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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mathématiques générales avancées}
\lfoot{\small{TeSciA}}
\rfoot{\small{session 25 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Évaluation ESciA  session 25 mars 2023~\decofourright\\[7pt]Mathématiques générales avancées  Épreuve 1}\\[7pt]Durée : 1h 30 min}

\medskip

\textbf{FONCTIONNEMENT DES QUESTIONS}
\end{center}

$\bullet~~$Les questions à \emph{choix multiples} sont numérotées M1, M2 etc. Le candidat y répond en \textbf{noircissant} la case correspondant à sa réponse dans la feuille-réponse $\square$.

Pour chacune de ces questions, il y a une et une seule bonne réponse.

Toute réponse fausse retire des points aux candidats.

Noircir plusieurs réponses à une même question a un effet de neutralisation (le candidat récoltera 0 point).

\medskip

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse brute} sont numérotées L1, L2, etc.

Elles ne demandent aucune justification : les résultats sont reportés par le candidat dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\triangle$. Tout débordement de cadre est interdit.

\medskip

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse rédigée} sont numérotées R1, R2, etc. Elles sont écrites dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\bigcirc$ ou la feuille-réponse $\triangle$, selon le symbole précédant le numéro de la question. Tout débordement de cadre est interdit.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{CONSEILS DE BON SENS}\end{center}

$\bullet~~$L'énoncé est (très) long: il n'est absolument pas nécessaire d'avoir tout traité pour avoir une note et un classement excellents.

$\bullet~~$Ne vous précipitez pas pour reporter vos réponses, notamment aux questions à choix multiples. Il est préférable d'avoir terminé un exercice avant d'en reporter les réponses.

$\bullet~~$Ne répondez jamais au hasard à une question à choix multiples !

$\bullet~~$Selon l'exercice, les questions peuvent être dépendantes les unes des autres ou non. Soyez attentifs à la variété des situations.

\newpage

\textbf{\Large Exercice 1. Calcul algébrique et analyse}

\medskip

$\square$ \textbf{M1} Pour tout choix du nombre réel $x$ différent de $-1$, la quantité $\dfrac{x^2}{x^2 + 1} - \dfrac{1}{x + 1}$ est égale à :

\medskip

\A  $\dfrac{x^3 + 1}{\left(x^2 + 1\right)(x + 1)}$

\B $\dfrac{x^2 - 1}{\left(x^2 + 1\right)(x + 1)}$

\C aucune des autres réponses

\D $\dfrac{x}{x+1}$

\E $\dfrac{x^3 - 1}{\left(x^2 + 1\right)(x + 1)}$

\medskip

$\square$ \textbf{M2} Pour tout choix du nombre réel $x$ différent de 0 et de $-1$, la quantité $\dfrac{x}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A {\footnotesize aucune des autres réponses}& \B $\dfrac{x^3}{x+1}$&\C $\dfrac{x+1}{x^2}$&\D $x$&\E $\dfrac{x}{x + 1}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M3} Pour tout choix du nombre réel $x$ différent de 0, 1 et $-1$, la quantité $\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac 2x$ est égale à :

\medskip

\A $\dfrac{2}{x\left(x^2 - 1\right)}$

\B  $\dfrac{- 2}{x\left(x^2 - 1\right)}$

\C  $\dfrac{2x + 2}{x(x + 1)(x - 1)}$

\D  $\dfrac{2x - 2}{x(x + 1)(x - 1)}$

\E $\dfrac{2}{x\left(x^2\right) - 1}$

\medskip

$\square$ \textbf{M4} L’équation $\dfrac{1}{x^2} = 5x$ d’inconnue réelle $x$ :

\medskip

\A a exactement deux solutions

\B n’a pas de solution

\C a exactement une solution

\D a une infinité de solutions

\E a au moins trois solutions, et un nombre fini de solutions

\medskip

$\square$ \textbf{M5} L’équation $\dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{3}{x - 1}$ a pour ensemble de solutions :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A l’ensemble vide &\B $\{- 2\}$&\C $\{- 1~;~1\}$&\D$\{3\}$&\E $\{0\}$
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

$\square$ \textbf{M6} L’équation $2x^2 - x + \dfrac19 = 0$ a pour solutions :

\medskip

\A $\dfrac34$ 

\B $\dfrac13$ et $\dfrac16$

\C 1 et 2

\D $- \dfrac12$ et $- \dfrac13$

\E aucune des autres réponses proposées

\medskip

$\square$ \textbf{M7} L’inéquation $x^3 > 8$ a pour ensemble de solutions :

\medskip

\A aucune des autres réponses proposées

\B $\left]-\infty~;~-2\right[ \cup  ]2~;~+\infty[$

\C $\left]-\infty~;~- 2\sqrt 2\right[ \cup  ]2\sqrt 2~;~+\infty[$

\D $\left]2\sqrt 2~;~ +\infty\right[$

\E $]2~;~+\infty[$

\medskip

$\square$ \textbf{M8} L’inéquation $x^2 - x - 1 < 0$ a pour ensemble de solutions :

