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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\huge Concours d'entrée FESIC mai 2004}\end{center}
        
\vspace{0,25cm}

\textbf{EXERCICE 1}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv.

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a,~b,~c$ et 
$d$ :

\[a = - 2 - 2\text{i} \qquad ; \qquad b = 2 \qquad ; \qquad c = 2 + 4\text{i} \qquad ; 
\qquad d = - 2 + 2\text{i}.\]

\textbf{a.} ABCD est un parallélogramme.

\textbf{b.} Le point E, image de C par la rotation de centre B et d'angle $- 
\dfrac{\pi}{2}$, est un point de l'axe des abscisses.

\textbf{c.} Soient $f = 6\text{i} - 4$ et F le point d'affixe $f$.

Le triangle CDF est rectangle et isocèle en D.

\textbf{d.} Soient $g = - 2\text{i}$ et G le point d'affixe $g$.

Le triangle CDG est rectangle et isocèle en D.

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv.

\textbf{a.} La partie réelle de $(1 + 2\text{i})^5$ est 41.

\textbf{b.} On considère trois points quelconques A, B et C du plan d'affixes 
respectives $a,~b$ et $c$.

L'écriture $(b - c) = \text{i}(a - c)$ caractérise une homothétie de centre 
C et de rapport i.

\textbf{c.} $(1 + \text{i})^{20}$ est réel.

\textbf{d.} L'équation $z^4 - 1 = 0$ possède quatre solutions distinctes dans $\C$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv.

Soient A le point d'affixe $a = 1 - \text{i}$ et B le point d'affixe $b = 
2\text{i} - 3$.

À tout point $M$ d'affixe $z,~z ≠ b$, on associe le point $M'$ d'affixe

\[Z = \dfrac{z - 1 + \text{i}}{z + 3 - 2\text{i}}.\]

\textbf{a.} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit réel est le 
segment [AB].

\textbf{b.} Pour tout $z$ différent de $- 3 + 2\text{i}$ et de $-3 - 2\text{i}$, on 
obtient la forme algébrique de $Z$ par le calcul : $\dfrac{(z - 1 + 
\text{i})(z + 3 + 2\text{i}}{(z + 3 - 2\text{i})(z + 3 + 2\text{i}}$.

\textbf{c.} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $M'$ soit un point de 
l'axe des ordonnées est le cercle d'équation $(x + 1)^2 + \left(y - 
\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{25}{4}$, sauf le point B.

\textbf{d.} Soit $z_0$ une solution de l'équation $\dfrac{z - 1 + \text{i}}{z + 3 - 
2\text{i}} = \text{i}$ (on admet l'existence d'une telle solution).

Le point M$_0$ d'affixe $z_0$ est un point de la médiatrice de [AB].


\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 4}

\medskip
	
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \left\{\begin{array}{l}
\text{e}^x,~\text{si}\quad  x < 0\\
\cos x,~ \text{si} \quad  x \geqslant 0\\
\end{array}\right.\]

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa représentation graphique dans un repère
du plan. Soit $\Gamma$ la représentation graphique de la fonction 
exponentielle $\left(x \longmapsto \text{e}^x\right)$ dans le même repère.

\textbf{a.} Dans la portion du plan correspondant aux points d'abscisses
négatives, $\mathcal{C}_{f}$ est l'image de $\Gamma$ par la symétrie 
axiale dont l'axe de symétrie est l'axe des abscisses.

\textbf{b.} $f$ est continue en 0.

\textbf{c.} $f$ est dérivable en 0.

