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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Concours Fesic --  mai 2009}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic --  mai 2009 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h ; répondre par Vrai ou Faux sans justification.\\ 
$+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Pour tout $x$ élément de $D = ]- 1~;~+ \infty[$, on pose
\[f(x) = \ln (1 + x)\]

et pour tout $x$ réel, on pose

\[g(x) = \text{e}^x - 1\quad  \text{et} \quad  h(x) = g(2x) - 1.\]

\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ est la bijection réciproque de $f$.
\item Pour tout $x \in D$, on a :
\[h \circ f(x) = x^2 + 2x - 1.\]

\item Pour tout $x$ réel, on a :

\[f \circ  h(x) = \ln \left(\text{e}^{2x} - 1\right).\]

\item La fonction $f \circ  h$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}.\]

\begin{enumerate}
\item  La fonction $f$ est impaire.
\item  Pour tout $x$ réel, on a :  $-1 \leqslant f(x) \leqslant 1$.
\item  On a : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 1$.
\item  On a : $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left[\frac{f( x) + 1}{x}\right] =  2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par

\[f(x) = - 2x + \frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{|x|}} ,\]

$D$ son ensemble de définition et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
\item  On a :   $D = ]0~;~+ \infty[$.
\item  La fonction $f$ est impaire.
\end{enumerate}

Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = - 2x$.
\begin{enumerate}[resume]
\item  La droite $\Delta$ est asymptote à  $\mathcal{C}$.
\item La courbe $\mathcal{C}$ ne coupe pas la droite $\Delta$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par

\[f(x) = \frac{x}{\ln (x) + 1}\]

et $D$ son ensemble de définition.

\begin{enumerate}
\item On a : $D= ]0~;~+ \infty[$.
\item La fonction $f$ est croissante sur $[1~;~+\infty[$.
\item On a : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f( x) = 0$.
\item Pour tout $a > 1$, l'équation $f(x) = a$ admet exactement deux solutions dans $D$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour $x \neq - 1$   par

\[f(x) = \frac{x}{2} + \frac{\text{e}^x}{x + 1}\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
\item On a : $\displaystyle\lim_{x \to- \infty} f( x) = 0$.
\item La courbe $\mathcal{C}$ admet au point d'abscisse 1 une tangente de pente $\dfrac{1 + \text{e} }{2}$.
\item La courbe $\mathcal{C}$ a pour tangente au point d'abscisse $0$ la droite d'équation $y = \dfrac{x}{2}$ .
\item La droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{x}{2}$ est asymptote à  $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\medskip 

Soit J la fonction définie pour $x \neq 0$ par

\[f(x) = x^2 \cos ^2 \left(\frac{2\pi}{x}\right).\]

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est bornée.
\item Pour tout $x$ non nul, on a : $0 \leqslant f(x) \leqslant  x^2$ .
\item On a : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f( x) = 1$.
\item On a $f(x) = 0$ si et seulement s'il existe un entier$ k \in \Z$ tel que $x = \dfrac{4}{2k + 1}$ .
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $D = ]-2~;~2[$ par

\[f(x) = \frac{x}{(x - 2)(x + 2)^2}\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}$ admet un centre de symétrie.
\item La fonction $f$admet la même limite lorsque $x$ tend vers $- 2$ par valeurs supérieures et
lorsque $x$ tend vers 2 par valeurs inférieures.
\item Pour tout $x \in D$, on a  :

\[f(x) = \frac{1}{8}\left[ \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} + \frac{4}{(x + 2)^2}\right]\]

\item La fonction $F$ définie sur $D$ par

\[Fx)   = \frac{1}{8} \ln \left(\frac{x - 2} {x+2}\right) - \frac{1}{2(x + 2)} \]

est une primitive de $f$ sur $D$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur  $I = ]- \infty~;~0[$  par

\[F(x) = \int_{-1}^x \frac{\text{e}^t}{\text{e}^t - 1}\: \text{d}t.\]


\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in  ]- \infty~;~0[$, on a : $F(x) \geqslant 0$.
\item Il existe une constante réelle $C$ telle que, pour tout $x \in I$,

\[F( x) = \ln \left(\text{e}^x - 1\right) + C.\]

