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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Concours Fesic 18 mai 2013}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic 18 mai 2013 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 : Bases en Analyse}}

\medskip 

Les quatre questions suivantes sont indépendantes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La dérivée de $x \longmapsto x\text{e}^x$ est $x \longmapsto \text{e}^x$. 
\item[\textbf{b.}] $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x - 1}{x} =  + \infty$. 
\item[\textbf{c.}] Soit $f$ une fonction définie sur $\R$. Si $f' = f$, alors $f$ est la fonction nulle.
\item[\textbf{d.}] Soient $A$ et $B$ deux évènements d'une même expérience aléatoire tels que P(A) = 0,2,\: P(B) = 0,5 et $P(A\:\cup\:B) = 0,7$.
 
$A$ et $B$ sont incompatibles.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 2 : Bases en Géométrie}} 

\medskip

Pour le a. et b., on se place dans le plan complexe \Ouv{} Les questions a. et b. sont indépendantes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Si $z = - 6\left(\cos \dfrac{2\pi}{3}+  \text{i} \sin \dfrac{2\pi}{3}\right)$ alors arg$(z) = \dfrac{2\pi}{3}\quad [2\pi]$. 
\item[\textbf{b.}] Si M est un point d'affixe $z$ de partie imaginaire non nulle et M$'$ un point d'affixe $z' = - \overline{z}$, alors M et M$'$ sont symétriques par rapport à O.
 
Pour le c. et le d., on se place dans le repère orthonormal \Oijk{} de l'espace. 

On pose $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ les plans d'équations respectives $4x + 6y -10z + 3 = 0$ et $- 6x - 9y + 15z - 8 = 0$. 

Soit $(d)$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l cl}
 x&=&2t + 1\\y&=&-t - 3\\ z &=& 5t - 1
 \end{array}\right.$ où $t$ désigne un nombre réel. 
\item[\textbf{c.}] $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants. 
\item[\textbf{d.}] Le point A(2~;~3~;~- 5) appartient à la droite $(d)$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 3 : Lecture graphique}}

\medskip

On considère la représentation graphique $(C)$ d'une fonction $f$ 
définie sur $\R$. ainsi que la tangente à cette courbe au point A de coordonnées (0~;~1).

\medskip
 
\parbox{0.4\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $f'(0) = 1$. 
\item[\textbf{b.}] $f'(1)= 1,5$. 
\item[\textbf{c.}] L'équation $f(x) = x$ possède une unique solution sur l'intervalle $[- 1,5~;~4]$. 
\item[\textbf{c.}] $ 2 \leqslant \displaystyle\int_{- 1}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 4$. 
\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.6\linewidth}{
\begin{center}
\psset{unit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2,-0.6)(4.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-0.4)(4.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.75}{4.5}{x 1 add dup mul   2.71828 x exp div}
\uput[ul](0,1){A}\uput[ur](1,1.5){B}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.25pt](-1.5,-0.5)(2.5,3.5)
\end{pspicture*}
\end{center}}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4 : Volume d'un parallélépipède rectangle}}

\medskip 

\parbox{0.6\linewidth}{On veut réaliser, dans l'angle d'un plan de travail, un placard ayant la forme d'un parallélépipède rectangle. Pour des raisons pratiques, si sa largeur est $x$, sa profondeur est $12 - x$ et la hauteur est égale à la profondeur.
 