\textbf{d.} L'équation $f(x) = 0$ possède une et une seule solution dans
l'intervalle $]- \infty~;~\pi]$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 5}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique de trois courbes 
$\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$. L'une d'elles est
la représentation d'une fonction, les deux autres sont les représentations
de deux de ses primitives. On note :

$\bullet~$ $f_{1}$ la fonction représentée par $\mathcal{C}_{1}$ ;

$\bullet~$ $f_{2}$ la fonction représentée par $\mathcal{C}_{2}$ ;

$\bullet~$ $f_{3}$ la fonction représentée par $\mathcal{C}_{3}$ ;

\vspace{0,5cm}
\psset{xunit=1.5cm}
\begin{center}\begin{pspicture}(-3,-5)(2,4)
\psgrid(0,0)(-3,-5)(2,4)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(2,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,4)
\pscurve(-3,-0.1)(-2,-0.2)(-1,0)(0,2)(0.4,4)
\pscurve(-3,-0.2)(-2,-0.5)(-1,-0.75)(0,0)(0.8,4)
\pscurve(-3,-3.4)(-2,-3.7)(-1,-3.95)(0,-3.2)(1,2)(1.2,4)
\uput[u](-1.3,-0.2){$\mathcal{C}_{3}$}
\uput[d](-1.3,-0.8){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[u](-1.3,-4){$\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture}\end{center}

\textbf{a.} $f_{1}$ est une primitive de $f_{2}$.

\textbf{b.} $f_{3}$ est la dérivée de $f_{1}$.

\textbf{c.} On considère la surface plane limitée par la courbe $\mathcal{C}_{3}$,
l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =  
-1$. L'aire, en unités d'aire, de cette surface est $f_{2}(-1)$.

\textbf{d.} Soit $x \in \R$. Soient $M_{1}$ le point de $\mathcal{C}_{1}$ 
d'abscisse $x$ et $M_{2}$ le point de $\mathcal{C}_{2}$ de même abscisse.

La distance $M_{1}M_{2}$ est constante.

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 6}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique de deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et 
$\mathcal{C}_{2}$.

$\bullet~$ $\mathcal{C}_{1}$ représente une fonction $f$ dérivable sur 
$\R$ ;

$\bullet~$ $\mathcal{C}_{2}$ représente la fonction $f'$, dérivée de $f$.

On appelle $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$, c'est-à-dire la dérivée
de $f'$.

\vspace{0,5cm}
\psset{xunit=1.5cm}
\begin{center}\begin{pspicture}(-1,-2)(6,4)
    \psgrid(0,0)(-1,-2)(6,4)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-2)(0,4)
\pscurve(-1,3.8)(0,0)(1,1)(2,1.8)(3,1.6)(4,1.2)(5,0.7)(6,0.35)
\pscurve(-0.4,-2)(0,0)(0.75,1.3)(1,1.2)(2,0.25)(3,-0.4)(4,-0.35)(5,-0.3)(6,-0.2)
\uput[d](2.5,-0.3){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[u](2.5,1.8){$\mathcal{C}_{1}$}
    \end{pspicture}\end{center}
    
\textbf{a.} Toute primitive de $f$ est croissante sur [-1 ; 6].

\textbf{b.} La courbe représentant la fonction $f''$ passe par le point de coordonnées
(0 ; 0).

\textbf{c.} La fonction $f''$ s'annule trois fois sur $[-1~;~ 6]$.

\textbf{d.} On considère la surface plane limitée par la courbe $\mathcal{C}_{2}$,
l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 
1$.

L'aire de cette surface est égale à celle d'un carré unité.

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 7}

\medskip

\textbf{a.} Soit $f$ la fonction définie sur $\R_{+}*$ par : 

\[f(x) = x[\sin(\ln x) - \cos(\ln x)].\]

La dérivée $f'$ de $f$ est la fonction définie sur $\R*$ par : $f'(x) = 
2\sin (\ln x).$

\textbf{b.} $7\ln\left(\sqrt{2}+1\right) +2\ln \left(3 +\sqrt{2}\right) - \ln 
\left(11 + 6\sqrt{2}\right) + 7\ln\left(\sqrt{2} - 1\right) = 0$.

\textbf{c.} $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x\:\text{d}x = 
\dfrac{1}{2}\ln 2$.

\textbf{d.} $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} =4 - 
2\sqrt{\text{e}} \:\text{d}x$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 8}

\medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies respectivement sur $\R$ par :

\[ f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} \qquad \text{et} \qquad g(x) = 
\displaystyle\int_{x}^{x^2} f(t) \:\text{d}t.\]

\textbf{a.} L'image de $\R$ par $f$ est $]0~;~ 1]$.