\medskip

\A  $\left]- \infty~;~\dfrac{1 - \sqrt 5}{2}\right] \cup \left[\dfrac{1 + \sqrt 5}{2}~;~+ \infty\right[$

\B aucune des autres réponses proposées

\C $\left]- \infty~;~\dfrac{1 - \sqrt 5}{2}\right[\cup \left]\dfrac{1 + \sqrt 5}{2}~;~+ \infty\right[$

\D $\left[\dfrac{1 - \sqrt 5}{2}~;~ \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}\right]$

\E $\left]\dfrac{1 - \sqrt 5}{2}~;~ \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}\right]$

$\square$ \textbf{M9} La somme des solutions distinctes de l’équation $\sqrt{x^3 + x} = x \sqrt 2$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 23 &\B $2$&\C 0&\D$- 1$&\E 1
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

$\triangle \textbf{L1} $Donner sans justification l’ensemble des solutions de l’inéquation $\dfrac{1}{x + 1} > - 1$.

\medskip

$\square$ \textbf{M10}  Soit $x$ et $y$ deux nombres réels. Sachant que $x - y > y$ et $x + y < y$, on peut affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l l*{3}{X}}
\A $x < 0$ et $y < 0$ &\B $x < 0$ et $y > 0$&\C $y < x$&\D$x<y$&\E $x< y< 0$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M11 } Vrai ou faux ? L’inéquation $\e^x \geqslant  x^{\np{2023}} + 5$ a une infinité de solutions réelles.

\begin{center}\A Vrai\qquad  \B Faux\end{center}

\smallskip

$\square$ \textbf{M12 } Pour tout choix des nombres réels $x, y$, et $z$, le nombre $x^3 + y^3 + z^3$ est égal à :

\A~$3xyz + (x + y + z)\left(x^2 + y^2 +z^2 - xy - yz - zx\right)$

\B~$xyz+(x+y+z)\left(x^2 +y^2 +z^2 - xy - yz - zx\right)$

\C~$xyz+(x+y+z)\left(x^2 +y^2 +z^2 - xy - yz - zx\right)$

\D~$3xyz+(x+y+z)\left(x^2 +y^2 +z^2 - xy - yz - zx\right)$

\E~aucune des autres réponses proposées

\medskip

$\square$ \textbf{M13 } Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que l’égalité $\dfrac{35x - 29}{x^2 - 3x + 2} = \dfrac{a}{x -1}  + \dfrac{b}{x- 2}$ soit vraie pour tout réel $x$
différent de 1 et 2. Alors, $a + 2b$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $56$ &\B $- 14$&\C $- 23$&\D$88$&\E $76$
\end{tabularx}
\end{center}

$\triangle$ \textbf{L2} Donner sans justification les triplets $(x~;~y~;~z)$ d’entiers naturels non nuls vérifiant simultanément les relations

\[z^x =y^{2x},\quad  2^z = 2^x\quad  \text{et}\quad  x + y + z = 10.\]

$\square$ \textbf{M14 } Le nombre de solutions de l’équation $\e^x = x + 1$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $0$ &\B $4$&\C $3$&\D$2$&\E $1$
\end{tabularx}
\end{center} 

\smallskip

$\bigcirc$ \textbf{R1} Justifier votre réponse à la question \textbf{M14 }.

\newpage

\textbf{\Large Exercice 2. Géométrie dans l’espace}

\medskip

L’espace affine euclidien est rapporté à un repère orthonormal. On considère les quatre points

\begin{center}A$\left(1~;~1~;~\sqrt 6\right)$, B$\left(1~;~-1~;~\sqrt 6 - 2\right)$, C$\left(1+ \sqrt 6~;~0~;~1+ \sqrt 6\right)$ et D$\left(1 + \sqrt 6~;~-2~;~- 1+ \sqrt 6\right)$.\end{center}

$\triangle$ \textbf{L3} Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{AD}}$.

\medskip

$\bigcirc$ \textbf{R2} Justifier très brièvement que A, B, C, D sont coplanaires.

\medskip

$\triangle$ \textbf{L4} Expliciter un vecteur unitaire $\vect{n}$ orthogonal à la fois à $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

\medskip

$\square$ \textbf{M15 } Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. 

\begin{center}\A  Faux\qquad \B Vrai\end{center}

$\square$ \textbf{M16 } Le quadrilatère ABDC est un losange.

\begin{center}\A  Faux\qquad \B Vrai\end{center}

$\square$ \textbf{M17 } Le quadrilatère ABDC est un carré.

\begin{center}\A Vrai\qquad \B Faux\end{center}

\textbf{\large Un cube}

\medskip

On se donne un cube $\mathcal{C}$ de l’espace dont les faces ont la même aire que ABDC.

