\documentclass[12pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{pifont} \usepackage{multicol} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{ulem} \usepackage{graphicx} \usepackage{pst-plot,pst-grad} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{myheadings} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge Concours d'entréŽe FESIC mai 2001}\end{center} \vspace{0,25cm} Dans toute question où il intervient le plan (respectivement l'espace) est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right) = (\text{O}xy)$ (respectivement $\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath}, ~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)= (\text{O}xyz)$ ). \vspace{1cm} \textbf{Exercice 1} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur I = $]-\infty,~ 1]$ par \[f(x) = 2x\sqrt{1 - x}\] et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. On désigne par T la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = 0$. \textbf{a)} Pour tout $x < 1$, on a : $f'(x) = \dfrac{2 - 3x}{\sqrt{1 - x}}$. \textbf{b)} Pour tout $x \in$ I, on a : $f(x) \leqslant \dfrac{4\sqrt{3}}{9}$. \textbf{c)} Une équation cartésienne de T est $y = 2x$. \textbf{d)} La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de T. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 2} \medskip Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur I = $]-\infty,~ 1]$ par \[f(x) = \ln(x+ 1) + \text{e}^{-x} \qquad \text{et} \qquad g(x)= \text{e}^x - (x+1).\] \textbf{a)} La fonction $g$ est positive sur I. \textbf{b)} Pour tout $x \in $ I, on a : $f'(x) = \dfrac{\text{e}^{-x}}{x + 1}g(x).$ \textbf{c)} La fonction $f$ est bijective de I sur $]0, + \infty[$. \textbf{d)} Il existe un unique réel $\alpha$ dans I tel que $f(\alpha) = 0.$ \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 3} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (- x + 3)\text{e}^x,\] et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. \textbf{a)} Pour tout $x > 0$, on a : $f(x) \geqslant -x +3$. \textbf{b)} La droite d'équation $y = 0$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \textbf{c)} La fonction $f$ admet un unique extremum. \textbf{d)} Pour tout réel $m \neq \text{e}^2$, l'équation $f(x) = m$ admet soit 0 soit 2 solutions. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 4} \medskip Soit $f$ la fonction définie par \[f(x)= \ln \left(\text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1\right),\] $\mathcal{D}$ son ensemble de définition et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. \textbf{a)} On a : $\mathcal{D} = \R$. \textbf{b)} Pour tout $x \in \mathcal{D}$, on a : $f(x) = 2x + \ln \left(1 - \text{e}^{-x} + \text{e}^{-2x}\right)$. \textbf{c)} La courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y = 2x$ comme asymptote en $+ \infty$. \textbf{d)} La courbe $\mathcal{C}$ admet une unique tangente parallèle à l'axe (O$x$). \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 5} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par \[f(x) = x \sin \left(\dfrac{2}{x}\right).\] \textbf{a)} On a : $f\left(\dfrac{4}{\pi}\right) = \dfrac{4}{\pi}$. \textbf{b)} On a $f(x) = 0$ si et seulement s'il existe un entier relatif non nul $k$ tel que $x = \dfrac{1}{k\pi}$. \textbf{c)} On a : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$. \textbf{d)} On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 2$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 6} \medskip Pour tout couple de réels $a$ et $b$ tels que $(a,~b) \neq (0,~0)$, on définit sur $]0,~ + \infty[$ la fonction \[f_{a,~b}(x) = ax + b + \dfrac{\ln x}{x}\] et on note $\mathcal{C}_{a,~b}$ sa courbe représentative. \textbf{a)} Pour tout couple $(a,~b) \neq (0,~0)$, la droite d'équation $y = ax + b$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{a,~b}$. \textbf{b)} Pour tout couple $(a,~b) \neq (0,~0)$, on a : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f_{a,~b}(x) = b$. \textbf{c)} Il existe une unique courbe $\mathcal{C}_{a,~b}$ passant par le point A de coordonnées (1, 1). \textbf{d)} Il n'existe pas de courbe $\mathcal{C}_{a,~b}$ passant par le point B de coordonnées $(1,~0)$ et admettant en B une tangente parallèle à la droite d'équation $y = 2x$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 7} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul et $I_n$ définie par \[I_n = \displaystyle\int_0^1 \left(1 + x^n\right) \ln (1 + x)\:d\text{x}.