%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{\textbf{A.} P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Terminale S} \lfoot{\small{Concours entrée école de santé\\ Lyon--Bordeaux}} \rfoot{\small{13 avril 2016}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé Bron 13 avril 2016~\decofourright}}} \medskip Durée: 1 heure 30 minutes \qquad Coefficient: 3 \end{center} \vspace{0,25cm} Avertissement : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, papier millimétré, téléphone portable n'est pas autorisée. \item[$\bullet~~$] Les candidats traiteront les trois exercices. \item[$\bullet~~$] Les réponses des exercices \no 1 et \no 2 seront données sur une grille prévue à cet effet. \item[$\bullet~~$] L'exercice \no 3 sera traité sur une copie à part. \item[$\bullet~~$] Il ne sera pas fait usage d'encre rouge. \item[$\bullet~~$] La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte clans l'évaluation, \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{EXERCICE 1 : \hfill 7 points} \medskip \emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations} \rm{A}, \rm{B}, \rm{C} \emph{ou} \rm{D} \emph{est exacte.\\ On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en \textbf{cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\ Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point.\\ Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.} \medskip \textbf{QCM 1} \medskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $u_0 = 0$ et $u_{n+1 }= \sqrt{u_n + 2}$. \medskip \textbf{A.~~} la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante sur $\N$ \textbf{B.~~} la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par 1,5 \textbf{C.~~} la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $+ \infty$ \textbf{D.~~} la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $2$ \medskip \textbf{QCM 2} : Soit la suite $\left(u_n\right)$ pour laquelle on suppose que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n^2 = + \infty$ alors : \medskip \textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$ \textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n}= + \infty$ \textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n} = 0$ \textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n^3 = + \infty$ \medskip \textbf{QCM 3} : La documentaliste d'un collège a reçu une offre pour acheter les romans de la saga HP. Elle enquête pour savoir si le sujet intéresse les élèves: 10\,\% des élèves ont lu le 7\up{e} épisode, 38\% des élèves ont vu le 7\up{e} épisode au cinéma et 40\,\% de ceux. qui ne l'ont pas lu , ont vu le 7\up{e} épisode au cinéma. La documentaliste tire au hasard une réponse d'un des élèves interrogés. Quelle est la probabilité que l'élève soit allé voir le 7\up{e} épisode au cinéma sachant qu'il a lu le roman ? \medskip \textbf{QCM 4} : Un groupe de coureurs participe à une course cycliste et ils subissent de façon aléatoire un contrôle antidopage. \smallskip On appelle $T$ l'évènement \og le contrôle est positif \fg{} et on admet que $p(T) = 0,05$. On appelle $D$ l'évènement \og le coureur est dopé \fg. Le contrôle antidopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que : $\bullet~~$ si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ; $\bullet~~$ si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas. \smallskip La probabilité que le coureur soit dopé est: \textbf{A.~~}$\dfrac{95}{100}$ \textbf{B.~~}$\dfrac{98}{100}$ \textbf{C.~~}$\dfrac{29}{500}$ \textbf{D.~~}$\dfrac{1}{24}$ \medskip \textbf{QCM 5} : L'ensemble des solutions, dans $\R$, de l'équation : $ln (x+3) + ln(x - 2) = \ln 14$ est : \medskip \textbf{A.~~} $\{-5~;~4\}$ \textbf{B.~~} $\{- 5\}$ \textbf{C.~~} $\{4\}$ \textbf{D.~~}$\emptyset$ \medskip \textbf{QCM 6 }: Pour tout réel $x$ strictement positif, $\text{e}^{-3 \ln x}$ est égal à : \medskip \textbf{A.~~}$x^3$ \textbf{B.~~} $\dfrac{1}{x^3}$ \textbf{C.~~} $- 3x$ \textbf{D.