On suppose $x \in  [0~;~12]$ (les dimensions sont exprimées en dm).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Le volume $V(x)$ en dm$^3$ de ce placard est égal à $V(x) = \left(- 12x + x^2\right)(x - 12)$.
\end{enumerate}} 
\hfill \parbox{0.4\linewidth}{\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4.3)
\psline(0.4,0.6)
\psframe(0.4,0.6)(1.9,2.7)
\psline(1.9,0.6)(2.9,2)(2.9,4.1)(1.4,4.1)(0.4,2.7)
\psline(2.9,2)(3.7,2)
\psline[linestyle=dashed](1.9,0.6)(1.4,0)
\psline[linestyle=dashed](1.9,0.6)(2.8,0.6)
\psline(1.9,2.7)(2.9,4.1)
\psline{<->}(2.3,0.6)(3.25,2)\uput[d](0.95,0.4){$x$}
\psline{<->}(0.2,0.4)(1.7,0.4)\uput[r](2.755,1.3){$12 - x$}
\end{pspicture}
\end{center}}

\parbox{0.45\linewidth}{On pose $f$ la fonction définie sur [0~;~12] par 

$f(x) = x^3 - 24x^2 + 144x$

de courbe représentative $(C)$ ci-contre.

\medskip
\begin{enumerate} 
\item[\textbf{b.}] Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~12], $f'(x) > 0$. 
\item[\textbf{c.}] $V(x) = 2f(x)$. 
\item[\textbf{d.}] Dans le cas particulier où le parallélépipède rectangle serait un cube, son volume serait compris entre $200$ et $225$ dm$^3$.
\end{enumerate}}\hfill 
\parbox{0.55\linewidth}{\begin{center}\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(- 1,-10)(12.5,300)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(- 0.9,-10)(12.5,300)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=12,Dy=350,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(- 0.9,-10)(12.5,300)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,300)}
\multido{\n=0+20}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{x 12 sub x dup mul 12 x mul sub mul}
\end{pspicture}
\end{center}}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 5 : Utilisation d'une suite dans un algorithme}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \in \N,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left( u_{n} - n \right) - 1$. On donne l'algorithme  
suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline 
Entrée& $n$ est un entier naturel.\\ 
Initialisation& $u$ prend la valeur 1 ; $i$ prend la valeur $0$.\\ 
Traitement& Tant que $i < n$\\ 
&\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $\dfrac{1}{2}(u - i) - 1$\\ 
&\hspace{1cm}$i$ prend la valeur $i + 1$\\ 
&Fin Tant que\\ \hline 
Sortie &Afficher $u$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Pour $n = 3$, l'algorithme nous donne le tableau suivant: 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$&$u$		&$i$\\ \hline 
3 & 1 		&0\\ \hline 
3 &$- 1/2$	&1\\ \hline 
3 &$- 7/4$ 	&2\\ \hline 
3 &$- 23/4$	&3 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item[\textbf{b.}] Pour $n = 3$, l'algorithme calcule $u_{3}$.

\medskip
 
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par $v_{n} = u_{n} + n$.
 \item[\textbf{c.}] La suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = 1$. 
\item[\textbf{d.}] Pour tout $n \in  \N,\: u_{n} = \dfrac{1}{2^n} + n$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 6 : Utilisation d'un algorithme avec les nombres complexes}}

\medskip
 
On se place dans le plan complexe \Ouv. On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|X|}\hline 
Entrée &$\theta,\: a,\: b,\: a',\: b'$ sont des nombres réels.\\ \hline 
Traitement &$a'$ prend la valeur $a \times \cos(\theta)$.\\ 
&$a'$ prend la valeur $a'- b \times \sin(\theta)$.\\ 
&$b'$ prend la valeur $a \times \sin (\theta)$.\\ 
&$b'$ prend la valeur $b' + b \times \cos (\theta)$.\\ \hline 
Sortie& Afficher $a'$. Afficher $b'$.\\ \hline  
\end{tabularx}
\end{center}
 
Pour le a. et le b. on suppose $\theta = \dfrac{\pi}{3}, a = 1$ et $b = 1$ . 3 

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $a = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$.
\item[\textbf{b.}] $b = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip

Dans toute la suite on posera $M$ le point d'affixe $z = a + \text{i}b$ et $M'$ le point d'affixe $z' = a' + \text{i}b'$ avec $a'$ et $b'$ les deux nombres obtenus dans l'algorithme précédent.
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{c.}] Si $\theta = \dfrac{\pi}{3}, a = 1$ et $b = 1$ alors $|z'| [ = \sqrt{2}$. 	
\item[\textbf{d.}] Dans le cas général où $\theta \in \R, z' = \text{e}^{\text{i}\theta}z$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 7 : Bases de logique}}