\] \textbf{a)} Pour tout $x \in [0~;~ 1]$, on a : $0 \leqslant \ln(1 + x) \leqslant \ln 2$. \textbf{b)} Pour tout $n \in \N*$, on a : $0 \leqslant I_n \leqslant 2 \ln 2$. \textbf{c)} La suite $\left(I_n\right)_{n \in \N^*}$ est décroissante. \textbf{d)} La suite $\left(I_n\right)_{n \in \N^*}$ converge vers 0. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 8} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul et $I_n$ définie par \[I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}^{1-x}\:\text{d}x.\] \textbf{a)} On a: I$_1 = \text{e} - 1$. \textbf{b)} La suite $\left(I_n\right)_{n \in \N^*}$ est croissante. \textbf{c)} Pour tout entier $n > 0$, on a : $\dfrac{1}{n+1} \leqslant I_n \leqslant \dfrac{\text{e}}{n+1}$. \textbf{d)} La suite $\left(I_n\right)_{n \in \N^*}$ ne tend pas vers 0. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 9} \medskip Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par \[ F(x) = \displaystyle\int_1^x t\text{e}^{1 - t^2}\:\text{d}t.\] \textbf{a)} La fonction $F$ est positive pour tout $x$ positif. \textbf{b)} Pour tout $x$ réel, on a : $F(x) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{1 - x^2} - 1\right).$ \textbf{c)} Pour tout $x$ réel, on a : $F'(x) = x\text{e}^{1 - x^2} - 1$. \textbf{d)} On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x) =+ \infty$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 10} \medskip On considère la suite $\left(S_n\right)_{n \in N^*}$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par \[S_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^n \dfrac{k}{n^2} = \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \ldots + \dfrac{n}{n^2}.\] \textbf{a)} Pour tout entier $n > 0$, on a : $S_n = \dfrac{n+1}{2n}$. \textbf{b)} Pour tout entier $n > 0$, on a : $0 \leqslant S_n \leqslant \dfrac{1}{2}$. \textbf{c)} On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = 0$. \textbf{d)} La suite $\left(S_n\right)_{n \in N^*}$ est croissante. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 11} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = -1 - \text{e}^x.\] \textbf{a)} Pour tout $x \leqslant -1$, on a : $- \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant f'(x) \leqslant 0$. \textbf{b)} L'équation $f(x) = x$ admet deux solutions sur $\R$. On désigne par $\alpha$ l'unique solution négative de l'équation $f(x) = x$ et on considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie par la relation de récurrence $u_{n+1}~=~f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$, et de premier terme $u_0 \leqslant -1$. \textbf{c)} Pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant -1$. \textbf{d)} Pour tout entier naturel $n$, on a : $\left|u_n - \alpha \right| \leqslant \dfrac{1}{\text{e}^n}\left|u_0 - \alpha \right|$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 12} \medskip On considère le nombre complexe \[Z = - \dfrac{\sqrt{2}}{1 + \text{i}}\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{3}}.\] \textbf{a)} On a : $|Z| = 1$. \textbf{b)} On a : $Z = - (1 - \text{i})\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{3}}$. \textbf{c)} Le réel $- \dfrac{\text{i}\pi}{12}$ est un argument de $Z$. \textbf{d)} On a : $Z = \text{e}^{\frac{13\text{i}\pi}{12}}.$ \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 13} \medskip Si $z$ et $z'$ désignent deux nombres complexes, on pose \[Z = z\overline{z'} + \overline{z}z'.\] \textbf{a)} Si $z = 2\text{i}$ et $z'=-1$, alors $Z = 4\text{i}$. \textbf{b)} Si $z=\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{4}}\qquad \text{et} \quad z' = \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}$, alors $Z=0$. \textbf{c)} Si $z = z'$, alors $Z = 2 |z|$. \textbf{d)} Si $z$ est le nombre complexe de module $r > 0$ et d'argument $\theta$ et $z'$ est le nombre complexe de module $r' > 0$ et d'argument $\theta'$, alors \\$Z = 2 rr' \cos \left(\theta - \theta '\right)$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 14} \medskip Soit $\alpha$ un réel appartenant l'intervalle $[0, \pi]$ et $\left(\text{E}_{\alpha}\right)$ l'équation d'inconnue complexe $z$ \[z^2 + 2(\sin \alpha)z + 1 = 0 \qquad \left(\text{E}_{\alpha}\right)\] \textbf{a)} Pour tout $\alpha \in [0, ~\pi]$, l'équation $\left(\text{E}_{\alpha}\right)$ admet deux racines complexes conjuguées distinctes. \textbf{b)} Il existe une unique valeur de $\alpha \in [0, ~\pi]$ pour laquelle i est solution de $\left(\text{E}_{\alpha}\right)$. \textbf{c)} Pour tout $\alpha \in [0, ~\pi]$, l'équation $\left(\text{E}_{\alpha}\right)$ a pour solutions : \[z_1 = \sin \alpha - \text{i} \cos \alpha \qquad \text{et} \quad z_2 = \sin \alpha + \text{i} \cos \alpha.