\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{multicol} \usepackage{xcolor} \usepackage{pstricks-add} %\input{../../preambule_docecrit} \date{TS} \usepackage{tabularx} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} %\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\Ci}{\text{i}} %%% MODIFICATION %% Plus simple à taper et aussi clair. %% \e : exponentielle \newcommand{\e}{\text{e}} %%% MODIFICATION %%% dx avec d en romain \newcommand*{\dd}{\text{d}\,} %%% MODIFICATION %% Une majuscule en italique : elle désigne une intégrale et non un %% point. \newcommand*{\I}{\mathit{I}} %%% MODIFICATION %% Une majuscule en italique : elle désigne une transformation. %% \newcommand*{\transformation}{\mathit{S}} %% MODIFICATION %% Titre des exercices + mise en forme ! %% compteur des énoncés : \newcounter{exoBac} \setcounter{exoBac}{1} \newcommand{\titreExe}[2][]{\vspace{1cm}\par \textbf {\textsc{Exercice} \theexoBac{} #1 \hfill #2 points} \par \medskip \par \refstepcounter{exoBac}} \newcounter{partieBac}[exoBac] \newcommand{\partieBac}[1] {\refstepcounter{partieBac}\vspace{0.5cm}\hfill\textbf{PARTIE \Alph{partieBac}. #1}\hfill~\par}% %% raccourcis vers l'intervalle : \newcommand*{\intervalleA}{[1\,;\,+\infty[} \newcommand*{\intervalleB}{[0\,;\,1]} \newcommand*{\intervalleC}{\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Concours d'entrée École de santé des armées 2013~\decofourright}} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{EXERCICE 1 \hfill 6 points} Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmation A, B, C ou D est exacte. On demande au candidat de signaler sans justification la réponse qui lui parait exacte en cochant sur la grille prévue à cette effet (voir Annexe) Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point. Toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$. \medskip \begin{enumerate} \item Question \no 1: $\displaystyle\lim_{x\to - \infty}{\dfrac{2x+3}{\text{e}^x}}$ est égale à :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} A:~~2 & B:~~$+\infty$ & C:~~$+\infty$ & D:0 \\ \end{tabularx} \item Question \no 2: On considère une fonction $u$ définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle I. On note $u'$ sa fonction dérivée. On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à I par $f(x)=\ln\left(u(x)\right)$.\\ \begin{tabular}{l} A: On ne peut pas déterminer le sens de variation de $f$ .\\ B: la fonction $f$ est décroissante sur I. \\ C: la fonction $f$ est croissante sur I. \\ D: la fonction $f$ est croissante puis décroissante sur I .\\ \end{tabular} \item Question \no 3 : Dans \R l'équation $\text{e}^{2x}+ 2\text{e}^x - 3 = 0$ \begin{tabular}{l} A : admet une unique solution.\\ B : admet exactement deux solutions.\\ C : admet une infinité de solutions. \\ D : n'admet aucune solution. \\ \end{tabular} \item Question \no 4 : Dans une bibliothèque, on trouve 150 romans et 50 biographies. 40\,\% des écrivains de romans sont français et 70\,\% des écrivains de biographies sont français. Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les deux cents ouvrages. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est: \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} A :~~0,9 & B :~~0,475 & C :~~0,7& D :~~0,3 \\ \end{tabularx} \item Question \no 5: On considère les points A, B, C d'affixes respectives $a = - 1 + \text{i}$ ; $b = 2\text{i}$ ; $c = 2 - 2\text{i}$. Le triangle ABC est: \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} A:~~quelconque. & B:~~isocèle en A. & C:~~rectangle en A. & D:rectangle en C. \\ \end{tabularx} \item Question \no 6: On considère trois suite $(u_n),~~(v_n),~~(w_n)$ qui vérifient la propriété suivante: Pour tout entier naturel $n$ strictement positif: $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$. Si $u_n = \dfrac{2n^2 - 1}{n^2}$ et $w_n=\dfrac{2n^2 + 3}{n^2}$ alors: \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{X}} A:~~ $\displaystyle\lim_{}{w_n}=0$ & B:~~ $\displaystyle\lim{v_n}=2$ & C:~~ $\displaystyle\lim{u_n}=-1$ & D: la suite $(v_n)$ n'a pas de limite\\ \end{tabularx} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{EXERCICE 2 \hfill 8 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur \R par \[f(x) = \dfrac{3\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}.