\documentclass{PratiqueS} \def\fiche{Fiche élève} \usepackage{fourier} % math & rm \usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tt \usepackage{pstricks,pst-plot} % mise en forme RC le 6/12/2007 \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \begin{document} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Épreuve pratique terminale S \decofourright \\ \vspace{0.5cm} Les sujets \'el\`eves 2008--2009}} \vspace{0,5cm} Pour un acc\`es direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{0,25cm} {\large \hyperlink{E003}{Étude d'un jeu (probabilit\'es)} \dotfill 3 \hyperlink{E006}{Tangentes à deux courbes} \dotfill 4 \hyperlink{E007}{Suites associ\'ees} \dotfill 5 \hyperlink{E010}{Marche aléatoire}\dotfill 6 \hyperlink{E013}{Étude de flux de populations}\dotfill 7 \hyperlink{E014}{Distance d'un point à une courbe}\dotfill 8 \hyperlink{E020}{Étude d'un lieu de points}\dotfill 9 \hyperlink{E021}{Recherche d'un lieu géométrique}\dotfill 10 \hyperlink{E026}{Positions relatives dans une configuration}\dotfill 11 \hyperlink{E028}{Courbes et équations}\dotfill 12 \hyperlink{E029}{Optimisation dans l'espace}\dotfill 13 \hyperlink{E030}{Comportement d'une suite récurrente}\dotfill 14 \hyperlink{E033}{Section plane d'un t\'etra\`edre, optimisation d'une distance}\dotfill 15 \hyperlink{E039}{Cercles et similitudes}\dotfill 16 \hyperlink{E044}{Suite d\'efinie par une moyenne arithm\'etique}\dotfill 17 \hyperlink{E045}{Points équidistants d'une droite et d'un point}\dotfill 18 \hyperlink{E062}{Tétraèdre trirectangle}\dotfill 19 \hyperlink{E063}{Restes modulo $p$}\dotfill 20 \hyperlink{E066}{Suite aléatoire}\dotfill 21 \hyperlink{E071}{Calcul approché d'une intégrale}\dotfill 22 \hyperlink{E072}{Étude de deux lieux géométriques}\dotfill 23 \hyperlink{E073}{Étude du reste d'une division euclidienne}\dotfill 24 \hyperlink{E090}{Étude de lieux géométriques}\dotfill 25 \hyperlink{E093}{Triangle inscrit dans une courbe donnée}\dotfill 26\\ \hyperlink{E097}{Solutions d'une relation de congruence}\dotfill 27 } \vspace*{23cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%% Étude d'un jeu %%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E003}{} \def\numero{003} \TITRE{Étude d'un jeu}{11cm} \section*{Énoncé} % \section* au lieu de \section pour ne pas mnumeroter On lance trois dés bien équilibrés dont les six faces sont numérotées de $1$ à $6$. \\ Alice et Bob calculent la somme des trois nombres obtenus. \\ Si la somme obtenue est égale à $9$, Alice gagne.\\ Si la somme obtenue est égale à $10$, Bob gagne. \\ Dans tous les autres cas, la partie est annulée. Le but de l'exercice est de déterminer qui, d'Alice ou de Bob, a la plus grande probabilité de gagner. \subsection*{Étude expérimentale} \begin{numeros} \item Sur un tableur, réaliser une simulation de cette expérience aléatoire. \encadre{Appeler l'examinateur pour valider cette simulation.} \item Sur un tableur, réaliser une simulation sur un échantillon de taille 1000 de cette expérience aléatoire et déterminer, pour cette simulation, les fréquences de réussite respectives d'Alice et de Bob. \encadre{Appeler l'examinateur pour valider la feuille de calcul construite.} \item Est-il possible de conjecturer qui, d'Alice ou de Bob, a la plus grande probabilité de gagner ? \encadre{Appeler l'examinateur pour lui fournir cette réponse et lui \\ indiquer les méthodes prévues pour les démonstrations qui suivent.} \end{numeros} \subsection*{Étude mathématique} On souhaite maintenant calculer la probabilité de gagner d'Alice et de Bob. \begin{numeros} \item Répondre aux deux questions suivantes (dans n'importe quel ordre) : \begin{itemize} \item Calculer la probabilité de gagner d'Alice et de Bob. \item Qui, d'Alice ou de Bob, a la plus grande probabilité de gagner ? \end{itemize} \end{numeros} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Bilan de la simulation de la question 2 ; \item Réponse orale à la question 3 ; \item Réponses argumentées à la question 4. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%% Tangente \`a deux courbes %%%%%%%%%%% \hypertarget{E006}{} \def\numero{006} \TITRE{Tangentes à deux courbes}{11cm} \section*{Énoncé} Soit $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ les courbes d'équations respectives $y = \text{e}^x$ et $y =\text{e}^{-x}$ dans un repère $\left(O;\vec{u},\vec{v}\right)$ orthonormal du plan. Soit $a$ un nombre réel quelconque. On désigne respectivement par $M$ et $N$ les points de $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ d'abscisse $a$ et par $(T_1)$ et $(T_2)$ les tangentes à $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ en $M$ et $N$. Les droites $(T_1)$ et $(T_2)$ coupent respectivement l'axe des abscisses en $P$ et $Q$. \begin{enumerate} \item Avec un logiciel de géométrie dynamique (ou une calculatrice graphique) construire les courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ et les droites $(T_1)$ et $(T_2)$. Que peut-on remarquer pour les droites $(T_1)$ et $(T_2)$? \encadre {Appeler le professeur pour lui montrer le graphique créé\\ et lui indiquer la conjecture faite au sujet de $(T_1)$ et de $(T_2)$.} \item À l'aide du logiciel émettre une conjecture à propos de la longueur du segment $[PQ]$. \encadre{Appeler le professeur pour lui présenter la conjecture et la démonstration envisagée.} \item Démontrer la conjecture émise à la question 2. \end{enumerate} \bigskip \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Exposé oral de la méthode de construction de la figure adaptée à la situation; \item Exposé oral des conjectures; \item Exposé de la méthode choisie pour démontrer la dernière conjecture. \end{itemize} \bigskip \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%% 7 Suites associ\'ees %%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{E007}{} \def\numero{007} \TITRE{Suites associées}{5cm} \section*{Énoncé} On considère les suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ définies par : $$ \left\{ \begin{tabular}{l} $a_0=20$ \\ $b_0=60$\\ \end{tabular} \right.\qquad \textrm{et,\ pour tout entier naturel }n,\qquad \left\{ \begin{tabular}{l} $a_{n+1}=\dfrac{2a_{n}+b_{n}}{4\vphantom{)_{)}}} $ \\ $b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+2b_{n}}{4} $ \\ \end{tabular} \right. $$ \begin{enumerate} \item En utilisant un tableur ou une calculatrice, calculer les 50 premiers termes des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$. \item Peut-on penser que ces suites sont convergentes et quelle conjecture peut-on formuler quant à la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ et à celle de la suite $\left(b_{n}\right)$? \encadre {Appeler l'examinateur pour vérifier les calculs et les conjectures.} \item Soient $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ les suites définies, pour tout entier naturel $n$, par : \begin{center} $u_n=a_n+b_n$ \;\;et\;\;$v_n=b_n-a_n$. \end{center} \begin{enumerate} \item Compléter la feuille de calculs avec les 25 premiers termes des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$. \item Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature de chacune de ces suites ? \encadre {Appeler l'examinateur pour valider la conjecture et lui indiquer\\ comment mettre en place la vérification demandée à la question suivante.