\medskip

$\square$ \textbf{M18 } Le volume du cube $\mathcal{C}$ est égal à:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $16\sqrt 2$ &\B $4\sqrt 6$&\C $6\sqrt 6$&\D$8^3$&\E $2\sqrt 6$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M19 } On considère la sphère dont le centre est le centre du cube $\mathcal{C}$ et qui passe par ses huit sommets. Le rayon de cette sphère est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $4$ &\B $2\sqrt 6$&\C $\sqrt 6$&\D$\sqrt 8$&\E $1$
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\textbf{\Large Exercice 3. Calculs de limites}

\medskip


$\square$ \textbf{M20 } La limite de $3x^6 -10x^2 +4$ quand $x$ tend vers $- \infty$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A est $- \infty$ &\B n’existe pas&\C est $+ \infty$&\D  est $3x^6$&\E est 4
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M21 } La limite de $\left(\dfrac 1x + x\right)\ln (x)$ quand $x$ tend vers 2: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A est finie et non nulle& \B est $+\infty$&\C   n’existe pas&\D est 0&\E est $- \infty$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M22 } La limite de $\dfrac{\e^x}{\e^{-x} - 1}$ quand $x$ tend vers $+\infty$  est

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A est $- \infty$&\B n’existe pas& \C est $+ \infty$&\D est finie et non nulle&\E est 0
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M23 } + La limite de $\dfrac{\ln(x)}{x}$ quand $x$ tend vers $0^{+}$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A est $+ \infty$&\B est $- \infty$&\C  n’existe pas&\D est finie et non nulle&\E est 0
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M24 } La limite de $\e^x - \e^{2x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A n’existe pas &\B est 0 &\C est $- \infty$&\D est finie et non nulle&\E est $+ \infty$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M25 } La limite de $\ln (3x + 1) - \ln (x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A est $- \infty$& \B n’existe pas  & \C est $+\infty$&\D est finie et non nulle &\E est 0
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M26 } La limite de $\dfrac{\ln (x) - x}{x^2}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ 
:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A est $+ \infty$& \B est 0& \C est $-\infty$&\D n’existe pas&\E est finie et non nulle
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M27 } La limite de $\dfrac{x^2 - 3x^3}{x^4\e^x - 1}$ quand $x$ tend vers $- \infty$:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A est $+ \infty$& \B est finie et non nulle& \C est 0&\D est $-\infty$&\E n’existe pas
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M28 }La limite de  $\dfrac{x^2\e^{2x} - \e^x \ln (x)}{1 + x^2\e^x}$ quand $x$ tend vers $- \infty$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A est $+ \infty$& \B est $-\infty$& \C est 0&\D n’existe pas&\E est finie et non nulle
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M29 }La limite de $\dfrac{x\e^x}{\sqrt{1+x^2} -1}$ quand $x$ tend vers $0^{+}$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A est $+ \infty$& \B est finie et non nulle& \C est $-\infty$&\D n’existe pas&\E est 0
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\triangle$ \textbf{L5} Donner sans justification la limite $\ell$ de $\dfrac{x\e^x}{\sqrt{1 + x} - 1}$ quand x tend vers $0^{+}$.

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 4. Calculs de dérivées}

\medskip

$\square$ \textbf{M30 } La dérivée de la fonction qui à $x$ associe $-\dfrac 1x + \ln (x)$ est la fonction qui à $x$ associe :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{x + 2}{x^2}$& \B $\ln (x) + \dfrac 1x$& \C $\dfrac 2x$&\D $\dfrac{x + 1}{x^2}$&\E $\dfrac{- 1 + x}{x^2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M31 } La dérivée de la fonction qui à $x$ associe $\left(x^2 + 1\right)\ln (x)$ est la fonction qui à $x$ associe :

\medskip

\A 2

\B $2x\ln (x) - 1$

\C 1

\D $2x\ln (x) + x + 1$

\E aucune des autres propositions indiquées

\medskip

$\square$ \textbf{M32 } La dérivée de la fonction qui à $x$ associe $\dfrac{2 + x}{2 - x}$ est la fonction qui à $x$ associe :

\medskip

\A $\dfrac{- 2x}{(2 - x)^2}$

\B aucune des autres propositions indiquées

\C $\dfrac{3 - 4x}{(2 - x)^2}$

\D $\dfrac{- 2}{(2 - x)^2}$

\E $\dfrac{4}{(2 - x)^2}$

\medskip

$\square$ \textbf{M33 } Sur $]2~;~+\infty[$, la fonction qui à $x$ associe $\dfrac{2 + x}{2 - x}$ est:

\begin{center}\A décroissante\quad  B croissante\quad \C ni croissante ni décroissante \end{center}

$\square$ \textbf{M34 } Sur $]- \infty~;~2[$, la fonction qui à $x$ associe $\dfrac{2 + x}{2 - x}$ est:

\medskip

\begin{center}\A ni croissante ni décroissante\qquad \B croissante  \quad \C décroissante
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M35 }Sur $]- \infty~;~2[ \cup ]2~;~+ \infty[$, la fonction qui à $x$ associe $\dfrac{2 + x}{2 - x}$ est :

\begin{center}\A décroissante\quad  \B croissante\quad  C ni croissante ni décroissante \end{center}
 

