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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Concours à l'entrée de l'école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{12 avril 2019}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé des armées 12 avril 2019~\decofourright}}}

\medskip

Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 2
\end{center}
\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\textbf{Avertissements}
\end{center}


\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize} 
\item[\textbullet~~] L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, n'est pas  autorisée.
\item[\textbullet~~] Les candidats traiteront les trois exercices.
\item[\textbullet~~] Les réponses des exercices 1 et 2 (QCM) seront données sur la grille prévue à cet effet.
\item[\textbullet~~] L'exercice 3 sera traité sur une copie à part.
\item[\textbullet~~] Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
\item[\textbullet~~] La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte
dans l'évaluation.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 \hfill 6 points}

\medskip 

\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations {\rm A}, {\rm B}, {\rm C} ou {\rm D} est exacte.\\
On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\
Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée  $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

$\dfrac{\left(\text{e}^2 \right)^4 \times \sqrt{\text{e}^6}} {\text{e}^5 \times \sqrt{\text{e}^{12}}} =$

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} 0&\textbf{B.~~} 1& \textbf{C.~~} e& \textbf{D.~~} $\text{e}^{-2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{QCM 2}

\medskip

L'inéquation $|\ln x| > 0$ a pour solution

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}$]0~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$&\textbf{B.~~} $]1~;~+ \infty[$& \textbf{C.~~} $]0~;~1[$& \textbf{D.~~} $]0~;~+ \infty[$
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{QCM 3}

\medskip

Dans une université de médecine où la moitié des étudiants travaille sérieusement, 60\,\% des élèves sont reçus au concours de fin d'année. De plus, parmi ceux qui travaillent sérieusement, 90\,\% réussissent le concours.

Quelle est la probabilité qu'un étudiant réussisse le concours sachant qu'il n'a pas travaillé sérieusement ?
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} 0,3&\textbf{B.~~} 0,15& \textbf{C.~~} 0,01& \textbf{D.~~} $0,505$
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{QCM 4}

\medskip

On pose $z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Alors $z^2$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $z^3$&\textbf{B.~~} $\dfrac{1}{z}$& \textbf{C.~~}$1 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\textbf{D.~~} $- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{QCM 5}

\medskip

$\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x} (\ln x)^2\:\text{d}x = $

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $(\ln 2)^3$&\textbf{B.~~} $\ln 2^3$& \textbf{C.~~} $\dfrac{(\ln 2)^3}{3}$&\textbf{D.~~} $- \dfrac{1}{2^3}$
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{QCM 6}

\medskip

La durée  d'efficacité  d'un médicament, en heures, peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.

Quel est le paramètre $\lambda$ de cette loi sachant que $P(X \geqslant 20) = 0,3$?
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $- \dfrac{\ln 0,7}{20}$& \textbf{B.~~} $\dfrac{\ln 0,3}{20}$& \textbf{C.~~}$-\dfrac{\ln 0,3}{20}$&\textbf{D.~~} $20\ln (0,3)$
\end{tabularx}
\end{center} 
\medskip

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 6 points}

\medskip 

\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations {\rm A}, {\rm B}, {\rm C} ou {\rm D} est exacte.\\
On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\
Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point.\\
Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\bigskip

\textbf{QCM 7}

\medskip

L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left(\text{e}^x -1\right)\left(1- x^2\right) \geqslant 0$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}$]- \infty~;~-1] \cup [0~;~1]$&\textbf{B.~~}$[-1~;~ 0] \cup [1~;~+\infty[$&
\textbf{C.~~} [0~;~1]&\textbf{D.~~}$[- 1~;~1]$
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{QCM 8}

\medskip

La fonction  dérivable sur $\R$ et définie par $f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^{2x} + 1}$ a pour dérivée :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(x) = \dfrac{4\text{e}^{4x} - 1}{\left(\text{e}^{2x} + 1\right)^2}$&\textbf{B.~~} $f'(x) = \dfrac{- 4\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^{2x} + 1\right)^2}$&
\textbf{C.~~} $f'(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^{2x} + 1\right)^2}$&\textbf{D.~~} $f'(x) = \dfrac{4\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^{2x} + 1\right)^2}$
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{QCM 9}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\R\backslash\{1\}$ par $f(x) = \text{e}^{\frac{x}{1 - x}}$. Laquelle de ces propositions est exacte ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$&\textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \text{e}^{-1}$&\textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1\\ x < 1}} f(x) = 0$&\textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1\\ x > 1}} f(x) = + \infty$
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{QCM 10}