} \item Vérifier expérimentalement, sur la feuille de calcul, la conjecture émise, validée par l'examinateur. \end{enumerate} \encadre{Appeler l'examinateur, lui montrer les vérifications faites et \\ lui indiquer les méthodes prévues pour les démonstrations qui suivent.} \item \begin{enumerate} \item Démontrer la conjecture de la question 3(b). \item Déterminer les expressions de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$. \item Justifier les réponses données à la question 2 et déterminer la valeur exacte de la limite des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \trait \subsection*{Production demandée } \begin{itemize} \item Construction de la feuille de calcul complète; \item Formulation orale des conjectures; \item Réponses argumentées à la question 4. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E010}{} \def\numero{010} \TITRE{Marche aléatoire}{9cm} \vskip-8mm \section*{Énoncé} % \section* au lieu de \section pour ne pas mnumeroter Un pion est placé sur la case de départ: \begin{tabular}{|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|} \hline\rule[-2mm]{0pt}{7mm} &&&&\textcolor{red}{Départ}&&&&\\\hline\end{tabular} Le lancer d'une pièce bien équilibrée détermine le déplacement du pion. \begin{itemize} \item [$\bullet$] PILE, le pion se déplace vers la droite \item [$\bullet$] FACE, le pion se déplace vers la gauche \end{itemize} Un trajet est une succession de 4 déplacements. On s'intéresse à l'événement $A$: \og le pion est revenu à la case départ après 4 déplacements \fg. À chaque lancer, on associe le réel $+1$ si le résultat est PILE et $-1$ si le résultat est FACE. \subsection*{Étude expérimentale} \begin{numeros} \item Simuler à l'aide du tableur de 200 à 2000 trajets du pion et estimer la fréquence de l'événement $A$. Compléter le tableau suivant: \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\rule[-2mm]{0pt}{8mm} Nombre d'essais &~200&~400&~600&~800&1000&1200&1400&1600&1800&2000\\ \hline\rule[-2mm]{0pt}{8mm} Fréquence de $A$&&&&&&&&&&\\\hline\end{tabular} \encadre {Appeler l'examinateur pour vérifier le tableau obtenu.} \end{numeros} \vskip-5mm \subsection*{Étude mathématique} \begin{numeros} \item On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme des quatre réels. \begin{numeros} \item En précisant la méthode choisie, calculer les valeurs possibles de $X$ et le nombre de trajets possibles. \encadre{Appeler l'examinateur pour contrôler la réponse et lui\\ indiquer la démarche prévue à la question suivante} \item Calculer la probabilité de l'événement $A$ à l'aide d'un schéma de Bernoulli et comparer avec l'estimation obtenue. \end{numeros} \end{numeros} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Réaliser une simulation en utilisant les fonctions appropriées. \item Donner une réponse argumentée à la question 2. \end{itemize} \Trait %pour séparer %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E013}{} \def\numero{013} \TITRE{Étude de flux de populations}{10cm} \vskip-9mm \section*{Énoncé} L'objet de ce travail est l'étude de flux de populations entre trois zones géographiques : une ville notée A, une zone périphérique notée B et une zone de campagne notée C. Pour modéliser les flux de population, on fait les hypothèses suivantes : \begin{itemize} \item La population totale des trois zones \textbf{\textsl{reste constante.}} \item Chaque année la zone A perd 10\% de sa population, mais accueille 10\% de la population de la zone B et 1\% de la population de la zone C. \item Chaque année la zone B perd 10\% de sa population, mais accueille 10\% de la population de la zone A et 1\% de la population de la zone C. \item Chaque année la zone C perd 2\% de sa population. \end{itemize} %\bigskip Au premier janvier 2008, la zone A comptait \nombre{5000} habitants, la zone B en comptait \nombre{2000} et la zone C en comptait \nombre{4000}. On désigne par $a_{n}$, $b_{n}$ et $c_{n}$ les nombres d'habitants respectifs des zones A, B et C au premier janvier de l'année $2008+n$. On admettra, pour l'étude mathématique, que les nombres réels $a_{n}$, $b_{n}$ et $c_{n}$ peuvent ne pas être entiers. %\textbf{Partie A : Étude expérimentale} \begin{enumerate} %\item % À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, estimer le nombre d'habitants de chaque zone au premier janvier des années 2008 à 2017. Que %peut-on penser de %l'évolution de chacune des trois populations ? %\vskip-2mm\encadre {Appeler l'examinateur pour vérification des valeurs obtenues et de la conjecture.} % Utiliser impÈrativement la macro encadre pour les appels mÍme si le style vous dÈplait ! \item On souhaite décrire, avec le modèle ci-dessus, l'évolution des trois populations. \begin{enumerate}\item Représenter graphiquement, à l'aide du tableur, ou d'une calculatrice, les suites $(a_{n})$, $(b_{n})$ et $(c_{n})$. \item Conjecturer le sens de variation et la convergence des suites $(a_{n})$, $(b_{n})$ et $(c_{n})$. %\item Indiquer à partir de quelle année la zone C aura perdu plus de 50 % de sa population de janvier 2008. \end {enumerate} \encadre {Appeler l'examinateur pour vérification des résultats obtenus et des conjectures.} \item Pour chaque année $2008+n$, soit $d_{n}$ la différence de population entre les zones A et B. Conjecturer la nature de la suite $(d_{n})$. \encadre {Appeler l'examinateur pour une vérification et lui indiquer\\ les méthodes envisagées pour les démonstrations qui suivent.} %\end{enumerate} \item On se propose de calculer les limites des suites $(a_{n})$, $(b_{n})$ et $(c_{n})$. %\textbf{Partie B : Étude théorique.} \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression de $c_{n}$ et de $d_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire l'expression de $a_{n}$ et de $b_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer les limites des suites $(a_{n})$, $(b_{n})$ et $(c_{n})$. \end{enumerate} \end{enumerate} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Une feuille de calcul donnant les valeurs de $n$ et des termes des différentes suites. \item Un graphique représentant les suites $(a_{n})$, $(b_{n})$ et $(c_{n})$. \item Les réponses argumentées aux questions de la Partie 3. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E014}{} \def\numero{014} \TITRE{Distance d'un point à une courbe }{10 cm} \section*{Énoncé} % \section* au lieu de \section pour ne pas mnumeroter Dans le plan $\mathscr{P}$ rapporté à un repère orthonormal $\bigl(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\bigr)$ la courbe $\mathscr{C}$ est la courbe représentative de la fonction exponentielle et le point $B$ a pour coordonnées $(2;-1)$. \bigskip On admet que la distance $BM$ admet un minimum quand $M$ décrit $\mathscr{C}$. Ce minimum est appelé distance du point $B$ à la courbe $\mathscr{C}$. \bigskip Le but de l'exercice est de trouver la distance du point $B$ à la courbe $\mathscr{C}$. \bigskip %\subsection*{Expérimentation} % si possible on utilise le codage des accents << a la tex >> \begin{enumerate} \item Réaliser à l'aide d'un logiciel une figure dynamique correspondant à cette situation. \encadre{Appeler l'examinateur pour une vérification de la figure réalisée.