$\square$ \textbf{M36 } La dérivée de la fonction qui à $x$ associe $\ln \left(1 + x^2\right)$ est la fonction qui à $x$ associe :

\medskip

\A $\ln (2x)$

\B $\dfrac{2x}{1 + x^2}$

\C $\dfrac{1}{2x}$

\D $\dfrac{1}{1 + x^2}$

\E aucune des autres propositions indiquées

\medskip

$\square$ \textbf{M37 } La dérivée de la fonction qui à $x$ associe exp$\left(\e^x\right)$ est la fonction qui à $x$ associe :

\medskip

\A exp$\left(x + \e^x\right)$

\B exp$\left(x + \e^x - 1\right)$

\C exp$\left(\e^x\right)$

\D $\e^{2x}$

\E aucune des autres propositions indiquées

\medskip

$\square$ \textbf{M38 } La dérivée de la fonction qui à $x$ (réel strictement positif) associe
$\sqrt x \e^{\sqrt x}$ est la fonction qui à $x$ associe :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac 1x \e^{\frac{1}{2\sqrt x}}$& \B $\dfrac{1 + \sqrt x}{2\sqrt x}\e^{\sqrt x}$& \C $\dfrac{1}{2x\sqrt x}\e^{\sqrt x}$&\D $\dfrac{x + 1}{x}\e^{\sqrt x}$&\E $\dfrac 1x \e^{\sqrt x}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\triangle$  \textbf{L6} Donner une expression, la plus simplifiée possible, de la dérivée de la fonction qui à $x$ associe $\ln\left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{1 + 2x}}\right)$.
\newpage

\textbf{\Large Exercice 5. Probabilités}

\medskip

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2.

On lance un dé équilibré à $n$ faces numérotées de 1 à $n$.

On lance ensuite une pièce équilibrée autant de fois que le résultat obtenu lors du lancer de dé (par exemple, si le dé est tombé sur 3, on lancera 3 fois la pièce), puis on compte le nombre de fois que la pièce est tombée sur Pile.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le résultat du dé, et $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de \og Pile\fg{} obtenus.

Dans les questions $\square$ \textbf{M39 } à $\square$ \textbf{M44 }, on suppose $n = 2$.

On pourra s’aider d’un arbre de probabilité.

\medskip

$\square~$ \textbf{M39 } La variable aléatoire $Y$ prend les valeurs :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}p{3cm}}
\A 0,\: 1,\: 2& \B 0,\: 1& \C 0,\: 2&\D 1,\: 2 &\E aucune des autres réponses
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip


$\square~$ \textbf{M40 }Sachant que le dé est tombé sur 2, la probabilité d’obtenir deux \og Pile\fg{} lors des deux lancers vaut : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}p{3cm}}
\A $\dfrac12$&\B$\dfrac34$&\C$\dfrac13$ &\D$\dfrac14$& \E $\dfrac16$
\end{tabularx}
\end{center}


$\square~$ \textbf{M41 } $P(Y = 2)$ vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}p{3cm}}
\A $\dfrac16$&\B$\dfrac18$&\C$\dfrac12$ &\D$\dfrac14$& \E $\dfrac13$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square~$ \textbf{M42 } $P(Y = 0)$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}p{3cm}}
\A $\dfrac18$&\B$\dfrac14$&\C$\dfrac25$ &\D$\dfrac38$& \E $\dfrac{5}{12}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square~$ \textbf{M43 } $P(Y =1)$ vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}p{3cm}}
\A $\dfrac12$&\B$\dfrac{5}{12}$&\C$\dfrac56$ &\D$\dfrac34$& \E $\dfrac25$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square~$ \textbf{M44 }L’espérance de $Y$ est égale à :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}p{3cm}}
\A $\dfrac58$&\B$\dfrac34$&\C$\dfrac45$ &\D$2$& \E $1$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

On revient au cas général, où $n$ est quelconque et supérieur ou égal à 2. 

\medskip

$\square~$ \textbf{M45 } $P(Y =0)$ vaut:

\medskip

\A $\dfrac 1n\left(\dfrac12 + \dfrac13 + \ldots + \dfrac 1n \right)$  

\B $1 - \dfrac{1}{2^n}$

\C aucune des autres valeurs proposées

\D $\dfrac1n\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)$

\E $\dfrac{1}{2n}$

\medskip

$\square~$ \textbf{M46 } Pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$, la probabilité $P(Y = k)$ vaut :

\medskip

\A $\dfrac{1}{2^n}\left[\binom{k}{k} + \binom{k+1}{k} +  \ldots + \binom{n}{k}\right]$ 

\B $\dfrac 1n \binom{n}{k}\dfrac{1}{2^n}$

\C $\dfrac{1}{n2^n}\left[\binom{k}{k} + \binom{k+1}{k} + \ldots + \binom{n}{k}\right]$ 

\D $\binom{n}{k}\dfrac{1}{2^n}$

\E $\dfrac{1}{n}\left[\dfrac{1}{2^k}\binom{k}{k} + \dfrac{1}{2^{k+1}}\binom{k+1}{k} + \ldots + \dfrac{1}{2^n}\binom{n}{k}\right]$

\newpage

\textbf{\Large Exercice 6. Étude d’une suite récurrente}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{1 + u_n + \left(u_n\right)^2} - \dfrac12$  pour tout entier naturel $n$. 