\] On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ et par $F$ la primitive de $f$ qui vérifie $F(0) = 0$. Dans le repère orthonormé unité $2$~cm ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ tracée représente la fonction $f$ et la droite $D$ est sa tangente au point $A\left(0~;~\dfrac{3}{2}\right)$.\\ \bigskip PREMIÈRE PARTIE \bigskip \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{f(x)}$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}{f(x)}$. Que peut-on en déduire ?\\ \item Montrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) = \dfrac{3\text{e}^x}{\left(\text{e}^x+1}\right)^2}$. \item Étudier le sens de variation de $f$ sur \R puis dresser le tableau de variation complété des limites. \item Déterminer une équation de la droite $D$. \end{enumerate} \bigskip DEUXIÈME PARTIE \bigskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$, exprimer $F(x)$ en fonction de $x$.\\ \item Vérifier que $F(1) = 3\ln\left(\dfrac{\text{e}+1}{2}\right)$\\ \item Sur le graphe ci-dessous, le domaine grisé est délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de coordonnées et la droite d'équation $x = 1$. Calculer l'aire en unités d'aires de ce domaine.\\ \begin{center} \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0} \psset{xunit=0.25cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture*}(-14.85,-2.97)(15.03,13.03) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](-14.85,-2.97)(15.03,13.03) \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.71,-0.74)(3.76,3.26) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(1,0)(1,2.19)(0,1.5) \psplot[plotpoints=200]{-3.71278667194423}{3.757144249583737}{(3*2.718281828^x)/(2.718281828^x+1)} \psplot{-3.71}{3.76}{(--1.5--0.75*x)/1} \rput[tl](-2.41,-0.46){$D$} \rput[tl](2.6,2.65){ $\mathcal{C}_f$} \psline[linecolor=zzttqq](0,0)(1,0) \psline[linecolor=zzttqq](1,0)(1,2.19) \psline[linecolor=zzttqq](1,2.19)(0,1.5) \psline[linecolor=zzttqq](0,1.5)(0,0) \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{EXERCICE 3 \hfill 6 points} Une usine d'assemblage de pièces détachées possède $100$~robots. On considère que chacun de ces robots a une probabilité de $0,1$ d'être en panne. Le bon fonctionnement d'un robot est indépendant des autres robots. Soit $X$ le nombre de robots en panne dans cette usine. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? Justifier soigneusement. Donner l'expression de $P(X = k)$, pour tout $k\in \{0~;~?~;~\np{1000}\}$.\\ \item Déterminer l'espérance, la variance et l'écart-type de la variable aléatoire $X$.\\ Pour la suite de l'exercice, on donne les valeurs des $P(X = k)$ et des $P(X\leqslant k)$ pour $k$ variant de 0 à 20 arrondi à $10^{-5}$ près. \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $k$ & $p(X=k)$ & $p(X \leqslant k)$ \\ \hline 0 & \np{0,00003} & \np{0,00003} \\ \hline 1 & \np{0,00030} & \np{0,00032} \\ \hline 2 & \np{0,00162} & \np{0,00194} \\ \hline 3 & \np{0,00589} & \np{0,00784} \\ \hline 4 & \np{0,01587} & \np{0,02371} \\ \hline 5 & \np{0,03387} & \np{0,05758} \\ \hline 6 & \np{0,05958} & \np{0,11716} \\ \hline 7 & \np{0,08890} & \np{0,20605} \\ \hline 8 & \np{0,11482} & \np{0,32087} \\ \hline 9 & \np{0,13042} & \np{0,45129} \\ \hline 10 & \np{0,13187} & \np{0,58316} \\ \hline 11 & \np{0,11988} & \np{0,70303} \\ \hline 12 & \np{0,09879} & \np{0,80182} \\ \hline 13 & \np{0,07430} & \np{0,87612} \\ \hline 14 & \np{0,05130} & \np{0,92743} \\ \hline 15 & \np{0,03268} & \np{0,96011} \\ \hline 16 & \np{0,01929} & \np{0,97940} \\ \hline 17 & \np{0,01059} & \np{0,98999} \\ \hline 18 & \np{0,00543} & \np{0,99542} \\ \hline 19 & \np{0,00260} & \np{0,99802} \\ \hline 20 & \np{0,00117} & \np{0,99919} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quelle est la probabilité que dans un lot de $100$~robots, il y ait au moins trois robots défectueux ?\\ \item Déterminer au seuil de 95\,\% l'intervalle de fluctuation associé à la loi vérifiée par $X$. \end{enumerate} \end{document}