\] \textbf{d)} Pour tout $\alpha \in [0, ~\pi]$, l'équation $\left(\text{E}_{\alpha}\right)$ a pour solutions \[z_1 = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2}\right)} \qquad \text{et} \quad z_2 = \text{e}^{\text{i}\left(-\frac{\pi}{2}\right)}.\] \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 15} \medskip Soit A, B, C trois points non alignés du plan $\mathcal{P}$ et $G$ le point défini par \[\overrightarrow{\text{A}G} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}.\] \textbf{a)} Le point $G$ est le barycentre du système de points pondérés \\ \{(A, 1) ; (B, 1) ; (C,2)\}. \textbf{b)} L'application $f : \mathcal{P} \to \mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ du plan, associe le point $M'$ du plan défini par \[\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{M\text{A}} + \overrightarrow{M\text{B}} + 2\overrightarrow{M\text{C}}.\] est l'homothétie de centre $G$ et de rapport 3. \textbf{c)} Le point $G$ est le milieu du segment [IC], où le point I est le milieu du segment [AB]. \textbf{d)} Si le triangle (ABC) est rectangle en A, alors $G$A = $G$C. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 16} \medskip Soit $\mathcal{C}$ la courbe paramétrée par \[ \left\{ \begin{array}{l c l} x& =& 2\text{e}^t + \text{e}^{-t}\\ y &=&2\text{e}^t - \text{e}^{-t}\\ \end{array}\right.\] où le paramètre $t$ décrit $\R$ Soit $M$ de coordonnées $(a~;~ b)$ un point de $\mathcal{C}$. \textbf{a)} Le vecteur $\overrightarrow{v}$ de coordonnées $(b,~ a)$ est un vecteur directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point $M$. \textbf{b)} Soit $N$ le point de coordonnées $(b~;~ a)$ et $T$ le point défini par \\$\overrightarrow{\text{O}T} = \overrightarrow{\text{O}M} + \overrightarrow{\text{O}N}.$ Alors la droite $(MT)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$. \textbf{c)} La courbe $\mathcal{C}$ est contenue dans la courbe d'équation cartésienne \\ $x^2 - y^2 = 4$. \textbf{d)} La courbe $\mathcal{C}$ n'a pas d'intersection avec l'axe (O$x$). \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 17} \medskip On considère une succession de sacs qu'on désigne par S$_1$, S$_2$, \ldots, S$_n$, \ldots Au départ, le sac S$_1$ contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc ; tous les autres sacs contiennent chacun 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On tire au hasard un jeton du sac S$_1$, que l'on place dans le sac S$_2$. Puis, on tire au hasard un jeton du sac S$_2$, que l'on place dans le sac S$_3$, et ainsi de suite. On note $B_k$ l'évènement : le jeton tiré du sac $S_k$ est blanc, et $p_k = P\left(B_k\right)$ sa probabilité. \textbf{a)} On a : $P(\text{B}_2|\text{B}_1) = \dfrac{2}{3}$ et $P\left(\text{B}_2|\overline{\text{B}_1}\right) = \dfrac{1}{3}$. \textbf{b)} On a, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_{n+1} = \dfrac{1}{3}p_n + \dfrac{2}{3}$. \textbf{c)} Pour tout $n \in \N^*$, on pose $q_n = p_n - 2$. Alors la suite $\left(q_n\right)_{n \in \N^*}$ est arithmétique. \textbf{d)} La suite $\left(p_n\right)_{n \in \N^*}$ converge vers $\dfrac{1}{2}$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 18} \medskip Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d'entre eux sont normaux : ils possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est truqué : il possède deux faces numérotées 1 et quatre faces portant le numéro 6. On prend un dé au hasard dans l'urne et on effectue de manière indépendante des lancers successifs de celui-ci. On note $\bullet~~$ N l'évènement : le dé tiré est normal ; $\bullet~~$ U l'évènement : on obtient 1 au premier lancer ; $\bullet~~$ pour $n$ entier non nul, $S_n$ l'évènement : on obtient 6 à chacun des $n$ premiers lancers. \textbf{a)} On a : $P(\text{U}) = \dfrac{2}{9}$. \textbf{b)} Pour tout entier $n$ non nul, on a : $P\left(S_n\right) = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{6} \right)^n + \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3} \right)^n.$ Pour $n$ entier non nul, on note $p_n$ la probabilité d'avoir tiré le dé truqué, sachant qu'on a obtenu le numéro 6 à chacun des $n$ premiers lancers. \textbf{c)} Pour tout entier $n$ non nul, on a : $p_n = \dfrac{1}{2\left(\dfrac{1}{4}\right)^n + 1}$. \textbf{d)} On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = 0$. \end{document}