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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
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\thispagestyle{empty}
\lhead{\small Concours FESIC}
\rhead{\small mai 2007}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Concours Fesic mai 2007~\decofourright}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification.

 + 1 si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère les points A d'affixe i, $M$ d'affixe $z$ et $M'$ d'affixe $z'$ avec $z \neq z'$.

On appelle : $h$ l'homothétie de centre A et de rapport 2, $t$ la translation de vecteur $\vect{v}$ et $r$ la rotation de centre A d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Si $M' = h(M)$ , alors $z ' = 2z - \text{i}$.
\item  Si $M' = t(M)$, alors $z ' = z - \text{i}$.
\item  Si $M' = r(M)$, alors A appartient à la médiatrice de [$MM'$] .
\item  Soit B le point d'affixe $4 - 3\text{i}$. Le point $B' = r(\text{B})$ a pour affixe $3 + 4\text{i}$.
\end{enumerate}

\hrulefill

 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv. On considère les points A et B d'affixes respectives $a = - \sqrt{5} + \text{i}\sqrt{15}$ et $b = 2 \sqrt{3} + 2\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n \in  \N$. Un argument de $a^n$ est $\dfrac{2n\pi}{3}.$
\item O appartient à la médiatrice de [AB].
\item OAB est un triangle rectangle en O.
\item Le cercle circonscrit à OAB a pour rayon $3$.
\end{enumerate}
\hrulefill

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives 1 et 2i.

On désigne par (E) l'ensemble des points $M$ d'affixes $z$ telles que $|z - 2\text{i}| = |z - 1|$ et par (F) l'ensemble des points $M$, distincts de A et B, d'affixes $z$ telles que

arg$\left(\dfrac{z - 2\text{i}}{z - 1}\right) = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,~k \in \Z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  (E) est un cercle.
\item  Les points $M$ de (F) décrivent un cercle sauf deux points.
\item  Le point C d'affixe $- \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$
appartient à (E) et (F).
\item  (F) est aussi l'ensemble des points $M$ tels que le complexe $Z = \dfrac{z - 2\text{i}}{z - 1}$ soit un nombre imaginaire pur.
\end{enumerate}

\hrulefill

 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

On donne les deux courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ ci-dessous.

L'une de ces courbes représente une fonction $f$ définie et continue sur $[0 ~;~+ \infty[$ ; l'autre représente une
primitive $F$ de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

On admettra que $\Gamma$ possède l'axe des abscisses pour tangente en O(0, 0) et que $\mathcal{C}$  possède l'axe des ordonnées pour tangente en ce même point.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma]{->}(0,0)(-1,-1)(3,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridwidth=0.5pt,subgridwidth=1pt,subgriddots=30]
\psplot[linecolor=blue]{0.001}{3}{x ln 2 mul 1 sub x dup mul mul 4 div}
\psplot{0.001}{2.86}{x ln x mul}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot{0.001}{1}{x ln x mul}
\psline(1,0)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue]{1}{1.64872}{x ln x mul}
\psline(1.64872,0.82436)(1.64872,0)(1,0)
}
\rput(2.35,1.25){$\Gamma$}
\rput(1.8,1.25){$\mathcal{C}$}
\psline(1.64872,0)(1.64872,0.82436)
\uput[d](1.64872,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  $\Gamma$  est la courbe qui représente $f$.
\item  Pour tout $x \in \R_{+},~ F(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$.
\item  L'aire de la surface hachurée est la même que celle de la surface grisée.
\item  $F$ est deux fois dérivable en $0$ et $F''(0) = 0$.
\end{enumerate}
 
\hrulefill

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip

On considère quatre fonctions $f,~ g,~ h$ et $k$ définies sur $\R$. On appelle respectivement $\mathcal{C}_{1},~ \mathcal{C}_{2},{} \mathcal{C}_{3}$ et $\mathcal{C}_{4}$ les
courbes représentatives de ces fonctions.\\

