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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Concours à l'entrée de l'école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{29 mars 2021}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé des armées 29 mars 2021~\decofourright}}}

\medskip

Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 2
\end{center}
\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Avertissement}}\\
L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, papier millimétré, téléphone portable n'est pas autorisée.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]Le candidat traitera les trois exercices ;
\item[$\bullet~$]Les réponses des exercices 1 et 2 seront données sur la grille prévue à cet effet ;
\item[$\bullet~$]L'exercice 3 sera traité sur une copie à part ;
\item[$\bullet~$]La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte dans l'évaluation;
\item[$\bullet~$]Le candidat vérifiera que le sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.
 \end{itemize}\\ \hline
 \end{tabularx}
\end{center}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Exercice 1. \hfill6 points}

\medskip

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, 8, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en \textbf{cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.

Toute réponse juste est comptée + 1 point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée 0 point. 

Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\bigskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

L'ensemble des solutions réelles de l'équation 

\[3 [\ln (x)]^2 + 2 \ln(x) - 5 =0.\]

est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $\left\{1~;~-\frac{5}{3}\right\}$ ;&
\textbf{B.~} $\left\{\text{e}~;~\text{e}^{-\frac{5}{3}}\right\}$.&
\textbf{C.~} $\left\{\text{e}^{-\frac{5}{3}}\right\}$.&
\textbf{D.~} $\{\text{e}\}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 2}

Les solutions réelles de l'inéquation $\left(\text{e }^x - 1\right)(1 - x) \geqslant 0$ sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $]- \infty~;~1]$ ;&\textbf{B.~}$[0~;~1]$.&\textbf{C.~} $[0~;~+ \infty[$.&\textbf{D.~} $]- \infty~;~0[ \cup ]1~;+ \infty[$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 3}

Les solutions réelles de l'inéquation $\ln (- x + 5) < \ln (x + 1)$ sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $]2~;~+ \infty[$ ;&\textbf{B.~}$]-\infty~;~5[$.&\textbf{C.~} $]- 1~;~5[$.&\textbf{D.~} $]2~;~5[$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 4}

\medskip

La limite de $\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1}$ en plus l'infini est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $+ \infty$ ;&\textbf{B.~}$1$.&\textbf{C.~} $0$.&\textbf{D.~} $2$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 5}

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = x \text{e}^{\left(x^2 - 1\right)},\]

alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~} $f'(x) = \text{e}^{x^2 - 1}$ ;&\textbf{B.~}$f '(x) = 2x\text{e}^{x^2 - 1}$
\\
\textbf{C.~} $f'(x) = \left(1 + 2x^2 \right)\text{e}^{x^2 - 1}$.&\textbf{D.~} $f'(x) = 2x^2\text{e}^{x^2 - 1}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 6}

\medskip

L'intégrale $\displaystyle\int_0^{\pi} x \cos x\:\text{d}x$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $- 2$ &\textbf{B.~}$0$&\textbf{C.~} $1$&\textbf{D.~} $\pi$
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Indication} : calculer la dérivée de $h(x) =x \sin x + \cos x$.

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.

Toute réponse juste est comptée + 1 point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point.

Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

Pour les \textbf{QCM 7} et \textbf{8}, on considère une population dont 5\,\% est touchée par une maladie.

\textbf{QCM 7}

On considère de manière aléatoire et indépendante deux personnes de cette population.

Soit l'évènement $A$ : \og aucune personne n'est malade \fg.

La probabilité de $A$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $\np{0,9025}$ &\textbf{B.~}$\np{0,0025}$&\textbf{C.~} $\np{0,9975}$&\textbf{D.~} $0,1$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 8}

\medskip

On sait que la probabilité qu'une personne ait un test positif à cette maladie, sachant qu'elle est
malade, est $0,8$. D'autre part, la probabilité d'avoir un test positif pour une personne de cette
population est $0,1$.