} \begin{enumerate} \item $M$ est un point quelconque de la courbe $\mathscr{C}$. Faire une conjecture sur la position du point $M$ pour laquelle la distance $BM$ semble minimale. On appelle ce point $M_{0}$. \item Tracer la droite $d$ perpendiculaire en $M_{0}$ à la droite $(BM_{0})$.\\ Quelle semble être la position particulière de la droite $d$ ? \encadre{Appeler l'examinateur pour lui présenter les conjectures émises\\ et lui indiquer la ou les méthodes de contrôle prévues à la question (c).} \item Utiliser le logiciel pour contrôler les conjectures et, éventuellement, les rectifier. \end{enumerate} \item On se propose de déterminer la valeur exacte de la distance du point $B$ à la courbe $\mathscr{C}$. \encadre{Appeler l'examinateur pour lui présenter les contrôles faits\\ et lui proposer une méthode permettant à la fois de\\ déterminer le point $M_{0}$ et la distance du point $B$ à la courbe $\mathscr{C}$.} \begin{enumerate} \item Déterminer, par le calcul, la position du point $M_{0}$. \item Quelle est la valeur exacte de la distance du point $B$ à la courbe $\mathscr{C}$ ? \end{enumerate} \item Vérifier, par le calcul, la conjecture formulée au 1.(b). \end{enumerate} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Obtention à l'écran de la figure réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique. \item La formulation des conjectures et leur contrôle. \item Les stratégies de démonstration prévues pour répondre à la question 2 et le résultat des calculs. \item La vérification demandée à la question 3. \end{itemize} \Trait % Le trait final est plus long et a une majuscule %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E020}{} \def\numero{020} \TITRE{Étude d'un lieu de points}{8cm} \section*{Énoncé} % \section* au lieu de \section pour ne pas mnumeroter On considère le carré direct ABCD du plan orienté tel que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\frac{\pi}{2}$. On appelle O le centre du carré. Un point M décrit le segment [DC]. La perpendiculaire à la droite (AM) passant par A coupe (BC) en N. On appelle I le milieu de [MN]. On se propose de déterminer le lieu des points I lorsque M décrit le segment [DC]. %\begin{figure}[\h] %\centering\includegraphics[width=7cm]{I020} %\end{figure} \subsection*{Étude expérimentale} \begin{numeros} \item Réaliser la figure avec un logiciel de géométrie dynamique. \encadre{Appeler l'examinateur pour une vérification de la figure réalisée.} \item Mettre en évidence avec le logiciel la nature du triangle AMN. \item Faire afficher le lieu des points I lorsque M décrit le segment [DC]. \encadre{Appeler l'examinateur pour une vérification des conjectures et pour lui\\ indiquer les méthodes prévues pour les démonstrations qui suivent.} \end{numeros} \subsection*{Démonstrations} \begin{numeros} \item Démontrer que le triangle AMN est rectangle isocèle (on pourra utiliser une rotation de centre A). \item En déduire la nature du triangle AIM ; établir que le point I est l'image de M par une similitude $S$ de centre A dont on précisera l'angle et le rapport. \item Déterminer $S(D)$ et $S(C)$ puis conclure sur le lieu de points cherché. \end{numeros} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Figure réalisée avec un logiciel de géométrie dynamique \item Réponses argumentées pour les questions 5 et 6. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%% Recherche d'un lieu géométrique %%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E021}{} \def\numero{021} \vspace*{-1cm} \TITRE{Recherche d'un lieu géométrique}{11cm} \section*{Énoncé} Dans le plan orienté, on considère un triangle rectangle isocèle $ABB'$ tel que : $\Bigl(\overrightarrow{BB'} , \overrightarrow{%\vp BA}\Bigr)=\frac{\pi}{2}$. Soit $M$ un point variable de la droite $(BB')$ et $M'$ l'image de $A$ dans la rotation de centre $M$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$. On note $I$ le milieu de $[BB']$ et $J$ le milieu de $[MM']$. \\ On cherche à déteminer le lieu du point $J$ lorsque $M$ décrit la droite $(BB')$. \begin{enumerate} \item\begin{enumerate} \item Réaliser une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. \encadre{Appeler l'examinateur pour vérification de la figure.} \item Visualiser le lieu du point $J$ quand $M$ décrit la droite $(BB')$. Quelle conjecture peut-on émettre ? \item Que peut-on conjecturer à propos des triangles $ABI$ et $AMJ$? \encadre{Appeler l'examinateur pour vérification des conjectures.} \end{enumerate} \item Soit $S$ la similitude directe de centre $A$ qui transforme $B$ en $I$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'image du point $M$ par la similitude $S$. \encadre{Appeler l'examinateur pour faire le point et lui indiquer\\ la méthode prévue pour la résolution de la question 2.(b).} \item En déduire le lieu du point $J$ quand $M$ décrit la droite $(BB')$. \end{enumerate} \end{enumerate} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Visualisation à l'écran de la figure; \item Formulation orale des conjectures sur le lieu du point $J$ et sur les triangles $ABI$ et $AMJ$; \item Réponses argumentées aux questions 2.(a) et 2.(b). \end{itemize} \Trait %\section*{Compétences évaluées} %\subsection*{Compétences TICE} %\begin{itemize} %\item Construction d'une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique ; %\item Visualisation d'un lieu. %\end{itemize} %\subsection*{Compétences mathématiques (spécialité)} %\begin{itemize} %\item Triangles semblables ; %\item Angles orientés ; %\item Similitudes directes. %\end{itemize} %\Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%Positions relatives dans une configuration %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E026}{} \def\numero{026} \TITRE{Positions relatives dans une configuration}{13cm} \section*{Énoncé} % \section* au lieu de \section pour ne pas mnumeroter Dans le plan orienté, on définit le triangle $OAB$ et on note $M$ le milieu du segment $[AB]$. On construit les triangles $AOD$ et $OBC$ directs, rectangles et isocèles en $O$. L'objet du problème est d'étudier les longueurs et les positions relatives des segments $[OM]$ et $[DC]$. \subsection*{Étude expérimentale} \begin{numeros} \item Construire la figure décrite précédemment à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. \encadre{Appeler l'examinateur pour valider la construction.