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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\huge Concours d'entrée FESIC mai 2002}\end{center}
        
\vspace{0,25cm}

Dans toute question où il intervient le plan (respectivement l'espace) est
rapporté à un repère orthonormal 
$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)  = 
(\text{O}xy)$ (respectivement $\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},
~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)= (\text{O}xyz)$ ).

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice  1}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par

\[f(x) = \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{\ln \left(\sqrt{x}\right)},\]

$\mathcal{D}$ son ensemble de définition et $\mathcal{C}$ sa courbe
représentative.

\textbf{a)}	On a : 	$\mathcal{D} =]0,~+ \infty[$.

\textbf{b)} La courbe $\mathcal{C}$ admet une droite asymptote en $+ 
\infty$.

\textbf{c)} Pour tout $x \in \mathcal{D}$, on a : $f(x) < 
\dfrac{x}{2}$.

\textbf{d)} Pour tout $x \in \mathcal{D}$, on a : $f'(x) = 
\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{x(\ln x)^2}$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)


\textbf{Exercice  2}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x + \sin (\pi x)$ et 
$\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\textbf{a)}	Pour tout $x$ réel, on a : 	$f'(x) = 1 + \cos(\pi x)$.

\textbf{b)} On a : $\displaystyle\lim_{x \to 0} 
\left[\dfrac{f(x)}{x}\right] = 1 + \pi$.

\textbf{c)} La courbe $\mathcal{C}$ coupe la première bissectrice en 
chaque point d'abscisse $x = k + \dfrac{1}{2}$, où
$k \in Z$.

\textbf{d)} La courbe $\mathcal{C}$ admet la première bissectrice comme
droite asymptote en $+\infty$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

\textbf{Exercice  3}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par :

\[f(x) = \ln \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)\qquad \text{et} \qquad  g(x) = 
\text{e}^{-2x} + 2\text{e}^{-x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\Gamma$ celle de $g$.
On considère la rotation $R$ de centre O et d'angle $\pi/2$. On note 
$M'$ le point de coordonnées
$(x'~;~ y')$ et d'affixe $z'$, image par $R$ du point $M$ de coordonnées 
$(x~;~ y)$ et d'affixe $z$.

\textbf{a)} L'ensemble de définition de $f$ est I = $]-1~;~ +\infty[$.

\textbf{b)}	On a : $z'= \text{i}z$.

\textbf{c)}	On a : $\left\{\begin{array}{l cl}
x' &=& - y\\
y'& =& x\\
\end{array}\right.$

\textbf{d)} Tout point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$ a une image $M'$ par $R$
qui appartient ? la courbe $\Gamma$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

\textbf{Exercice  4}

\medskip

On rappelle que $2 < \text{e} < 3$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{|x|}}{\text{e}^x + 1}.\]

\textbf{a)} La fonction $f$ est paire.

\textbf{b)}	On a : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$ 
\qquad et \qquad $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$.

\textbf{c)}	On a : $\displaystyle\lim_{x \to + 0^-} f(x) = - 
\dfrac{3}{4}$ \qquad et \qquad $\displaystyle\lim_{x \to + 0^+} f(x) = 
\dfrac{1}{4}$.

\textbf{d)}	On a : 

\[\displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x = \ln 
\left(\dfrac{\text{e}^2 + 1}{2} \right).\]

 \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

 \textbf{Exercice  5}

\medskip

On rappelle que $2 < \text{e} < 3$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^{2x}.\]

\textbf{a)} La fonction $f$ vérifie l'équation

$(\forall x \in \R)\qquad y'(x) - 2y(x) = \text{e}^{2x}.$

\textbf{b)} L'équation $f(x) = - \dfrac{1}{16}$ deux solutions distinctes.

 Pour $\alpha$	réel, on pose $I(\alpha) = 
\displaystyle\int_{\alpha}^{-1} f (x)\: \text{d}x$.

