\documentclass[12pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{pifont} \usepackage{multicol} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{ulem} \usepackage{graphicx} \usepackage{pst-plot,pst-grad} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{myheadings} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge Concours d'entréŽe FESIC mai 2002}\end{center} \vspace{0,25cm} Dans toute question où il intervient le plan (respectivement l'espace) est rapporté à un repère orthonormal $\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right) = (\text{O}xy)$ (respectivement $\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath}, ~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)= (\text{O}xyz)$ ). \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1} \medskip Soit $f$ la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{\ln \left(\sqrt{x}\right)},\] $\mathcal{D}$ son ensemble de définition et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. \textbf{a)} On a : $\mathcal{D} =]0,~+ \infty[$. \textbf{b)} La courbe $\mathcal{C}$ admet une droite asymptote en $+ \infty$. \textbf{c)} Pour tout $x \in \mathcal{D}$, on a : $f(x) < \dfrac{x}{2}$. \textbf{d)} Pour tout $x \in \mathcal{D}$, on a : $f'(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{x(\ln x)^2}$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 2} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x + \sin (\pi x)$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. \textbf{a)} Pour tout $x$ réel, on a : $f'(x) = 1 + \cos(\pi x)$. \textbf{b)} On a : $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left[\dfrac{f(x)}{x}\right] = 1 + \pi$. \textbf{c)} La courbe $\mathcal{C}$ coupe la première bissectrice en chaque point d'abscisse $x = k + \dfrac{1}{2}$, où $k \in Z$. \textbf{d)} La courbe $\mathcal{C}$ admet la première bissectrice comme droite asymptote en $+\infty$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 3} \medskip Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par : \[f(x) = \ln \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)\qquad \text{et} \qquad g(x) = \text{e}^{-2x} + 2\text{e}^{-x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\Gamma$ celle de $g$. On considère la rotation $R$ de centre O et d'angle $\pi/2$. On note $M'$ le point de coordonnées $(x'~;~ y')$ et d'affixe $z'$, image par $R$ du point $M$ de coordonnées $(x~;~ y)$ et d'affixe $z$. \textbf{a)} L'ensemble de définition de $f$ est I = $]-1~;~ +\infty[$. \textbf{b)} On a : $z'= \text{i}z$. \textbf{c)} On a : $\left\{\begin{array}{l cl} x' &=& - y\\ y'& =& x\\ \end{array}\right.$ \textbf{d)} Tout point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$ a une image $M'$ par $R$ qui appartient ? la courbe $\Gamma$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 4} \medskip On rappelle que $2 < \text{e} < 3$. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = \dfrac{\text{e}^{|x|}}{\text{e}^x + 1}.\] \textbf{a)} La fonction $f$ est paire. \textbf{b)} On a : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$ \qquad et \qquad $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$. \textbf{c)} On a : $\displaystyle\lim_{x \to + 0^-} f(x) = - \dfrac{3}{4}$ \qquad et \qquad $\displaystyle\lim_{x \to + 0^+} f(x) = \dfrac{1}{4}$. \textbf{d)} On a : \[\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x = \ln \left(\dfrac{\text{e}^2 + 1}{2} \right).\] \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 5} \medskip On rappelle que $2 < \text{e} < 3$. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 1)\text{e}^{2x}.\] \textbf{a)} La fonction $f$ vérifie l'équation $(\forall x \in \R)\qquad y'(x) - 2y(x) = \text{e}^{2x}.$ \textbf{b)} L'équation $f(x) = - \dfrac{1}{16}$ deux solutions distinctes. Pour $\alpha$ réel, on pose $I(\alpha) = \displaystyle\int_{\alpha}^{-1} f (x)\: \text{d}x$. \textbf{c)} Pour tout réel $\alpha$, on a \[I(\alpha) = -\dfrac{1}{4\text{e}^2} - \dfrac{2\alpha + 1}{4}\text{e}^{2\alpha}.\] (On pourra utiliser une intégration par parties.) \textbf{d)} On a : $\displaystyle\lim_{\alpha \to - \infty} = + \infty$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 6} \medskip On considère les fonctions définies par \[f(x) = [2 + \cos x]\text{e}^{1-x}\qquad \text{et} \qquad g(x) = -1 - \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}.