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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\huge Concours d'entrée FESIC mai 2001}\end{center}
        
\vspace{0,25cm}

Dans toute question où il intervient le plan (respectivement l'espace) est 
rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right) = 
(\text{O}xy)$ (respectivement $\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath}, 
~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)= (\text{O}xyz)$ ). 

\vspace{1cm} 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur I = $]-\infty,~ 1]$ par 

\[f(x) = 2x\sqrt{1 - x}\] 

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. On désigne par T la tangente à 
la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = 0$. 

\textbf{a)} Pour tout $x < 1$, on a : $f'(x) = \dfrac{2 - 3x}{\sqrt{1 - x}}$. 

\textbf{b)} Pour tout $x \in$ I, on a : $f(x) \leqslant 
\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$. 

\textbf{c)} Une équation cartésienne de T est $y = 2x$. 

\textbf{d)} La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de T. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur I = $]-\infty,~ 1]$ par 

\[f(x) = \ln(x+ 1) + \text{e}^{-x} \qquad \text{et} \qquad g(x)= 
\text{e}^x - (x+1).\] 

\textbf{a)} La fonction $g$ est positive sur I. 

\textbf{b)} Pour tout $x \in $ I, on a : $f'(x) = \dfrac{\text{e}^{-x}}{x + 1}g(x).$ 

\textbf{c)} La fonction $f$ est bijective de I sur $]0, + \infty[$. 

\textbf{d)} Il existe un unique réel $\alpha$ dans I tel que $f(\alpha) = 
0.$ 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 3} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (- x + 3)\text{e}^x,\] 

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. 

\textbf{a)} Pour tout $x > 0$, on a : $f(x) \geqslant -x +3$. 

\textbf{b)} La droite d'équation $y = 0$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 

\textbf{c)} La fonction $f$ admet un unique extremum. 

\textbf{d)} Pour tout réel $m \neq \text{e}^2$, l'équation $f(x) = m$ admet soit 
0 soit 2 solutions. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 4} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par 

\[f(x)= \ln \left(\text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1\right),\] 

$\mathcal{D}$ son ensemble de définition et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. 

\textbf{a)} On a : $\mathcal{D} = \R$. 

\textbf{b)} Pour tout $x \in \mathcal{D}$, on a : $f(x) = 2x + \ln \left(1 - 
\text{e}^{-x} + \text{e}^{-2x}\right)$. 

\textbf{c)} La courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y = 2x$ comme 
asymptote en $+ \infty$. 

\textbf{d)} La courbe $\mathcal{C}$ admet une unique tangente parallèle à 
l'axe (O$x$). 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 


\textbf{Exercice 5} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par 

\[f(x) = x \sin \left(\dfrac{2}{x}\right).\] 

\textbf{a)} On a : $f\left(\dfrac{4}{\pi}\right) = \dfrac{4}{\pi}$. 

\textbf{b)} On a $f(x) = 0$ si et seulement s'il existe un entier relatif 
non nul $k$ tel que $x = \dfrac{1}{k\pi}$. 

\textbf{c)} On a : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$. 

\textbf{d)} On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 2$. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 6} 

\medskip

Pour tout couple de réels $a$ et $b$ tels que $(a,~b) \neq (0,~0)$, on définit sur 
$]0,~ + \infty[$ la fonction 

\[f_{a,~b}(x) = ax + b + \dfrac{\ln x}{x}\] 

et on note $\mathcal{C}_{a,~b}$ sa courbe représentative. 

\textbf{a)} Pour tout couple $(a,~b) \neq (0,~0)$, la droite d'équation $y = ax + b$ 
est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{a,~b}$. 

\textbf{b)} Pour tout couple $(a,~b) \neq (0,~0)$, on a : 
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f_{a,~b}(x) = b$. 

\textbf{c)} Il existe une unique courbe $\mathcal{C}_{a,~b}$ passant par 
le point A de coordonnées (1, 1). 

\textbf{d)} Il n'existe pas de courbe $\mathcal{C}_{a,~b}$ passant par 
le point B de coordonnées $(1,~0)$ et admettant en B une tangente parallèle à 
la droite d'équation $y = 2x$. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 7} 

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul et $I_n$ définie par 

\[I_n = \displaystyle\int_0^1 \left(1 + x^n\right) \ln (1 + x)\:d\text{x}.\] 

\textbf{a)} Pour tout $x \in [0~;~ 1]$, on a : $0 \leqslant \ln(1 + x) \leqslant \ln 2$. 

\textbf{b)} Pour tout $n \in \N*$, on a : $0 \leqslant I_n \leqslant 2 \ln 
2$. 

\textbf{c)} La suite $\left(I_n\right)_{n \in \N^*}$ est décroissante. 

\textbf{d)} La suite $\left(I_n\right)_{n \in \N^*}$ converge vers 0. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 8} 

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul et $I_n$ définie par 

\[I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}^{1-x}\:\text{d}x.\] 

\textbf{a)} On a: I$_1 = \text{e} - 1$. 

