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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Concours entrée école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{avril  2017}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé Bron avril 2017~\decofourright}}}

\medskip

Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 3
\end{center}
\vspace{0,25cm}

Avertissement :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, papier millimétré
n'est pas autorisée.
\item[$\bullet~~$] Les candidats traiteront les trois exercices.
\item[$\bullet~~$] Les réponses des exercices \no 1 et \no 2 (QCM) seront données sur une grille prévue à
cet effet.
\item[$\bullet~~$] L'exercice \no 3 sera traité sur une copie à part.
\item[$\bullet~~$] Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
\item[$\bullet~~$] La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte clans
l'évaluation,



\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 : \hfill 8 points}

\medskip 

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case
sur la grille prévue à cet effet.

Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\medskip

\textbf{QCM 1}

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-x} - x + 1$.

L'image de $\ln 2$ par la fonction $f$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $\dfrac{1}{2} - \ln 3$&\textbf{B.~~} $-1- \ln 2$
&\textbf{C.~~} $\dfrac{3}{2} - \ln 2$&\textbf{D.~~} $3 - \ln 2$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 2}

Sur $\R$, l'inéquation $\text{e}^x - x \leqslant 1$ admet pour ensemble de solutions :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $\emptyset$ &\textbf{B.~~} $\{0\}$ &\textbf{C.~~} $[0~;~+ \infty[$ &\textbf{D.~~} $\R$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 3}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{-x}$.

Une primitive $F$ de la fonction $f$ sur  $\R$ est définie sur $\R$ par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2\text{e}^{-x}$ &\textbf{B.~~} $F(x) = -(1 + x)\text{e}^{-x}$ &\textbf{C.~~} $F(x) = -x\text{e}^{-x}$&\textbf{D.~~}$F(x) = (1 - x)\text{e}^{-x}$
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\textbf{QCM 4}

Pour tout réel $x$, l'expression $A(x) = \dfrac{\text{e}^{x} + \text{e}^{-3x}}{\text{e}^{2x}}- \dfrac{1 - \text{e}^{-2x}}{\text{e}^{x}}$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $\dfrac{\text{e}^{2x} + 1}{\text{e}^{3x}}$&\textbf{B.~~} $\text{e}^{3x}\left(\text{e}^{-2x} + 1 \right)$&\textbf{C.~~} $\dfrac{\text{e}^{2x} + 1}{\text{e}^{5x}}$&\textbf{D.~~}$\text{e}^{-5x} - \text{e}^{-3x}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 5} 

La limite $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $0$&\textbf{B.~~} $+ \infty$ & \textbf{C.~~} $1$ &\textbf{D.~~} $\dfrac{1}{6}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 6}

La fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = (x - 3) \ln (2x)$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~}  positive sur $]0~;~ +\infty]$&\textbf{C.~~} négative sur ]0~;~1J\\
\textbf{B.~~} négative sur $]0~;~ +\infty]$&\textbf{D.~~} positive sur $[3~;~ +\infty[$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 7}

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = (x - 3) \ln (2x)$.

Sa fonction dérivée est définie sur $]0~;~ +\infty[$ par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $\ln (2x) - \dfrac{x - 3}{2x}$&\textbf{B.~~} $\ln (2x) + \dfrac{x - 3}{x}$&\textbf{C.~~}$\dfrac{1}{x}$&\textbf{D.~~}$\dfrac{1}{2x}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 8}

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]\dfrac{5}{2}~;~+\infty \right[$ par $f(x) = (-2x + 5)^{-4}$.

Une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]\dfrac{5}{2}~;~+\infty \right[$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~} $F(x) = \dfrac{1}{5}(- 2x + 5)^{-5}$ &\textbf{C.~~} $F(x) = \dfrac{1}{6}(- 2x + 5)^{-3}$\\
\textbf{B.~~} $F(x) = \dfrac{1}{10}(- 2x + 5)^{-5}$ &\textbf{D.~~} $F(x) = - \dfrac{1}{3}(-2x + 5)^{-3}$
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune. des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.\\
On demande au candidat d'indiqua \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\
Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point.  Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{QCM 9}

La documentaliste d'un collège a reçu une offre pour acheter les romans de la saga HP.

