérivable en $1$. On en déduit que
$\mathcal{C}$ ne possède pas de tangente en A. \fg

\emph{Ce raisonnement est exact.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) =  \text{e}^{-x}\sqrt{\text{e}^{x} - 1}$. On appelle $D$ l'ensemble de définition de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}]  $f$ est dérivable sur $D = [0 ~;~ +\infty[$.
\item[\textbf{b.}] $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item[\textbf{c.}] Quel que soit $x \in D,~ f(x ) \in \left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$.
\item[\textbf{d.}] L'équation $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
 admet une unique solution sur $D$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \dfrac{1}{x} + \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$. On appelle $D$ l'ensemble de définition de $f$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $D = ] -\infty~ ;~ -1[$ ;
\item[\textbf{b.}] $f$ admet des primitives sur $] -\infty~ ;~ -1[$ ; l'une d'elles est la fonction $F$ définie sur $] -\infty~ ;~ -1[$ par
\[F(x) = (1+ x )\ln (1+ x) + (1- x)\ln x.\]
\item[\textbf{c.}]  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} xf(x) = 1$.
\item[\textbf{d.}] Soit $n \in \N*$. On a : $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n} f(k) = \dfrac{2}{n(n+1)} + \ln (n+1)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\medskip

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[ 0 ~;~ +\infty[$.

Soient $F$ et $G$ les fonctions définies sur $[ 0 ~;~ +\infty[$ respectivement par :

\[F(x) = \int_{1}^x f(t)\:\text{d}t \quad \text{et}\quad G(x) = x\int_{1}^x f(t)\:\text{d}t.\]

On désigne par $\Gamma$ la représentation graphique de $f$ dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $G(0) = G(1)$.
\item[\text{b.}] $G$ est dérivable sur $[ 0 ~;~ +\infty[$ et pour tout  $x \in [ 0 ~;~ +\infty[$, on a $G'(x) = F(x) + xf(x).$
\item[\textbf{c.}] On ne peut pas prévoir le sens de variation de $G$ sur $[ 0 ~;~ +\infty[$ avec les seules hypothèses de l'énoncé.
\item[\text{d.}] L'aire de la surface limitée par les droites d'équations $x = 0,~x = 2,~ y = 0$ et la courbe $\Gamma$ se calcule par
$F(2) + F(0)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La solution de l'équation différentielle $2y' + y = 0$ qui prend la valeur $5$ en $1$ est la fonction $f$ définie sur $\R$
par $f(x) = 5\text{e}^{\frac{1 - x}{2}}$.
\item[\textbf{b.}] L'ensemble des solutions de l'équation $\ln (4 - x) \leqslant 1$ est $[ 4 - \text{e}~;~+\infty[$.
\item[\textbf{c.}] Soient  $a \in \R_{+}*$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentant la fonction ln dans un repère orthonormal du plan d'origine O. Soient A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$, B le projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses et C le point
d'intersection de la tangente à $\mathcal{C}$ en A avec l'axe des abscisses.

C est le milieu de [OB] si et seulement si $a = \sqrt{\text{e}}$.
\item[\text{d.}] Soit $a \in \R$. Soient trois points A, B et C deux à deux distincts et non alignés. Soit G le barycentre de $\left\{\left(\text{A},~\text{e}^a\right)~ ;~ \left( \text{B}, \right)~ ;~ \left(\text{C} ~;~ 2 \right)\right\}$.

Dans le repère $\left( \text{A}~  ;~  \vect{\text{AB}}, ~\vect{\text{AC}} \right)$ le point G a les coordonnées $( x,~ y)$ telles que $x = \dfrac{1}{\left(\text{e}^a + 1 \right)^2}$ et $y = \dfrac{2\text{e}^a}{\left(\text{e}^a + 1 \right)^2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R_{+}$ par : 
\[f(x) = 3 - \dfrac{4}{x+2}.\]

On considère la suite $u$ définie pour $n \in \N$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& = &4\\
u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)\\
\end{array}\right.\]
 
On admettra que la suite $u$ est bien définie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $f$ est croissante sur $\R_{+}$.
\item[\textbf{b.}]  $u$ est croissante.
\item[\textbf{c.}] Quel que soit $n \in \N,~ u_{n} \geqslant  2$.
\item[\textbf{d.}] $u$ est convergente.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R_{+}$ par : 

\[f(x) = 3 - \dfrac{4}{x+2}.\]

On considère la suite $u$ définie pour $n \in \N$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& = &4\\
u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)\quad \text{et} \quad v_{n} = \dfrac{u_{n} + 1}{u_{n} - 2}.\\
\end{array}\right.\]
 
