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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{\textbf{A.} P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Concours entrée école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{13 avril 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé Bron 13 avril 2016~\decofourright}}}

\medskip

Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 3
\end{center}
\vspace{0,25cm}

Avertissement :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, papier millimétré, téléphone portable n'est pas autorisée.
\item[$\bullet~~$] Les candidats traiteront les trois exercices.
\item[$\bullet~~$] Les réponses des exercices \no 1 et \no 2  seront données sur une grille prévue à cet effet.
\item[$\bullet~~$] L'exercice \no 3 sera traité sur une copie à part.
\item[$\bullet~~$] Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
\item[$\bullet~~$] La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte clans l'évaluation,
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 : \hfill 7 points}

\medskip 

\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations} \rm{A}, \rm{B}, \rm{C} \emph{ou} \rm{D} \emph{est exacte.\\
On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en \textbf{cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\
Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point.\\
Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $u_0 = 0$ et $u_{n+1 }= \sqrt{u_n  + 2}$.

\medskip

\textbf{A.~~} la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante sur $\N$

\textbf{B.~~} la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par 1,5

\textbf{C.~~} la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $+ \infty$

\textbf{D.~~} la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $2$

\medskip

\textbf{QCM 2} : Soit la suite $\left(u_n\right)$ pour laquelle on suppose que 
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n^2 = + \infty$ alors :

\medskip

\textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$

\textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n}= + \infty$

\textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n} = 0$

\textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n^3 = + \infty$

\medskip

\textbf{QCM 3} : La documentaliste d'un collège a reçu une offre pour acheter les romans de la saga HP.

Elle enquête pour savoir si le sujet intéresse les élèves:

10\,\% des élèves ont lu le 7\up{e} épisode, 38\% des élèves ont vu le 7\up{e} épisode au cinéma et 40\,\% de ceux. qui ne l'ont pas lu , ont vu le 7\up{e} épisode au cinéma.

La documentaliste tire au hasard une réponse d'un des élèves interrogés.

Quelle est la probabilité que l'élève soit allé voir le 7\up{e} épisode au cinéma sachant qu'il a lu le roman ?

\medskip

\textbf{QCM 4} : Un groupe de coureurs participe à une course cycliste et ils subissent de façon aléatoire un contrôle antidopage.

\smallskip

On appelle $T$ l'évènement \og le contrôle est positif \fg{} et on admet que $p(T) = 0,05$.

On appelle $D$ l'évènement \og le coureur est dopé \fg.

Le contrôle antidopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que :

$\bullet~~$ si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ;

$\bullet~~$ si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas.

\smallskip

La probabilité que le coureur soit dopé est:

\textbf{A.~~}$\dfrac{95}{100}$

\textbf{B.~~}$\dfrac{98}{100}$

\textbf{C.~~}$\dfrac{29}{500}$

\textbf{D.~~}$\dfrac{1}{24}$

\medskip

\textbf{QCM 5} : L'ensemble des solutions, dans $\R$, de l'équation : $ln (x+3) + ln(x - 2) = \ln 14$ est :

\medskip

\textbf{A.~~} $\{-5~;~4\}$

\textbf{B.~~} $\{- 5\}$

\textbf{C.~~} $\{4\}$

\textbf{D.~~}$\emptyset$

\medskip

\textbf{QCM 6 }: Pour tout réel $x$ strictement positif, $\text{e}^{-3 \ln x}$ est égal à :

\medskip

\textbf{A.~~}$x^3$
 
\textbf{B.~~} $\dfrac{1}{x^3}$
 
\textbf{C.~~} $- 3x$
 
\textbf{D.~~} $- x^3$

\medskip

\textbf{QCM 7}: L'ensemble des solutions, dans $\R$, de l'inéquation: $\left(\text{e}^x - 3\right)\left(\text{e}^x + 1\right) \geqslant  0$ est :

\medskip

\textbf{A.~~} $]-\infty~;~-1] \cup [3~;~+\infty[$

\textbf{B.~~} $]- \infty~;~\ln 3 ]$

\textbf{C.~~} $[\ln 3~;~+ \infty[$

\textbf{D.~~}$\R$

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, Cou D est exacte.
On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui paraît exacte en
cochant la case sur la grille prévue à cet effet.

Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point. Toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\medskip

\textbf{QCM 8 }: Soit $I = \displaystyle\int_0^1 \left(\text{e}^{2x}- x\right)\:\text{d}x$

\medskip

\textbf{A.~~}$I = \text{e}^2 - 2$

\textbf{B.~~}$I = 2\text{e}^2 - 2$

\textbf{C.~~}$I = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^2 - 1\right)$

\textbf{D.~~}$I = \dfrac{1}{2}\text{e}^2 - 1$

\medskip

\textbf{QCM 9 :} Soit le nombre complexe $z = \dfrac{1 + \text{i}}{1 - \text{i}}$

\medskip

\textbf{A.~~} I'écriture algébrique de $z$ est $- \text{i}$

\textbf{B.~~} l'écriture algébrique de $z$ est $\text{i}\sqrt{2}$

\textbf{C.~~} un argument de $z$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$

\textbf{D.~~} le module de $z$ est $\sqrt{2}$

\medskip

\textbf{QCM 10 }: Soit $f(x) = 4 x \text{e}^{ -x}$ pour tout $x$ réel.

La dérivée $f'(x)$ de $f$ sur $\R$ est égale à :

\medskip

\textbf{A.~~}$3\text{e}^{-x} + 4x$

\textbf{B.~~}$(4x - 1)\text{e}^{-x}$

\textbf{C.~~}$- 4\text{e}^{-x}$

\textbf{D.~~}$(4 - 4x)\text{e}^{-x}$

\medskip

\textbf{QCM 11} : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[-4~;~2]$ telle que $f(x) = a |x|,\: a \in  \R$.

Alors a est égal à :

\textbf{A.~~}$- 0,2$

\textbf{B.~~}$0,2$

\textbf{C.~~}$0,25$

\textbf{D.~~}$0,1$

\medskip

\textbf{QCM 12} : On considère que la durée de vie, exprimée en années, d'un médicament est une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ telle que
 $p(X \leqslant 1) = 0,18$, alors :

\medskip
 
\textbf{A.} $\lambda = \ln \left(\dfrac{50}{41} \right)$

\textbf{B.~~}$\lambda = - \ln (18)$

\textbf{C.~~}$\lambda = - \ln (0,82)$

\textbf{D.~~}$\lambda =  \dfrac{\ln (0,82)}{\ln(100)}$

\medskip

\textbf{QCM 13} : Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(0~;~1)$.

$p(-1 < X < 1)$ est égal à :

\medskip

\textbf{A.} $1 - 2p(X > 1)$

\textbf{B.~~} $2[p(X < 1) - 1]$

\textbf{C.~~} $1 - 2p(X < 1)$

\textbf{D.~~} $2p(X > 1)-1$

\medskip

\textbf{QCM 14 }: Après avoir examiné 100 personnes, on a constaté que 20\,\% d'entre elles étaient malades. L'intervalle de confiance, au niveau asymptotique 95\,\%, de la probabilité qu'une personne examinée soit malade peut être estimée par:

\textbf{A.~~} [0,10~;~0,20]

\textbf{B.~~} [0,15~;~0,25]

\textbf{C.~~} [0,10~;~0,30]

\textbf{D.~~} [0,05~;~0,35]

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

Après l'administration d'un médicament par voie orale chez un patient, sa concentration
plasmatique dans le sang, en g/L, en fonction du temps peut être modélisée par la fonction $C$
définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[C(t) = 3 \left(\text{e}^{ -t}  - \text{e}^{- 2t}\right)\: \text{où}\: t \:\text{est le temps exprimé en heures}\].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $C(0)$
\item Déterminer la limite de la fonction $C$ quand $t$ tend vers $+\infty$.

Interpréter ce résultat vis-à-vis du patient.
\item  Calculer la dérivée $C'(t)$ de $C(t)$.
\item  Dresser le tableau complet de variation de la fonction $C$.
\item  Donner la valeur maximale de la concentration sous sa forme la plus simplifiée.
\item  Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $C(t) = \dfrac{2}{3}$.
\item  En déduire sur quelle période de temps la concentration du médicament est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}
\end{document}