\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !}} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{24cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Concours Fesic 18 mai 2013} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lfoot{\small{Terminale S}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic 18 mai 2013 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 : Bases en Analyse}} \medskip Les quatre questions suivantes sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] La dérivée de $x \longmapsto x\text{e}^x$ est $x \longmapsto \text{e}^x$. \item[\textbf{b.}] $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x - 1}{x} = + \infty$. \item[\textbf{c.}] Soit $f$ une fonction définie sur $\R$. Si $f' = f$, alors $f$ est la fonction nulle. \item[\textbf{d.}] Soient $A$ et $B$ deux évènements d'une même expérience aléatoire tels que P(A) = 0,2,\: P(B) = 0,5 et $P(A\:\cup\:B) = 0,7$. $A$ et $B$ sont incompatibles. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 : Bases en Géométrie}} \medskip Pour le a. et b., on se place dans le plan complexe \Ouv{} Les questions a. et b. sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Si $z = - 6\left(\cos \dfrac{2\pi}{3}+ \text{i} \sin \dfrac{2\pi}{3}\right)$ alors arg$(z) = \dfrac{2\pi}{3}\quad [2\pi]$. \item[\textbf{b.}] Si M est un point d'affixe $z$ de partie imaginaire non nulle et M$'$ un point d'affixe $z' = - \overline{z}$, alors M et M$'$ sont symétriques par rapport à O. Pour le c. et le d., on se place dans le repère orthonormal \Oijk{} de l'espace. On pose $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ les plans d'équations respectives $4x + 6y -10z + 3 = 0$ et $- 6x - 9y + 15z - 8 = 0$. Soit $(d)$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l cl} x&=&2t + 1\\y&=&-t - 3\\ z &=& 5t - 1 \end{array}\right.$ où $t$ désigne un nombre réel. \item[\textbf{c.}] $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants. \item[\textbf{d.}] Le point A(2~;~3~;~- 5) appartient à la droite $(d)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 : Lecture graphique}} \medskip On considère la représentation graphique $(C)$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$. ainsi que la tangente à cette courbe au point A de coordonnées (0~;~1). \medskip \parbox{0.4\linewidth}{ \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $f'(0) = 1$. \item[\textbf{b.}] $f'(1)= 1,5$. \item[\textbf{c.}] L'équation $f(x) = x$ possède une unique solution sur l'intervalle $[- 1,5~;~4]$. \item[\textbf{c.}] $ 2 \leqslant \displaystyle\int_{- 1}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 4$. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.6\linewidth}{ \begin{center} \psset{unit=1cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-2,-0.6)(4.5,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-0.4)(4.5,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt] \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.75}{4.5}{x 1 add dup mul 2.71828 x exp div} \uput[ul](0,1){A}\uput[ur](1,1.5){B}\uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.25pt](-1.5,-0.5)(2.5,3.5) \end{pspicture*} \end{center}} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 : Volume d'un parallélépipède rectangle}} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{On veut réaliser, dans l'angle d'un plan de travail, un placard ayant la forme d'un parallélépipède rectangle. Pour des raisons pratiques, si sa largeur est $x$, sa profondeur est $12 - x$ et la hauteur est égale à la profondeur. On suppose $x \in [0~;~12]$ (les dimensions sont exprimées en dm). \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Le volume $V(x)$ en dm$^3$ de ce placard est égal à $V(x) = \left(- 12x + x^2\right)(x - 12)$. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.4\linewidth}{\begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,4.3) \psline(0.4,0.6) \psframe(0.4,0.6)(1.9,2.7) \psline(1.9,0.6)(2.9,2)(2.9,4.1)(1.4,4.1)(0.4,2.7) \psline(2.9,2)(3.7,2) \psline[linestyle=dashed](1.9,0.6)(1.4,0) \psline[linestyle=dashed](1.9,0.6)(2.8,0.6) \psline(1.9,2.7)(2.9,4.1) \psline{<->}(2.3,0.6)(3.25,2)\uput[d](0.95,0.4){$x$} \psline{<->}(0.2,0.4)(1.7,0.4)\uput[r](2.755,1.3){$12 - x$} \end{pspicture} \end{center}} \parbox{0.45\linewidth}{On pose $f$ la fonction définie sur [0~;~12] par $f(x) = x^3 - 24x^2 + 144x$ de courbe représentative $(C)$ ci-contre. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{b.}] Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~12], $f'(x) > 0$. \item[\textbf{c.}] $V(x) = 2f(x)$. \item[\textbf{d.}] Dans le cas particulier où le parallélépipède rectangle serait un cube, son volume serait compris entre $200$ et $225$ dm$^3$. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.55\linewidth}{\begin{center}\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.02cm} \begin{pspicture}(- 1,-10)(12.5,300) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(- 0.9,-10)(12.5,300) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=12,Dy=350,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(- 0.9,-10)(12.5,300) \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,300)} \multido{\n=0+20}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{x 12 sub x dup mul 12 x mul sub mul} \end{pspicture} \end{center}} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5 : Utilisation d'une suite dans un algorithme}} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \in \N,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left( u_{n} - n \right) - 1$. On donne l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline Entrée& $n$ est un entier naturel.\\ Initialisation& $u$ prend la valeur 1 ; $i$ prend la valeur $0$.\\ Traitement& Tant que $i < n$\\ &\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $\dfrac{1}{2}(u - i) - 1$\\ &\hspace{1cm}$i$ prend la valeur $i + 1$\\ &Fin Tant que\\ \hline Sortie &Afficher $u$.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Pour $n = 3$, l'algorithme nous donne le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$&$u$ &$i$\\ \hline 3 & 1 &0\\ \hline 3 &$- 1/2$ &1\\ \hline 3 &$- 7/4$ &2\\ \hline 3 &$- 23/4$ &3 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item[\textbf{b.}] Pour $n = 3$, l'algorithme calcule $u_{3}$. \medskip On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par $v_{n} = u_{n} + n$. \item[\textbf{c.}] La suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = 1$. \item[\textbf{d.}] Pour tout $n \in \N,\: u_{n} = \dfrac{1}{2^n} + n$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 6 : Utilisation d'un algorithme avec les nombres complexes}} \medskip On se place dans le plan complexe \Ouv. On donne l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|X|}\hline Entrée &$\theta,\: a,\: b,\: a',\: b'$ sont des nombres réels.\\ \hline Traitement &$a'$ prend la valeur $a \times \cos(\theta)$.\\ &$a'$ prend la valeur $a'- b \times \sin(\theta)$.\\ &$b'$ prend la valeur $a \times \sin (\theta)$.\\ &$b'$ prend la valeur $b' + b \times \cos (\theta)$.\\ \hline Sortie& Afficher $a'$. Afficher $b'$.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Pour le a. et le b. on suppose $\theta = \dfrac{\pi}{3}, a = 1$ et $b = 1$ . 3 \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $a = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$. \item[\textbf{b.}] $b = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$. \end{enumerate} \medskip Dans toute la suite on posera $M$ le point d'affixe $z = a + \text{i}b$ et $M'$ le point d'affixe $z' = a' + \text{i}b'$ avec $a'$ et $b'$ les deux nombres obtenus dans l'algorithme précédent. \begin{enumerate} \item[\textbf{c.}] Si $\theta = \dfrac{\pi}{3}, a = 1$ et $b = 1$ alors $|z'| [ = \sqrt{2}$. \item[\textbf{d.}] Dans le cas général où $\theta \in \R, z' = \text{e}^{\text{i}\theta}z$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 7 : Bases de logique}} \medskip Pour le a. et le b. on suppose que $z$ est un nombre complexe et $\Gamma$ est un sous ensemble de $\C$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $z \neq 0$ si et seulement si Re$(z) \neq 0$ et Im$(z) \neq 0$. \item[\textbf{b.}] La contraposée de la proposition \og si $z \in \Gamma$ alors Re$(z) = 0$ \fg{} est \og si Re$(z) = 0$ alors $z \in \Gamma$ \fg. \end{enumerate} Pour le c. et le d. on suppose que $f$ est une fonction définie sur l'intervalle I = $[-3~;~5]$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{c.}] Si $f(- 3) < 0$ et $f(5) > 0$ alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution sur I. \item[\textbf{d.}] Si $f$ admet une primitive sur I = $[-3~;~5]$ alors $f$ est continue sur I. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 8 : Calculs de limites}} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{exp} (x) = - \infty$. \item[\textbf{b.}] $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{1}{x^2}\right) = 0$ \item[\textbf{c.}] Si, pour tout réel $x$ non nul, $\dfrac{x - 1}{x^2 + 1} \leqslant f(x) \leqslant 1$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. \item[\textbf{d.}] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{\sin (x) - 1}{x - \dfrac{\pi}{2}} = 1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 9 : Calculs d'intégrales} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $\displaystyle\int_{2}^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}}\:\text{d}x = 4 + 2\sqrt{2}$. \item[\textbf{b.}] $\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\:\text{d}x = \ln 2$. \item[\textbf{c.}] La fonction $x \longmapsto \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^x - 2$ est une primitive définie sur $\R$ de la fonction $x \longmapsto x^2\text{e}^x$. \item[\textbf{d.}] $\displaystyle\int_{0}^1 x^2 \text{e}^x\:\text{d}x = 3\text{e} - 2$. \bigskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 10 : Notions de bases sur les nombres complexes}} \medskip On se place dans le plan complexe \Ouv. On considère A le point d'affixe $z_{\text{A}} = - 2\text{i}$, B le point d'affixe $z_{\text{B}} = - 2$ et E le point d'affixe $z_{\text{E}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] L'écriture trigonométrique de $z_{\text{E}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$ est $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \item[\textbf{b.