\textbf{b)} La suite $\left(I_n\right)_{n \in \N^*}$ est croissante. 

\textbf{c)} Pour tout entier $n > 0$, on a : $\dfrac{1}{n+1} \leqslant I_n 
\leqslant \dfrac{\text{e}}{n+1}$. 

\textbf{d)} La suite $\left(I_n\right)_{n \in \N^*}$ ne tend pas vers 0. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 9} 

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[ F(x) = \displaystyle\int_1^x t\text{e}^{1 - t^2}\:\text{d}t.\] 

\textbf{a)} La fonction $F$ est positive pour tout $x$ positif. 

\textbf{b)} Pour tout $x$ réel, on a : $F(x) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{1 - 
x^2} - 1\right).$ 

\textbf{c)} Pour tout $x$ réel, on a : $F'(x) = x\text{e}^{1 - x^2} - 1$. 

\textbf{d)} On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x) =+ \infty$. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 10} 

\medskip

On considère la suite $\left(S_n\right)_{n \in N^*}$ définie, pour tout entier 
naturel $n$ non nul, par 

\[S_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^n \dfrac{k}{n^2} = \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} 
+ \ldots + \dfrac{n}{n^2}.\] 

\textbf{a)} Pour tout entier $n > 0$, on a : $S_n = \dfrac{n+1}{2n}$. 

\textbf{b)} Pour tout entier $n > 0$, on a : $0 \leqslant S_n \leqslant 
\dfrac{1}{2}$. 

\textbf{c)} On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = 0$. 

\textbf{d)} La suite $\left(S_n\right)_{n \in N^*}$ est croissante. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 11} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = -1 - \text{e}^x.\] 

\textbf{a)} Pour tout $x \leqslant -1$, on a : $- \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant 
f'(x) \leqslant 0$. 

\textbf{b)} L'équation $f(x) = x$ admet deux solutions sur $\R$. 

 On désigne par $\alpha$ l'unique solution négative de l'équation 
$f(x) = x$ et on considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie 
par la relation de récurrence  $u_{n+1}~=~f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$, et de premier 
terme $u_0 \leqslant -1$. 

\textbf{c)} Pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant -1$. 

\textbf{d)} Pour tout entier naturel $n$, on a : $\left|u_n - \alpha \right| \leqslant 
\dfrac{1}{\text{e}^n}\left|u_0 - \alpha \right|$. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 12} 

\medskip

On considère le nombre complexe 

\[Z = - \dfrac{\sqrt{2}}{1 + \text{i}}\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{3}}.\] 

\textbf{a)} On a : $|Z| = 1$. 

\textbf{b)} On a : $Z = - (1 - \text{i})\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{3}}$. 

\textbf{c)} Le réel $- \dfrac{\text{i}\pi}{12}$ est un argument de $Z$. 

\textbf{d)} On a : $Z = \text{e}^{\frac{13\text{i}\pi}{12}}.$ 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 13} 

\medskip

Si $z$ et $z'$ désignent deux nombres complexes, on pose 

\[Z = z\overline{z'} + \overline{z}z'.\] 

\textbf{a)} Si $z = 2\text{i}$ et $z'=-1$, alors $Z = 4\text{i}$. 

\textbf{b)} Si $z=\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{4}}\qquad \text{et} \quad 
z' = \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}$, alors $Z=0$. 

\textbf{c)} Si $z = z'$, alors $Z = 2 |z|$. 

\textbf{d)} Si $z$ est le nombre complexe de module $r > 0$ et 
d'argument $\theta$ et $z'$ est le nombre complexe de module $r' > 0$ et d'argument $\theta'$, alors \\$Z = 2 rr' \cos \left(\theta - \theta '\right)$. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 14} 

\medskip

Soit $\alpha$ un réel appartenant l'intervalle $[0, \pi]$ et 
$\left(\text{E}_{\alpha}\right)$ 
l'équation d'inconnue complexe $z$ 

\[z^2 + 2(\sin \alpha)z + 1 = 0 \qquad \left(\text{E}_{\alpha}\right)\] 

\textbf{a)} Pour tout $\alpha \in [0, ~\pi]$, l'équation 
$\left(\text{E}_{\alpha}\right)$ admet deux racines complexes conjuguées distinctes. 

\textbf{b)} Il existe une unique valeur de $\alpha \in [0, ~\pi]$ pour 
laquelle i est solution de $\left(\text{E}_{\alpha}\right)$. 

\textbf{c)} Pour tout $\alpha \in [0, ~\pi]$, l'équation 
$\left(\text{E}_{\alpha}\right)$ a pour solutions : 

\[z_1 = \sin \alpha - \text{i} \cos \alpha \qquad \text{et} \quad z_2 = 
\sin \alpha + \text{i} \cos \alpha.\] 

\textbf{d)} Pour tout $\alpha \in [0, ~\pi]$, l'équation 
$\left(\text{E}_{\alpha}\right)$ a pour solutions 

\[z_1 = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2}\right)} \qquad \text{et} 
\quad z_2 = \text{e}^{\text{i}\left(-\frac{\pi}{2}\right)}.\] 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 15} 

\medskip

Soit A, B, C trois points non alignés du plan $\mathcal{P}$ et $G$ le point défini par 

\[\overrightarrow{\text{A}G} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{\text{AB}} + 
\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}.\] 

\textbf{a)} Le point $G$ est le barycentre du système de points pondérés \\ \{(A, 1) ; 
(B, 1) ; (C,2)\}. 