On admettra que les suites $u$ et $v$ sont bien définies.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $v$ est géométrique de raison $4$.
\item[\textbf{b.}] $\displaystyle\sum_{k=5}^{15} v_{k} = v_{5} \times \dfrac{4^{10} - 1}{3}$.
\item[\textbf{c.}] Pour tout $n \in \N,~u_{n} = \dfrac{2v_{n} + 1}{v_{n} - 1}$.
\item[\text{d.}] La suite $u$ converge vers $-1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

Soient $b$ et $n$ deux entiers naturels tels que $b > 2$ et $n \geqslant  2$.
Une urne contient 2 boules blanches et $(b - 2)$ boules noires, indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l'urne, on repère sa couleur et on la remet dans l'urne. On répète ainsi $n$ fois cette expérience.

On désigne par $p_{n}$ la probabilité de tirer une boule blanche et une seule lors des $(n - 1)$ premiers tirages et une boule noire au $n$-ième tirage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $p_{2} = 1 - \dfrac{2}{b^2}$.
\item[\textbf{b.}] $p_{n} = \dfrac{2(n - 1)}{b}\left(1 - \dfrac{2}{b} \right)^{n-1}$.
\item[\textbf{c.}] $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \ln \left(p_{n}\right)0 = + \infty$.
\item[\textbf{d.}] $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{p_{n}}
1{n - 1} = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\medskip

Un jeu consiste à lancer trois fois de suite et de façon indépendante un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On obtient ainsi une partie complète en trois manches, chaque lancer constituant une manche.

Le joueur gagne la partie s'il obtient \og 1 \fg{} ou \og 2 \fg{} à chaque lancer. Il perd dans les autres cas.

La partie coûte 1~euro ; le joueur reçoit 27~euros s'il gagne la partie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La probabilité de gagner une partie est
$\dfrac{1}{27}$.
\item[\textbf{b.}] Ce jeu est équitable.
\item[\textbf{c.}] La probabilité pour un joueur de gagner au moins une fois en trois parties est $\dfrac{1}{9}$
\item[\textbf{d.}] La probabilité qu'un joueur gagne une partie sachant qu'il a gagné la première manche est la m\^eme que la
probabilité qu'il gagne la première manche sachant qu'il a gagné la partie.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal. On considère le système
\[ \text{[S]} : \quad \left\{\begin{array}{l c r}
x + 2y  - 3z&=& 1\\
-3x + y +  2z &=& - 3\\ 
2x -  3y + z&=& 2\\
\end{array}\right.\]
On appelle $P$ le plan d'équation cartésienne $x + 2y - 3z = 1$ et $D$ la droite définie par le système
d'équations : $ \left\{\begin{array}{l c r}
-3x + y +  2z &=& - 3\\ 
2x -  3y + z&=& 2\\
\end{array}\right.$

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Le système [S] admet pour unique solution en $(x~;~ y~  ;~ z)$ le triplet ( 2 ; 1 ; 1).
\item[\textbf{b.}] La droite $D$ est contenue dans le plan $P$.
\item[\textbf{c.}] Le système
$ \left\{\begin{array}{l c l}
x - y &=& 1\\ 
y - z&=& 0\\
\end{array}\right.$
est un autre système qui permet de définir la droite $D$.
\item[\text{d.}] Le vecteur $\vect{u}(2~;~1~;~1)$
est un vecteur directeur de la droite $D$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. On considère par leurs coordonnées les points
A$\left(1~;~- 1+ \sqrt{2}~;~2\right)$, B$\left(3~;~- 1 - \sqrt{2}~;~4\right)$ et C$(2~;~- 1~;~3)$ .

 On appelle $\Sigma$ l'ensemble des points de coordonnées
$(x~;~y~;~z)$ tels que : $(x -1 )( x - 3) + (y +1- \sqrt{2})(y +1+ \sqrt{2})+ (z - 2)(z - 4) = 0$.

$\mathcal{P}$  est le plan d'équation cartésienne : $x - y + z \sqrt{2} = 3\sqrt{2} -1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $\Sigma$ est une sphère dont un diamètre est [AB].
\item[\textbf{b.}] $\Sigma$ est une sphère de centre C.
\item[\textbf{c.}] La distance de C à $\mathcal{P}$ est $\dfrac{3\left(1 + \sqrt{2} \right)}{2}$.
\item[\textbf{d.}] $\mathcal{P}$ est tangent à $\Sigma$.
\end{enumerate}
\begin{center}\decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone \decoone  \end{center}
\end{document}