\textbf{b.} Pour tout $x \in \R,~0 \leqslant g(x) \leqslant x^2- x$.

\textbf{c.} Dans un repère du plan et pour $x_{0} \in \R,~ g(x_{0})$ représente
l'aire de la surface plane limitée par la courbe représentative de $f$,
l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =  x_{0}$ et $x = 
x_{0}^2$.

\textbf{d.} $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x \in \R,~ g'(x) = 
f\left(x^2\right) - f(x)$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 9}

\medskip

Soient $l \in  \R$ et $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite réelle à
termes tous strictement positifs.

Pour les items \textbf{a., b.} et \textbf{c.}, on suppose que 
$\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers $l$.

\textbf{a.} $l$ est strictement positif.

\textbf{b.} Il existe $n \in \N$ tel que $l$ soit une valeur approchée de 
$u_{n}$ à $10^{-3}$ près.

\textbf{c.} La suite $\left(\ln u_{n}\right)_{n \in \N}$, converge vers $\ln l$.

\textbf{d.} On suppose dans cette question que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$
vérifie, pour \\$n \in \N\quad :\quad u_{n+1} =  \ln u_{n}$ et que $u_{0} > 
u_{1}$.

On ne suppose pas que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge.

La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est décroissante.

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 10}

\medskip

On considère la suite complexe $\left(z_{n}\right)_{n \in \N}$ définie 
par : $z_{0} = 1$ et, pour tout $n \in \N, \quad  z_{n+1} = 
\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n}$.

Pour $n \in \N$, on appelle $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ dans le plan
complexe d'origine O.

\textbf{a.} La suite $\left(\left|z_{n}\right|\right)_{n \in \N}$ est une suite
géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

\textbf{b.} Quel que soit $n \in \N$, les triangles O$M_{n}M_{n+1}$ sont rectangles.

\textbf{c.} $M_{n}$ appartient à l'axe des abscisses si et seulement si $n$
est un multiple de 4.

\textbf{d.} Pour tout $n \in \N,\quad z_{n} = 
\dfrac{\text{e}^{\text{i}\frac{n\pi}{4}}}{\left(\sqrt{2}\right)^n}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 11}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

On considère, dans ce repère, les points A$(1~;~ -1)$, B(5 ; 3) et I milieu
de [AB].

Soit $\left(G_{n}\right)_{n \in \N}$ la suite de points définie par :

$\bullet~$ G$_{0}$ = O ;

$\bullet~$ Pour $n \in \N, \quad  G_{n+1}$ est le barycentre du système 
$\left\{(G_{n}~;~ 2)~;~ (\text{A}~;~ 1)~;~ (\text{B}~;~ 1)\right\}$.

Pour $n \in \N$, on appelle $(x_{n}~;~ y_{n})$ les coordonnées de 
$G_{n}$.

\textbf{a.} G$_{1}$, G$_{2}$ et G$_{3}$ sont alignés.

\textbf{b.} Quel que soit $n \in \N, \quad  G_{n+1}$ est l'image de $G_{n}$ par
l'homothétie de centre I et de rapport 2.

\textbf{c.} La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie pour $n \in \N$ par $u_{n}
= x_{n} - 3$, est une suite géométrique de premier terme -3 et de
raison $\dfrac{1}{2}$.

\textbf{d.} Pour tout $n \in \N, \quad x_{n} = 3\left(1 - 
\dfrac{1}{2^n}\right)$.


\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 12}

\medskip

On considère une droite graduée $\Delta$ d'origine O.

On considère la suite de points $\left(G_{n}\right)_{n \in \N}$ définie ainsi :

$\bullet~$ G$_{0}$ a pour abscisse 0 et,

$\bullet~$ pour tout $n \in \N, \quad G_{n+1}$ est le barycentre du système
$\left\{(G_{n}~;~ 2)~;~ (H_{n}~;~ 3)\right\}$ ;

et la suite de points $\left(H_{n}\right)_{n \in \N}$
définie ainsi :

$\bullet~$ H$_{0}$ a pour abscisse 1 et,

$\bullet~$ pour tout $n \in \N$, \quad $H_{n+1}$ est le barycentre du système 
$\left\{(G_{n}~;~ 3)~;~ (H_{n}~;~ 2)\right\}$.

