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%%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% \e : exponentielle
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%%% MODIFICATION
%%% dx avec d en romain
\newcommand*{\dd}{\text{d}\,}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une intégrale et non un
%% point.
\newcommand*{\I}{\mathit{I}}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une transformation.
%% 
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%% MODIFICATION
%% Titre des exercices + mise en forme !
%% compteur des énoncés :
\newcounter{exoBac} \setcounter{exoBac}{1}
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\textbf {\textsc{Exercice} \theexoBac{} #1 \hfill #2 points} \par
\medskip \par 
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{\refstepcounter{partieBac}\vspace{0.5cm}\hfill\textbf{PARTIE  
\Alph{partieBac}. #1}\hfill~\par}%
%% raccourcis vers l'intervalle :
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours d'entrée École de santé des armées 2013~\decofourright}}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{EXERCICE 1 \hfill 6 points}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmation A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat de signaler sans justification la réponse qui lui parait exacte en cochant sur la grille prévue à cette effet (voir Annexe)

Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point. Toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point.

Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Question \no 1: $\displaystyle\lim_{x\to - \infty}{\dfrac{2x+3}{\text{e}^x}}$ est égale à :\\

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
 A:~~2 & B:~~$+\infty$ & C:~~$+\infty$ & D:0 \\ 
\end{tabularx} 

\item Question \no 2: On considère une fonction $u$ définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle I. On note $u'$ sa fonction dérivée. On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à I par $f(x)=\ln\left(u(x)\right)$.\\

\begin{tabular}{l}
 A: On ne peut pas déterminer le sens de variation de $f$ .\\ 
 B: la fonction $f$ est décroissante sur I. \\ 
 C: la fonction $f$ est croissante sur I. \\ 
 D: la fonction $f$ est croissante puis décroissante sur I .\\ 
\end{tabular} 

\item Question \no 3 : Dans \R l'équation $\text{e}^{2x}+ 2\text{e}^x - 3 = 0$

\begin{tabular}{l}
A : admet une unique solution.\\ 
B : admet exactement deux solutions.\\ 
C : admet une infinité de solutions. \\ 
D : n'admet aucune solution. \\ 

\end{tabular} 

\item  Question \no 4 : Dans une bibliothèque, on trouve 150 romans et 50 biographies. 40\,\% des écrivains de romans sont français et 70\,\% des écrivains de biographies sont français. Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les deux cents ouvrages. 

La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
 A :~~0,9 & B :~~0,475 & C :~~0,7& D :~~0,3 \\ 
\end{tabularx} 

\item  Question \no 5: On considère les points A, B, C d'affixes respectives 

$a = - 1 + \text{i}$ ; $b = 2\text{i}$ ; $c = 2 - 2\text{i}$. Le triangle ABC est:



\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A:~~quelconque. & B:~~isocèle en A. & C:~~rectangle en A. & D:rectangle en C. \\ 
\end{tabularx} 


\item  Question \no 6: On considère trois suite $(u_n),~~(v_n),~~(w_n)$ qui vérifient la propriété suivante:

Pour tout entier naturel $n$ strictement positif: $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$.

Si $u_n = \dfrac{2n^2 - 1}{n^2}$ et $w_n=\dfrac{2n^2 + 3}{n^2}$ alors:

\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{X}}
 A:~~ $\displaystyle\lim_{}{w_n}=0$ & B:~~ $\displaystyle\lim{v_n}=2$ & C:~~ $\displaystyle\lim{u_n}=-1$ & D: la suite $(v_n)$ n'a pas de limite\\ 
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{EXERCICE 2 \hfill 8 points}

\medskip

On considère la fonction  $f$ définie sur \R par 

\[f(x) = \dfrac{3\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}.\]
 
On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ et par $F$ la primitive de $f$ qui vérifie $F(0) = 0$.

