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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe 30 mars 2021 }}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe  Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]30 mars 2021 Épreuve 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

{\large \textbf{Notations.}

\medskip

$\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels, $\N^*$ l'ensemble des entiers naturels non nuls et $\R$ l'ensemble des nombres réels.

Pour $i$ et $j$ deux entiers naturels tels que $i \leqslant j,\,  \llbracket i~;~j\rrbracket$ désigne l'ensemble des entiers $k$ tels que $i \leqslant k \leqslant j$.

\bigskip

\begin{center}\textbf{\Large Partie A : étude des nombres harmoniques}\end{center}

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1, on définit le $n$-ième nombre harmonique par

\[H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2, 

\[\displaystyle\int_k^{k+1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{k} \leqslant \displaystyle\int_{k-1}^{k} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x.\]

\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, 

\[\ln(n + 1) \leqslant H_n \leqslant 1 + \ln (n).\]

\item  À l'aide de la relation précédente: 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(H_n\right)_{n \geqslant 1}$ diverge vers $+\infty$.
		\item Démontrer que

\[H_n \, \underset{+\infty}{\Huge \sim} \ln (n).\]

	\end{enumerate}
\item On considère désormais les suites $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ et $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ définies par

\[u_n = H_n - \ln (n),\qquad  v_n = H_n - \ln (n +1).\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que ces deux suites sont adjacentes.
		\item En déduire que ces deux suites convergent vers une même limite positive. Cette limite est notée $\gamma$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1,
		
\[0 \leqslant H_n - \ln (n) - \gamma \leqslant \ln \left(1 + \dfrac{1}{n} \right).\]

		\item Écrire en langage Python une fonction prenant comme argument un nombre réel $\epsilon$ strictement positif et renvoyant une valeur approchée de $\gamma$ à $\epsilon$ près. On suppose que l'on dispose de la fonction \texttt{math.log()} pour le logarithme népérien.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

%%%%%%%%% 2
\begin{center}\textbf{\Large Partie B : le problème de Bâle}\end{center}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1, on définit la suite $\left(B_n\right)_{n \geqslant 1}$ par

\[B_n= \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}.\]

Le problème de Bâle consiste en la détermination de la limite de la suite $\left(B_n\right)_{n \geqslant 1}$.

Ce problème a été résolu en 1741, par Léonhard Euler, qui a démontré que

\[\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2,

\[\dfrac{1}{k^2} \leqslant \dfrac{1}{k - 1} - \dfrac{1}{k}.\]

\item  Utiliser l'inégalité précédente pour démontrer que la suite $\left(B_n\right)_{n \geqslant 1}$ est convergente.

On explicitera le théorème de convergence utilisé.
\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul et tout réel $t \in [0~;~\pi]$, on pose

\[D_n(t) = 1 + 2 \displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(kt).\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul et tout réel $t \in [0~;~\pi]$,

\[\displaystyle\sum_{k=-n}^n \e^{\text{i}kt} = D_n(t).\]

		\item En déduire que, si $t \in ]0~;~\pi]$,

\[D_n(t) = \dfrac{\sin \left(\frac{2n + 1}{2}t \right)}{\sin \left(\dfrac{t}{2} \right)}.\]

		\item Calculer la valeur de $D_n(0)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par

\[f : \, t \longmapsto \left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{t}{\sin (t)}\, 	&\text{si}\,&t > 0 \\
1						&\text{si}\,&t= 0.
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f$ est continue sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
		\item Démontrer que $f$ est dérivable en $0$.
		\item Démontrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
	\end{enumerate}
%%%%%%%%%% 3

\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, à l'aide d'une double intégration par parties, que pour tout entier
naturel $k$ non nul,

\[\displaystyle\int_0^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t \right)\cos (kt)\:\text{d}t = \dfrac{1}{k^2}.\]

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul,

\[B_n  = \displaystyle\int_0^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t \right)\dfrac{D_n(t) - 1}{2}\:\text{d}t.\]

		\item Déterminer la valeur de
		
\[\displaystyle\int_0^{\pi} \left(t - \dfrac{t^2}{2\pi} \right)\:\text{d}t.\]

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
		
		\[\dfrac{\pi^2}{6} - B_n = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{\pi} \left(t - \dfrac{t^2}{2\pi} \right)D_n(t) \:\text{d}t.\]
		
		\item En déduire que, pour tout entier naturel non nul,
		
\[\dfrac{\pi^2}{6} - B_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \sin [(2n + 1)t]\:\text{d}t.\]
	
	\end{enumerate}

\item  Déterminer une fonction $g$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$telle que

\[\dfrac{\pi^2}{6} - B_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \sin [(2n + 1)t]\:\text{d}t.\]

\item  Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \sin[(2n + 1)t] \:\text{d}t  = 0.\]

\item En déduire la limite de la suite $\left(B_n\right)_{n\geqslant 1}$.

\begin{center}\textbf{\Large Partie C : les lois géométriques}\end{center}

\medskip

\item Démontrer que, pour tout $x \in ]-1~;~1[$,la série de terme général $x^k$ converge et que

\[\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \dfrac{1}{1 - x}.\]

\item  Justifier, pour tout  $x \in ]-1~;~1[$, les égalités suivantes:

\[\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} kx^{k-1} = \dfrac{1}{(1 - x)^2}, \qquad \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} k(k - 1)x^{k-2} = \dfrac{2}{(1 - x)^3}.\]

On citera précisément les théorèmes utilisés.
%%%%%%%  4
\item  Soit $p$ un réel appartenant à l'intervalle ]0~;~1[. Démontrer qu'on définit une loi de probabilité sur l'univers $\N^*$ en posant, pour tout $k \in \N^*$,

\[p_k = p(1- p)^{k-1}.\]

On rappelle qu'une variable aléatoire définie sur un univers $\Omega$ suit la loi géométrique
de paramètre $p$ si $X(\Omega) = \N^*$ et, pour tout entier $k \geqslant 1$,


\[ P(X= k)= p_k.\]

On note alors $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$.
\item  Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$.