 \textbf{c)} Pour tout réel $\alpha$, on a

\[I(\alpha) = -\dfrac{1}{4\text{e}^2} - \dfrac{2\alpha 
+ 1}{4}\text{e}^{2\alpha}.\]

(On pourra utiliser une intégration par parties.) 
	
\textbf{d)} On a : $\displaystyle\lim_{\alpha \to - \infty} = + \infty$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

\textbf{Exercice  6}

\medskip

On considère les fonctions définies par

\[f(x) = [2 + \cos x]\text{e}^{1-x}\qquad 	\text{et} \qquad g(x) =
-1 - \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}.\]

On note $G$ la primitive de $g$ valant $1 + \ln 3$ en $0$ et I son intervalle
de définition.

\textbf{a)}	On a : I = $\R$.

\textbf{b)}	Pour tout $x \in$ I, on a : $G(x) = \ln [f (x)]$.

\textbf{c)}	La fonction $G$ est strictement monotone sur I.

\textbf{d)} On a :

\[\displaystyle\int_{0}^1  g(x)\: \text{d}x = \ln 
\left[\dfrac{f(1)}{f(0)} \right].\]

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

\textbf{Exercice  7}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par

\[f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 2}.\]

et $\mathcal{D}$ son ensemble de d?finition. On note
 
\[I =  \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \qquad \text{et, pour} 
\qquad  n \in \N^*, u_{n} = \displaystyle\int_{0}^2 
f(x)\text{e}^{\frac{x}{n}}\:\text{d}x.\]

\textbf{a)} Il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x \in 
\mathcal{D}$, on ait

\[f(x) = a + \dfrac{b}{x + 2}.\]

\textbf{b)} La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N^*}$ est croissante.

\textbf{c)}	Pour tout $n \in \N^*$, on a :	$I \leqslant u_{n} 
\leqslant  	\text{e}^{\frac{2}{n}}I$.

\textbf{d)} La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N^*}$ a pour limite $4 - 
\ln 2$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

\textbf{Exercice  8}

\medskip

On considère l'équation différentielle

\[y'(x) - 2y(x) = O \qquad \left(\text{E}_{1}\right).\]

\textbf{a)} Les solutions de $\left(\text{E}_{1}\right)$ sont les fonctions
$y(x) = K\text{e}^{\frac{x}{2}}$, où $K \in \R$.

\textbf{b)} L'équation $\left(\text{E}_{1}\right)$ admet une unique solution
vérifiant la condition $y(O) = 2$ et c'est la fonction $y(x) = 
\text{e}^{2x} + 1$.

On considère l'équation

\[(\forall x  \in \R) \qquad  u'(x) + u(x) =  2 \text{e}^{-3x} \qquad
\left(\text{E}_{2}\right)\]

\textbf{c)} Une fonction $f$ vérifie l'équation $\left(\text{E}_{2}\right)$
si et seulement si la fonction $g$ définie, pour
tout $x \in \R$, par $g(x) = \text{e}^{3x}f(x) + 1$, est solution de
l'équation $\left(\text{E}_{1}\right)$.

\textbf{d)} La fonction

\[f(x) = 2 \text{e}^{-x} - \text{e}^{-3x}\]

est l'unique fonction $u$ vérifiant l'équation $\left(\text{E}_{2}\right)$ et
la condition $u(0) = 1$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

\textbf{Exercice  9}

\medskip

Pour tout entier naturel $n \geqslant  2$, on considère la fonction $f$,
définie sur $\R$ par

\[f(x) = x^3 - 2nx + 1.\]

\textbf{a)} Pour tout $n \geqslant  2$, la fonction $f_{n}$ est strictement
décroissante sur l'intervalle [0, 1].

\textbf{b)} Pour tout $n \geqslant  2$, l'équation $f_{n}(x) = 0$ admet une
unique solution dans $\R$.

On note $u_{n}$ l'unique solution dans l'intervalle [0~;~1] de
l'équation $f_{n}(x) = 0$.