On définit aussi une suite $v$ par la relation $v_n = \left(u_n\right)^2 + u_n$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip

$\square~$ \textbf{M47 } Vrai ou faux ? On a $u_n \geqslant  - \dfrac12$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai\end{center}

\medskip

$\square~$ \textbf{M48 } Laquelle des assertions suivantes est vraie ?

\A La suite $\left(v_n\right)_{n\geqslant 0}$ n’est ni arithmétique ni géométrique

\B La suite $\left(v_n\right)_{n\geqslant 0}$ est géométrique de raison $-\dfrac12$

\C La suite $\left(v_n\right)_{n\geqslant 0}$ est géométrique de raison $\dfrac12$

\D La suite $\left(v_n\right)_{n\geqslant 0}$ est arithmétique de raison $\dfrac34$

\E La suite $\left(v_n\right)_{n\geqslant 0}$ est arithmétique de raison $- \dfrac34$

\medskip

$\square~$ \textbf{M49 } Pour tout entier naturel $n$ :

\medskip


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $v_n = \dfrac{3n}{4} +2$&\B$v_n = \dfrac{1}{2^{n-1}}$&\C$v_n = \dfrac{3n}{4} + 1$ &\D $v_n = \dfrac{3n}{4}$& \E $v_n = \dfrac{1}{2^{n}}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square~$ \textbf{M50 } Pour tout entier naturel $n$ :

\medskip

\A $u_n = \dfrac{-1 - \sqrt{9 + 3n}}{2}$

\B $u_n = \dfrac{-1 - \sqrt{1+3n}}{2^n}$

\C $u_n = \dfrac{-1 + \sqrt{9 + 3n}}{2}$

\D $u_n = \dfrac{-1 + \sqrt{\dfrac{3n}{4} + 2}}{2}$

\E $u_n = \dfrac{-1 + \sqrt{\dfrac{3n}{4}}}{2^n}$

\medskip

$\square~$ \textbf{M51 } La suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ :

\begin{center} \A n’est ni croissante ni décroissante\quad \B est croissante\quad  \C
est décroissante \end{center}

\medskip

$\square~$ \textbf{M52 }La limite de $u$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A vaut 1&\B vaut $+ \infty$&\C vaut $\dfrac12$ &\D vaut $- \infty$& \E vaut 0
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Dans la suite de l’énoncé, on se donne une suite réelle $\left(a_n\right)_{n\geqslant 0}$ quelconque ainsi qu’un réel $\alpha$ quelconque. Si possible, on définit une suite $\left(b_n\right)_{n\geqslant 0}$ par la condition initiale $b_0 = \alpha$ et la relation de récurrence :

\begin{center} $b_{n+1} = \sqrt{a_n + b_n + \left(b_n\right)^2}  - \dfrac 12$,\: pour tout entier naturel\: $n$.\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M53} Parmi les conditions suivantes sur $\left(a_n\right)_{n\geqslant 0}$, une ou plusieurs garantissent que $\left(b_n\right)_{n\geqslant 0}$ est définie quel que soit le choix de $\alpha$. Précisez, parmi elles, celle qui est la moins contraignante sur $\left(a_n\right)_{n\geqslant 0}$.

\medskip

\A $a_n \geqslant 0$ pour tout $n \in \N$

\B $a_n \geqslant 21$ pour tout $n \in \N$

\C $a_n \leqslant0$ pour tout $n \in \N$

\D $a_n \geqslant \dfrac14$ pour tout $n \in \N$

\E $a_n \geqslant \dfrac34$ pour tout $n \in \N$

\medskip

$\square$ \textbf{M54}  Parmi les conditions suivantes sur $\left(a_n\right)_{n\geqslant 0}$, une ou plusieurs garantissent que $\left(b_n\right)_{n\geqslant 0}$ est définie et positive quel que soit le choix d’un $\alpha$ positif. Précisez, parmi elles, celle qui est la moins contraignante sur $\left(a_n\right)_{n\geqslant 0}$.

\medskip

\A $a_n \geqslant \dfrac14$ pour tout $n \in \N$

\B $a_n \geqslant 0$ pour tout $n \in \N$ 

\C $a_n \geqslant \dfrac12$ pour tout $n \in \N$ 

\D $a_n \geqslant 0$ pour tout $n \in \N$ 

\E $a_n \geqslant \dfrac34$ pour tout $n \in \N$

\medskip

$\square$ \textbf{M55}  Parmi les conditions suivantes sur $\left(a_n\right)_{n\geqslant 0}$, une ou plusieurs garantissent que $\left(b_n\right)_{n\geqslant 0}$ est définie et positive à partir du rang 1 quel que soit le choix de $\alpha$. Précisez, parmi elles, celle qui est la moins contraignante sur $\left(a_n\right)_{n\geqslant 0}$.