\item La fonction $F$ est croissante sur $I$.
\item L'équation $F(x) = 0$ n'admet aucune solution sur $I$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul et $I_n$ définie par

\[I_n = \int_0^n \ln x\text{e}^{- x^2}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on a :

\[I_n = \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{1}{\text{e}^n}\right)\left( 1 + \frac{1}{\text{e}^n}\right).\]
\item La suite $\left(I_n\right)_{ n \in \N*}$ est majorée par $\dfrac{1}{2}$.
\item La suite $\left(I_n\right)_{ n \in \N*}$ est décroissante.
\item La suite $\left(I_n\right)_{ n \in \N*}$ converge vers $0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul et $I_n$ définie par

\[In =  \int_0^n  x\text{e}^{- nx}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $0 \leqslant I_n \leqslant 1$.
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on a :

\[I_n = \frac{1}{n^2} - \frac{n + 1}{n^2}\text{e}^{- 2}.\]

\item On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  I_n = - \infty$.
\item On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  n^2I_n = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\medskip

On considère les équations différentielles

\[y'' + \frac{1}{16}y = 0\quad  (E)\quad  \text{et}\quad  - y'' + \frac{1}{16}y =0 \quad (E')\]

\begin{enumerate}
\item La seule fonction qui est à  la fois solution des équations $(E)$ et $(E')$ est la fonction
nulle.
\item Les solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions définies sur $\R$ par

\[f(x) = A \cos \left(\frac{x}{4}\right) + B \sin \left(\frac{x}{4}\right)\]

où $A$ et $B$ sont deux réels quelconques.
\item Les solutions de l'équation $(E)$ sont périodiques de période $4\pi$.
\item L'équation $(E)$ admet une unique solution vérifiant $y(0) =  \sqrt{2}$ et $y'(0) = -  \sqrt{2}$, qui
est la fonction $g$ définie sur $R$ par

\[g( x) = \sqrt{2} \cos \left(\frac{x}{4}\right) - \sqrt{2} \sin \left(\frac{x}{4}\right).\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul et $P_n$ le polynôme défini, pour tout $x$ réel, par

\[P_n (x) = x^3 - 3n x^2 + \left(3n^2 - 1\right) x - n (n + 1) (n - 1) .\]

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n \in \ N^*$, $P_n (0)$ est un entier naturel.
\item Pour tout $n \in \ N^*$, $P_n(n) = 0$.
\item Pour tout $n \in \ N^*$ $P'_n(n) = 0$.
\item La suite $\left(P_n(1)\right)_{n\in \N^*}$ admet une limite finie lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par 

\[u_n  = \text{e} + \left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)^n.\]

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n \in \N$, on a : $0 \leqslant  u_n \leqslant  \text{e} + 1$.
\item La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est croissante.
\item On a : $\displaystyle\lim u_n = 0$.
\item Pour tout entier $n \in \N$, on a :

\[\sum_{k=0}^n u_k= u_0+ u_1 + u_2 + \ldots + u_n = (n + 1)\text{e} + \frac{\text{e}^{n+1}  - 1}{\text{e}^n(\text{e} - 1)}.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\medskip

On considère la suite $\left(z_n\right)_{n\in \N}$ de nombres complexes définie par $z_0 = 1$ et la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

\[z_{n+1} = \frac{1 + \text{i}}{2}z_n.\]

Pour tout $n \in \N$, on note $M_n$ le point du plan d'affixe $z_n$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n \in \N$, on a :

\[z_n = \frac{\text{e}^{\text{i}n\pi/4}}{(\sqrt{2})^n}.\]

\item Pour tout $k \in \N$, le vecteur $\vect{M_kM_{k+1}}$ a pour affixe
ei(k+3)1r/4
\[Z_k = \frac{\text{e}^{\text{i}(k+3)\pi/4}}{(\sqrt{2})^{k+1}}.\]

\item Pour tout $n \in \N*$, la longueur de la ligne polygonale $\left(M_0M_1M_2\ldots M_n\right)$ est

\[L_n = \left(\sqrt{2} - 1 \right)\left(1 - 2^{-n/2} \right).\]

\item La longueur de la ligne polygonale $\left(M_0M_1M_2\ldots M_n\right)$ a une limite finie quand $n$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\medskip

Pour $t$ réel, on note $M(t)$ le point dont l'affixe est le nombre complexe

\[Z(t) = \dfrac{1}{ 2 + \text{i}t}.\]

\begin{enumerate}
\item Pour tout $t$ réel, on a :

\[Z(t) + \overline{Z(t)} = 4 Z(t) \overline{Z(t)}.\]