\textbf{b)} L'application $f : \mathcal{P} \to \mathcal{P}$ qui, à tout 
point $M$ du plan, associe le point  $M'$ du plan défini par 

\[\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{M\text{A}} + 
\overrightarrow{M\text{B}} + 2\overrightarrow{M\text{C}}.\] 

est l'homothétie de centre $G$ et de rapport 3. 

\textbf{c)} Le point $G$ est le milieu du segment [IC], où le point I est le milieu 
du segment [AB]. 

\textbf{d)} Si le triangle (ABC) est rectangle en A, alors $G$A = $G$C. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 16} 

\medskip

Soit $\mathcal{C}$ la courbe paramétrée par 

\[ \left\{ \begin{array}{l c l} 
x& =& 2\text{e}^t + \text{e}^{-t}\\ 
y &=&2\text{e}^t - \text{e}^{-t}\\ 
\end{array}\right.\] 

où le paramètre $t$ décrit $\R$ Soit $M$ de coordonnées $(a~;~ b)$ un point de 
$\mathcal{C}$. 

\textbf{a)} Le vecteur $\overrightarrow{v}$ de coordonnées $(b,~ a)$ est un 
vecteur directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au 
point $M$. 

\textbf{b)} Soit $N$ le point de coordonnées $(b~;~ a)$ et $T$ le point défini 
par \\$\overrightarrow{\text{O}T} = \overrightarrow{\text{O}M} + 
\overrightarrow{\text{O}N}.$ 

Alors la droite $(MT)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point 
$M$. 

\textbf{c)} La courbe $\mathcal{C}$ est contenue dans la courbe d'équation 
cartésienne \\
$x^2 - y^2 = 4$. 

\textbf{d)} La courbe $\mathcal{C}$ n'a pas d'intersection avec l'axe (O$x$). 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 17} 

\medskip

On considère une succession de sacs qu'on désigne par S$_1$, S$_2$, \ldots, 
S$_n$, \ldots Au départ, le sac S$_1$ contient 2 jetons noirs et 1 jeton 
blanc ; tous les autres sacs contiennent chacun 1 jeton noir et 1 jeton blanc. 

 On tire au hasard un jeton du sac S$_1$, que l'on place dans le sac 
S$_2$. Puis, on tire au hasard un jeton du sac S$_2$, que l'on place dans le 
sac S$_3$, et ainsi de suite. On note $B_k$ l'évènement :  le jeton tiré du sac 
$S_k$ est blanc, et $p_k = P\left(B_k\right)$ sa probabilité. 

\textbf{a)} On a : $P(\text{B}_2|\text{B}_1) = \dfrac{2}{3}$ et 
$P\left(\text{B}_2|\overline{\text{B}_1}\right) = \dfrac{1}{3}$. 
 
\textbf{b)} On a, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_{n+1} = 
\dfrac{1}{3}p_n + \dfrac{2}{3}$. 

\textbf{c)} Pour tout $n \in \N^*$, on pose $q_n = p_n - 2$. Alors la suite 
$\left(q_n\right)_{n \in \N^*}$ est arithmétique. 

\textbf{d)} La suite $\left(p_n\right)_{n \in \N^*}$ converge vers 
$\dfrac{1}{2}$. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) 

\textbf{Exercice 18} 

\medskip

Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d'entre eux sont normaux : ils 
possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est truqué : il possède 
deux faces numérotées 1 et quatre faces portant le numéro 6. On prend un dé 
au hasard dans l'urne et on effectue de manière indépendante des lancers 
successifs de celui-ci. On note 

$\bullet~~$ N l'évènement :  le dé tiré est normal  ; 

$\bullet~~$ U l'évènement :  on obtient 1 au premier lancer ; 

$\bullet~~$ pour $n$ entier non nul, $S_n$ l'évènement :  on obtient 6 à chacun 
des $n$ premiers lancers. 

\textbf{a)} On a : $P(\text{U}) = \dfrac{2}{9}$. 

\textbf{b)} Pour tout entier $n$ non nul, on a : 
$P\left(S_n\right) = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{6} \right)^n + 
\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3} \right)^n.$ 

 Pour $n$ entier non nul, on note $p_n$ la probabilité d'avoir tiré le 
dé truqué, sachant qu'on a obtenu le numéro 6 à chacun des $n$ premiers lancers. 

\textbf{c)} Pour tout entier $n$ non nul, on a : $p_n = 
\dfrac{1}{2\left(\dfrac{1}{4}\right)^n + 1}$. 

\textbf{d)} On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = 0$. 
\end{document}