} \item En modifiant le triangle $OAB$, émettre une conjecture concernant les longueurs $OM$ et $DC$ et une autre au sujet des positions relatives des droites $(OM)$ et $(DC)$. \encadre{Appeler l'examinateur pour valider les conjectures \\ et exposer la démarche envisagée pour la preuve. } \end{numeros} \subsection*{Démonstrations} \begin{numeros} \item Proposer une démonstration des conjectures faites. \end{numeros} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Construction de la figure ; \item Énoncé des deux conjectures ; \item Réponses argumentées à la question 3. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E028}{} \def\numero{028} \TITRE{Courbes et équations}{7cm} \section*{Énoncé} Soit $m$ un réel. On cherche à déterminer le nombre de solutions réelles dans l'intervalle $[-5,5]$ de l'équation : $$-x^2+2x-1+m\,\e^{-x}=0 \qquad (E)$$ \begin{enumerate} \item Dans cette question on pose $m=2$.\\ À l'aide d'un grapheur (logiciel ou calculatrice), donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de l'unique solution de $(E)$. \encadre{Appeler l'examinateur pour validation du résultat et de la méthode employée.} \item Soit $f$ la fonction définie sur $[-5;5]$ par : $f(x)=(x^2-2x+1)\,\e^x$. À l'aide d'un grapheur, tracer la courbe représentative de $f$ et émettre une conjecture quant au nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$ dans l'intervalle $[-5, 5]$, en fonction des valeurs de $m$. \encadre{Appeler l'examinateur pour validation de la conjecture.} \item Démontrer que, pour tout $m$, l'équation $(E)$ et l'équation $f(x)=m$ ont le même ensemble de solutions dans l'intervalle $[-5,5]$. \item Répondre au problème posé. \end{enumerate} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Présentation de la méthode de résolution utilisée en 1. et graphique correspondant; \item Représentation graphique et énoncé de la conjecture pour la question 2; \item Réponses argumentées aux questions 3 et 4. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E029}{} \def\numero{029} \TITRE{Optimisation dans l'espace}{8cm} \section*{Énoncé} Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ , on considère les points ${A}\left({0},{6},{0}\right)$, ${B}\left({0},{0},{8}\right)$, ${C}\left({10},{0},{8}\right)$. ${M}$ est un point appartenant au segment $[OB]$. Le plan $\left(\Pi\right)$ passant par ${M}$ et orthogonal à la droite $\left(OB\right)$ coupe la droite $\left(AC\right)$ en ${P}$. \subsection*{Partie expérimentale.} \begin{numeros} \item En utilisant un logiciel de géométrie, construire une figure traduisant l'énoncé. \encadre {Appeler l'examinateur pour la vérification de la construction. } %% \item Visualiser de face la section ${S}$ du plan $\left(\Pi\right)$ avec le tétraèdre ${OABC}$. %%Quelle conjecture peut-on formuler quant à la nature de cette section ? % \item Déplacer le point ${M}$ sur le segment $\left[{OB}\right]$ et formuler une conjecture quant à la position de ce point qui rend l'aire de ${S}$ maximale. \item On note respectivement $N$ et $Q$ les points d'intersection du plan $\left(\Pi\right)$ avec les droites $(OC)$ et $(AB)$ et l'on admet que le quadrilatère $MNPQ$ est un rectangle. En déplaçant le point $M$, émettre une conjecture quant à la position de ce point rendant maximale l'aire du rectangle. \encadre{Appeler l'examinateur pour valider la conjecture.} \end{numeros} \subsection*{Partie démonstration.} On note $z = OM$. \begin{numeros} \item Exprimer en fonction de $z$ les longueurs $MN$ et $MQ$. \item Démontrer la conjecture émise en 2. \end{numeros} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item La figure réalisée avec le logiciel ; \item Les démonstrations demandées dans les questions 3 et 4. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E030}{} \def\numero{030} \TITRE{Comportement d'une suite récurrente}{12.5cm} \section*{Énoncé} % \section* au lieu de \section pour ne pas mnumeroter Soit $u_{1}$ un nombre réel fixé. On considère la suite récurrente $u$ de premier terme $u_1$ et telle que pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{n+1} = \frac{u_n}{n}+1$. \begin{enumerate} \item En utilisant une calculatrice ou un tableur, calculer les premiers termes de cette suite et en réaliser une représentation graphique. \textsl{Le choix du nombre de termes et de la valeur de $u_1$ est laissé au candidat, qui en testera plusieurs, dont $u_{1}=-100$.} \encadre{Appeler l'examinateur pour vérifier les calculs faits.} \item En fonction des différentes valeurs de $u_1$: \begin{enumerate} \item émettre une conjecture sur le sens de variation de la suite $u$; \item émettre une conjecture sur la limite de la suite $u$. \end{enumerate} \encadre{Appeler l'examinateur pour valider les deux conjectures\\ et indiquer la méthode prévue pour les démonstrations de la question (3).} \item Dans cette question on suppose que $u_1=-100$. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'à partir d'un certain rang $n_0$, à préciser, la suite $u$ est décroissante. \item Démontrer que la suite $u$ est convergente et préciser sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Écrans montrant les calculs ayant permis d'émettre les deux conjectures. \item Démarches et réponses argumentées pour la question 3. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E033}{} \def\numero{033} \TITRE{Section plane d'un t\'etra\`edre, optimisation d'une distance}{11cm} \section*{\'Enonc\'e} Dans l'espace rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal $(O\,;\,\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j},\,\overrightarrow{k})$, on d\'efinit les points $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$ et $C$(0, 0, 1) et le point $I$ milieu du segment [$AB$]. \textbf{Partie exp\'erimentale} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \`A l'aide d'un logiciel de g\'eom\'etrie dans l'espace, repr\'esenter le t\'etra\`edre $OABC$ et le point $I$. \item Pour un point $M$ du segment $[AC]$, on d\'efinit le plan $\mathscr{P}$ passant par le point $I$ et orthogonal \`a la doite $(IM)$. Tracer la section du t\'etra\`edre $OABC$ par le plan $\mathscr{P}$. \item Le plan $\mathscr{P}$ coupe la droite $(OB)$ en un point $N$. Construire le point $N$ et tracer le segment $[MN]$. \encadre {Appeler l'examinateur pour lui pr\'esenter la figure construite.} \end {enumerate} \item \'Etudier \`a l'aide du logiciel, les variations de la longueur $MN$ et conjecturer la position du point $M$, sur le segment $[AC]$, telle que cette longueur soit minimale. Quelle est, d'apr\`es le logiciel, cette longueur minimale? \encadre{Appeler l'examinateur pour lui pr\'esenter les observations faites et les r\'esultats obtenus.} \end{enumerate} \textbf{D\'emonstration} On d\'efinit le r\'eel $t=\frac{AM}{AC\vphantom{)^)}}$ et on admet que les coordonn\'ees des points $M$ et $N$ sont respectivement $M(1-t, 0, t)$ et $N(0, t,0)$. \begin{enumerate} \item[3.] Calculer la longueur $MN$ en fonction de $t$. \encadre{Appeler l'examinateur pour lui expliquer la m\'ethode pr\'evue pour d\'eterminer \\ le minimum de cette longueur.