~~} $- x^3$ \medskip \textbf{QCM 7}: L'ensemble des solutions, dans $\R$, de l'inéquation: $\left(\text{e}^x - 3\right)\left(\text{e}^x + 1\right) \geqslant 0$ est : \medskip \textbf{A.~~} $]-\infty~;~-1] \cup [3~;~+\infty[$ \textbf{B.~~} $]- \infty~;~\ln 3 ]$ \textbf{C.~~} $[\ln 3~;~+ \infty[$ \textbf{D.~~}$\R$ \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points} \medskip Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, Cou D est exacte. On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case sur la grille prévue à cet effet. Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point. Toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$. \medskip \textbf{QCM 8 }: Soit $I = \displaystyle\int_0^1 \left(\text{e}^{2x}- x\right)\:\text{d}x$ \medskip \textbf{A.~~}$I = \text{e}^2 - 2$ \textbf{B.~~}$I = 2\text{e}^2 - 2$ \textbf{C.~~}$I = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^2 - 1\right)$ \textbf{D.~~}$I = \dfrac{1}{2}\text{e}^2 - 1$ \medskip \textbf{QCM 9 :} Soit le nombre complexe $z = \dfrac{1 + \text{i}}{1 - \text{i}}$ \medskip \textbf{A.~~} I'écriture algébrique de $z$ est $- \text{i}$ \textbf{B.~~} l'écriture algébrique de $z$ est $\text{i}\sqrt{2}$ \textbf{C.~~} un argument de $z$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$ \textbf{D.~~} le module de $z$ est $\sqrt{2}$ \medskip \textbf{QCM 10 }: Soit $f(x) = 4 x \text{e}^{ -x}$ pour tout $x$ réel. La dérivée $f'(x)$ de $f$ sur $\R$ est égale à : \medskip \textbf{A.~~}$3\text{e}^{-x} + 4x$ \textbf{B.~~}$(4x - 1)\text{e}^{-x}$ \textbf{C.~~}$- 4\text{e}^{-x}$ \textbf{D.~~}$(4 - 4x)\text{e}^{-x}$ \medskip \textbf{QCM 11} : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[-4~;~2]$ telle que $f(x) = a |x|,\: a \in \R$. Alors a est égal à : \textbf{A.~~}$- 0,2$ \textbf{B.~~}$0,2$ \textbf{C.~~}$0,25$ \textbf{D.~~}$0,1$ \medskip \textbf{QCM 12} : On considère que la durée de vie, exprimée en années, d'un médicament est une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ telle que $p(X \leqslant 1) = 0,18$, alors : \medskip \textbf{A.} $\lambda = \ln \left(\dfrac{50}{41} \right)$ \textbf{B.~~}$\lambda = - \ln (18)$ \textbf{C.~~}$\lambda = - \ln (0,82)$ \textbf{D.~~}$\lambda = \dfrac{\ln (0,82)}{\ln(100)}$ \medskip \textbf{QCM 13} : Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(0~;~1)$. $p(-1 < X < 1)$ est égal à : \medskip \textbf{A.} $1 - 2p(X > 1)$ \textbf{B.~~} $2[p(X < 1) - 1]$ \textbf{C.~~} $1 - 2p(X < 1)$ \textbf{D.~~} $2p(X > 1)-1$ \medskip \textbf{QCM 14 }: Après avoir examiné 100 personnes, on a constaté que 20\,\% d'entre elles étaient malades. L'intervalle de confiance, au niveau asymptotique 95\,\%, de la probabilité qu'une personne examinée soit malade peut être estimée par: \textbf{A.~~} [0,10~;~0,20] \textbf{B.~~} [0,15~;~0,25] \textbf{C.~~} [0,10~;~0,30] \textbf{D.~~} [0,05~;~0,35] \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} \medskip Après l'administration d'un médicament par voie orale chez un patient, sa concentration plasmatique dans le sang, en g/L, en fonction du temps peut être modélisée par la fonction $C$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[C(t) = 3 \left(\text{e}^{ -t} - \text{e}^{- 2t}\right)\: \text{où}\: t \:\text{est le temps exprimé en heures}\]. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $C(0)$ \item Déterminer la limite de la fonction $C$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Interpréter ce résultat vis-à-vis du patient. \item Calculer la dérivée $C'(t)$ de $C(t)$. \item Dresser le tableau complet de variation de la fonction $C$. \item Donner la valeur maximale de la concentration sous sa forme la plus simplifiée. \item Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $C(t) = \dfrac{2}{3}$. \item En déduire sur quelle période de temps la concentration du médicament est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$. \end{enumerate} \end{document}