\medskip
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6.5,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-0.5,-1)(6.5,1)
\psplot{0}{3.14159}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div}
\psplot{3.14159}{6.283}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div neg}
\psplot{6.283}{6.5}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div}
\psplot{-0.5}{0}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div neg}
\rput(3,-1){Courbe $\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture}& \psset{xunit=0.75cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6.5,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-0.5,-1)(6.5,1)
\psplot{-0.5}{1.57}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div}
\psplot{1.57}{3.14}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div abs}
\psplot{3.14}{4.71}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div neg}
\psplot{4.71}{6.5}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div}
\rput(3,-1){Courbe $\mathcal{C}_{2}$}\end{pspicture}\\
\psset{xunit=0.75cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6.5,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-0.5,-1)(6.5,1)
\psplot{-0.5}{0}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div abs}
\psplot{0}{1.57}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div abs}
\psplot{1.57}{4.71}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div abs}
\psplot{4.71}{6.5}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div abs}
\rput(3,-1){Courbe $\mathcal{C}_{3}$}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.75cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6.5,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-0.5,-1)(6.5,1)
\psplot{-0.5}{6.5}{x  180 mul 1.5708 div  sin 2 div }
\rput(3,-1){Courbe $\mathcal{C}_{4}$}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  Quel que soit $x \in \R,~g\left(x - \dfrac{\pi}{2} \right)
=f(x)$.
\item  Quel que soit $x \in \R,~ h(x) = |f(x)|$.
\item  Quel que soit $x \in \R,~ f(x) - g(x) + h(x) - k(x) = 0$.
\item  $\mathcal{C}_{4}$ représente la fonction qui à $x \in \R$, associe $\sin \left(\dfrac{x}{2} \right)$.
\end{enumerate}
 
\hrulefill

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ~;~+ \infty]$ par : $f(x) = x \sqrt{x}$. On cherche à savoir si $f$ est dérivable en $0$.

On tient pour cela le raisonnement suivant :

\og $f$ est le produit de la fonction $x \longmapsto x$ avec la fonction $x \longmapsto \sqrt{x}$. Ces deux fonctions sont définies et
continues sur $[ 0 ~;~ + \infty]$, mais la fonction $x \longmapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$. Il s'ensuit que $f$ n'est pas
dérivable en $0$ en tant que produit de deux fonctions dont l'une n'est pas dérivable en $0$. \fg

Ce raisonnement est exact.
\item  On considère la suite $\left(u_{n}\right)$  définie par : $u_{0} = 1$ et pour tout $n$ entier par

$u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{2}{u_{n}} \right)$.
On admet que cette suite est bien définie $(u_{n} \neq 0)$ et qu'elle est convergente. On appelle $\ell$ sa limite. On cherche à
savoir si $\ell$ est un nombre rationnel ou non. Pour cela on tient le raisonnement suivant :

\og Soit $P(n)$ la phrase \og $u_{n}$ est un nombre rationnel \fg.

Initialisation : $u_{0} = 1$ est un nombre rationnel donc $P(0)$ est vraie.

Soit $p$ entier tel que $P(p)$ soit vraie. Montrons que $P(p+1)$ est vraie.

D'après l'hypothèse de récurrence $u_{p}$ est un nombre rationnel, il en est de même de $\dfrac{2}{u_{p}}$
ainsi que de $u_{p+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{p} + \dfrac{2}{u_{p}}\right)$. Il s'ensuit que $u_{p+1}$ est rationnel donc $P(p+1)$ est vraie.

Conclusion : de ces deux assertions et d'après le principe de raisonnement par récurrence je déduis que
pour tout $n$ entier $P(n)$ est vraie. $\ell $ est alors la limite d'une suite de nombres rationnels, donc $\ell $ est lui-même
un nombre rationnel. \fg

Ce raisonnement est exact.
\item  L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A$(1 ~;~ 0 ~;~ -1)$,
B(4 ; 3 ; 0) et C$(7 ~; -1 ~;~ 1)$. On veut prouver que A, B et C déterminent un plan. Pour cela on tient le raisonnement suivant :

\og On a $\vect{\text{AB}}(3 ~;~ 3 ~;~ 1)$ et $\vect{\text{AC}}(6 ~;~ -1~ ;~ 2)$. Il s'ensuit : AB $= \sqrt{19}$, AC $= \sqrt{41}$ et $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = 17$.

Comme AB $\times$ AC $\neq  \left|\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}\right|$, les points A, B et C ne sont pas alignés, ils déterminent un plan. \fg

Ce raisonnement est exact.
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{E}(\sin x)$ (E désigne la fonction \og  partie entière \fg). On
cherche la limite éventuelle de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. On tient pour cela le raisonnement suivant :

\og $f$ est définie dans un voisinage de $0$. On utilise le changement de variable $X = \sin x$ ; on sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} X = 0$. Par suite, et d'après le théorème de composition des limites, on a
$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 0} \text{E}(X) = 0$.  \fg

