\documentclass[12pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{pifont} \usepackage{multicol} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{ulem} \usepackage{graphicx} \usepackage{pst-plot,pst-grad} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{myheadings} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge Concours d'entréŽe FESIC mai 2004}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{EXERCICE 1} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a,~b,~c$ et $d$ : \[a = - 2 - 2\text{i} \qquad ; \qquad b = 2 \qquad ; \qquad c = 2 + 4\text{i} \qquad ; \qquad d = - 2 + 2\text{i}.\] \textbf{a.} ABCD est un parallélogramme. \textbf{b.} Le point E, image de C par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$, est un point de l'axe des abscisses. \textbf{c.} Soient $f = 6\text{i} - 4$ et F le point d'affixe $f$. Le triangle CDF est rectangle et isocèle en D. \textbf{d.} Soient $g = - 2\text{i}$ et G le point d'affixe $g$. Le triangle CDG est rectangle et isocèle en D. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 2} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. \textbf{a.} La partie réelle de $(1 + 2\text{i})^5$ est 41. \textbf{b.} On considère trois points quelconques A, B et C du plan d'affixes respectives $a,~b$ et $c$. L'écriture $(b - c) = \text{i}(a - c)$ caractérise une homothétie de centre C et de rapport i. \textbf{c.} $(1 + \text{i})^{20}$ est réel. \textbf{d.} L'équation $z^4 - 1 = 0$ possède quatre solutions distinctes dans $\C$. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 3} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Soient A le point d'affixe $a = 1 - \text{i}$ et B le point d'affixe $b = 2\text{i} - 3$. À tout point $M$ d'affixe $z,~z ≠ b$, on associe le point $M'$ d'affixe \[Z = \dfrac{z - 1 + \text{i}}{z + 3 - 2\text{i}}.\] \textbf{a.} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit réel est le segment [AB]. \textbf{b.} Pour tout $z$ différent de $- 3 + 2\text{i}$ et de $-3 - 2\text{i}$, on obtient la forme algébrique de $Z$ par le calcul : $\dfrac{(z - 1 + \text{i})(z + 3 + 2\text{i}}{(z + 3 - 2\text{i})(z + 3 + 2\text{i}}$. \textbf{c.} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $M'$ soit un point de l'axe des ordonnées est le cercle d'équation $(x + 1)^2 + \left(y - \dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{25}{4}$, sauf le point B. \textbf{d.} Soit $z_0$ une solution de l'équation $\dfrac{z - 1 + \text{i}}{z + 3 - 2\text{i}} = \text{i}$ (on admet l'existence d'une telle solution). Le point M$_0$ d'affixe $z_0$ est un point de la médiatrice de [AB]. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 4} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = \left\{\begin{array}{l} \text{e}^x,~\text{si}\quad x < 0\\ \cos x,~ \text{si} \quad x \geqslant 0\\ \end{array}\right.\] On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa représentation graphique dans un repère du plan. Soit $\Gamma$ la représentation graphique de la fonction exponentielle $\left(x \longmapsto \text{e}^x\right)$ dans le même repère. \textbf{a.} Dans la portion du plan correspondant aux points d'abscisses négatives, $\mathcal{C}_{f}$ est l'image de $\Gamma$ par la symétrie axiale dont l'axe de symétrie est l'axe des abscisses. \textbf{b.} $f$ est continue en 0. \textbf{c.} $f$ est dérivable en 0. \textbf{d.} L'équation $f(x) = 0$ possède une et une seule solution dans l'intervalle $]- \infty~;~\pi]$. