\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{multicol} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{ntheorem,thmtools} \declaretheorem[title=Exercice]{exo} \declaretheorem[title=Théorème]{thm} \declaretheorem[title=Définition]{dfn} \declaretheorem[title=Propriété]{prop} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{geometry} \geometry{lmargin=2cm,rmargin=2cm,textheight=26cm} \newcommand{\R}{$ \mathbb{R} $ } \newcommand{\N}{$ \mathbb{N} $ } \newcommand{\D}{$ \mathbb{D} $ } \newcommand{\Z}{$ \mathbb{Z} $ } \newcommand{\Q}{$ \mathbb{Q} $ } \newcommand{\C}{$ \mathbb{C} $ } \newcommand{\defin}{\textbf{Définition:\\}} \newcommand{\defs}{\textbf{Définitions:\\}} \newcommand{\props}{\textbf{Propriétés:\\}} \newcommand{\rems}{\textbf{Remarques:\\}} \newcommand{\rem}{\textbf{Remarque:\\}} \newcommand{\expl}{\textbf{Exemple:\\}} \newcommand{\demo}{\textbf{Démonstration:\\}} \newcommand{\prttx}{pour tout réel $ x \in \mathbb{R} $} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\labelitemi}{\cdot} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{0cm} \usepackage{fancyhdr} %\thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{pstricks-add} \date{TS} \usepackage{tabularx} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} %\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\Ci}{\text{i}} %%% MODIFICATION %% Plus simple à taper et aussi clair. %% \e : exponentielle \newcommand{\e}{\text{e}} %%% MODIFICATION %%% dx avec d en romain \newcommand*{\dd}{\text{d}\,} %%% MODIFICATION %% Une majuscule en italique : elle désigne une intégrale et non un %% point. \newcommand*{\I}{\mathit{I}} %%% MODIFICATION %% Une majuscule en italique : elle désigne une transformation. %% \newcommand*{\transformation}{\mathit{S}} %% MODIFICATION %% Titre des exercices + mise en forme ! %% compteur des énoncés : \newcounter{QCM} \setcounter{QCM}{1} \newcounter{exoBac} \setcounter{exoBac}{1} \newcommand{\titreExe}[2][]{\vspace{1cm}\par \textbf {\textsc{Exercice} \theexoBac{} #1 \hfill #2 points} \par \medskip \par \refstepcounter{exoBac}}\newcounter{partieBac}[exoBac]\newcommand{\partieBac}[1]{\refstepcounter{partieBac}\vspace{0.5cm}\hfill\textbf{PARTIE \Alph{partieBac}. #1}\hfill~\par}% %% raccourcis vers l'intervalle : \newcommand*{\intervalleA}{[1\,;\,+\infty[} \newcommand*{\intervalleB}{[0\,;\,1]} \newcommand*{\intervalleC}{\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Concours d'admission Ecole de santé des armées avril 2014~\decofourright}} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section*{Avertissements} Durée: 1 heure 30 minutes, coefficient : 3 \begin{itemize} \item L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, de formulaire et de papier millimétré n'est pas autorisé. \item Il ne sera pas fait usage d'encre rouge. \item Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe. \item Les candidats traiteront les trois exercices. \item Les réponses des exercices \no 1 et \no 2 (QCM) seront données dans une grille prévue à cet effet. \item L'exercice \no 3 sera traité sur une copie à part. \end{itemize} \section*{EXERCICE 1 \hfill 7 points} Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte. On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant sur la grille prévue à cet effet.} Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point. Toute réponse fausse est comptée $- 0,5$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$. \bigskip \begin{enumerate} \item\textbf{QCM 1}: Soit la fonction $h$ définie pour out réel $x$ par $h(x)= \text{e}^{-x}- x + 4$. Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $h$. :\\ \medskip \begin{tabular}{l} A :~~$h'(x)= \text{e}^{-x}-1$ \\ B :~~$h$ admet un maximum \\ C :~~$\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale \\ D :~~l'équation $h(x) = 5$ a une solution unique dans l'ensemble des réels.\\ \end{tabular} \medskip \item\textbf{QCM 2}: Dans l'ensemble des nombres réels, l'inéquation $-2 x \text{e}^{- x + 1}\geqslant 0$ a pour ensemble de solutions:\\ \medskip \begin{tabular}{l} A : $\emptyset$.\\ B : $\{0\}$. \\ C : $]-\infty~;~0]$. \\ D : $[0~;~+\infty[$ .\\ \end{tabular} \medskip \item \textbf{QCM 3} : On considère l'intégrale $I = \displaystyle\int_1^\text{e}{t^2\ln(t)}\text{d}t$. On pourra, pour calculer $I$, utiliser la dérivée de la fonction $h$ définie sur $[1~;~\text{e}]$ par $h(t) = t^3[3\ln(t) - 1]$. La valeur exacte de $I$ est: \medskip \begin{tabular}{l} A :~~$(2\text{e}^3+1)/9$.\\ B :~~$2\text{e}^3+1$.\\ C :~~$\left(\text{e}^2-2\text{e}\right)/9$. \\ D :~~$\left(\text{e}^2+2\text{e}\right)/9$. \\ \end{tabular} \medskip \item\textbf{QCM 4}: Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\cos x.$ La dérivée $f'$ de $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f'(x)=$:: \medskip \begin{tabular}{llll} A:~~$-\sin x$ & B:~~$\cos x$& C:~~$\cos x+x \sin x$& D:$\cos x-x \sin x$ \\ \end{tabular} \medskip \item\textbf{QCM 5}: Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\cos x.$ La primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=1$ est définie pour tout réel $x$ par $F(x)=$: \medskip \begin{tabular}{llll} A :~~$\frac{x^2}{2}\sin x+1$ & B :~~$-\frac{x^2}{2}\sin x+1$& C :~~$\cos x+x \sin x$& D :~~ $\cos x-x \sin x$ \\ \end{tabular} \medskip \item\textbf{QCM 6}: L'intégrale $I=\displaystyle\int_2^4{\frac{3x}{x^2-1}}\text{d}x$ est égale à : \medskip \begin{tabular}{llll} A:~~ $3\ln(12)$ & B:~~ $1,5\ln(5)$ & C:~~ $1,5\ln(12)$ & D: autre.\\ \end{tabular} \medskip \item\textbf{QCM 7}: On considère la fonction $f$ dérivable sur $]0~;+\infty[ $ et définie par $f(x)=\dfrac{-x^2-2\ln x}{x}$: La limite de $f$ en $+\infty$ est égale à: \medskip \begin{tabular}{llll} A :~~ $0$ & B :~~ $-\infty$ & C :~~ $+ \infty$ & D : 1\\ \end{tabular} \end{enumerate} \pagebreak %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section*{EXERCICE 2 \hfill 7 points} Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte. On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant sur la grille prévue à cet effet.} Toute réponse juste est comptée $+1$ point. Toute réponse fausse est comptée $- 0,5$ point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{QCM 8:} Une solution de l'équation $2z+\overline{z}=9+ \text{i}$ est : \medskip \begin{tabular}{llll} A : $18- \text{i}$.& B : $1$.& C : $3+ \text{i}$. & D : $9- \text{i}$. \\ \end{tabular} \medskip \item\textbf{QCM 9:} On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0=1$ et la relation de récurrence: $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2$: \medskip \begin{tabular}{l} A : la suite $u$ est géométrique.\\ B : la suite $u$ est arithmétique.