Ce raisonnement est exact.
\end{enumerate}
 
\hrulefill

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{\stackrel{x \to 0}{x > 0}} \dfrac{x \ln (1 + x) - 2\ln x}{x^2} = 1$.
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{\text{e}^x}$.
\item  L'inéquation $\text{e}^{2x} +  3\text{e}^x  + 2 \leqslant 0$ n'a pas de solution réelle.
\item  La fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-x}\ln \left(1 + x^2\right)$  possède le tableau de variations suivant :
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,4)
\psframe(7.5,4)\psline(1.5,0)(1.5,4) \psline(0,2)(7.5,2)\psline(0,3)(7.5,3)
\uput[u](0.75,3){$x$} \uput[u](1.8,3){$- \infty$} \uput[u](4.5,3){$0$} 
\uput[u](7.1,3){$+ \infty$} \uput[u](0.75,2.1){$f'(x)$} 
\uput[u](3,2.1){$-$} \uput[u](6,2.1){$+$} \uput[u](0.75,0.8){$f(x)$}
 \uput[d](1.8,2){$+ \infty$} \uput[u](4.5,0){$0$}
 \uput[d](7.1,2){$+ \infty$} 
 \psline{->}(2.2,1.8)(4.2,0.2)  \psline{->}(4.8,0.2)(6.8,1.8) 
\end{pspicture}
\end{center}

 \hrulefill

 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) : $y' -  3y = \text{e}^{3x}$. Soient $f$ la solution de (E) définie sur $\R$ telle que
$f(0) = 1$ et $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) =  f(x)\text{e}^{-3x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On a $f'(0) = 4$.
\item  Quelque soit $x \in \R,~ g'(x) = 1$.
\item  Quelque soit $x \in \R,~ f(x) = x\text{e}^{3x}$.
\item  Quelque soit $x \in \R,~\displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t =  \dfrac{3f(x) - \text{e}^{3x} - 2}{9}$.
\end{enumerate}
 
 \hrulefill

 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\medskip

On définit la suite $\left(I_{n}\right)$  pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ par $I_{n} =  \displaystyle\int_{1}^{x\text{e}} \dfrac{\ln x}{x^n}\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $I_{1} = \dfrac{1}{2}$.
\item  La suite $\left(I_{n}\right)$ est croissante.
\item  Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on a $0 \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{1}{n - 1}\left(1 - \dfrac{1}{\text{e}^{n-1}} \right)$.
\item  Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, une intégration par parties donne $(n - 1 )^2 I_{n} = 1 - n\text{e}^{1 - n}$.
\end{enumerate}
 
 \hrulefill

 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\medskip

On considère les trois suites $u,~ v$ et $w$ définies respectivement par :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}&=&0\\
u_{n+1}&=&\dfrac{3u_{n} + 2v_{n}}{5}\\
\end{array}\right.,~
\left\{\begin{array}{l c l}
v_{0}&=&5\\
v_{n+1}&=&\dfrac{2u_{n} + 3v_{n}}{5}\\
\end{array}\right. \quad \text{et}~~w_{n} = v_{n} - u_{n}.\]

\begin{enumerate}
\item  La suite $w$ est une suite géométrique de raison
$\dfrac{1}{5}$.
\item  La suite $u$ est croissante.
\item  Les suites $u$ et $v$ sont convergentes.
\item  Quelque soit $n \in \N,~ u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant  v_{n}$.
\end{enumerate}
 
 \hrulefill

 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\medskip

On considère les suites $u$ et $v$ définies par :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}&=&\dfrac{3}{2}\\
u_{n+1}&=&\dfrac{-2}{u_{n} - 3}\\
\end{array}\right. \quad \text{et}~~v_{n} = \dfrac{u_{n} - 2}{u_{n} - 1}.\]
\begin{enumerate}
\item  Quelque soit $n \in  \N$, on a : $1 < u_{n} < 2$.
\item  La suite $u$ est convergente.
\item  $v$ est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $v_{0} = -1$.
\item  Pour tout $n \in  \N$, on a : $u_{n} = 1 + \dfrac{1}{1 + 2^n}$.
 \end{enumerate}
 
 \hrulefill
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\medskip

Soit $n \in \N,~ n \geqslant  2$. On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0 ~;~ + \infty[$ par \\$f_{n}(x) = x^{n-1}\ln x$. On appellera $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentant la fonction $f_{n}$ dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelque soit $n\in \N,~ n \geqslant 2$, les courbes $\mathcal{C}_{n}$ possèdent l'axe des ordonnées pour asymptote.
\item  Soit $x \in ]0 ~;~ 1[$. On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}
f_{n}(x) = - \infty$.
\item  Quelque soit $n\in \N,~ n \geqslant 2$, les courbes $\mathcal{C}_{n}$ possèdent une tangente commune au point d'abscisse $1$.
\item  Soient $x \in ]1~ ;~ + \infty[$ et $n\in \N,~ n \geqslant 2$, on a $\displaystyle\sum_{k=2}^{n} f_{k}(x) = \dfrac{1 - x^n}{1 - x}\times \ln x$.
\end{enumerate}
 
 \hrulefill

 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. On considère deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ contenant chacune $n$ boules
blanches et $n$ boules noires.