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 5} \medskip On donne ci-dessous la représentation graphique de trois courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$. L'une d'elles est la représentation d'une fonction, les deux autres sont les représentations de deux de ses primitives. On note : $\bullet~$ $f_{1}$ la fonction représentée par $\mathcal{C}_{1}$ ; $\bullet~$ $f_{2}$ la fonction représentée par $\mathcal{C}_{2}$ ; $\bullet~$ $f_{3}$ la fonction représentée par $\mathcal{C}_{3}$ ; \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1.5cm} \begin{center}\begin{pspicture}(-3,-5)(2,4) \psgrid(0,0)(-3,-5)(2,4) \psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(2,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,4) \pscurve(-3,-0.1)(-2,-0.2)(-1,0)(0,2)(0.4,4) \pscurve(-3,-0.2)(-2,-0.5)(-1,-0.75)(0,0)(0.8,4) \pscurve(-3,-3.4)(-2,-3.7)(-1,-3.95)(0,-3.2)(1,2)(1.2,4) \uput[u](-1.3,-0.2){$\mathcal{C}_{3}$} \uput[d](-1.3,-0.8){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](-1.3,-4){$\mathcal{C}_{1}$} \end{pspicture}\end{center} \textbf{a.} $f_{1}$ est une primitive de $f_{2}$. \textbf{b.} $f_{3}$ est la dérivée de $f_{1}$. \textbf{c.} On considère la surface plane limitée par la courbe $\mathcal{C}_{3}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = -1$. L'aire, en unités d'aire, de cette surface est $f_{2}(-1)$. \textbf{d.} Soit $x \in \R$. Soient $M_{1}$ le point de $\mathcal{C}_{1}$ d'abscisse $x$ et $M_{2}$ le point de $\mathcal{C}_{2}$ de même abscisse. La distance $M_{1}M_{2}$ est constante. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 6} \medskip On donne ci-dessous la représentation graphique de deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. $\bullet~$ $\mathcal{C}_{1}$ représente une fonction $f$ dérivable sur $\R$ ; $\bullet~$ $\mathcal{C}_{2}$ représente la fonction $f'$, dérivée de $f$. On appelle $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$, c'est-à-dire la dérivée de $f'$. \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1.5cm} \begin{center}\begin{pspicture}(-1,-2)(6,4) \psgrid(0,0)(-1,-2)(6,4) \psline[linewidth=2pt]{->}(-1,0)(6,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-2)(0,4) \pscurve(-1,3.8)(0,0)(1,1)(2,1.8)(3,1.6)(4,1.2)(5,0.7)(6,0.35) \pscurve(-0.4,-2)(0,0)(0.75,1.3)(1,1.2)(2,0.25)(3,-0.4)(4,-0.35)(5,-0.3)(6,-0.2) \uput[d](2.5,-0.3){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](2.5,1.8){$\mathcal{C}_{1}$} \end{pspicture}\end{center} \textbf{a.} Toute primitive de $f$ est croissante sur [-1 ; 6]. \textbf{b.} La courbe représentant la fonction $f''$ passe par le point de coordonnées (0 ; 0). \textbf{c.} La fonction $f''$ s'annule trois fois sur $[-1~;~ 6]$. \textbf{d.} On considère la surface plane limitée par la courbe $\mathcal{C}_{2}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. L'aire de cette surface est égale à celle d'un carré unité. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 7} \medskip \textbf{a.} Soit $f$ la fonction définie sur $\R_{+}*$ par : \[f(x) = x[\sin(\ln x) - \cos(\ln x)].\] La dérivée $f'$ de $f$ est la fonction définie sur $\R*$ par : $f'(x) = 2\sin (\ln x).$ \textbf{b.} $7\ln\left(\sqrt{2}+1\right) +2\ln \left(3 +\sqrt{2}\right) - \ln \left(11 + 6\sqrt{2}\right) + 7\ln\left(\sqrt{2} - 1\right) = 0$. \textbf{c.} $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\ln 2$. \textbf{d.