La probabilité que la personne soit malade sachant qu'elle a un test positif est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $0,8$ &\textbf{B.~}$0,01$&\textbf{C.~} $0,4$&\textbf{D.~} $0,04$
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{QCM 9}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = \text{e}^{2x} +3x - 1\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $y=5x-1$ &\textbf{B.~}$y = 5x$&\textbf{C.~} $y = 4x$&\textbf{D.~} $y = 5x+3$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 10}

\medskip

Soit la suite réelle $\left(u_n\right)$ définie par :

\[u_0 = 1,5\quad \text{ et }\quad u_{n+1} = 2u_n -1.\]

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~} La suite $\left(u_n\right)$ converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équations $y = x$ et $y = 2x - 1$.\\
\textbf{B.~} La suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = u_n - 1$ est géométrique.\\
\textbf{C.~} La suite $\left(u_n\right)$ est majorée.\\
\textbf{D.~} La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{QCM 11}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - 10n + 1.$

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~} La suite converge vers 1.\\
\textbf{B.~} La suite diverge vers plus l'infini.\\
\textbf{C.~} La suite converge vers zéro.\\
\textbf{D.~} La suite diverge vers moins l'infini.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 12}

\medskip

La solution $y$ de l'équation différentielle $2y'- y = 3$ vérifiant $y(0) = - 1$ est définie par: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~} $y(x) = \text{e}^{2x} - 2$.\\
\textbf{B.~} $y(x) = \text{e}^{0,5x} - 3$.\\
\textbf{C.~} $y(x) = 2\text{e}^{0,5x} - 3$.\\
\textbf{D.~} $y(x) = \text{e}^{2x - 3}$.
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

Un virus sévit dans une population. Un test (gold standard) permet de dire avec certitude si un individu est malade ou non.

Mais il est coûteux et invasif. Dans la pratique, on met en place un test sérologique, dont les indicateurs caractéristiques -- la sensibilité et la spécificité -- sont définis ci-après.

On prélève un individu au hasard dans la population et on considère les évènements :

$M$ : \og l'individu est malade \fg{} ;

$NM$ : \og l'individu n'est pas malade \fg{} ;

$T+$ : \og le test est positif\fg{} ;

T$-$ : \og  le test est négatif \fg.

On note: $p$ la probabilité que l'individu soit malade, on l'appelle la prévalence de la maladie ; 

$S_e = P_M(T_+)$ la sensibilité du test ;

$S_p = P_{NM}(T_-)$ la spécificité du test.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelques calculs

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M~~$} \taput{\ldots}}
	{\TR{$T_+$}\taput{\ldots}
	\TR{$T_-$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$NM~~$} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$T_+$}\taput{\ldots}
	\TR{$T_-$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item On appelle valeur prédictive positive du test le nombre $VPP = P_{T+}(M)$.
		
Montrer que $VPP = \dfrac{S_e p}{S_e p + (1 - p)\left(1 - S_p \right)}$.
\item On suppose dans cette question, que la prévalence
est de 30\,\%, que la sensibilité du test est de 90\,\% et que la spécificité 
du test est de 90\,\%.
		\begin{enumerate}
			\item Calculer la $VPP$ du test sérologique.
			\item Le test a t-il un intérêt ?
			\item Quel problème se pose-t-il en cas de maladie rare ?
		\end{enumerate}
		\item Dans cette question, on suppose que la prévalence est de 1\,\%, que la sensibilité du test est de 90\,\% et que la spécificité du test est de 90\,\%.
		\begin{enumerate}
			\item Calculer la $VPP$ du test sérologique.
			\item Le test a t-il un intérêt ?
			\item Quel problème se pose en cas de maladie rare ?
		\end{enumerate}
\item La $VPP$ d'un test sérologique n'est pas toujours un indicateur satisfaisant. On s'intéresse alors à un autre indicateur, le ratio de vraisemblance positif du test, défini par : 

\[RV+ = \dfrac{P_M(T_+)}{P_{NM}(T_+)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $RV+$ en fonction des indicateurs du test.
		\item Calculer le $RV+$ avec les données de la question 3 puis celles de la question 4.
		\item On admet que plus le $RV+$ est grand, plus la $VPP$ est grande.
		
