\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Terminale S} \lfoot{\small{Concours à l'entrée de l'école de santé\\ Lyon--Bordeaux}} \rfoot{\small{12 avril 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé des armées 12 avril 2019~\decofourright}}} \medskip Durée: 1 heure 30 minutes \qquad Coefficient: 2 \end{center} \vspace{0,25cm} \begin{center} \textbf{Avertissements} \end{center} \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[\textbullet~~] L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, n'est pas autorisée. \item[\textbullet~~] Les candidats traiteront les trois exercices. \item[\textbullet~~] Les réponses des exercices 1 et 2 (QCM) seront données sur la grille prévue à cet effet. \item[\textbullet~~] L'exercice 3 sera traité sur une copie à part. \item[\textbullet~~] Il ne sera pas fait usage d'encre rouge. \item[\textbullet~~] La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte dans l'évaluation. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{EXERCICE 1 \hfill 6 points} \medskip \emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations {\rm A}, {\rm B}, {\rm C} ou {\rm D} est exacte.\\ On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\ Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.} \medskip \textbf{QCM 1} \medskip $\dfrac{\left(\text{e}^2 \right)^4 \times \sqrt{\text{e}^6}} {\text{e}^5 \times \sqrt{\text{e}^{12}}} =$ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} 0&\textbf{B.~~} 1& \textbf{C.~~} e& \textbf{D.~~} $\text{e}^{-2}$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{QCM 2} \medskip L'inéquation $|\ln x| > 0$ a pour solution \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~}$]0~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$&\textbf{B.~~} $]1~;~+ \infty[$& \textbf{C.~~} $]0~;~1[$& \textbf{D.~~} $]0~;~+ \infty[$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{QCM 3} \medskip Dans une université de médecine où la moitié des étudiants travaille sérieusement, 60\,\% des élèves sont reçus au concours de fin d'année. De plus, parmi ceux qui travaillent sérieusement, 90\,\% réussissent le concours. Quelle est la probabilité qu'un étudiant réussisse le concours sachant qu'il n'a pas travaillé sérieusement ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} 0,3&\textbf{B.~~} 0,15& \textbf{C.~~} 0,01& \textbf{D.~~} $0,505$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{QCM 4} \medskip On pose $z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Alors $z^2$ est égal à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $z^3$&\textbf{B.~~} $\dfrac{1}{z}$& \textbf{C.~~}$1 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\textbf{D.~~} $- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{QCM 5} \medskip $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x} (\ln x)^2\:\text{d}x = $ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $(\ln 2)^3$&\textbf{B.~~} $\ln 2^3$& \textbf{C.~~} $\dfrac{(\ln 2)^3}{3}$&\textbf{D.~~} $- \dfrac{1}{2^3}$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{QCM 6} \medskip La durée d'efficacité d'un médicament, en heures, peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle. Quel est le paramètre $\lambda$ de cette loi sachant que $P(X \geqslant 20) = 0,3$? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $- \dfrac{\ln 0,7}{20}$& \textbf{B.~~} $\dfrac{\ln 0,3}{20}$& \textbf{C.~~}$-\dfrac{\ln 0,3}{20}$&\textbf{D.~~} $20\ln (0,3)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \bigskip \textbf{EXERCICE 2 \hfill 6 points} \medskip \emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations {\rm A}, {\rm B}, {\rm C} ou {\rm D} est exacte.\\ On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\ Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point.\\ Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.} \bigskip \textbf{QCM 7} \medskip L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left(\text{e}^x -1\right)\left(1- x^2\right) \geqslant 0$ est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~}$]- \infty~;~-1] \cup [0~;~1]$&\textbf{B.~~}$[-1~;~ 0] \cup [1~;~+\infty[$& \textbf{C.~~} [0~;~1]&\textbf{D.~~}$[- 1~;~1]$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{QCM 8} \medskip La fonction dérivable sur $\R$ et définie par $f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^{2x} + 1}$ a pour dérivée : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $f'(x) = \dfrac{4\text{e}^{4x} - 1}{\left(\text{e}^{2x} + 1\right)^2}$&\textbf{B.~~} $f'(x) = \dfrac{- 4\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^{2x} + 1\right)^2}$& \textbf{C.~~} $f'(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^{2x} + 1\right)^2}$&\textbf{D.