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%%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% \e : exponentielle
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%%% MODIFICATION
%%% dx avec d en romain
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%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une intégrale et non un
%% point.
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%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une transformation.
%% 
\newcommand*{\transformation}{\mathit{S}}
%% MODIFICATION
%% Titre des exercices + mise en forme !
%% compteur des énoncés :

\newcounter{QCM} \setcounter{QCM}{1}


\newcounter{exoBac} \setcounter{exoBac}{1}
\newcommand{\titreExe}[2][]{\vspace{1cm}\par  \textbf {\textsc{Exercice} \theexoBac{} #1 \hfill #2 points} \par
  \medskip
  
   \par   \refstepcounter{exoBac}}\newcounter{partieBac}[exoBac]\newcommand{\partieBac}[1]{\refstepcounter{partieBac}\vspace{0.5cm}\hfill\textbf{PARTIE      \Alph{partieBac}. #1}\hfill~\par}%

%% raccourcis vers l'intervalle :
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\newcommand*{\intervalleC}{\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]}

\begin{document}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours d'admission Ecole de santé des armées avril 2014~\decofourright}}
 \end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section*{Avertissements}

%Durée: 1heure 30 minutes, coefficient: 3

%\begin{itemize}
%\item L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, de formulaire et de papier millimétré n'est pas autorisé.
%\item Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
%\item Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe.
%\item Les candidats devront traités les trois exercices.
%\item Les réponses des exercices n°1 et n°2 (QCM) seront données dans une grille prévue à cet effet.
%\item L'exercice n°3 sera traité sur une copie à part.


%\end{itemize}


\section*{EXERCICE 1 \hfill 7 points}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer \underline{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \underline{en cochant sur la grille prévue à cet effet.} 

Toute réponse juste est comptée $+1$point. Toute réponse fausse est comptée $-0,5$ point.

Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
\bigskip

Réponses: 1:D; 2:C; 3: A; 4: D; 5: C; 6: B; 7: B


\begin{enumerate}
\item[] \textbf{QCM 1}:

Soit la fonction $h$ définie pour out réel $x$ par $h(x)=e^{-x}-x+4$.

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $h$.
 :\\
\medskip 

Pour tout réel $x$, $h'(x)= - \e^{-x}-1$. Ce qui exclut A.

Pour tout réel $x$, $h'(x)= - \e^{-x}-1<0$. Ce qui exclut B.

On a :
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \e^{-x}=+\infty$,$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} {-x}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \e^{-x}-x+4=+\infty$.

On a:
 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \e^{-x}=0$,$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} {-x}=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \e^{-x}-x+4=-\infty$.

Ces deux résultats excluent C...Reste D ( h fonction continue strictement monotone sur \R avec $h(x)$ qui décrit \R.)


\medskip

\item[] \textbf{QCM 2}: 

Dans l'ensemble des nombres réels, l'inéquation $- 2 x \e^{-x+1}\geqslant 0$ a pour ensemble de solutions...

\medskip

Pour tout réel $x$, $\e^{-x+1}>0$ et  $-2 x \e^{-x+1}\geqslant 0 \Leftrightarrow -2 x\geqslant0 \Leftrightarrow x\leqslant 0$ 

Réponse: C


\medskip


\item[] \textbf{QCM 3}:

On considère l'intégrale $I=\displaystyle\int_1^\e{t^2\ln(t)}\text{d}t$.

Calculons la dérivée de la fonction $h$ définie sur $[1;\e]$ par $h(t)=t^3[3\ln(t)-1]$. 

On a $h'(t)=3t^2(3\ln(t)-1)+3t^2=9t^2\ln(t)$.

On en déduit :

 $I=\displaystyle\int_1^\e{t^2\ln(t)}\text{d}t=\dfrac{1}{9}\displaystyle\int_1^\e{h'(t)}\text{d}t=\dfrac{1}{9}\left[h(t)\right]_1^\e$.