} \item[4.] D\'eterminer la valeur de $t$ pour laquelle cette longueur est minimale. \item[5.] Donner la valeur minimale prise par la longueur $MN$. \end {enumerate} \trait \subsection*{Production demand\'ee} \begin{itemize} \item R\'ealisation d'une figure \`a l'aide d'un logiciel de g\'eom\'etrie dynamique ; \item Pr\'esentation orale, \`a partir de l'\'ecran, des conjectures ; \item Solution argument\'ee de la question 4. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E039}{} \def\numero{039} \vspace{-5 mm} \TITRE{Cercles et similitudes}{8cm} \section*{\'Enonc\'e} \vspace{-5 mm} On consid\`ere un triangle \'equilat\'eral direct $O_1O_2O_3$, le milieu $O$ du segment $[O_1O_2]$ et le cercle $\mathcal C$ de centre $O_1$ passant par $O$. On note $A$ un point du cercle $\mathcal C$ distinct du point $O$.\\ Pour tout point $M$ du cercle $\mathcal C$, on note $M_1$ le point sym\'etrique de $M$ par rapport \`a $O$ puis $M'$ le point tel que le triangle $MM_1M'$ soit \'equilat\'eral direct. \subsection*{\'Etude exp\'erimentale} \vspace{-3 mm} \begin{numeros} \item \`A l'aide d'un logiciel de g\'eom\'etrie dynamique, construire le triangle $O_1O_2O_3$, placer le point $O$ et tracer le cercle $\mathcal C$. \encadre{Appeler l'examinateur pour v\'erifier la construction.} \item Le point $A$ \'etant construit sur le cercle $\mathcal C$, construire le point $A'$ associ\'e au point $A$ par le proc\'ed\'e indiqu\'e dans le pr\'eambule. \encadre{Appeler l'examinateur pour v\'erifier la construction.} \item Placer un autre point, not\'e $M$, sur le cercle $\mathcal C$ et construire le point $M'$ associ\'e \`a ce point.\\Visualiser la courbe (ou lieu) que semble d\'ecrire le point $M'$ lorsque le point $M$ d\'ecrit le cercle $\mathcal C$ et \'emettre une conjecture \`a ce propos. \encadre{Appeler l'examinateur pour exposer votre conjecture.} \item Lorsque les points $M$ et $A$ sont distincts, les droites $(AM)$ et $(A'M')$ se coupent en un point $P$. Placer le point $P$ sur la figure. \'Emettre une conjecture concernant le lieu d\'ecrit par le point $P$ lorsque le point $M$ d\'ecrit le cercle $\mathcal C$ priv\'e du point $A$. \encadre{Appeler l'examinateur pour exposer votre conjecture et lui indiquer \\les m\'ethodes pr\'evues pour les d\'emonstrations qui suivent.} \end{numeros} \vspace{-6 mm} \subsection*{D\'emonstrations} \vspace{-3 mm} \begin{numeros} \item Montrer qu'il existe une similitude directe de centre $O$ par laquelle le point $M$ du cercle $\mathcal C$ a pour image le point $M'$. Pr\'eciser l'angle et le rapport de cette similitude. \item D\'eterminer le lieu du point $M'$ lorsque le point $M$ d\'ecrit le cercle $\mathcal C$. \item Pr\'eciser le lieu du point $P$ lorsque le point $M$ d\'ecrit le cercle $\mathcal C$ priv\'e du point $A$. \end{numeros} \trait \vspace{-3 mm} \subsection*{Production demand\'ee} \vspace{-3 mm} \begin{itemize} \item R\'ealisation d'une figure avec un logiciel de g\'eom\'etrie dynamique ; \item R\'eponse argument\'ee pour les questions 5 et 6 ; \item Informations obtenues concernant le point $P$. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E044}{} \def\numero{044} \TITRE{Suite d\'efinie par une moyenne arithm\'etique}{13.5cm} \section*{\'Enonc\'e} On consid\`ere la suite $(u_{n})$ d\'efinie pour tout $n$ entier strictement positif par : $$u_{n}=\frac{6}n(1^2+2^2+\cdots +n^2)=\frac{6}n\sum_{k=1}^n k^2$$ \subsection*{Partie exp\'erimentale} \begin{numeros} \item \`A l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, repr\'esenter graphiquement les 50 premiers termes de la suite $(u_{n})$. \item \'Emettre une conjecture sur le type de fonction $f$ telle que, pour tout $n$ entier entre 1 et 50, on ait : $u_{n}=f(n)$. \encadre{Appeler l'examinateur pour exposer votre conjecture et proposer une m\'ethode\\ pour la pr\'eciser.} \item Mettre en place la strat\'egie valid\'ee par l'examinateur et d\'eterminer pr\'ecis\'ement la fonction $f$. \encadre{Appeler l'examinateur, lui indiquer la fonction $f$ trouv\'ee et lui proposer une m\'ethode \\ pour r\'esoudre la question 4.} \end{numeros} \subsection*{D\'emonstrations} \begin{numeros} \item \begin{numeros} \item D\'emontrer que pour tout $n$ entier naturel non nul, on a $u_{n}=f(n)$ où $f$ est la fonction valid\'ee par l'examinateur. \item En d\'eduire une formule simple donnant la somme des carr\'es des $n$ premiers entiers strictement positifs. \end{numeros} \end{numeros} \trait \subsection*{Production demand\'ee} \begin{itemize} \item Des explications orales et \`a l'\'ecran pour les questions 1 \`a 3; \item Les r\'eponses argument\'ees \`a la question 4. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E045}{} \def\numero{045} \def \vect#1{\overrightarrow{#1}} % vecteur \TITRE{Points équidistants d'une droite et d'un point}{15cm} \section*{Énoncé} On considère dans le plan $(\mathscr{P})$ une droite $D$ et un point $F$ non situé sur cette droite. Il s'agit de déterminer l'ensemble $G$, lieu géométrique des points du plan équidistants de $D$ et de $F$. \begin{enumerate} \item À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construire la droite $D$ et le point $F$. Construire également un point $H$ sur la droite $D$ et la droite $T$ perpendiculaire à $D$ en $H$. \encadre{Appeler l'examinateur pour vérifier la figure \\ et exposer la démarche envisagée pour la suite de la construction.} \item Construire un point $M$ de $T$ équidistant de $F$ et de $H$. \\ Construire le lieu géométrique du point $M$ lorsque le point $H$ décrit la droite $D$. \\ Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de $G$? \encadre{Appeler l'examinateur pour lui montrer la figure et lui indiquer votre conjecture.} \item On considère un repère orthonormal direct $\bigl(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\bigr)$ tel que $D$ est la droite $(O;\overrightarrow i)$ et le point $F$ est sur la droite $\bigl(O; \overrightarrow{j}\bigr)$. Pour un point $M\,(x,y)$ quelconque du plan, on considère le point $H$, projeté orthogonal de $M$ sur la droite $D$. \begin{enumerate} \item Calculer $MF^2$ et $MH^2$ en fonction de $x$ et $y$ et en déduire une condition liant $x$ et $y$ pour que le point $M$ soit équidistant de $F$ et de $D$. \item Donner alors une équation de $G$ et conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Réaliser une figure adaptée à la situation ; \item Expressions de $MF^2$ et $MH^2$; \item Réponses argumentées pour la question 3b. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E062}{} \def\numero{062} \TITRE{Tétraèdre trirectangle}{7cm} \section*{Énoncé} % \section* au lieu de \section pour ne pas mnumeroter Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé d'origine $O$, on construit le tétraèdre $OABC$ avec : $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$ et $C(0,0,2)$. \\ Ce tétraèdre est dit \<> car trois de ses faces sont des triangles rectangles.\\ Pour tout point $M$ du segment $[AB]$, on construit le projeté orthogonal $H$ du point $O$ sur la droite $(MC)$. \begin{enumerate} \item Proposer, à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, une figure traduisant la situation et construire le lieu des points $H$ lorsque le point $M$ décrit le segment $[AB]$. \\ Quel semble être le lieu du point $H$ ? \encadre{Appeler l'examinateur pour vérifier le tracé du lieu et la conjecture.