~~} $f'(x) = \dfrac{4\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^{2x} + 1\right)^2}$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{QCM 9} \medskip La fonction $f$ est définie sur $\R\backslash\{1\}$ par $f(x) = \text{e}^{\frac{x}{1 - x}}$. Laquelle de ces propositions est exacte ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$&\textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \text{e}^{-1}$&\textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1\\ x < 1}} f(x) = 0$&\textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1\\ x > 1}} f(x) = + \infty$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{QCM 10} \medskip La suite $\left(u_n\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1}&=&\ln \left(1 + u_n\right)\\ u_0&=&1 \end{array}\right.$ est \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} croissante& \textbf{B.~~} décroissante& \textbf{C.~~} convergente vers e & \textbf{D.~~}\parbox[t]{2.5cm}{divergente vers $- \infty$} \end{tabularx} \end{center} \textbf{QCM 11} \medskip On lance trois fois un dé équilibré, la probabilité d'obtenir exactement 2 fois le chiffre 6 est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $\dfrac{1}{6^2}$& \textbf{B.~~} $\dfrac{15}{6^3}$& \textbf{C.~~} $\dfrac{5}{6^3}$& \textbf{D.~~} $\dfrac{2}{6^3}$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{QCM 12} \medskip L'équation $x^2\ln 2 = x^3 \ln 3$ a pour solution : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $\left\{0~;~\ln \dfrac{2}{3}\right\}$& \textbf{B.~~} $\left\{0~;~\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\right\}$& \textbf{C.~~} $\left\{\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\right\}$& \textbf{D.~~} $\left\lbrace 0\mathstrut\right \rbrace$ \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{EXERCICE 3 \hfill 8 points} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip Dans un pays une maladie virale est transmise d'un être humain à un autre par un insecte infecté. Un test a été mis en place pour le dépistage de ce virus. On sait que : $\bullet~~$ La probabilité qu'une personne atteinte par le virus ait un test positif est de $0,98$ $\bullet~~$ La probabilité qu'une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de $0,01$. \smallskip On procède à un test de dépistage systématique dans la population de ce pays. Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle: $\bullet~~$ $M$ l'évènement : \og l'individu est atteint par le virus \fg ; $\bullet~~$ $T$ l'évènement : \og Le test de l'individu choisi est positif \fg. On notera, $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$ et $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$. On notera $p$ la proportion de personnes atteintes par le virus dans la population. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P(T)$. \item Démontrer que la probabilité de $M$ sachant $T$ est donnée par la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par $f(p) = \dfrac{98p}{97p+1}$. \item Étudier les variations de $f$. \item On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit réellement atteinte par le virus est supérieure ou égale à $0,95$. À partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable ? Donner la valeur de $p$ sous forme de fraction irréductible. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip Dans toute la partie B, un institut sanitaire estime que la probabilité qu'une personne soit atteinte par le virus est $0,15$. On choisit $100$ individus au hasard dans cette population. Les tirages sont indépendants. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui, aux $100$ individus choisis, associe le nombre de personnes atteintes par le virus. Déterminer la loi de probabilité $X$. \item Dans l'échantillon précédent, on dénombre $20$ personnes atteintes par le virus. Quelle conclusion peut-on tirer à propos de la valeur $p = 0,15$ au seuil de 95\,\% ? \emph{Aide au calcul}: $1,96 \times \displaystyle\sqrt{0,15 \times 0,85} \approx 0,70$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C} \medskip Dans cette partie, on suppose $p$ inconnue. On choisit 100 individus au hasard dans la population. Les tirages sont indépendants. On dénombre 20 personnes atteintes par le virus. Donner un intervalle de confiance de $p$ au seuil de 95\,\%. \bigskip \textbf{PARTIE D} \medskip Le temps d'incubation en heures du virus peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale de moyenne $20$ et d'écart-type $5$. \medskip \begin{enumerate} \item Que vaut $P(15 < Y < 25)$ à $10^{-2}$ près ? \item Que vaut $P(Y>15)$ à $10^{-2}$ près ? \item Trouver $a$ tel que $P(Y < a) = 0,975$ et interpréter le résultat obtenu. \end{enumerate} \end{document}