Elle enquête pour savoir si le sujet intéresse les élèves et relève que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]10\,\% des élèves ont lu le 7\up{e} épisode,
\item[$\bullet~~$]38\,\% des élèves ont vu le 7\up{e} épisode au cinéma,
\item[$\bullet~~$]40\,\% de ceux qui ne l'ont pas lu, ont vu le 7\up{e} épisode au cinéma.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La documentaliste prend au hasard une réponse parmi celles des élèves interrogés.
La probabilité que l'élève soit allé voir le 7\up{e} épisode au cinéma sachant qu'il l'a lu est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} 0,3 &\textbf{B.~~} 0,2 &\textbf{C.~~} 0,038 &\textbf{D.~~} 0,04
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{QCM 10}


Un élève se présente à deux concours C et C$'$ qui sont indépendants.

Il a une chance sur trois de réussir le concours C et une chance sur trois de réussir le concours C$'$.

En pensant augmenter ses chances de réussite, l'élève décide de passer les deux concours.

La probabilité qu'il réussisse au moins un concours est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $\dfrac{2}{3}$ &\textbf{B.~~} $\dfrac{1}{9}$ &\textbf{C.~~} $\dfrac{4}{9}$ &\textbf{D.~~} $\dfrac{5}{9}$
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{QCM 11}

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(0~;~\sigma^2\right)$. Alors on a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~} $P(-2\sigma \leqslant X \leqslant 2\sigma )\approx 0,99$ &\textbf{C.~~} $P(X\leqslant - \sigma) \approx 0,6$\\
\textbf{B.~~} $P(X \geqslant 3\sigma) \approx 0,005$ &\textbf{D.~~} $P(X \geqslant  2\sigma) \approx  \np{0,0025}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 12}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.

Les points A et B ont pour affixe respective i et $- 1$.

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~} La droite (AB) 		&\textbf{C.~~} La droite perpendiculaire à (AB) passant par O\\
\textbf{B.~~} Le cercle de diamètre [AB] &\textbf{D.~~} Le cercle de diamètre [AB] privé de A et B
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 13}

Sur l'intervalle $[0~;~2\pi[$, l'équation $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~}n'admet pas de solution &\textbf{C.~~} admet trois solutions\\
\textbf{B.~~} admet deux solutions &\textbf{D.~~} admet une infinité de solutions
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 7 points}

\medskip

La durée d'attente, exprimée en heures, au service des urgences d'un hôpital peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement positif.

On sait alors que pour tout réel $t$ positif : $P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_0^t  \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.

La fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \lambda \text{e}^{- \lambda x}$ est la fonction densité de la variable aléatoire $T$ et l'on note
$\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Interpréter graphiquement la probabilité $P(T \leqslant 1)$.
\item Indiquer où peut être lu graphiquement le paramètre $\lambda$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{Dans la suite de l'exercice on suppose que $P(T \leqslant 1) = 0,92$ et l'on admet que $\text{e}^{-2,5} = 0,08$ à $10^{-2}$ près}.

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $\lambda$. 

\emph{Dans la suite de l'exercice on prendra } $\lambda = 2,5$.
\item Calculer $P(1 \leqslant T \leqslant 2)$ à $10^{-2}$ près.
\item Calculer $P(T > 2)$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Dans cet hôpital, un questionnaire est distribué aux patients ; 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]si la durée d'attente est inférieure ou égale à 1 heure, les patients cochent la case \og attente satisfaisante \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]si la durée d'attente est comprise strictement entre 1 heure et 2 heures, alors 80\:\% des patients cochent la case \og attente satisfaisante \fg{} et 20\:\% des patients cochent la case \og attente non satisfaisante \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]si la durée d'attente est supérieure ou égale à 2 heures, les patients cochent la case
\og attente non satisfaisante \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève de façon aléatoire un questionnaire.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, de lire \og attente satisfaisante \fg.
		\item Sachant que la case cochée est \og attente satisfaisante\fg, calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, qu'elle provienne d'un patient ayant attendu entre 1 heure et 2 heures strictement.
 	\end{enumerate}
\item On prélève de façon aléatoire deux questionnaires.
	
Calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, qu'au moins un patient ait coché la case \og attente non satisfaisante \fg.
\end{enumerate}
\end{document}