} \item Conjecturer les positions du point $M$ sur le segment $[AB]$ pour lesquelles la longueur $CH$ semble maximale, minimale. \encadre{Appeler l'examinateur pour vérifier ces conjectures.} \item On se propose de démontrer les conjectures émises. \begin{enumerate} \item D\'emontrer la double \'egalit\'e: $\vect{CM}\cdot\vect{CO}=\vect{CH}\cdot\vect{CM}=\vect{CO}^2$. \encadre{Appeler l'examinateur pour lui indiquer les stratégies\\ retenues pour répondre aux questions (b) et (c) suivantes.} \item Valider ou invalider alors les conjectures faites à la question 2. Calculer les extremums de CH. \item Le lieu de $H$ est-il un arc de cercle? \end{enumerate} \end{enumerate} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Expression des conjectures des questions 1 et 2. \item Réponses argumentées à la question 3. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E063}{} \def\numero{063} \TITRE{Restes modulo $p$}{8cm} \section*{\'Enonc\'e} % \section* au lieu de \section pour ne pas mnumeroter Le but de cet exercice est d'\'etudier les restes modulo $p$ ($p$ entier strictement sup\'erieur \`a 1) des suites $(u_n)_{n\in\N}$ d\'efinies par : $u_n=an+b$, $a$ et $b$ étant deux entiers naturels donnés. \begin{enumerate} \item Construire une feuille de calcul donnant les restes modulo 20 des 20 premiers termes de la suite $(u_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par $u_n=12n+5$. \encadre{Appeler l'examinateur} \item Adapter la feuille de calcul de façon à obtenir les restes modulo $p$ des 20 premiers termes de la suite définie par $u_n=an+b, n \in N$ , de telle manière qu'on puisse modifier les valeurs de $a$, $b$ et $p$. Notez sur votre feuille les restes obtenus dans les cas particuliers suivants: \begin{enumerate} \item $p = 20$ et $u_n=5n-3$; \item $p = 7$ et $u_n=5n-3$. \end{enumerate} Quelle conjecture peut-on formuler quant aux suites form\'ees par ces restes euclidiens ? \encadre{Appeler l'examinateur pour vérifier la conjecture émise} \item D\'emonstration de la conjecture : \begin{enumerate} \item Montrer que, parmi les nombres $u_0$, $u_1$,\dots,$u_p$, il existe deux nombres ayant le même reste dans la division euclidienne par $p$, pour $p$ entier naturel non nul. \item Soient $n_0$ et $n_0 + T$ les rangs de ces deux nombres ($T\neq0$).\\ Montrer que $aT$ est un multiple de $p$. \item En d\'eduire que pour tout entier naturel $k$, $u_{T+k}$ et $u_k$ ont le même reste dans la division euclidienne par $p$. \item D\'emontrer alors la conjecture. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Production demand\'ee} \begin{itemize} \item Feuille de calcul correspondant aux diverses suites. \item Les d\'emonstrations de la question 3. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E066}{} \def\numero{066} \TITRE{Suite aléatoire}{5cm} \vspace{-1cm} \section*{Énoncé} On considère une suite $(S_{n})$ définie par le lancer d'une pièce équilibrée de la façon suivante: \[ S_{0} = 0 \quad\text{et}\quad \begin{cases} S_{n+1} = S_{n}+1 &\text{si on obtient PILE}\\ S_{n+1} = S_{n}-1 &\text{si on obtient FACE} \end{cases}. \] On note $A_{n}$ l'événement \og obtenir $S_n = 0$ \fg.\par\medskip On s'intéresse à la probabilité de réaliser l'événement $A_{n}$ pour un entier $n$ non nul donné. \textbf {Étude expérimentale} \begin{enumerate} \item En utilisant un tableur, effectuer une simulation donnant les 11 premiers termes de \nombre{1000} suites définies de la même façon que $(S_{n})$.\par\medskip Existe-t-il des valeurs de $n$ pour lesquelles l'événement $A_{n}$ est impossible? Justifier votre réponse. \encadre {Appeler l'examinateur pour présenter votre simulation et votre justification.} \item \begin{enumerate} \item Donner les fréquences d'apparition de l'événement $A_{n}$ pour $n$ variant de 1 à 10. \item Faire d'autres simulations de même taille pour compléter le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabular}{|r||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{11}{|c|}{Fréquences d'apparition de $A_{n}$}\\\hline\hline $n$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline Simulation~\no1 &&&&&&&&&&\\\hline Simulation~\no2 &&&&&&&&&&\\\hline Simulation~\no3 &&&&&&&&&&\\\hline Simulation~\no4 &&&&&&&&&&\\\hline Simulation~\no5 &&&&&&&&&&\\\hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \encadre {Appeler l'examinateur pour une vérification.} \textbf {Étude mathématique} \begin{enumerate} \item[3.] Déterminer les probabilités de réaliser les événements $A_{2}$, $A_{4}$ et $A_{6}$. \encadre {Appeler l'examinateur pour une vérification.} \bigskip \item[4.] Donner une expression de $p(A_{n})$ en fonction de la parité de $n$. \end{enumerate} \trait \subsection*{Production demandée } \begin{itemize} \item Présentation orale des premiers termes des suites puis du tableau des fréquences des 5 simulations; \item Calcul de $p(A_{2})$, de $p(A_{4})$ et de $p(A_{6})$; \item Justification de la méthode de calcul de $p(A_{n})$. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E071}{} \def\numero{071} \TITRE{Calcul approché d'une intégrale}{10 cm} \section*{Énoncé} On considère l'intégrale $I=\int_{0}^1 f(x)\dx$, où la fonction $f$ est définie, pour tout nombre \\ réel $x$, par $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$. $I$ est une intégrale dont on ne sait pas, en terminale S, calculer la valeur exacte. Le but de l'exercice consiste donc à en déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$. \begin{minipage}{11cm} Pour cela on convient d'appliquer une méthode dite des \<> et de partager l'intervalle $[0,1]$ en $n$ intervalles de même amplitude, $n$ étant un entier naturel non nul. \end{minipage}\begin{minipage}{5cm} \quad \end{minipage} %\subsection*{I -- Expérimentation} \begin{enumerate} \begin{minipage}{10cm} \item Dans cette question on donne à $n$ la valeur $4$. Quel encadrement de l'intégrale $I$ le dessin ci-contre suggère-t-il ? Quelle est l'amplitude de cet encadrement ? \medskip Faire calculer cet encadrement par la calculatrice ou le tableur. \end{minipage} \kern2mm \begin{minipage}{5cm}\vskip-16mm \psset{unit=4cm} \begin{pspicture}(-0.25,-0.1)(1.25,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.25,1.1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0)(0.25,0.94118) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0.94118)(0.25,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.25,0)(0.5,0.8) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.25,0.8)(0.5,0.94118) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.5,0)(0.75,0.64) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0.64)(0.75,0.8) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.75,0)(1,0.5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.75,0.5)(1,0.64) \psplot[linecolor=blue]{-0.25}{1.25}{1 x dup mul 1 add div} \uput[d](0.25,-0.04){0,25} \uput[d](0.5,-0.04){0,5}\uput[d](0.75,-0.04){0,75} \uput[l](-0.04,0.25){0,25} \uput[l](-0.04,0.5){0,5} \uput[l](-0.04,0.75){0,75} \psline(0,0.25)(-0.05,0.25) \psline(0,0.5)(-0.05,0.5) \psline(0,0.75)(-0.05,0.75) \end{pspicture} \end{minipage} \encadre{Appeler l'examinateur pour une vérification de l'encadrement trouvé.