\textbf{c)}	Pour tout $n \geqslant  2$, on a : 	$0 \leqslant u_{n} 
\leqslant \dfrac{1}{n}.$

\textbf{d)}	On a : 	$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} =0$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

\textbf{Exercice  10}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par

\[u_{0} = 0,\: u_{1} = 1 \qquad \text{et, pour tout} \quad n \in  \N, u_{n+2}
= \dfrac{1}{3}u_{n+1} +	\dfrac{2}{3}u_{n}.\]

On définit les suites $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ et 
$\left(w_{n}\right)_{n \in \N}$ par

\[v_{n} = u_{n+1} -u_{n}\qquad \text{et} \qquad w_{n} = u_{n+1} + 
\dfrac{2}{3}u_{n}.\]

\textbf{a)}	La suite $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ est arithmétique.

\textbf{b)}	La suite $\left(w_{n}\right)_{n \in \N}$ est constante.

\textbf{c)}	Pour tout $n \in \N$, on a : $u_{n} = \dfrac{3}{5}\left(w_{n} -
v_{n}\right)$.

\textbf{d)} La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ n'a pas de limite finie.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

\textbf{Exercice  11}

\medskip

Soit $\alpha$ un réel et $\left(E_{\alpha}\right)$ l'équation d'inconnue
complexe $z$

\[z^2 + (1 + \alpha) z + \alpha^2 = 0.\]

On désigne par $M_{\alpha}$ et $M'_{\alpha}$, les points du plan dont
les affixes sont les solutions de $\left(E_{\alpha}\right)$.

\textbf{a)}	Le nombre complexe $z = -2 + \text{i}\sqrt{5}$ est une solution
de $\left(E_{\alpha}\right)$.

\textbf{b)}	Les solutions de l'équation $\left(E_{\alpha}\right)$ sont soit
réelles, soit complexes conjuguées.

\textbf{c)}	Pour tout $\alpha > 1$, le triangle (O$M_{\alpha}M'_{\alpha}$)
est isocèle.

\textbf{d)}	Pour tout $\alpha > 1$, on a : $M_{\alpha}M'_{\alpha}	 =
\sqrt{(3\alpha + 1) (\alpha - 1)}.$

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)
 
\newpage

\textbf{Exercice  12}

\medskip

Dans le plan complexe, on considère le point A d'affixe 4 et l'application
$F$ qui, à tout point $M$ distinct de A, d'affixe $z$, associe le point $M' =
F(M)$, d'affixe $z'$ donné par

\[z'= \dfrac{z - 4}{4 - \overline{z}} \qquad  	(1)\]

\textbf{a)} Le point B d'affixe 1 + 3i a pour image par $F$ le point 
B$'$ d'affixe i.

\textbf{b)}	Tous les points de la droite d'équation $x = 4$ privée du
point A ont la même image par $F$.

\textbf{c)}	Pour tout point $M$ distinct de A, d'image $M'$ par $F$, on 
a : O$M' = 1$.

\textbf{d)}	Pour tout nombre complexe $z  \neq 4$, le nombre 
$\dfrac{z' - 1}{z - 4}$ (o? $z'$ est donné par (1) ) est réel.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

\textbf{Exercice  13}

\medskip

Soit :
	
$\bullet~~$ (ABC) un triangle équilatéral de côté 3 ;

$\bullet~~$ G le centre de gravité du triangle (ABC) ;

$\bullet~~$ H le symétrique de A par rapport à G.

On pourra également considérer

$\bullet~~$ I le milieu du segment [BC].

\textbf{a)} Le point H est le barycentre du syst\`eme de points pondérés

\{(A,~1)~;~ (B,~$-2$)~;~ (C,~-2)\}.

\textbf{b)}	On a : 	$\overrightarrow{\text{HA}}\cdot 
\overrightarrow{\text{HC}} = 3.$

Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par A et perpendiculaire à la droite (HC).