\medskip

\A $a_n \leqslant 0$ pour tout $n \in \N$

\B $a_n \geqslant \dfrac34$ pour tout $n \in \N$

\C $a_n \geqslant \dfrac14$ pour tout $n \in \N$

\D $a_n \geqslant 0$ pour tout $n \in \N$

\E $a_n \geqslant \dfrac12$ pour tout $n \in \N$

\medskip

On suppose désormais que $\left(b_n\right)_{n\geqslant 0}$ est bien définie. On suppose en outre que $\left(a_n\right)_{n\geqslant 0}$ converge vers 1. On pose 

\[c_n = b_n + \left(b_n\right)^2 \:\text{pour tout entier naturel}\: n.\]

$\square$ \textbf{M56} Vrai ou faux ? On peut affirmer que $c_{n+1} \geqslant c_n + \dfrac34$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{center} \A Faux\quad  \B Vrai\end{center}

$\square$ \textbf{M57} Vrai ou faux ? On peut affirmer que $c_{n+1} \geqslant c_n + \dfrac12$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{center} \A Faux\quad  \B Vrai\end{center}

$\square$ \textbf{M58} Vrai ou faux? On peut affirmer qu’il existe un entier $n_0 \geqslant 0$ tel que $c_{n+1} \geqslant c_n + \dfrac34$ pour tout entier $n \geqslant n_0$.

\begin{center} \A Faux\quad  \B Vrai\end{center}

$\square$ \textbf{M59} Vrai ou faux? On peut affirmer qu’il existe un entier $n_0 \geqslant 0$ tel que $c_{n+1} \geqslant c_n + \dfrac12$ pour tout entier $n \geqslant n_0$.

\begin{center} \A Faux\quad  \B Vrai\end{center}

\medskip

$\bigcirc$ \textbf{R3} À l’aide des résultats (corrects) établis à ce stade, déterminer la limite de la suite $\left(b_n\right)_{n\geqslant 0}$.

\newpage

\textbf{\Large Exercice 7. Dérivées successives}

\medskip

Soit $f$ une fonction de variable réelle, définie sur un intervalle $I$ de $\R$.

Pour un nombre entier naturel non nul $n$, on définit, lorsque c’est possible, la dérivée $n$-ième de $f$ comme la fonction $f^{(n)}$ obtenue au bout du procédé de construction par récurrence finie qui suit :

$f^{(1)} = f'$ et $f^{(k)} = \left(f^{(k-1)}\right)'$ pour tout $k$ compris entre 2 et $n$.

Par exemple, lorsque $f^{(2)}$ est définie elle est égale à la dérivée seconde $f''$ de $f$. La dérivée troisième de $f$ est définie si et seulement si $f''$ est définie et dérivable, auquel cas $f^{(3)} = \left(f''\right)'$. Et caetera.

Quoi qu’il arrive, on considère que la dérivée 0-ième de $f$ est la fonction $f^{(0)} = f$.

\medskip

$\square$ \textbf{M60} 
La dérivée troisième de la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~1[$ par $f(x) = 3 \ln(1 - x)$ est la fonction qui à $x$ associe :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{-6}{(1 - x)^3}$&\B $\dfrac{6}{(1 - x)^2}$&\C $\dfrac{6}{(1 - x)^3}$&\D $\dfrac{3}{(1 - x)^3}$&\E $\dfrac{2}{(1 - x)^3}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M62} Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. La dérivée seconde de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^n$ est la fonction qui à $x$ associe :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{>{\small}X}}
\A $n^2x^{n-2}$& \B $n(n+1)x^{n-2}$&\C $n(n-1)x^{n-2}$& \D $n^2x^{n-1}$& \E $\left(n^2 - 1\right)x^{n-2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Une suite particulière de polynômes}

\medskip

Dans cette dernière partie, on considère la fonction $f$ qui à tout réel $x$ associe $f(x) = \e^{-x^2}$.  On admet que pour tout $n \in \N^*$, la fonction $f^{(n)}$ est définie et qu’il existe une fonction polynomiale $H_n$ telle que .

\[f^{(n)}(x) = H_n(x) \e^{-x^2} \quad \text{pour tout réel} \: x\]

$\triangle$ \textbf{L7} Donner une expression de $H_{n+1}(x)$ en fonction de $H_n$.