Démontrer que $X$ admet une espérance, notée $\mathbb{E}(X)$, et une variance, notée $\mathbb{V}(X)$, vérifiant:

\[\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{p}, \qquad \mathbb{V}(X) = \dfrac{1 - p}{p^2}.\]

\item  Soient $X_1, \ldots ,X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que, pour tout $i \in  [1~;~n]$,\, $X_i \hookrightarrow \mathcal{G}(p_i)$, où $p_i \in  ]0~;~1[$.

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'espérance de la variable aléatoire $\displaystyle\sum_{i=1}^n  X_i = 1$ en fonction des $p_i$.
		\item Démontrer que, pour tout entier $n\geqslant 1$,
		
\[\mathbb{V}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n  X_i\right) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{p_i^2} - \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{p_i}.\]

	\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{\Large Partie D : inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev}\end{center}

\medskip

\item  Inégalité de Mar$k$ov

Soit $Y$ une variable aléatoire positive définie sur un univers $\Omega$, possédant une espérance notée $\mathbb{E}(Y)$.

Démontrer que, pour tout nombre réel $a$ strictement positif,

\[P(Y \geqslant a) \leqslant \dfrac{\mathbb{E}(Y)}{a}.\]

On pourra décomposer $Y(\Omega)$ sous la forme $Y(\Omega) = Y_1 \cup Y_2$, avec

\[Y_1= \{y \in  Y(\Omega), \, y \geqslant a\},\qquad  Y_2= \{y \in  Y(\Omega), \, y < a\}.\]

\item  Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers $\Omega$ possédant une espérance notée $\mathbb{E}(X)$et une variance notée $\mathbb{V}(X)$.

Démontrer que, pour tout nombre réel $a$ strictement positif,

\[P(|X - \mathbb{E}(X)|) \leqslant \dfrac{\mathbb{V}(X)}{a^2}.\]

%%%%%%%%%%%% 5
\begin{center}\textbf{\Large Partie E : le problème du collectionneur}\end{center}

\medskip

Dans cette partie, $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.

\medskip

Un fabricant de tablettes de chocolat propose à ses acheteurs de collectionner des vignettes.

Chaque tablette contient une vignette qui représente un animal que l'on découvre à l'ouverture de la tablette. Le nombre d'animaux différents représentés sur les vignettes est égal à $n$ et on suppose que ces animaux sont répartis de façon équiprobable entre les tablettes.

\medskip

Un collectionneur achète des tablettes jusqu'à obtenir l'ensemble de la collection, c'est-à-dire pour chacun des $n$ animaux au moins une vignette le représentant.

Soit $k \in [1~;~n]$. On note $T_k$ la variable aléatoire égale au nombre d'achats effectués par le collectionneur au moment où sa collection comporte pour la première fois $k$ animaux différents, éventuellement avec des doublons.

On note $Z_k$ le nombre d'achats effectués par le collectionneur entre le moment où sa collection comporte pour la première fois $k - 1$ animaux différents et le moment où sa collection comporte pour la première fois $k$ animaux différents.

\item  En utilisant les notations précédentes, désigner la variable aléatoire qui modélise le nombre d'achats nécessaires pour obtenir l'ensemble de la collection.
\item  Déterminer la loi de $T_1$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que $q$ est un entier supérieur ou égal à 2. Calculer la probabilité qu'un collectionneur obtienne toujours le même animal au cours de ses $q$ premiers achats.
		\item En déduire, pour tout $q \geqslant 1$,
		
		\[\mathbb{P}\left(T_2 > q \right) = \dfrac{1}{n^{q-1}}.\]
		
		\item En déduire la loi de $T_2$.
		\item On suppose que la collection contient $100$ animaux. Calculer le nombre minimal d'achats que le collectionneur doit effectuer pour que la probabilité d'obtenir deux animaux différents soit supérieure ou égale à $0,99$.
		\item Pour tout entier $k \in \llbracket 1~;~n\rrbracket$, justifier que

\[Z_k = \left\{\begin{array}{l c l}
T_1				&\text{si}&k= 1,\\
T_k - T_{k-1}	&\text{si}&k \geqslant 2.
\end{array}\right.\]

		\item En déduire, pour $k \geqslant 2$,une expression de $T_k$ en fonction des $Z_i$.
		\item Démontrer que $Z_k$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire l'espérance et la variance de $Z_k$.
		\item En déduire que

\[\mathbb{E}\left(T_n\right) = \displaystyle\sum_{k=1}^n  \dfrac{n}{k} = nH_n.\]

		\item Donner un équivalent de $\mathbb{E}\left(T_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
%%%%%%%%%% 6
\item  On admet que les variables aléatoires $Z_k$,\, $1 \leqslant k \leqslant n$, sont mutuellement indépendantes.

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\mathbb{V}\left(T_n\right)$ en fonction de $n,\, B_n$ et $H_n$.
		\item En déduire que $\mathbb{V}\left(T_n\right) \leqslant \dfrac{n^2\pi^2}{6}$.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout nombre réel $\lambda > 0$,

\[\mathbb{P}\left[\left|T_n - \mathbb{E}\left(T_n\right)\right| \geqslant \lambda n \ln n\right] \leqslant \dfrac{\pi^2}{6\lambda^2(\ln n)^2}.\]

\item  Déterminer un entier $n_0$ tel que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $n_0$,

\[\mathbb{P}\left(T_n \geqslant nH_n + n \ln n\right) \leqslant  0,01.\]
\end{enumerate}
\end{document}