\textbf{c)} Pour tout point $M$ de $\mathcal{P}$, on a :
$\overrightarrow{\text{H}M} \cdot \overrightarrow{\text{HC}} = 3.$

\textbf{d)} Le plan $\mathcal{P}$ est l'ensemble des points $M$
de l'espace vérifiant :

\[\left(\overrightarrow{M\text{A}} - 2\overrightarrow{M\text{B}} - 
2\overrightarrow{M\text{C}}\right) \cdot \overrightarrow{\text{HC}}= - 9.\]

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

\textbf{Exercice  14}

\medskip

Soit (SMN) un triangle isocèle de sommet principal S, de cercle inscrit de
centre $\Omega$ et de rayon 1.

On note Q, P, O respectivement, les points de contact du cercle
inscrit avec les segments [SM], [SN] et [MN]. Enfin, on pose OS $= x$.

\textbf{a)} On a : $\dfrac{x}{\text{OM}} = \dfrac{1}{\text{QS}}$.

\textbf{b)} On a :	$\text{QS}^2 = x(x-2)$.

\textbf{c)}	On a :	$\text{OM}^2 = \dfrac{x}{x-2}$.

On rappelle que le volume d'une section de cône est égal au tiers du
volume de la section de cylindre correspondante (c'est-à-dire de même
base et de même hauteur).

Soit V le volume du cône engendré par rotation
du triangle (SMN) autour de l'axe (SO).

\textbf{d)} Le volume V est minimum pour $x = 4$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)

\textbf{Exercice 15}

\medskip

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient :

$\bullet~~$ une boule numérotée 0 ;

$\bullet~~$ une boule numérotée 1 ;

$\bullet~~$ $2^1$ boules numérotées 2 ;

$\bullet~~$ $2^2$ boules  numérotées 3 ;

\ldots\ldots

$\bullet~~$ $2^{k-1}$ boules  numérotées $k$ (où $k$ est un entier compris entre 1 et $n$) ;

\ldots\ldots

$\bullet~~$ $2^{n-1}$	boules  numérotées $n$.

Les boules sont indiscernables au toucher. On extrait au hasard
une boule de l'urne et on note $X$ la variable aléatoire égale au numéro de
la boule tirée.

\textbf{a)}	L'urne contient $2^n - 1$ boules.

\textbf{b)}	Pour tout entier naturel $k$ tel que $1 \leqslant k  
\leqslant n$, on a : 	$P(X = k) = 2^{n-k+1}$.

\textbf{c)} On a pour $n \geqslant 2$

\[\displaystyle\sum_{k=1}^n k2^{k-1} = (n- 1)2^n + 1.\]

\textbf{d)}	On a :	E$(X) = (n- 1)2^n + 1.$

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0)
 
\textbf{Exercice 16}

\medskip

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 3. On dispose de deux urnes U et V.
L'urne U contient 2 boules blanches	et $n$	boules noires ; l'urne V 
contient $n$ boules blanches et 2 boules noires.

On choisit au hasard l'une des deux urnes, puis on tire deux boules
de cette urne, successivement et sans remise. On désigne par :

$\bullet~~$ U l'évènement : \og on choisit l'urne U \fg{} ;

$\bullet~~$ V l'évènement : \og on choisit l'urne V \fg{} ;

$\bullet~~$ B l'évènement : \og les deux boules tirées sont blanches \fg.

\textbf{a)}	On a : $p(\text{B} \cap \text{U}) = \dfrac{2}{(n + 2)(n + 
1)}$.

\textbf{b)}	On a : $p(\text{B}) = \dfrac{n^2 - n + 2}{(n + 2)(n + 1)}$.

\textbf{c)}	On a : $p(\text{U} | \text{B}) = \dfrac{2}{n^2 - n + 2}$.

\textbf{d)} Pour que $p(\text{U} | \text{B}) \leqslant 0,1$, il  suffit 
que $n \geqslant 4$.
\end{document}