\medskip

$\square$ \textbf{M62} Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1. La dérivée $n$-ième de la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^n$ est la fonction qui à $x$ associe :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $(n + 1)!$& \B $n(n-2)!$& \C $(n - 1)!x$& \D 0 &\E $n!$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M63} Soit $n$ un entier naturel. La dérivée $(n + 1)$-ième de la fonction $f$ définie sur $]-\infty~;~1[$ par $f(x) = - \ln(1 - x)$ est la fonction qui à $x$ associe :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l*{4}{X}}
\A $\dfrac{n!}{(1 - x)^n}$& \B $\dfrac{(-1)^nn!}{(1 - x)^{n+1}}$& \C $\dfrac{n!}{(1 - x)^{n+1}}$&\D $\dfrac{(-1)^n (n + 1)!}{(1 - x)^{n+1}}$ &\E $\dfrac{(n + 1)!}{(1 - x)^{n+1}}$
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Fonctions polynomiales}

\medskip

On dit qu’une fonction $g$ de $\R$ dans $\R$ est \textbf{‘polynomiale de degré} \boldmath $n$ \unboldmath lorsqu’il existe des réels fixes $a_0, \ldots, a_n$, avec $a_n \ne  0$, tels que $g$ associe à tout réel $x$ le réel $a_0 + a_1 + \ldots + a_kx^k +\ldots + a_nx^n$.

On convient également que la fonction identiquement nulle est polynomiale (mais sans degré).

Par exemple, la fonction qui à $x$ associe 2 est polynomiale de degré 0 ; la fonction qui à $x$ associe $4x^3 - x$ est polynomiale de degré 3.

\medskip

$\square$ \textbf{M64} Si $g$ est polynomiale de degré $n$ alors :

\medskip

\A $g(k)$ est polynomiale de degré $n - k$ pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$

\B $g(k)$ est polynomiale de degré $n + 1 - k$ pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n + 1$

\C $g(k)$ est polynomiale de degré $n - k$ pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n + 1$

\D aucune des autres propositions indiquées n’est systématiquement vraie

\E $g(k)$ est polynomiale de degré $n + 1 - k$ pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$

\medskip

$\square$ \textbf{M65} La fonction exponentielle est-elle polynomiale ?

\begin{center} \A Non\quad  \B Oui\end{center}

\medskip

$\triangle \textbf{R4}$ Justifier la réponse à la question \textbf{M65} en s’appuyant sur le résultat de la question \textbf{M64}.

\medskip

\textbf{\large Comptage de zéros}

\medskip

On admet que les trois résultats suivants valent pour toute fonction dérivable $f$ de $\R$ dans $\R$ :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item étant donné deux réels $a$ et $b$ tels que $a < b$ et $f(a) = f(b) = 0$, la fonction $f'$ s’annule au moins une fois dans l’intervalle $]a~;~b[$ ;
\item étant donné un réel $a$ tel que $f(a) = \displaystyle\lim_{+ \infty}f = 0$, la fonction $f'$ s’annule au moins une fois dans l’intervalle $]a~;~+ \infty[$ ;
\item étant donné un réel $a$ tel que $f(a) = \displaystyle\lim_{- \infty} f = 0$, la fonction $f'$ s’annule au moins une fois dans l’intervalle $]- \infty~;~a[$.
\end{itemize}

\medskip

$\square$ \textbf{M66} Soit $f$ une fonction dérivable de $\R$ dans $\R$, et $p$ un entier naturel non nul. On suppose que $f$ s’annule en au moins $p$ nombres réels.

Parmi les conclusions suivantes, laquelle est la plus forte que l’on puisse obtenir en général grâce aux résultats admis ?

\medskip

\A aucune des autres conclusions proposées n’est vraie

\B $f'$ s’annule en au moins $p$ nombres réels

\C $f'$ s’annule en au moins $p + 1$ nombres réels

\D $f'$ s’annule en au moins $p - 1$ nombres réels

\medskip

$\square$ \textbf{M67} Soit $f$ une fonction dérivable de $\R$ dans $\R$, et $p$ un entier naturel non nul. On suppose, pour un certain entier $n > 0$, que $f$ admet une dérivée $n$-ième. On suppose enfin que $f$ s’annule en au moins $p$ nombres réels.

Parmi les conclusions suivantes, laquelle est la plus forte que l’on puisse obtenir en général ?

\medskip

\A $f^{(n)}$ s’annule en au moins $p + n$ nombres réels

\B $f^{(n)}$ s’annule en au moins $p$ nombres réels

\C $f^{(n)}$ s’annule en au moins $p - n$ nombres réels

\D aucune des autres conclusions proposées n’est vraie

\medskip

$\triangle$ \textbf{R5} Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$, supposée polynomiale de degré $n > 0$. En combinant plusieurs résultats antérieurs, démontrer brièvement que $f$ s’annule en au plus $n$ réels.

\medskip

\textbf{\large Une suite particulière de polynômes}

\medskip


Dans cette dernière partie, on considère la fonction $f$ qui à tout réel $x$ associe $f(x) = \e^{-x^2}$. On admet que pour tout $n \in \N^{*}$, la fonction $f^{(n)}$ est définie et qu’il existe une fonction polynomiale $H_n$ telle que


\[f^{(n)}(x) = H_n(x)\e^{-x^2}\:\quad  \text{pour tout réel}\: x.\]

\smallskip

$\triangle$ \textbf{L7} Donner une expression de $H_{n+1}(x)$ en fonction de $H_n(x)$.