 On jette un dé cubique équilibré dont les six faces sont numérotées de 1 à 6.
 
\begin{itemize}
\item Si le résultat est pair, on prélève au hasard, successivement avec remise intermédiaire, deux boules de $U_{1}$.
\item Si le résultat est impair on prélève au hasard, successivement sans remise intermédiaire, deux boules de $U_{2}$.
\end{itemize}
On appelle $N$ l'évènement \og obtenir deux boules noires \fg.\\
On désigne par $p(N)$ la probabilité de l'évènement $N,  p_{U_{1}}(N)$ la probabilité de l'évènement $N$ sachant
que les deux boules tirées proviennent de $U_{1},~p_{U_{2}}(N)$ la probabilité de l'évènement $N$ sachant que les
deux boules tirées proviennent de $U_{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La probabilité d'obtenir deux boules noires de $U_{1}$ est
$\dfrac{1}{8}$.
\item  Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a $p_{U_{1}}(N) = p_{U_{2}}(N)$.
\item  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{U_{1}}(N) = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{U_{2}}(N)$.
\item  Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, on a $p(N) = \dfrac{4n - 3}{8(2n - 1}$.
\end{enumerate}
 
\hrulefill

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\medskip

Une usine fabrique des détecteurs de fumée. Ces détecteurs disposent chacun d'une durée de vie aléatoire (en mois) représentée par une variable aléatoire $T$.

Cette variable suit une loi de probabilité exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda \in \R^{+*}$, dont la loi de densité
est la fonction $f_{\lambda}$ définie par : $f_{\lambda}(t) = 0$ pour $t \leqslant  0$ et \\$f_{\lambda}(t) = \lambda \text{e}^{- \lambda t}$
 pour $t > 0$.
 
Les tests indiquent qu'un détecteur donné a 1 chance sur 2 de tomber en panne à la fin de son premier mois de bon fonctionnement. En cas de panne, le détecteur défaillant est immédiatement remplacé par un
détecteur neuf. Un contrôle est effectué chaque mois après l'installation du premier détecteur.
On admet que le fonctionnement des détecteurs est indépendant d'un détecteur à un autre. On désire équiper une petite salle avec l'un de ces détecteurs de fumée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\lambda  = \ln 2$.
\item  La probabilité de changer au moins une fois le détecteur lors de l'un des deux premiers contrôles est égale à 1.
\item  La probabilité de changer le détecteur une fois et une seule lors de l'un des cinq premiers contrôles est
égale à $\dfrac{5}{32}$.
\item  Pour tout entier supérieur ou égal à 1, la probabilité que le détecteur ne soit pas changé lors des $n$ premiers contrôles est égale à
$\dfrac{1}{2^n}$.
\end{enumerate}

\hrulefill


 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A$(-1 ~; ~2~ ; ~4)$, B$(0 ~;~ -2 ~;~ 3)$,
C$(7~ ;~ 1 ~;~ -1)$ et D$(-2 ~;~ -2 ~;~ -13)$.

On appelle $P$ le plan médiateur de [AB], c'est-à-dire le plan contenant les points équidistants de A et de B
ou aussi le plan perpendiculaire à [AB] contenant le milieu de [AB].\\
On appelle $Q$ le plan médiateur de [CD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le vecteur de coordonnées $(8~;~-1 ~;~- 5)$ est normal à $Q$.
\item  Le plan $P$ a pour équation $x + 4y + z + 4 = 0$.
\item  A, B, C et D appartiennent à une même sphère de centre $\Omega(-1~ ;~ 2~;~- 5)$.
\item  L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{A}M}\cdot \vect{\text{B}M} = 0$
est la sphère de diamètre [AB].
 \end{enumerate}

 \hrulefill

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère les ensembles $P,~ Q$ et $R$ d'équations respectives
 
\[P : x + y = 0\quad   ;\quad  Q : 2x - y - z -1 = 0 \quad ; \quad R :  z = 1.\]

\begin{enumerate}
\item  $P$ est une droite.
\item  L'ensemble des points appartenant à la fois à $P$ et à $R$ est une droite.
\item  $P$ et $Q$ sont perpendiculaires.
\item  $P,~ Q$ et $R$ se coupent au point A$\left(\dfrac{2}{3}~;~- \dfrac{2}{3}~;~1 \right)$.
\end{enumerate}

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\end{document}