On appelle respectivement $\left(g_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(h_{n}\right)_{n \in \N}$
les suites obtenues en notant, pour tout $n \in \N, \quad  g_{n}$ l'abscisse
de $G_{n}$ et $h_{n}$ l'abscisse de $H_{n}$.

\textbf{a.} La suite $\left(g_{n} - h_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique
de raison $\dfrac{-1}{5}$.

\textbf{b.} La suite $\left(g_{n} + h_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite constante.

\textbf{c.} Les deux suites $\left(g_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(h_{n}\right)_
{n \in \N}$ convergent 
vers la même limite.

\textbf{d.} Les suites $\left(g_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(h_{n}\right)_
{n \in \N}$ sont adjacentes.
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 13}

\medskip

Une urne contient 3 boules : une bleue, une verte et une rouge.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2.

On effectue $n$ tirages successifs d'une boule, avec remise intermédiaire.

On suppose les tirages équiprobables et indépendants et on appelle $p$
la probabilité associée â cette expérience.

On définit de plus les évènements suivants :

$\bullet~$	On appelle $A_{n}$, l'évènement : « Les $n - 1$ premiers tirages
ont donné la même boule et la $n$-ième boule tirée est différente des 
précédentes » ;

$\bullet~$	Lorsque $k$ est un entier compris entre 1 et $n$, on 
appelle $B_{k},~ V_{k}$ et $R_{k}$ les évènements respectivement associes
au tirage d'une boule bleue, verte ou rouge lors du $k$-ième tirage.

\textbf{a.} $p\left(B_{1} \cap \overline{B_{2}}\right) =1 - p\left(V_{1} \cap 
\overline{V_{2}}\right)- p\left(R_{1} \cap \overline{R_{2}}\right)$.

\textbf{b.} $p\left(A_{2}\right) = \dfrac{2}{3}$.

\textbf{c.} Pour tout entier $n \geqslant 2$, on a : $p\left(A_{n}\right) = 
\dfrac{2}{3^{n-1}}$.

\textbf{d.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 
\left[p\left(A_{2}\right)+p\left(A_{3}\right)+...+p\left(A_{n}\right)\right] = 
\dfrac{1}{3}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 14}

\medskip

La durée de vie d'un moteur est de 5 ans et suit une loi exponentielle
de paramètre $\lambda$.

On utilisera, pour les calculs, l'approximation $\ln 2 \approx  0,7$.

\textbf{a.} La densité de probabilité associée à cette loi est la fonction $f$
définie sur $\R$ telle que :

$\bullet~ f(t) = 0$ si $t \not\in [0~;~5]$ et

$\bullet~ f(t) = 5\text{e}^{-5t}$ si $t \in  [0~;~ 5]$.

\textbf{b.} On suppose que 50\:\% des clients ont été dépannés durant la
garantie. La durée de cette garantie est de 3 ans et demi environ.

\textbf{c.} On considère un lot de 10 moteurs fonctionnant de manières indépendantes
et on appelle $X$ le nombre de moteurs qui n'ont pas de panne pendant les
deux premières années.

La probabilité d'avoir $X \geqslant 1$ est $p(X \geqslant 1) = 
\text{e}^{-4}$.

\textbf{d.} On considère à nouveau un lot de 10 moteurs fonctionnant de manières
indépendantes et on appelle $X$ de la même façon qu'au \textbf{c.}, le nombre de
moteurs qui n'ont pas de panne pendant les deux premières années.

L'espérance de la variable aléatoire $X$ est E$(X) = 
10\text{e}^{\frac{-2}{5}}$.
			
\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 15}

\medskip

On considère le prisme ABCDEF ci-dessous.

Sur ce prisme, I est le milieu de [AB], J est le milieu de [BE], et ABED et
ADFC sont des carrés.