\medskip

$\square$ \textbf{M68} Pour tout entier $n \geqslant 1$, la fonction $H_n$ est polynomiale de degré :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}p{3cm}}
\A $2n - 1$& \B $2^{n-1}$& \C $n$&\D 0 &\E {\footnotesize aucune des autres réponses proposées}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

On admet que $f^{(n)}$ tend vers 0 en $+ \infty$ et en $- \infty$, pour tout $n \geqslant 1$.

\medskip

$\square$ \textbf{M69} En appliquant par récurrence les principes admis avant la question \textbf{M66}, la conclusion la plus forte que l’on puisse en tirer est que, pour tout $n \geqslant  1$ :

\medskip

\A $f^{(n)}$ s’annule au moins $2n$ fois

\B $f^{(n)}$ s’annule au moins $n$ fois

\C aucune des autres propositions n’est vraie

\D $f^{(n)}$ s’annule au moins $n - 1$ fois

\E $f^{(n)}$ s’annule au moins $2^{n-1}$ fois

\medskip

$\square$ \textbf{M70} Au vu de tout ce qui précède, on peut conclure que :

\medskip

\A $f^{(n)}$ s’annule exactement $2^{n-1}$ fois

\B $f^{(n)}$ s’annule exactement $2n - 1$ fois

\C $f^{(n)}$ s’annule exactement $n$ fois

\D aucune des autres propositions n’est vraie

\E $f^{(n)}$ s’annule exactement $n - 1$ fois

\newpage

\textbf{\Large Exercice 8. Géométrie plane}

\medskip

Dans tout l’exercice, dont les parties sont indépendantes les unes des autres, on se place dans un plan euclidien.

\medskip

\textbf{\large Triangles}

\medskip

$\square$ \textbf{M71} Soit $a,\: b,\: c$ trois nombres réels strictement positifs. Pour qu’il existe un triangle non aplati dont les longueurs
des côtés sont $a, b$ et $c$, il est nécessaire et suffisant que :

\medskip

\A $c < b + a$ et $b < a + c$

\B $c< a + b$ si on suppose d’emblée que $c \geqslant a$ et $c \geqslant b$

\C aucune des autres réponses proposées

\D $a < b + c$  et $b < a + c$

\E $a < b < c$

\medskip

$\square$ \textbf{M72}  Combien existe-t-il d’entiers $n > 0$ tels qu’il existe un triangle non aplati dont les longueurs des côtés soient $\ln(12), \:\ln(75)$ et $\ln (n)$ ?

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 93& \B 900& \C 94&\D Une infinité &\E 893 degrés
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M73}  Combien existe-t-il d’entiers $n > 0$ tels qu’il existe un triangle non aplati dont les longueurs des côtés soient
$\ln(12),\: \ln(54)$ et $\ln (n)$ ?

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A Une infinité& \B 645& \C 644&\D 646  &\E 643
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Polygones}

\medskip

On se donne ici un polygone $P$ à 18 sommets. On le suppose convexe, c’est-à-dire que la mesure de n’importe lequel de ses angles intérieurs est inférieure à 180 degrés.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(7,6)
%\psgrid
\pspolygon(0,3.4)(0.4,3.8)(0.5,4.1)(0.9,5)(1.4,5.4)(2,6)(2.6,5.5)(4,5)(4.6,4.4)(5.3,4)(6,3.8)(7,3.2)(6.5,3)(6,2.5)(5,2.2)(4,2)(3,1.5)(0.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M74} La moyenne des mesures des angles intérieurs au polygone $P$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 180 degrés& \B 170  degrés& \C 165 degrés&\D 160 degrés &\E 170 degrés
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M75} On suppose que les mesures des angles intérieurs à $P$ forment une suite arithmétique. Quelle valeur ne peut \emph{pas} prendre la plus petite de ces mesures ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 130 degrés& \B 145 degrés& \C 150 degrés&\D 155 degrés &\E 159 degrés
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M76} On suppose que les mesures (calculées en degrés) des angles intérieurs à P forment une suite arithmétique à termes entiers.

Quelle valeur ne peut \emph{pas} prendre la plus petite de ces mesures ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 146 degrés& \B 147  degrés& \C 143 degrés&\D 145 degrés &\E 144 degrés
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Figures}

\medskip

$\triangle$ \textbf{L8} On considère un carré ABCD. Soit E un point de [A, D] et F un point de [B, C] tels que 
\[\text{BE = EF = FD} = 30.\]

Que vaut l’aire du carré ABCD ?

\medskip

$\triangle$ \textbf{L9}  On considère un carré ABCD de côté 5. Soit E et F deux points extérieurs au carré tels que BE = DF = 3 et AE = CF = 4. Que vaut EF ?
\end{document}