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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Concours entrée école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{13 avril  2018}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé Bron 13 avril 2018~\decofourright}}}

\medskip

Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 3
\end{center}
\vspace{0,25cm}

Avertissement :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, papier millimétré, téléphone portable n'est pas autorisée.
\item[$\bullet~~$] Les candidats traiteront les trois exercices.
\item[$\bullet~~$] Les réponses des exercices \no 1 et \no 2  seront données sur une grille prévue à cet effet.
\item[$\bullet~~$] L'exercice \no 3 sera traité sur une copie à part.
\item[$\bullet~~$] Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
\item[$\bullet~~$] La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte clans l'évaluation,
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 : \hfill 6 points}

\medskip 

\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations} \rm{A}, \rm{B}, \rm{C} \emph{ou} \rm{D} \emph{est exacte.\\
On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case sur la grille prévue à cet effet.\\
Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point.\\
Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{-x}$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~~} croissante sur $]- \infty~;~0[$ et décroissante sur $[0~;~+ \infty[$,\\ 
\textbf{B.~~} croissante sur $\R$,\\
\textbf{C.~~} décroissante sur $]-\infty~;~0[$ et croissante sur $[0~;~+\infty[$, \\
\textbf{D.~~} décroissante sur $]-\infty~;~-2[$ et croissante sur $[-2~;~+ \infty[$.
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{QCM 2}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 5\text{e}^{0,2x^2 + 0,5x}$.

La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{A.~~} a pour équation $y = 2,5x + 5$ 	&\textbf{B.~~} a pour équation $y = 5x$\\
\textbf{C.~~} a pour équation $y = 5x + 10$ 	&\textbf{D.~~} est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{QCM 3}

\medskip

Les solutions de l'inéquation $\ln (- x + 5) < \ln (x + 1)$ sont:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}

\textbf{A.~~} $]2~;~+ \infty[$& \textbf{B.~~} $]- \infty~;~5$ [ &\textbf{C.~~} $]- 1~;~5[$& 
\textbf{D.~~}]2~;~5[
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{QCM 4}

\medskip

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1}$ est égale à 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.~~} $+\infty$ &\textbf{B.~~} 1 &\textbf{C.~~} 0&
\textbf{D.~~} 2
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{QCM 5}

\medskip

On choisit un réel au hasard entre 0 et 5 et l'on note $Y$ la variable aléatoire égale au réel choisi. Alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.~~} $P(Y =2,5) = 0,5$ &\textbf{B.~~} $P(Y \leqslant 2) = 0,5$ &\textbf{C.~~} $P_{Y\geqslant 2}(Y \leqslant 3) = \dfrac{1}{3}$&\textbf{D.~~} $P_{Y\geqslant 2}(Y \leqslant 3) = \dfrac{1}{5}$
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{QCM 6}

\medskip

Pour tout nombre réel $x$ non nul, $2 - \dfrac{\text{e}^{-x} - 2}{\text{e}^{-x} - 1}$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.~~} $\dfrac{3\text{e}^{-x} - 4}{\text{e}^{-x} - 1}$&
\textbf{B.~~} $\dfrac{1}{1 - \text{e}^{x}}$&
\textbf{C.~~} $\dfrac{\text{e}^{-x} - 4}{\text{e}^{-x} - 1}$&
\textbf{D.~~} $\dfrac{3\text{e}^{-x}}{\text{e}^{-x} - 1}$
\end{tabularx}
\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations \emph{A}, \emph{B}, \emph{C} ou \emph{D} est exacte.
On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en \textbf{cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\
Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{QCM 7}

\medskip

Dans un laboratoire, il ya $50$ tubes avec du sang contaminé et $75$ tubes avec du sang non contaminé. Un préparateur tire un tube au hasard, regarde si le sang contenu est contaminé et il replace le tube. Il recommence 5 fois l'expérience. 

On note $X$ le nombre de tubes avec du sang contaminé (sur les 5 tirés).

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{A.~~} $P(X = 5) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^5$ &\textbf{B.~~} $E(X) = \dfrac{2}{5}$\\
\textbf{C.~~} $P(X = 0) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^5$ &\textbf{D.~~} $P(X = 0) > P(X = 2)$
\end{tabularx}
\newpage

\textbf{QCM 8}

\medskip

Le domaine de définition de la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln \left(\text{e}^{-x} - 2\right)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.~~}$]0~;~+\infty[$ &\textbf{B.~~} $]\ln (2)~;~+\infty[$ &\textbf{C.~~} $]-\infty~;~-\ln(2)[$ &\textbf{D.~~}]0~;~2[
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{QCM 9}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = (3 - 2x)\text{e}^{-x}$.