} \item On souhaite pouvoir généraliser, à $n$ entier naturel non nul quelconque, l'encadrement obtenu dans le cas où $n=4$. \begin{enumerate} \item Modifier l'organisation du calcul pour obtenir l'encadrement de $I$ et son amplitude dans le cas où $n=10$ puis où $n=20$. \encadre{Appeler l'examinateur pour une vérification de l'automatisation effectuée.} \item Conjecturer une valeur de $n$ à partir de laquelle l'encadrement de $I$ obtenu a une amplitude inférieure ou égale à $10^{-2}$. \encadre{Appeler l'examinateur pour lui indiquer la conjecture émise\\ et lui indiquer les méthodes envisagées pour la question suivante.} \end{enumerate} \item Proposer des éléments permettant de justifier que, pour la valeur trouvée en 2.(b), l'amplitude de l'encadrement est bien inférieure ou égale à $10^{-2}$. \end{enumerate} %\encadre{Appeler l'examinateur pour une vérification des éléments} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Encadrements de $I$ obtenus sur calculatrice ou tableur pour les valeurs de $n$ demandées. \item Stratégie de démonstration du résultat conjecturé à la question 2.(b). \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E072}{} \def\numero{072} \TITRE{Étude de deux lieux géométriques}{12cm} \vspace{-8mm} \section*{Énoncé} \vspace{-6mm} \begin{minipage}{9cm} On considère un tétraèdre $ABCD$ et un point $I$ quelconque du segment [$AB$]. \medskip Le plan parallèle au plan ($BCD$) passant par $I$ coupe la droite ($AC$) en $J$ et la droite ($AD$) en $K$. \medskip On désigne par $L$ l'isobarycentre des trois points $I$, $J$ et $K$. \medskip On considère le point $H$ projeté orthogonal du point $C$ sur la droite ($BL$). \medskip Le but de l'exercice est de déterminer le lieu géométrique du point $L$ ainsi que celui du point $H$, lorsque le point $I$ décrit le segment [$AB$]. \end{minipage} \begin{minipage}{8cm} \begin{pspicture}(8,8) %\psgrid \pspolygon(0,0)(7.5,0.5)(2.5,7.5)(3.5,3)%CBADC \psline(7.5,0.5)(3.5,3)%BD \psline(2.5,7.5)(0,0)%AC \uput[ur](2.5,7.5){A} \uput[r](7.5,0.5){B} \uput[l](0,0){C} \uput[ur](3.5,3){D} % \uput[ur](4,5.4){I} \psdots[dotstyle=o](4,5.4) \end{pspicture} \end{minipage} \vspace{-4mm} \subsection*{Expérimentation} \begin{numeros} \item Réaliser à l'aide d'un logiciel une figure géométrique correspondant à cette situation. \item Visualiser quelques positions du point $L$ pour des positions différentes du point $I$ sur le segment[$AB$].\\ \textsl{On aura intérêt à utiliser le mode \<> si cette fonction est disponible dans le logiciel utilisé.}\\ Quel semble être le lieu géométrique du point $L$ ? \encadre{Appeler l'examinateur pour une vérification de la conjecture faite.} \item Visualiser quelques positions du point $H$ pour des positions différentes du point $I$ sur le segment[$AB$]. Quel semble être le lieu géométrique du point $H$ ? \encadre{Appeler l'examinateur pour une vérification de la conjecture faite.} \end{numeros} \subsection*{Démonstrations} \begin{numeros}\item Démontrer une des deux conjectures émises. \end{numeros} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Obtention à l'écran de la figure demandée dans les questions 2 et 3. \item Une des stratégies de démonstration prévues pour répondre à la question 4. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E073}{} \def\numero{073} \TITRE{Étude du reste d'une division euclidienne}{12cm} \section*{Énoncé} % \section* au lieu de \section pour ne pas mnumeroter Pour tout entier naturel non nul $n$ on considère les deux nombres entiers $N=3n^2-n+1$ et $D=2n-1$. \bigskip Le but de l'exercice consiste à déterminer, suivant les valeurs de $n$, le reste de la division enclidienne de $N$ par $D$. \subsection*{Expérimentation} % si possible on utilise le codage des accents << a la tex >> \begin{numeros} \item Déterminer, à l'aide d'un logiciel, les valeurs du reste de la division euclidienne de $N$ par $D$, pour toutes les valeurs de $n$ comprises entre $1$ et $50$. \item Représenter graphiquement ce reste en fonction de $n$. \encadre{Appeler l'examinateur pour une vérification de la représentation obtenue.} \bigskip \item Conjecturer, suivant les valeurs de $n$, l'expression du reste de la division enclidienne de $N$ par $D$. \encadre{Appeler l'examinateur pour une vérification de la conjecture trouvée.} \end{numeros} \subsection*{Justifications} \begin{numeros} \item La conjecture formulée est-elle vraie ? Justifier. \end{numeros} \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Obtention à l'écran de la représentation demandée dans la question 2. de la partie I. \item La conjecture faite dans la question 3. de la partie I. \item La stratégie prévue pour valider ou invalider la conjecture faite. \end{itemize} \medskip \bigskip \Trait % Le trait final est plus long et a une majuscule %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E090}{} \def\numero{090} \TITRE{Étude de lieux géométriques}{10cm} \section*{Énoncé} Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct $\left( O ; \vec{u} , \vec{v}\right)$, on considère les points $A(1 ; 0)$ et $B(0 ; 1)$. À tout point $M$ du segment $[AB]$, on associe les points $P$ et $Q$, projetés orthogonaux respectifs de $M$ sur les droites $(OA)$ et $(OB)$, et les points $R$ et $S$, sommets du carré $PRQS$ de diagonale $[PQ]$ tels que $\left( \overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS}\right) =\dfrac{\pi}{2}$. On note aussi $I$ le milieu du segment $[PQ]$. Le but de l'exercice est d'étudier les lieux des points $R$ et $S$ lorsque $M$ décrit le segment $[AB]$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Réaliser une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. \vspace{0.3cm} \encadre{Appeler l'examinateur pour vérification de la figure.} \vspace{0.1cm} \item Visualiser les lieux des points $R$ et $S$ quand $M$ décrit le segment $[AB]$, puis émettre une conjecture sur la nature de ces lieux. \vspace{0.1cm} \encadre{Appeler l'examinateur pour vérification de la conjecture.} \vspace{0.1cm} \item Déterminer de manière expérimentale une équation du lieu du point $S$. \encadre{Appeler l'examinateur pour vérifier la réponse et expliquer\\ les manipulations effectuées.} \end{enumerate} \item Dans cette question, on se propose d'étudier ces conjectures en se plaçant dans le plan complexe. On appelle $x$ l'abscisse du point $M$, avec $x\in [0\,;\,1]$. \begin {enumerate} \item Montrer que l'affixe de $M$ est : $x+\text{i}(1-x)$. \item Déterminer l'affixe de $R$ ou celle de $S$. Justifier l'une des conjectures émises à la question 1. \end {enumerate} \end {enumerate} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Visualisation à l'écran de la figure ; \item Démarches et réponses argumentées pour les questions 2.