\medskip


La suite $\left(u_n\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c r}
u_{n+1}&=&\ln \left(1 + u_n\right)\\
u_0&=&1
\end{array}\right.$ est 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} croissante&
\textbf{B.~~} décroissante&
\textbf{C.~~} convergente vers e &
\textbf{D.~~}\parbox[t]{2.5cm}{divergente vers $- \infty$}
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{QCM 11}

\medskip

On lance trois fois un dé équilibré, la probabilité d'obtenir exactement  2 fois le chiffre 6 est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $\dfrac{1}{6^2}$&
\textbf{B.~~} $\dfrac{15}{6^3}$&
\textbf{C.~~} $\dfrac{5}{6^3}$&
\textbf{D.~~} $\dfrac{2}{6^3}$
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{QCM 12}

\medskip

L'équation $x^2\ln 2 = x^3 \ln 3$ a pour solution :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}  $\left\{0~;~\ln \dfrac{2}{3}\right\}$&
\textbf{B.~~}  $\left\{0~;~\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\right\}$&
\textbf{C.~~}  $\left\{\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\right\}$&
\textbf{D.~~}  $\left\lbrace 0\mathstrut\right \rbrace$ 
\end{tabularx}
\end{center} 

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3  \hfill 8 points}

\medskip 

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Dans un pays une maladie virale est transmise d'un être humain à un autre par un insecte infecté.

Un test a été mis en place pour le dépistage de ce virus. On sait que :

$\bullet~~$  La probabilité qu'une personne atteinte par le virus ait un test positif est de  $0,98$

$\bullet~~$ La probabilité qu'une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de  $0,01$.

\smallskip

On procède à un test de dépistage systématique dans la population de ce pays. Un individu est
choisi au hasard dans cette population. On appelle:

$\bullet~~$ $M$ l'évènement : \og  l'individu est atteint par le virus \fg ;

$\bullet~~$ $T$ l'évènement : \og Le test de l'individu choisi est positif \fg.

On notera, $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$ et $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$.

On notera $p$ la proportion de personnes atteintes par le virus dans la population.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(T)$.
\item Démontrer que la probabilité de $M$ sachant $T$ est donnée par la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par $f(p) = \dfrac{98p}{97p+1}$.
\item Étudier les variations de $f$.
\item On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'une personne ayant un test
positif soit réellement atteinte par le virus est supérieure ou égale à $0,95$.

À partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable ?

Donner la valeur de $p$ sous forme de fraction irréductible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip


Dans toute la partie B, un institut sanitaire estime que la probabilité qu'une personne soit atteinte par le virus est $0,15$.
 
On choisit $100$ individus au hasard dans cette population. Les tirages  sont indépendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, aux $100$ individus choisis, associe le nombre de personnes
 atteintes par le virus.
 
Déterminer la loi de probabilité $X$.
\item  Dans l'échantillon précédent, on dénombre $20$ personnes atteintes par le virus.

Quelle conclusion peut-on tirer à propos de la valeur $p = 0,15$ au seuil de 95\,\% ?

\emph{Aide au calcul}: $1,96 \times \displaystyle\sqrt{0,15 \times 0,85} \approx 0,70$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Dans cette partie, on suppose $p$ inconnue.

On choisit 100 individus au hasard dans la population. 
Les tirages sont  indépendants.  On dénombre 20 personnes atteintes par le virus.

Donner un intervalle de confiance de $p$ au seuil de 95\,\%.


\bigskip

\textbf{PARTIE D}

\medskip

Le temps d'incubation en heures du virus peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale de moyenne $20$ et d'écart-type $5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que vaut $P(15 < Y < 25)$ à $10^{-2}$ près ?
\item Que vaut $P(Y>15)$ à $10^{-2}$ près ?
\item Trouver $a$ tel que $P(Y < a) = 0,975$ et interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}

\end{document}