Une primitive de la fonction $g$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.~~} $G(x)= \left(3x - x^2\right)\text{e}^{-x}$ &
\textbf{B.~~} $G(x)= \left(- 3x + x^2\right)\text{e}^{-x}$\\
\textbf{C.~~} $G(x) = (2x - 1)\text{e}^{-x}$&
\textbf{D.~~} $G(x) = (5 - 2x)\text{e}^{-x}$
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{QCM 10}

\medskip

L'ensemble des solutions de l'inéquation $(3 - x)\ln (x) \geqslant 0$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.~~}[1~;~3] &\textbf{B.~~}]0~;~3] &\textbf{C.~~}$]-\infty~;~3]$ &\textbf{D.~~}$[1~;~+ \infty[$
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{QCM 11}

\medskip

L'intégrale $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\:\text{d}x$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.~~} 1&\textbf{B.~~}$\dfrac{1}{2}$&\textbf{C.~~}$\dfrac{\text{e}}{2\left (1 + \text{e}\right )}$&\textbf{D.~~}$\ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2} \right)$
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{QCM 12}

\medskip

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(30,~\sigma^2\right)$  avec $P(X > 35) = 0,4$

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{A.~~}  $P(X < 30) = 0,4$&\textbf{B.~~}$P(30 < X < 35) = 0,1$\\
\textbf{C.~~} $P(25 < X < 35) = 0,3$&\textbf{D.~~}$P(X > 40) = 0,5$.
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 8 points}

\medskip

On veut dépister une maladie $m$ dont la fréquence (ou prévalence) dans la population P est notée $p$ avec $0 < p < 1$. 

On met en place un test diagnostique qui est indépendant de la valeur de $p$.

On prélève au hasard dans la population P un individu ayant été soumis au test diagnostique.

On définit les évènements suivants:

$T$ : \og le test est positif\fg{} et $M$ : \og l'individu est malade \fg. 

Pour ce test diagnostique, le fabricant a indiqué:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité $P_M(T)$ qu'un individu ait un test positif sachant qu'il est malade, est appelée sensibilité du test et est notée $S_e$.
\item[$\bullet~~$] La probabilité $P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)$ qu'un individu ait un test négatif sachant qu'il n'est pas malade, est appelée spécificité du test et est notée $S_p$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Illustrer la situation par un arbre pondéré en complétant toutes les branches à l'aide de $p$, $S_e$, $S_p$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $P(M \cap T)$, $P\left(M  \cap \overline{T}\right)$, $P\left(\overline{M} \cap T\right)$, $P\left(\overline{M} \cap \overline{T}\right)$ à l'aide de $p$, $S_e$ et $S_p$. 
		\item Montrer que la probabilité que le test délivre une juste conclusion est:
$p\left(S_e - S_p\right) + S_p$ 
	\end{enumerate}
\item On appelle :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Valeur prédictive positive du test (VPP), la probabilité $P_T(M)$ d'être malade, sachant que le test est positif.
\item[$\bullet~~$]Valeur prédictive négative du test (VPN), la probabilité $P_{\overline{T}}\left(\overline{M}\right)$ d'être non malade, sachant que le test est négatif.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(T)$ à l'aide de $p$, $S_e$ et $S_p$
		\item Exprimer VPP et VPN en fonction de $p$, $S_e$ et $S_p$.
		\item Le test est considéré comme intéressant si VPP$ > p$. 
		
Montrer alors que : $S_e + S_p > 1$.
	\end{enumerate}
\item La prévalence $p$ du paludisme est de 90\,\% en Tanzanie et de 0,001 en France.
Le test biologique utilisé a pour sensibilité $S_e = 0,9$ et pour spécificité $S_p = 0,8$. Cela est valable pour toute la question 4.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la VPP en Tanzanie arrondie à $10^{-2}$ près.
		
On admet que VPP$_{\text{France}} = 0$; VPN$_{\text{Tanzanie}} = 0,47$;  VPN$_{\text{France}} = 1$.
		\item En déduire ce que l'on peut dire en terme de probabilité à un patient de Tanzanie
et à un patient français selon que le test est positif ou négatif. 
		\item On considère la fonction $v$ définie par $v(p) = P_T(M)$.
			\begin{enumerate}
				\item Donner l'expression de $v(p)$ en fonction de $p$.
				\item Donner le sens de variation de la fonction $v$.
				\item Lorsque $p$ est supérieur à $0,8$, en quoi la positivité du test est-elle un élément important du diagnostic ?
			\end{enumerate} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}