(a) et 2.(b). \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E093}{} \def\numero{093} \TITRE{Triangle inscrit dans une courbe donnée}{12cm} \section*{Énoncé} Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O; \vec{i} , \vec{j} )$. On appelle $\mathscr{E}$ la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x} $.\medskip On désigne par $ a, b, c $ trois réels non nuls, deux à deux distincts, puis par $ A, B, C $ les points \\de $\mathscr{E}$ d'abscisses respectives $ a, b, c $. \\Le point $ H $ est l'orthocentre du triangle $ ABC $.\\ On appelle $\mathscr{C}$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$, son centre est le point $E$.\\ Le point $D$ est le symétrique du point $H$ par rapport à $O$. Le but de l'exercice est d'observer la position de certains points de la figure et d'étudier celle du point $H$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie. \encadre{Appeler l'examinateur pour lui montrer la figure construite.} \item Faire varier $a, b, c$ et émettre une ou deux conjectures concernant: \begin{itemize} \item la position du point $ H $; \item la position du point $D$. \end{itemize} \encadre{Appeler l'examinateur pour vérifier les conjectures.} \item À l'aide de manipulations appropriées, émettre une conjecture sur les ordonnées des points $D$ et $H$ en fonction de $a, b, c$, puis sur l'abscisse de $H$. \encadre{Appeler l'examinateur pour vérifier la conjecture.} \end{enumerate} \item Démontrer la conjecture émise sur les coordonnées du point $H$. \item Proposer une démarche permettant de démontrer la (ou les) conjecture(s) faite(s) pour le point $D$ (on ne demande pas les calculs mais uniquement le plan proposé). \end {enumerate} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Figure réalisée avec le logiciel de géométrie. \item Démarches et réponses argumentées pour les questions 2. et 3. \end{itemize} \Trait %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{E097}{} \def\numero{097} \TITRE{Solutions d'une relation de congruence}{12cm} \section*{Énoncé} Le but du problème est de déterminer tous les entiers naturels $n$ vérifiant la propriété $\mathscr{P}$: \<<$n^2+11$ est divisible par $n+11$\>>. %\subsection*{I. Étude expérimentale} \renewcommand{\[}{[\![} \renewcommand{\]}{]\!]} \begin{enumerate} \item En utilisant un tableur ou une calculatrice déterminer tous les entiers naturels $n$ inférieurs ou égaux à $121=11^2$ vérifiant la propriété $\mathscr{P}$. \encadre{Appeler l'examinateur, lui donner le résultat trouvé et expliquer la méthode utilisée.} %\subsection*{II. Étude théorique} \item On se propose, dans cette partie 2., de démontrer que tout entier naturel $n$ vérifiant la propriété $\mathscr{P}$ est inférieur ou égal à 121. \begin{enumerate} \item Pour tout $n$ entier naturel, calculer $a=n^2+11-(n+11)(n-11)$. \encadre{Appeler l'examinateur, lui donner la valeur trouvée pour $a$\\ et lui indiquer la méthode prévue pour résoudre la question 2.(b)} \item Démontrer que tout $n$ vérifiant la propriété $\mathscr{P}$ est inférieur ou égal à 121. \end{enumerate} \item Conclure en donnant l'ensemble des entiers naturels vérifiant la propriété $\mathscr{P}$. \end{enumerate} \trait \subsection*{Production demandée} \begin{itemize} \item Explications orales pour les questions 1. et 2.(a) et 3.; \item Réponse argumentée à la question 2.(b). \end{itemize} \Trait \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%% fichier \`a sauver sous le nom : PratiqueS.cls et \`a mettre dans le m\^eme dossier %%%%%%% pour pouvoir compiler le fichier .tex ci-dessus \def\PackageName{PratiqueS} \def\PackageVersion{0.1} \def\firstversion{27/09/2006} \def\filedate{27/09/2006} \def\docdate{27/09/2006} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} \def\fileversion{\PackageVersion} \ProvidesClass{\PackageName}[ \filedate \space Version:\space \PackageVersion \space ] \typeout{style Latex2e pour les exercices de l'\'epreuve pratique de maths de terminale S} \ProvidesFile{\PackageName.cls}[\filedate \space Version:\space \PackageVersion] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %=== Package loading \LoadClass[a4paper,12pt]{article} % On utilise frenchb (de babel) \RequirePackage[frenchb]{babel} % On charge les packages de maths \RequirePackage{amsfonts, amsmath, amssymb, mathrsfs} \RequirePackage[latin1]{inputenc} % et le package graphicx pour inclure les pdf comme des figures \RequirePackage{graphicx,pdfpages,eurosym} % et de mise en page %\RequirePackage{fancyhdr,enumerate} % Format de la mise en page (2cm sur les bords) \setlength{\hoffset}{-1.5cm} \setlength{\voffset}{-3cm} \setlength{\oddsidemargin}{2cm} \setlength{\evensidemargin}{1cm} \setlength{\topmargin}{1.5cm} \setlength{\headheight}{12pt} \setlength{\headsep}{5mm} \setlength{\textwidth}{17cm} \setlength{\footskip}{1cm} \setlength{\textheight}{25cm} %\pagestyle{} \parindent=0pt \parskip=3pt \everymath{\displaystyle} \def\<<{\og} \def\>>{\fg} \let\leq=\leqslant \let\geq=\geqslant \let\eps=\varepsilon % Le "bon" epsilon \let\vphi=\varphi % Le phi usuel \def\trait{\par\centerline{\hbox{\vrule height .4pt depth 0pt width 6cm}}} \def\Trait{\par\centerline{\hbox{\vrule height .4pt depth 0pt width 10cm}}} \font\tenbb=msbm10 at 12pt \font\eightbb=msbm10 at 10pt \font\sevenbb=msbm10 at 8pt \font\fivebb=msbm10 at 6pt \newfam\bbfam \textfont\bbfam=\tenbb \scriptfont\bbfam=\eightbb \scriptscriptfont\bbfam=\fivebb \def\bb{\fam\bbfam\tenbb} % LES ENSEMBLES DE NOMBRES N,Z,Q,R,C,... \def \Z {{\bb Z}} \def \R {{\bb R}} \def \C {{\bb C}} \def \N {{\bb N}} \def \Q {{\bb Q}} % Le titre de la situation \def\TIT#1{\textbf{\Large#1}} \long\def\TITRE#1#2{ \begin{center} \begin{tabular}{|p{#2}|} \hline %$\vphantom{.}$\\ \begin{center} \TIT{#1} \end{center}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \nobreak} \def\dt{\,\mathrm{d}\,t} \def\e{\mathrm{e}} \def\ii{\mathrm{i}} \long\def\encadre#1{ \medskip \begin{flushright} \begin{tabular}{|l|} \hline #1\\ \hline \end{tabular} \end{flushright} \medskip} %pour les tableaux \def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0pt} \def\TVI{\vrule height 16pt depth 9pt width 0pt} \def\tv{\tvi\vrule} \def\thor{\noalign{\hrule}} \def\centre#1{\kern .7em\hfill#1\hfill\kern .7em} % compteurs \newcounter{question} \newenvironment{numeros}{% \advance\@enumdepth \@ne \edef\@enumctr{enum\romannumeral\the\@enumdepth}\list {\csname label\@enumctr\endcsname}{\usecounter {\@enumctr}\def\makelabel##1{\hss\llap{\upshape##1}}} \setcounter{enumi}{\value{question}}}% {\setcounter{question}{\value{enumi}}\endlist} % style de page \newif\ifspec\specfalse \let\spe\spectrue \def\numero{000} \def\fiche{Descriptif} \def\nbpages{1} \newcommand{\ps@monstyle}{% \renewcommand{\@oddhead}{{\small Sujet \numero\hfill \'Epreuve pratique de math\'ematiques % \ifspec (sp\'ecialit\'e)\fi\hfill \fiche}}% \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\textrm{\thepage$\,/\,$\nbpages}\hfil}} \pagestyle{monstyle} %%%%%%%%%%%% fin PratiqueS.cls %%%%%%%%%