\medskip
 
Pour le a. et le b. on suppose que $z$ est un nombre complexe et $\Gamma$ est un sous ensemble de $\C$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $z \neq 0$ si et seulement si Re$(z) \neq 0$  et Im$(z) \neq 0$.
\item[\textbf{b.}] La contraposée de la proposition \og si $z \in  \Gamma$ alors Re$(z) = 0$ \fg{} est \og si Re$(z) = 0$ alors $z \in \Gamma$ \fg. 
\end{enumerate}

Pour le c. et le d. on suppose que $f$ est une fonction définie sur l'intervalle I = $[-3~;~5]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{c.}] Si $f(- 3) < 0$ et $f(5) > 0$ alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution sur I. 
\item[\textbf{d.}] Si $f$ admet une primitive sur I = $[-3~;~5]$ alors $f$ est continue sur I. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 8 : Calculs de limites}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{exp} (x) = - \infty$. 
\item[\textbf{b.}] $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{1}{x^2}\right) = 0$
\item[\textbf{c.}] Si, pour tout réel $x$ non nul, $\dfrac{x - 1}{x^2 + 1} \leqslant 
f(x) \leqslant 1$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. 
\item[\textbf{d.}] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{\sin (x) - 1}{x - \dfrac{\pi}{2}} = 1$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 9 : Calculs d'intégrales}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $\displaystyle\int_{2}^4  \dfrac{1}{\sqrt{x}}\:\text{d}x = 4 + 2\sqrt{2}$.
\item[\textbf{b.}] $\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\:\text{d}x = \ln 2$. 
\item[\textbf{c.}] La fonction $x \longmapsto  \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^x - 2$ est une primitive définie sur $\R$ de la fonction $x \longmapsto x^2\text{e}^x$. 
\item[\textbf{d.}] $\displaystyle\int_{0}^1 x^2 \text{e}^x\:\text{d}x = 3\text{e} - 2$.
\bigskip
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 10 : Notions de bases sur les nombres complexes}}

\medskip
 
On se place dans le plan complexe \Ouv. On considère A le point d'affixe $z_{\text{A}} = - 2\text{i}$, B le point d'affixe $z_{\text{B}} = - 2$ et E le point d'affixe $z_{\text{E}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] L'écriture trigonométrique de $z_{\text{E}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$ est $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
\item[\textbf{b.}] E est situé sur le cercle de centre O et de rayon $R = 2$. 
\item[\textbf{c.}] L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z + 2\text{i}| = |2 + z|$ est la médiatrice du segment [AB]. 
\item[\textbf{d.}] L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $2z\overline{z} = 1$ est un cercle de rayon $2$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 11 : Utilisation des nombres complexes en géométrie}}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soit $f$ la transformation du plan complexe qui, à tout point $M$ d'affixe $z \neq 0$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = 1 + \dfrac{\text{i}}{z}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] L'image par $f$ du point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$ est le point A$'$ d'affixe $z_{\text{A}'} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$.
 
Dans toute la suite, on pose $z = x + \text{i}y$ avec $x \neq 0, y \neq 0$ et $z' = x'+ \text{i}y'$ avec $x', y'$ réels. 