\vspace{0,4cm}

\begin{center}\begin{pspicture}(7,8)
\pspolygon(0,0)(5,0)(6.9,2.5)(2,7.4)(0,5) %ABEFCA
\psline(5,0)(0,5)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,2.5)(2,7.4)(2.5,0)(6,1.25)(2,7.4)%ADFIJF
\psline[linestyle=dashed](2,2.5)(6.9,2.5)
\uput[l](0,0){A} \uput[d](2.5,0){I} \uput[r](5,0){B} 
\uput[r](6,1.25){J} \uput[r](6.9,2.5){E} \uput[l](2,2.5){D} 
\uput[l](0,5){C} \uput[ul](2,7.4){F}
\psline(1.2,0.1)(1.3,-0.1) \psline(3.7,0.1)(3.8,-0.1)
\psline(5.45,0.675)(5.55,0.575) \psline(6.37,1.925)(6.47,1.825)
\end{pspicture}\end{center}

On rapporte l'espace au repère 
$\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},
~\overrightarrow{\text{AC}}\right)$.

Pour $n \in \N$, on appelle $G_{n}$ le barycentre du système 
$\{(\text{A}~;~ 1)~;~ (\text{B}~;~ 1)~;~ (\text{E}~;~ 1)~;
~(\text{D}~;~n)\}$. (On notera que $G_{n}$ existe quel que soit $n 
\in \N$, puisque $1 + 1 + 1 + n \neq 0$.)

\textbf{a.} Le plan (IJF) est l'ensemble des points $M(x~;~ y~;~ z)$ tels que :
$2x - + 3z - 1 = 0$.

\textbf{b.} La droite $\Delta$ passant par D et orthogonale au plan (IJF) est l'ensemble
des points $M(x~;~ y~;~ z)$ tels que :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1+k\\
y&=&1-k\\
z&= & \dfrac{3}{2}k\\
\end{array}\right.,~\text{où}~ k  \in \R.\]

\textbf{c.} G$_{3}$ appartient au segment [BD].

\textbf{d.} Soit $n \in \N$. L'ensemble des points $M$ tels que 
$\left\|\overrightarrow{M\text{A}} + \overrightarrow{M\text{B}} +
\overrightarrow{M\text{E}}+ n\overrightarrow{M\text{D}}\right\| = n + 3$ est
la droite (BD).

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 16}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous, où I est le milieu de [EF] et
J est le centre de la face ADHE.

\vspace{0,4cm}

\psset{unit=1cm} 
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,9)
\psline(0,0)(5,0)(7,3.25)(7,8.25)(2,8.25)(0,5)(0,0)%ABCGHEA
\psline(0,5)(5,5)(5,0)%EFB
\psline(0,0)(2.5,5)(7,8.25)%AIG
\psline(5,5)(7,8.25)%FG
\psline(1.2,5.1)(1.3,4.9) \psline(3.7,5.1)(3.8,4.9)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(2,3.25)(0,5)%BDE
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,8.25)%AH
\psline[linestyle=dashed](0,0)(7,8.25)%AG
\psline[linestyle=dashed](7,3.25)(2,3.25)(2,8.25)%CDH
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,3.25)%AD
\uput[l](0,0){A} \uput[r](5,0){B} \uput[r](7,3.25){C}
\uput[ur](2,3.25){D} \uput[l](0,5){E} \uput[r](5,5){F}
\uput[r](7,8.25){G} \uput[l](2,8.25){H} \uput[ul](2.5,5){I}
\uput[dl](1,4.25){J}
 \end{pspicture}
 \end{center}
 
\vspace{0,4cm}

On rapporte l'espace au repère 
$\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},
~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

\textbf{a.} L'ensemble des points $M(x~;~y~;~ z)$ tels que $y = - x + 1$ est le plan
(DBH).

\textbf{b.} Le plan (AIG) est l'ensemble des points $M(x~;~ y~;~ z)$ tels 
que : $2x - y - z = 0$.

\textbf{c.} La droite (BJ) est orthogonale au plan (AIG). 

\textbf{d.} La distance, en unités de repère, de B au plan (AIG) est 2.
%Origine : http://perso.wanadoo.fr/cybernews/fesic2004.pdf
\end{document}