}] E est situé sur le cercle de centre O et de rayon $R = 2$. \item[\textbf{c.}] L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z + 2\text{i}| = |2 + z|$ est la médiatrice du segment [AB]. \item[\textbf{d.}] L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $2z\overline{z} = 1$ est un cercle de rayon $2$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 11 : Utilisation des nombres complexes en géométrie}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soit $f$ la transformation du plan complexe qui, à tout point $M$ d'affixe $z \neq 0$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = 1 + \dfrac{\text{i}}{z}$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] L'image par $f$ du point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$ est le point A$'$ d'affixe $z_{\text{A}'} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$. Dans toute la suite, on pose $z = x + \text{i}y$ avec $x \neq 0, y \neq 0$ et $z' = x'+ \text{i}y'$ avec $x', y'$ réels. \item[\textbf{b.}] Re$(z') = x' = \dfrac{x^2 + y^2 +y}{x^2 + y^2}$. \item[\textbf{c.}] Im$(z') = y'= - \dfrac{x}{x^2 + y^2}$. \item[\textbf{d.}] L'ensemble des points M d'affixe $z \neq 0$ tels que $z'$ soit imaginaire pur est le cercle (C) de centre A$\left(0~;~- \dfrac{1}{2}\right)$ et de rayon $R = \dfrac{1}{2}$, privé du point O. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 12 : Étude d'une fonction logarithme}} \medskip On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \ln \left( 1 - x^2\right)$. On note D l'ensemble de définition de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $1 - x^2 > 0$ si et seulement si $- 1 < x < 1$. \item[\textbf{b.}] D $= [- 1~;~1]$. \item[\textbf{c.}] La fonction $f$ a pour fonction dérivée la fonction $f'$ définie sur D par $f'(x) = \dfrac{1}{1 - x^2}$. \item[\textbf{d.}] L'équation $f(x) = 1$ a pour solutions $x = \sqrt{\text{e} - 1}$ et $x = - \sqrt{\text{e} - 1}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 13 : Étude d'une fonction exponentielle}} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{x^2 + 1}$. On désigne par $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal du plan. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$. \item[\textbf{b.}] $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \item[\textbf{c.}] La fonction $f$ a pour fonction dérivée la fonction $f'$définie sur $\R$ par $f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - x + 1\right)}{\left(\text{e}^{- x}\left(x^2 + 1\right)\right)^2}$. \item[\textbf{d.}] $f$ est croissante sur $]- \infty~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 14 : Bases en probabilités}} \medskip On considère, dans a., deux évènements $E$ et $F$ d'une même expérience aléatoire. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $P_{\overline{F}}(E) = 1 - P_{F}(E)$. \end{enumerate} Pour les questions b, c et d, nous utiliserons les hypothèses suivantes : une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. Un joueur tire au hasard une boule dans l'urne. Si la boule est blanche, il lance un dé tétraédrique dont les faces numérotées de 1 à 4 ont la même probabilité d'apparition. Si la boule est noire, il lance un jeton dont les faces numérotées de 1 à 2 ont la même probabilité d'apparition. On considère les évènements suivants : $G$ : \og Le joueur obtient le numéro 1 \fg{} ; $B$ : \og Le joueur tire une boule blanche \fg. \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{b.}] $P'(B\:\cap\:G)= \dfrac{5}{32}$. \item[\textbf{c.}] $P(G) = \dfrac{13}{32}$. \item[\textbf{d.}] $P_{G}(B) = \dfrac{5}{11}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 15 : Différentes lois de probabilités}} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle [0~;~5]. $P\left(1 \leqslant X \leqslant \dfrac{5}{2}\right) = 0,4$. \item[\textbf{b.}] Soit $Y$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. Pour tout $c \in \R_{+},\: P(Y > c) = \text{e}^{- \lambda c}$. \item[\textbf{c.}] Soit $T$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{10}$. $P(T \leqslant 10) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$. \item[\textbf{d.}] Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathcal{N}\left(\mu~;~\sigma^2\right)$ et vérifiant $P(0 \leqslant Z \leqslant 2) = 0,75$. La loi de $Z$ n'est pas la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0~;~1)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 16 : Repérage dans l'espace}} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère le plan P d'équation cartésienne $x + 2y + 3z - 2 = 0$ et la droite D dont une représentation paramétrique est, pour tout réel $t,\:\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + 2t\\ y &=& 2 - t\\ z &=&- 3 - t \end{array}\right.$ \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Le point A$(-1~;~3~;~-2)$ appartient à D. \item[\textbf{b.}] Le plan P et la droite D sont sécants au point B de coordonnées $(-3~;~4~;~- 1)$. \item[\textbf{c.}] La droite D$'$, de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&k\\ y&=&- 2k + 1\\ z &=& k \end{array}\right.$ pour tout réel $k$, est sécante au plan P. \item[\textbf{d.}] Les droites D et D$'$ sont coplanaires. \end{enumerate} \end{document}