\end{enumerate}
Soit $C$ le cercle de centre $\Omega$ d'affixe $\omega = \dfrac{1}{4}$ et de rayon $R = 4 $.
\begin{enumerate}[resume]
\item Pour tout $t$ réel, le point $M(t)$ appartient au cercle $C$.
\item Pour tout $t$ réel non nul, les points $M(t)$ et $M( - t)$ sont diamétralement opposés
sur le cercle $C$.
\item Les points $M(1)$, $M(2)$, $M( -4)$ et $M( -2)$ sont les sommets d'un rectangle.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\medskip

Pour tout nombre complexe $z$, on pose

\[P(z) = z^4 - 16z^3 + 90z^2 - 16z + 89.\]

\begin{enumerate}
\item On a pour tout $z$ complexe:

\[P(z) =\left (z^2 + 1\right) \left(z^2 - 16z + 89\right).\]

\item L'équation $P(z) = 0$ admet quatre racines complexes deux à  deux conjuguées.
\item Parmi les racines de l'équation $P(z) = 0$, il y en a deux qui sont opposées.
\item Le nombre complexe $z_0 = - 8 + 5\text{i}$ est solution de l'équation $P(z) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 17}}

\medskip

Soit A, B, C trois points distincts non alignés du plan et $x \in  \R$. On définit les points M et N
par

\[\vect{\text{A}M} = \dfrac{1}{2} \vect{\text{AB}} + (1 - x) \vect{\text{AC}}\quad  \text{et} \quad  \vect{\text{A}N} = (1 - x) \vect{\text{AB}} + \dfrac{1}{2} \vect{\text{AC}}.\]

\begin{enumerate}
 \item  Pour $x = 3$, $M$ est le barycentre du système pondéré $\left\{\left(\text{B},~ \dfrac{1}{2}\right),~ (\text{C},~ - 2)\right\}$.
\item  Pour $x = \dfrac{1}{2}$, il existe deux réels $b$ et $c$ tels que $M$ soit le barycentre du système
pondéré $\left\{(B,~ b), (C,~ c)\right\}$.
\item Pour toute valeur de $x$, le point $N$ appartient à  la droite (BC).
\item Il existe une valeur de $x$ pour laquelle (BC$NM$) est un parallélogramme.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 18}}

\medskip

Soit, dans l'espace, les points suivants, de coordonnées respectives :

\[\text{A }(1~;~-2~;~4) ;  \text{B} (-2~;~-6~;~ 5) ;  \text{C} (5~;~1~;~2 );  \text{D} (1~;~ -5~;~-8) ;  \text{E} (-4~;~0~;~ -3).\]

\begin{enumerate}
\item Une équation du plan (ABC) est : $5x - 2y + 7z - 37 = 0$.
\item La droite (AE) est orthogonale au plan (ABC).
\item Les plans (ABC) et (ADE) sont perpendiculaires.
\item L'aire du triangle (ABC) est $\sqrt{39}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 19}}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul et $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs entières $0~;~1~;~
2~;~ \ldots ~;~n ~;~n + 1$ et vérifiant, pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k  \leqslant  n$,

\[P(X=k)= \left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}\quad  (1)\]

\begin{enumerate}
\item On a : $P(X \geqslant 2) = p(X = 1)$.
\item On a : $\displaystyle\sum_{k=0}^n P(X = k) = 1$.
\item On a : $P(X = n) = P(X = n + 1) $.
\item On a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} [P(X \geqslant n)] = 1.$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 20}}

\medskip

On s'intéresse aux timbres postaux à  2 F : 80\,\% d'entre eux comportent deux bandes de phosphore,
l'une à  gauche et l'autre à  droite; les 20\,\% restants ont une seule bande de phosphore, 10\,\%
parmi ceux-ci à  gauche et les autres à  droite.

\begin{enumerate}
\item La probabilité pour qu'un timbre à  2 F (choisi au hasard) ait une bande de phosphore
à  droite est $p_1 = 0,98$.
\item Une machine détecte sur un timbre à  2 F une bande de phosphore à  droite. La
probabilité pour que le timbre ait deux bandes de phosphore est $p_2 = \dfrac{4}{49}$.
\end{enumerate}
Sur une enveloppe, on a collé trois timbres à  2 F, choisis au hasard et de manière indépendante.
\begin{enumerate}[resume]
\item La probabilité d'avoir sur l'enveloppe un total de 5 bandes de phosphore est $p_3 = 0,128$.
\item La probabilité d'avoir sur l'enveloppe au moins 5 bandes de phosphore est égale à  la
probabilité d'en avoir au plus 4.
\end{enumerate}
\end{document}