\item[\textbf{b.}] Re$(z') = x' = \dfrac{x^2 + y^2 +y}{x^2 + y^2}$. 
\item[\textbf{c.}] Im$(z') = y'= - \dfrac{x}{x^2 + y^2}$.
\item[\textbf{d.}] L'ensemble des points M d'affixe $z \neq 0$ tels que $z'$ soit imaginaire pur est le cercle (C) de centre A$\left(0~;~- \dfrac{1}{2}\right)$ et de  
rayon $R = \dfrac{1}{2}$, privé du point O. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 12 : Étude d'une fonction logarithme}}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \ln \left( 1 - x^2\right)$. On note D l'ensemble de définition de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $1 - x^2 > 0$ si et seulement si $- 1 < x < 1$. 
\item[\textbf{b.}] D $= [- 1~;~1]$. 
\item[\textbf{c.}] La fonction $f$ a pour fonction dérivée la fonction $f'$ définie sur D par 

$f'(x) = \dfrac{1}{1 - x^2}$. 
\item[\textbf{d.}] L'équation $f(x) = 1$ a pour solutions $x = \sqrt{\text{e} - 1}$ et $x = - \sqrt{\text{e} - 1}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 13 : Étude d'une fonction exponentielle}}

\medskip
  
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{x^2 + 1}$. On désigne par $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère  
orthonormal du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$. 
\item[\textbf{b.}] $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. 
\item[\textbf{c.}] La fonction $f$ a pour fonction dérivée la fonction $f'$définie sur $\R$ par 

$f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - x + 1\right)}{\left(\text{e}^{- x}\left(x^2 + 1\right)\right)^2}$.
\item[\textbf{d.}] $f$ est croissante sur $]- \infty~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~ + \infty[$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 14 : Bases en probabilités}}

\medskip
 
On considère, dans a., deux évènements $E$ et $F$ d'une même expérience aléatoire. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $P_{\overline{F}}(E) = 1 - P_{F}(E)$.
\end{enumerate}

Pour les questions b, c et d, nous utiliserons les hypothèses suivantes : une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. Un joueur tire au hasard une boule dans l'urne.
 
Si la boule est blanche, il lance un dé tétraédrique dont les faces numérotées de 1 à 4 ont la même probabilité d'apparition.
 
Si la boule est noire, il lance un jeton dont les faces numérotées de 1 à 2 ont la même probabilité d'apparition. 

On considère les évènements suivants :
 
$G$ : \og Le joueur obtient le numéro 1 \fg{} ; $B$ : \og Le joueur tire une boule blanche \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{b.}] $P'(B\:\cap\:G)= \dfrac{5}{32}$.
\item[\textbf{c.}] $P(G) = \dfrac{13}{32}$. 
\item[\textbf{d.}] $P_{G}(B) = \dfrac{5}{11}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 15 : Différentes lois de probabilités}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle [0~;~5]. $P\left(1 \leqslant  X \leqslant \dfrac{5}{2}\right) = 0,4$. 
\item[\textbf{b.}] Soit $Y$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. Pour tout $c \in \R_{+},\: P(Y > c) = \text{e}^{- \lambda c}$.
\item[\textbf{c.}] Soit $T$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda  = \dfrac{1}{10}$. $P(T \leqslant 10) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$.  
\item[\textbf{d.}] Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathcal{N}\left(\mu~;~\sigma^2\right)$ et vérifiant $P(0 \leqslant  Z \leqslant  2) = 0,75$. La loi de $Z$ n'est pas la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0~;~1)$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 16 : Repérage dans l'espace}}

\medskip
 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère le plan P d'équation cartésienne $x + 2y + 3z - 2 = 0$ 
 et la droite D dont une représentation paramétrique est, pour tout réel $t,\:\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 + 2t\\
y &=& 2 - t\\  
z &=&- 3 - t
\end{array}\right.$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Le point A$(-1~;~3~;~-2)$ appartient à D. 
\item[\textbf{b.}] Le plan P et la droite D sont sécants au point B de coordonnées $(-3~;~4~;~- 1)$. 
\item[\textbf{c.}] La droite D$'$, de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&k\\
y&=&- 2k + 1\\
z &=& k
\end{array}\right.$ pour tout réel $k$, est sécante au plan P.   
\item[\textbf{d.}] Les droites D et D$'$ sont coplanaires. 
\end{enumerate}
\end{document}