} $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} =4 - 2\sqrt{\text{e}} \:\text{d}x$. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 8} \medskip Soient $f$ et $g$ les fonctions définies respectivement sur $\R$ par : \[ f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} \qquad \text{et} \qquad g(x) = \displaystyle\int_{x}^{x^2} f(t) \:\text{d}t.\] \textbf{a.} L'image de $\R$ par $f$ est $]0~;~ 1]$. \textbf{b.} Pour tout $x \in \R,~0 \leqslant g(x) \leqslant x^2- x$. \textbf{c.} Dans un repère du plan et pour $x_{0} \in \R,~ g(x_{0})$ représente l'aire de la surface plane limitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = x_{0}$ et $x = x_{0}^2$. \textbf{d.} $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x \in \R,~ g'(x) = f\left(x^2\right) - f(x)$. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 9} \medskip Soient $l \in \R$ et $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite réelle à termes tous strictement positifs. Pour les items \textbf{a., b.} et \textbf{c.}, on suppose que $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers $l$. \textbf{a.} $l$ est strictement positif. \textbf{b.} Il existe $n \in \N$ tel que $l$ soit une valeur approchée de $u_{n}$ à $10^{-3}$ près. \textbf{c.} La suite $\left(\ln u_{n}\right)_{n \in \N}$, converge vers $\ln l$. \textbf{d.} On suppose dans cette question que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ vérifie, pour \\$n \in \N\quad :\quad u_{n+1} = \ln u_{n}$ et que $u_{0} > u_{1}$. On ne suppose pas que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge. La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est décroissante. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 10} \medskip On considère la suite complexe $\left(z_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par : $z_{0} = 1$ et, pour tout $n \in \N, \quad z_{n+1} = \dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n}$. Pour $n \in \N$, on appelle $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ dans le plan complexe d'origine O. \textbf{a.} La suite $\left(\left|z_{n}\right|\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. \textbf{b.} Quel que soit $n \in \N$, les triangles O$M_{n}M_{n+1}$ sont rectangles. \textbf{c.} $M_{n}$ appartient à l'axe des abscisses si et seulement si $n$ est un multiple de 4. \textbf{d.} Pour tout $n \in \N,\quad z_{n} = \dfrac{\text{e}^{\text{i}\frac{n\pi}{4}}}{\left(\sqrt{2}\right)^n}$. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 11} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On considère, dans ce repère, les points A$(1~;~ -1)$, B(5 ; 3) et I milieu de [AB]. Soit $\left(G_{n}\right)_{n \in \N}$ la suite de points définie par : $\bullet~$ G$_{0}$ = O ; $\bullet~$ Pour $n \in \N, \quad G_{n+1}$ est le barycentre du système $\left\{(G_{n}~;~ 2)~;~ (\text{A}~;~ 1)~;~ (\text{B}~;~ 1)\right\}$. Pour $n \in \N$, on appelle $(x_{n}~;~ y_{n})$ les coordonnées de $G_{n}$. \textbf{a.} G$_{1}$, G$_{2}$ et G$_{3}$ sont alignés. \textbf{b.} Quel que soit $n \in \N, \quad G_{n+1}$ est l'image de $G_{n}$ par l'homothétie de centre I et de rapport 2. \textbf{c.} La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie pour $n \in \N$ par $u_{n} = x_{n} - 3$, est une suite géométrique de premier terme -3 et de raison $\dfrac{1}{2}$. \textbf{d.} Pour tout $n \in \N, \quad x_{n} = 3\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)$. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 12} \medskip On considère une droite graduée $\Delta$ d'origine O. On considère la suite de points $\left(G_{n}\right)_{n \in \N}$ définie ainsi : $\bullet~$ G$_{0}$ a pour abscisse 0 et, $\bullet~$ pour tout $n \in \N, \quad G_{n+1}$ est le barycentre du système $\left\{(G_{n}~;~ 2)~;~ (H_{n}~;~ 3)\right\}$ ; et la suite de points $\left(H_{n}\right)_{n \in \N}$ définie ainsi : $\bullet~$ H$_{0}$ a pour abscisse 1 et, $\bullet~$ pour tout $n \in \N$, \quad $H_{n+1}$ est le barycentre du système $\left\{(G_{n}~;~ 3)~;~ (H_{n}~;~ 2)\right\}$. On appelle respectivement $\left(g_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(h_{n}\right)_{n \in \N}$ les suites obtenues en notant, pour tout $n \in \N, \quad g_{n}$ l'abscisse de $G_{n}$ et $h_{n}$ l'abscisse de $H_{n}$. \textbf{a.} La suite $\left(g_{n} - h_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{5}$. \textbf{b.} La suite $\left(g_{n} + h_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite constante. \textbf{c.} Les deux suites $\left(g_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(h_{n}\right)_ {n \in \N}$ convergent vers la même limite. \textbf{d.} Les suites $\left(g_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(h_{n}\right)_ {n \in \N}$ sont adjacentes. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 13} \medskip Une urne contient 3 boules : une bleue, une verte et une rouge. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. On effectue $n$ tirages successifs d'une boule, avec remise intermédiaire. On suppose les tirages équiprobables et indépendants et on appelle $p$ la probabilité associée â cette expérience. On définit de plus les évènements suivants : $\bullet~$ On appelle $A_{n}$, l'évènement : « Les $n - 1$ premiers tirages ont donné la même boule et la $n$-ième boule tirée est différente des précédentes » ; $\bullet~$ Lorsque $k$ est un entier compris entre 1 et $n$, on appelle $B_{k},~ V_{k}$ et $R_{k}$ les évènements respectivement associes au tirage d'une boule bleue, verte ou rouge lors du $k$-ième tirage. \textbf{a.} $p\left(B_{1} \cap \overline{B_{2}}\right) =1 - p\left(V_{1} \cap \overline{V_{2}}\right)- p\left(R_{1} \cap \overline{R_{2}}\right)$. \textbf{b.} $p\left(A_{2}\right) = \dfrac{2}{3}$. \textbf{c.} Pour tout entier $n \geqslant 2$, on a : $p\left(A_{n}\right) = \dfrac{2}{3^{n-1}}$. \textbf{d.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left[p\left(A_{2}\right)+p\left(A_{3}\right)+...+p\left(A_{n}\right)\right] = \dfrac{1}{3}$. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 14} \medskip La durée de vie d'un moteur est de 5 ans et suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On utilisera, pour les calculs, l'approximation $\ln 2 \approx 0,7$. \textbf{a.} La densité de probabilité associée à cette loi est la fonction $f$ définie sur $\R$ telle que : $\bullet~ f(t) = 0$ si $t \not\in [0~;~5]$ et $\bullet~ f(t) = 5\text{e}^{-5t}$ si $t \in [0~;~ 5]$. \textbf{b.} On suppose que 50\:\% des clients ont été dépannés durant la garantie. La durée de cette garantie est de 3 ans et demi environ. \textbf{c.} On considère un lot de 10 moteurs fonctionnant de manières indépendantes et on appelle $X$ le nombre de moteurs qui n'ont pas de panne pendant les deux premières années. La probabilité d'avoir $X \geqslant 1$ est $p(X \geqslant 1) = \text{e}^{-4}$. \textbf{d.