\] On note $G$ la primitive de $g$ valant $1 + \ln 3$ en $0$ et I son intervalle de définition. \textbf{a)} On a : I = $\R$. \textbf{b)} Pour tout $x \in$ I, on a : $G(x) = \ln [f (x)]$. \textbf{c)} La fonction $G$ est strictement monotone sur I. \textbf{d)} On a : \[\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\: \text{d}x = \ln \left[\dfrac{f(1)}{f(0)} \right].\] \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 7} \medskip Soit $f$ la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 2}.\] et $\mathcal{D}$ son ensemble de d?finition. On note \[I = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \qquad \text{et, pour} \qquad n \in \N^*, u_{n} = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\text{e}^{\frac{x}{n}}\:\text{d}x.\] \textbf{a)} Il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x \in \mathcal{D}$, on ait \[f(x) = a + \dfrac{b}{x + 2}.\] \textbf{b)} La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N^*}$ est croissante. \textbf{c)} Pour tout $n \in \N^*$, on a : $I \leqslant u_{n} \leqslant \text{e}^{\frac{2}{n}}I$. \textbf{d)} La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N^*}$ a pour limite $4 - \ln 2$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 8} \medskip On considère l'équation différentielle \[y'(x) - 2y(x) = O \qquad \left(\text{E}_{1}\right).\] \textbf{a)} Les solutions de $\left(\text{E}_{1}\right)$ sont les fonctions $y(x) = K\text{e}^{\frac{x}{2}}$, où $K \in \R$. \textbf{b)} L'équation $\left(\text{E}_{1}\right)$ admet une unique solution vérifiant la condition $y(O) = 2$ et c'est la fonction $y(x) = \text{e}^{2x} + 1$. On considère l'équation \[(\forall x \in \R) \qquad u'(x) + u(x) = 2 \text{e}^{-3x} \qquad \left(\text{E}_{2}\right)\] \textbf{c)} Une fonction $f$ vérifie l'équation $\left(\text{E}_{2}\right)$ si et seulement si la fonction $g$ définie, pour tout $x \in \R$, par $g(x) = \text{e}^{3x}f(x) + 1$, est solution de l'équation $\left(\text{E}_{1}\right)$. \textbf{d)} La fonction \[f(x) = 2 \text{e}^{-x} - \text{e}^{-3x}\] est l'unique fonction $u$ vérifiant l'équation $\left(\text{E}_{2}\right)$ et la condition $u(0) = 1$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 9} \medskip Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, on considère la fonction $f$, définie sur $\R$ par \[f(x) = x^3 - 2nx + 1.\] \textbf{a)} Pour tout $n \geqslant 2$, la fonction $f_{n}$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0, 1]. \textbf{b)} Pour tout $n \geqslant 2$, l'équation $f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution dans $\R$. On note $u_{n}$ l'unique solution dans l'intervalle [0~;~1] de l'équation $f_{n}(x) = 0$. \textbf{c)} Pour tout $n \geqslant 2$, on a : $0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{1}{n}.$ \textbf{d)} On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} =0$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 10} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par \[u_{0} = 0,\: u_{1} = 1 \qquad \text{et, pour tout} \quad n \in \N, u_{n+2} = \dfrac{1}{3}u_{n+1} + \dfrac{2}{3}u_{n}.\] On définit les suites $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(w_{n}\right)_{n \in \N}$ par \[v_{n} = u_{n+1} -u_{n}\qquad \text{et} \qquad w_{n} = u_{n+1} + \dfrac{2}{3}u_{n}.\] \textbf{a)} La suite $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ est arithmétique. \textbf{b)} La suite $\left(w_{n}\right)_{n \in \N}$ est constante. \textbf{c)} Pour tout $n \in \N$, on a : $u_{n} = \dfrac{3}{5}\left(w_{n} - v_{n}\right)$. \textbf{d)} La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ n'a pas de limite finie. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 11} \medskip Soit $\alpha$ un réel et $\left(E_{\alpha}\right)$ l'équation d'inconnue complexe $z$ \[z^2 + (1 + \alpha) z + \alpha^2 = 0.\] On désigne par $M_{\alpha}$ et $M'_{\alpha}$, les points du plan dont les affixes sont les solutions de $\left(E_{\alpha}\right)$. \textbf{a)} Le nombre complexe $z = -2 + \text{i}\sqrt{5}$ est une solution de $\left(E_{\alpha}\right)$. \textbf{b)} Les solutions de l'équation $\left(E_{\alpha}\right)$ sont soit réelles, soit complexes conjuguées. \textbf{c)} Pour tout $\alpha > 1$, le triangle (O$M_{\alpha}M'_{\alpha}$) est isocèle. \textbf{d)} Pour tout $\alpha > 1$, on a : $M_{\alpha}M'_{\alpha} = \sqrt{(3\alpha + 1) (\alpha - 1)}.