Dans le repère orthonormé unité $2$~cm ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ tracée représente la fonction $f$ et la droite $D$ est sa tangente au point $A\left(0~;~\dfrac{3}{2}\right)$.\\

\bigskip
PREMIÈRE PARTIE
\bigskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{f(x)}$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}{f(x)}$. Que peut-on en déduire ?\\
\item Montrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) = \dfrac{3\text{e}^x}{\left(\text{e}^x+1}\right)^2}$.
\item Étudier le sens de variation de $f$ sur \R puis dresser le tableau de variation complété des limites.
\item Déterminer une équation de la droite $D$.
\end{enumerate}

\bigskip
DEUXIÈME PARTIE
\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout réel $x$, exprimer $F(x)$ en fonction de $x$.\\
\item Vérifier que $F(1) = 3\ln\left(\dfrac{\text{e}+1}{2}\right)$\\

\item Sur le graphe ci-dessous, le domaine grisé est délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de coordonnées et la droite d'équation $x = 1$.

Calculer l'aire en unités d'aires de ce domaine.\\

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture*}(-14.85,-2.97)(15.03,13.03)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](-14.85,-2.97)(15.03,13.03)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.71,-0.74)(3.76,3.26)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(1,0)(1,2.19)(0,1.5)
\psplot[plotpoints=200]{-3.71278667194423}{3.757144249583737}{(3*2.718281828^x)/(2.718281828^x+1)}
\psplot{-3.71}{3.76}{(--1.5--0.75*x)/1}
\rput[tl](-2.41,-0.46){$D$}
\rput[tl](2.6,2.65){ $\mathcal{C}_f$}
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(1,0)
\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(1,2.19)
\psline[linecolor=zzttqq](1,2.19)(0,1.5)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1.5)(0,0)
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{EXERCICE 3 \hfill 6 points}

Une usine d'assemblage de pièces détachées possède $100$~robots. On considère que chacun de ces robots a une probabilité de $0,1$ d'être en panne. Le bon fonctionnement d'un robot est indépendant des autres robots. Soit $X$ le nombre de robots en panne dans cette usine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? Justifier soigneusement. Donner l'expression de $P(X = k)$, pour tout $k\in \{0~;~?~;~\np{1000}\}$.\\

\item Déterminer l'espérance, la variance et l'écart-type de la variable aléatoire $X$.\\
 
Pour la suite de l'exercice, on donne les valeurs des $P(X = k)$ et des $P(X\leqslant k)$ pour $k$ variant de 0 à 20 arrondi à $10^{-5}$ près. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline $k$ & $p(X=k)$ & $p(X \leqslant k)$ \\ 
\hline 0 & \np{0,00003} & \np{0,00003} \\ 
\hline 1 & \np{0,00030} & \np{0,00032} \\ 
\hline 2 & \np{0,00162} & \np{0,00194} \\ 
\hline 3 & \np{0,00589} & \np{0,00784} \\ 
\hline 4 & \np{0,01587} & \np{0,02371} \\ 
\hline 5 & \np{0,03387} & \np{0,05758} \\ 
\hline 6 & \np{0,05958} & \np{0,11716} \\ 
\hline 7 & \np{0,08890} & \np{0,20605} \\ 
\hline 8 & \np{0,11482} & \np{0,32087} \\ 
\hline 9 & \np{0,13042} & \np{0,45129} \\ 
\hline 10 & \np{0,13187} & \np{0,58316} \\ 
\hline 11 & \np{0,11988} & \np{0,70303} \\ 
\hline 12 & \np{0,09879} & \np{0,80182} \\ 
\hline 13 & \np{0,07430} & \np{0,87612} \\ 
\hline 14 & \np{0,05130} & \np{0,92743} \\ 
\hline 15 & \np{0,03268} & \np{0,96011} \\ 
\hline 16 & \np{0,01929}  & \np{0,97940} \\ 
\hline 17 & \np{0,01059} & \np{0,98999} \\ 
\hline 18 & \np{0,00543} & \np{0,99542} \\ 
\hline 19 & \np{0,00260} & \np{0,99802} \\ 
\hline 20 & \np{0,00117} & \np{0,99919} \\ 
\hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Quelle est la probabilité que dans un lot de $100$~robots, il y ait au moins trois robots défectueux ?\\
\item Déterminer au seuil de 95\,\% l'intervalle de fluctuation associé à la loi vérifiée par $X$.
\end{enumerate}
\end{document}