} On considère à nouveau un lot de 10 moteurs fonctionnant de manières indépendantes et on appelle $X$ de la même façon qu'au \textbf{c.}, le nombre de moteurs qui n'ont pas de panne pendant les deux premières années. L'espérance de la variable aléatoire $X$ est E$(X) = 10\text{e}^{\frac{-2}{5}}$. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 15} \medskip On considère le prisme ABCDEF ci-dessous. Sur ce prisme, I est le milieu de [AB], J est le milieu de [BE], et ABED et ADFC sont des carrés. \vspace{0,4cm} \begin{center}\begin{pspicture}(7,8) \pspolygon(0,0)(5,0)(6.9,2.5)(2,7.4)(0,5) %ABEFCA \psline(5,0)(0,5) \psline[linestyle=dashed](0,0)(2,2.5)(2,7.4)(2.5,0)(6,1.25)(2,7.4)%ADFIJF \psline[linestyle=dashed](2,2.5)(6.9,2.5) \uput[l](0,0){A} \uput[d](2.5,0){I} \uput[r](5,0){B} \uput[r](6,1.25){J} \uput[r](6.9,2.5){E} \uput[l](2,2.5){D} \uput[l](0,5){C} \uput[ul](2,7.4){F} \psline(1.2,0.1)(1.3,-0.1) \psline(3.7,0.1)(3.8,-0.1) \psline(5.45,0.675)(5.55,0.575) \psline(6.37,1.925)(6.47,1.825) \end{pspicture}\end{center} On rapporte l'espace au repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}}, ~\overrightarrow{\text{AC}}\right)$. Pour $n \in \N$, on appelle $G_{n}$ le barycentre du système $\{(\text{A}~;~ 1)~;~ (\text{B}~;~ 1)~;~ (\text{E}~;~ 1)~; ~(\text{D}~;~n)\}$. (On notera que $G_{n}$ existe quel que soit $n \in \N$, puisque $1 + 1 + 1 + n \neq 0$.) \textbf{a.} Le plan (IJF) est l'ensemble des points $M(x~;~ y~;~ z)$ tels que : $2x - + 3z - 1 = 0$. \textbf{b.} La droite $\Delta$ passant par D et orthogonale au plan (IJF) est l'ensemble des points $M(x~;~ y~;~ z)$ tels que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1+k\\ y&=&1-k\\ z&= & \dfrac{3}{2}k\\ \end{array}\right.,~\text{où}~ k \in \R.\] \textbf{c.} G$_{3}$ appartient au segment [BD]. \textbf{d.} Soit $n \in \N$. L'ensemble des points $M$ tels que $\left\|\overrightarrow{M\text{A}} + \overrightarrow{M\text{B}} + \overrightarrow{M\text{E}}+ n\overrightarrow{M\text{D}}\right\| = n + 3$ est la droite (BD). \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 16} \medskip On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous, où I est le milieu de [EF] et J est le centre de la face ADHE. \vspace{0,4cm} \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(7,9) \psline(0,0)(5,0)(7,3.25)(7,8.25)(2,8.25)(0,5)(0,0)%ABCGHEA \psline(0,5)(5,5)(5,0)%EFB \psline(0,0)(2.5,5)(7,8.25)%AIG \psline(5,5)(7,8.25)%FG \psline(1.2,5.1)(1.3,4.9) \psline(3.7,5.1)(3.8,4.9) \psline[linestyle=dashed](5,0)(2,3.25)(0,5)%BDE \psline[linestyle=dashed](0,0)(2,8.25)%AH \psline[linestyle=dashed](0,0)(7,8.25)%AG \psline[linestyle=dashed](7,3.25)(2,3.25)(2,8.25)%CDH \psline[linestyle=dashed](0,0)(2,3.25)%AD \uput[l](0,0){A} \uput[r](5,0){B} \uput[r](7,3.25){C} \uput[ur](2,3.25){D} \uput[l](0,5){E} \uput[r](5,5){F} \uput[r](7,8.25){G} \uput[l](2,8.25){H} \uput[ul](2.5,5){I} \uput[dl](1,4.25){J} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,4cm} On rapporte l'espace au repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}, ~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$. \textbf{a.} L'ensemble des points $M(x~;~y~;~ z)$ tels que $y = - x + 1$ est le plan (DBH). \textbf{b.} Le plan (AIG) est l'ensemble des points $M(x~;~ y~;~ z)$ tels que : $2x - y - z = 0$. \textbf{c.} La droite (BJ) est orthogonale au plan (AIG). \textbf{d.} La distance, en unités de repère, de B au plan (AIG) est 2. %Origine : http://perso.wanadoo.fr/cybernews/fesic2004.pdf \end{document}