\\ C : la suite $u$ est majorée par 3. \\ D : la suite $u$ est convergente vers 2. \\ \end{tabular} \medskip \item\textbf{QCM 10 :} On considère trois suites $u$, $v$, et $w$ qui vérifient la propriété suivante: Pour tout entier naturel $n$ non nul: $u_n 2$ \\ D : $\displaystyle\lim _{n\to +\infty}\left(v_n\right) = 2$. \\ \end{tabular} \medskip \item\textbf{QCM 11:} Un sac contient 4 boules noires et 3 boules rouges.On tire successivement et sans remise 2 boules du sac. Sachant que la première boule tirée est noire, la probabilité de la seconde soit noire est \medskip \begin{tabular}{llll} A :~~ $\dfrac{2}{7}$ & B :~~ $\dfrac{4}{7}$& C :~~ $\dfrac{1}{2}$ & D : $\dfrac{2}{3}$\\ \end{tabular} \medskip \item\textbf{QCM 12:} On lance un dé cubique bien équilibré et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de dé. Soit les évènements: $I$ : \og le numéro est inférieur ou égal à 3 \fg. $M$ : \og le numéro est un multiple de 3 \fg. \medskip \begin{tabular}{l} A : $P(I\cup M)= \frac{5}{6}$. \medskip\\ B : $P(I\cap M)= \frac{1}{2}$. \medskip\\ C : $I$ et $M$ sont incompatibles \medskip \\ D : $I$ et $M$ sont indépendants.\\ \end{tabular} \medskip \item \textbf{QCM 13:} Une maladie frappe $2\,\%$ de la population d'un pays. Pour dépister cette maladie, on utilise un test. On sait que: \begin{itemize} \item~~la probabilité que le test soit positif, sachant que l'individu est malade, est 0,9 ; \item~~la probabilité que le test soit négatif, sachant que l'individu n'est pas malade, est 0,9. \end{itemize} \medskip On note les évènements: $M+$ : \og l'individu est malade \fg $M-$ : \og l'individu n'est pas malade \fg $T+$ : \og le test est positif \fg $T-$ : \og le test est négatif \fg \medskip \begin{tabular}{l} A : $P_{M+}(T+)$ vaut 0,1.\\ B : $P(T+)$ vaut 0,278.\\ C : $P(T+)$ vaut 0,22 \\ D : $P_{T+}(M+)$ vaut 0,16. \\ \end{tabular} \medskip \item[] \textbf{QCM 14:} X est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[2~;~20].$ La probabilité $P_{X>6}(5 < X < 10)$ est égale à : \medskip \begin{tabular}{llll} A:~~ $\dfrac{5}{18}$ & B :~~$\dfrac{5}{14}$& C :~~$\dfrac{2}{7}$ & D : $\dfrac{1}{4}$\\ \end{tabular} \medskip \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section*{EXERCICE 3 \hfill 6 points} Un essai thérapeutique est réalisé chez des patients atteints d'une maladie associée à une très forte mortalité. Les données de cet essai sont correctement ajustées par un modèle de survie exponentielle. Soit $X_A$ la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda_A=0,22$.\\ C'est à dire $P\left(X_A\leqslant t\right) = \displaystyle\int_0^t{0,22 \text{e}^{-0,22 x}}\text{d}x$.\\ Soit $X_B$ la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda_B=0,11$.\\ C'est à dire $P(X_B\leqslant t) = \displaystyle\int_0^t{0,11 \text{e}^{-0,11 x}}\text{d}x$.\\ $t$ représente le temps en années avec $\geqslant 0$.\\ Avec un traitement $A$, la probabilité de survie à l'instant $t$ est égale à $S_A(t) = P(X_A>t)$.\\ Avec un traitement $B$, la probabilité de survie à l'instant $t$ est égale à $S_B(t) = P(X_B>t)$.\\ Aide aux calculs $\text{e}^{-2,2}\approx 0,111$ et $\sqrt{0,111}\approx 0,333$. \begin{enumerate} \item Calculer $P\left(X_A\leqslant 10\right)$.\\ \item Démontrer que pour tout réel $t$ positif, $S_A(t) = \text{e}^{-0,22 t}$.\\ \item Donner le tableau de variation complet de la fonction $S_A$. Justifier.\\ \item Calculer la probabilité de survie à 10 ans dans le cas du traitement B.\\ \item Calculer la probabilité de survie à 5 ans dans le cas du traitement A.\\ \item Le rapport de survie des traitements A et B est-il constant au cours du temps ?\\ \item Pour $t$ fixé, établir la relation entre la survie dans le cas du traitement A et la survie dans le cas du traitement B. \end{enumerate} \end{document}