$ \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \newpage \textbf{Exercice 12} \medskip Dans le plan complexe, on considère le point A d'affixe 4 et l'application $F$ qui, à tout point $M$ distinct de A, d'affixe $z$, associe le point $M' = F(M)$, d'affixe $z'$ donné par \[z'= \dfrac{z - 4}{4 - \overline{z}} \qquad (1)\] \textbf{a)} Le point B d'affixe 1 + 3i a pour image par $F$ le point B$'$ d'affixe i. \textbf{b)} Tous les points de la droite d'équation $x = 4$ privée du point A ont la même image par $F$. \textbf{c)} Pour tout point $M$ distinct de A, d'image $M'$ par $F$, on a : O$M' = 1$. \textbf{d)} Pour tout nombre complexe $z \neq 4$, le nombre $\dfrac{z' - 1}{z - 4}$ (o? $z'$ est donné par (1) ) est réel. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 13} \medskip Soit : $\bullet~~$ (ABC) un triangle équilatéral de côté 3 ; $\bullet~~$ G le centre de gravité du triangle (ABC) ; $\bullet~~$ H le symétrique de A par rapport à G. On pourra également considérer $\bullet~~$ I le milieu du segment [BC]. \textbf{a)} Le point H est le barycentre du syst\`eme de points pondérés \{(A,~1)~;~ (B,~$-2$)~;~ (C,~-2)\}. \textbf{b)} On a : $\overrightarrow{\text{HA}}\cdot \overrightarrow{\text{HC}} = 3.$ Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par A et perpendiculaire à la droite (HC). \textbf{c)} Pour tout point $M$ de $\mathcal{P}$, on a : $\overrightarrow{\text{H}M} \cdot \overrightarrow{\text{HC}} = 3.$ \textbf{d)} Le plan $\mathcal{P}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant : \[\left(\overrightarrow{M\text{A}} - 2\overrightarrow{M\text{B}} - 2\overrightarrow{M\text{C}}\right) \cdot \overrightarrow{\text{HC}}= - 9.\] \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 14} \medskip Soit (SMN) un triangle isocèle de sommet principal S, de cercle inscrit de centre $\Omega$ et de rayon 1. On note Q, P, O respectivement, les points de contact du cercle inscrit avec les segments [SM], [SN] et [MN]. Enfin, on pose OS $= x$. \textbf{a)} On a : $\dfrac{x}{\text{OM}} = \dfrac{1}{\text{QS}}$. \textbf{b)} On a : $\text{QS}^2 = x(x-2)$. \textbf{c)} On a : $\text{OM}^2 = \dfrac{x}{x-2}$. On rappelle que le volume d'une section de cône est égal au tiers du volume de la section de cylindre correspondante (c'est-à-dire de même base et de même hauteur). Soit V le volume du cône engendré par rotation du triangle (SMN) autour de l'axe (SO). \textbf{d)} Le volume V est minimum pour $x = 4$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 15} \medskip Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient : $\bullet~~$ une boule numérotée 0 ; $\bullet~~$ une boule numérotée 1 ; $\bullet~~$ $2^1$ boules numérotées 2 ; $\bullet~~$ $2^2$ boules numérotées 3 ; \ldots\ldots $\bullet~~$ $2^{k-1}$ boules numérotées $k$ (où $k$ est un entier compris entre 1 et $n$) ; \ldots\ldots $\bullet~~$ $2^{n-1}$ boules numérotées $n$. Les boules sont indiscernables au toucher. On extrait au hasard une boule de l'urne et on note $X$ la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée. \textbf{a)} L'urne contient $2^n - 1$ boules. \textbf{b)} Pour tout entier naturel $k$ tel que $1 \leqslant k \leqslant n$, on a : $P(X = k) = 2^{n-k+1}$. \textbf{c)} On a pour $n \geqslant 2$ \[\displaystyle\sum_{k=1}^n k2^{k-1} = (n- 1)2^n + 1.\] \textbf{d)} On a : E$(X) = (n- 1)2^n + 1.$ \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 16} \medskip Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 3. On dispose de deux urnes U et V. L'urne U contient 2 boules blanches et $n$ boules noires ; l'urne V contient $n$ boules blanches et 2 boules noires. On choisit au hasard l'une des deux urnes, puis on tire deux boules de cette urne, successivement et sans remise. On désigne par : $\bullet~~$ U l'évènement : \og on choisit l'urne U \fg{} ; $\bullet~~$ V l'évènement : \og on choisit l'urne V \fg{} ; $\bullet~~$ B l'évènement : \og les deux boules tirées sont blanches \fg. \textbf{a)} On a : $p(\text{B} \cap \text{U}) = \dfrac{2}{(n + 2)(n + 1)}$. \textbf{b)} On a : $p(\text{B}) = \dfrac{n^2 - n + 2}{(n + 2)(n + 1)}$. \textbf{c)} On a : $p(\text{U} | \text{B}) = \dfrac{2}{n^2 - n + 2}$. \textbf{d)} Pour que $p(\text{U} | \text{B}) \leqslant 0,1$, il suffit que $n \geqslant 4$. \end{document}