D'après la question précédente, le RV+ est-il suffisant pour conclure + la fiabilité du test ? 

Si on a plusieurs tests possibles, comment choisir $S_e$ et $S_p$ pour avoir le test le plus significatif ?
	\end{enumerate}
Le gain diagnostique est important quand le RV+ est compris entre 5 et 10. $S_e$ et $S_p$ doivent donc être grands.
\item En situation clinique

Le médecin cherche surtout à ne pas \og passer à côté d'une maladie \fg{} et accepte \og d'alerter à tort \fg{} un patient.

Il abaisse le seuil de positivité du test. Quelle est la conséquence :
	\begin{enumerate}
		\item Sur $S_e$ et $S_p$ ?
		\item Sur le nombre de de \og faux positifs \fg{} ?
	\end{enumerate}
\item La courbe ROC

On vient de voir que l'on pouvait agir sur le seuil de positivité du test.

Lors du dépistage de la trisomie 21, le test consiste à
mesurer l'indicateur $HCG$.

On donne le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Seuil 	&$S_p$		&$1 - S_p$	&$S_e$\\ \hline
Max 	&1 			&0 			&0\\ \hline
3 		&0,995 		&0,005 		&0,22\\ \hline
2,75	&0,98		&0,02		&0,36\\ \hline
2,5		&0,96		&0,04 		&0,46\\ \hline
2,25	&0,93		&0,07 		&0,56\\ \hline
2		&\np{0,8975}&\np{0,1025}&0,65\\ \hline
1,75	&0,825		&0,175 		&0,73\\ \hline
1,5		&\np{0,7425}&\np{0,2575}&0,8\\ \hline
1,25	&\np{0,6475}&\np{0,3525}&0,84\\ \hline
1		&0,475		&0,525 		&0,89\\ \hline
Min 	&0 			&1 			&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=10cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.075pt](0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,0)(0.005,0.22)(0.02,0.36)(0.04,0.46)(0.07,0.56)(0.1025,0.65)(0.175,0.73)(0.2575,0.8)(0.3525,0.84)(0.525,0.89)(1,1)
\uput[r](0.005,0.22){3}\uput[r](0.02,0.36){2,75}\uput[r](0.04,0.46){2,5}\uput[r](0.065,0.55){2,25}
\uput[r](0.1,0.65){2}\uput[dr](0.16,0.73){1,75}\uput[dr](0.2575,0.8){1,5}
\uput[dr](0.3525,0.84){1,25}
\uput[dr](0.525,0.89){1}
\rput{20}(0.4,0.89){\red courbe ROC}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1,1)
\uput[ul](0.1,0.65){\red A}\uput[dr](0.5,0.5){\blue B}
\uput[r](0,0.97){$S_e$}\uput[u](0.95,0){$1 - S_p$}
\rput{45}(0.75,0.7){\blue diagonale de la chance}
\uput[dr](1,1){min}\uput[ur](0,0){max}
\psdots[linecolor=red](0,0)(0.005,0.22)(0.02,0.36)(0.04,0.46)(0.07,0.56)(0.1025,0.65)(0.175,0.73)(0.2575,0.8)(0.3525,0.84)(0.525,0.89)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pour un seuil de sensibilité 2 correspondant au point A :
			\begin{enumerate}
				\item Que vaut $RV+$ à $10^{-2}$ près.
				\item Interpréter graphiquement cette valeur.
			\end{enumerate}
		\item Pour le point B du graphique.
			\begin{enumerate}
				\item Que vaut $RV+$ ?
				\item Que dire de ce test sérologique ?
			\end{enumerate}
		\item À quel point du graphique correspond le test parfait ?
		\item La capacité diagnostique d'un test peut être quantifiée par l'aire sous la courbe ROC.
			\begin{enumerate}
				\item Que vaut cette aire quand le test n'a pas d'intérêt ?
				\item Que vaut cette aire quand le test est parfait ?
				\item Comment doit être cette aire pour que le test soit le meilleur possible ?
			\end{enumerate}	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}