La valeur exacte de I est:$I=\dfrac{2e^3+1}{9}.$
Réponse: A



\medskip

\item[] \textbf{QCM 4}:

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\cos x.$

La dérivée $f'$ de $f$ est définie pour tout réel $x$ par:


 $f'(x)=-x\sin x+\cos x$::

Réponse: D
\medskip



\item[] \textbf{QCM 5}: 
Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\cos x.$

La primitive  $F$ de $f$ telle que $F(0)=1$ est définie pour tout réel $x$ par $F(x)=\cos x+x\sin x$:

\medskip
Il suffit de dériver la fonction de la réponse C





\medskip




\item[] \textbf{QCM 6}:  $I=\displaystyle\int_2^4{\frac{3x}{x^2-1}}\text{d}x=\dfrac{3}{2}\displaystyle\int_2^4{\frac{2x}{x^2-1}}\text{d}x=\dfrac{3}{2}\left[\ln(x^2-1\right]_2^4=\dfrac{3}{2}(\ln(15)-\ln(3))$ 


D'où $I=1,5\ln(5)$.

Réponse: B

\medskip



\medskip

\item[] \textbf{QCM 7}:

 On considère la fonction $f$ dérivable sur $]0;+\infty[ $ et définie par $f(x)=\dfrac{-x^2-2\ln x}{x}$:

On a $f(x)=-x-2\dfrac{\ln x}{x}$.

on sait que $\displaystyle\lim _{x\to +\infty}{\dfrac{\ln x}{x}}=0$.

On a donc $\displaystyle\lim _{x\to +\infty}{f(x)}=-\infty.$

Réponse: B





\end{enumerate}


\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{EXERCICE 2 \hfill 7 points}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer \underline{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \underline{en cochant sur la grille prévue à cet effet.} 

Toute réponse juste est comptée $+1$point. Toute réponse fausse est comptée $-0,5$ point.

Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.


\begin{enumerate}
\item[] \textbf{QCM 8:}

On considère l'équation $2z+\overline{z}=9+i$ . On pose $z=x+iy$. on a $\overline{z}=x-iy$, avec $x\in \mathbb{R}$ et $y\in \mathbb{R}$.


$2z+\overline{z}=9+i\Leftrightarrow 2(x+iy)+(x-iy)=9+i\Leftrightarrow 3x+iy=9+i \Leftrightarrow (x=3 \text{et} y=1)$

Réponse: C
\medskip



\item[] \textbf{QCM 9:} 

On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0=1$ et la relation de récurrence: $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2$:
\medskip

La forme de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ exclut A et B.

Raisonnons par récurrence sur $n$.

Considérons la proposition $u_n<3$.

Initialisation: la proposition est vraie pour $n=0$.

Hérédité: Si $u_n<3$ est vraie, alors $\frac{1}{3}u_n+2$ est vraie et  $u_{n+1}<3$ est vraie.

Conclusion: Pour tout entier naturel $n$, d'après l'axiome de récurrence,$u_{n+1}<3$. Et la suite $u$ est majorée par 3.

Réponse: C  



\medskip

\item[] \textbf{QCM 10:} On considère trois suites $u$, $v$, et $w$ qui vérifient la propriété suivante:

Pour tout entier naturel $n$ non nul: $u_n<v_n<w_n.$

Si $\displaystyle\lim _{n\to +\infty}(u_n)=2$ et $\displaystyle\lim _{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}=0$ et comme  $w_{n}=u_n+\frac{1}{n},$ alors:$\displaystyle\lim _{n\to +\infty}(w_n)=2$.

D'après le théorème d'encadrement par des limites, on a:
$\displaystyle\lim _{n\to +\infty}(v_n)=2$.

Réponse: D



\medskip



\medskip

\item[] \textbf{QCM 11:} Un sac contient 4 boules noires et 3 boules rouges.On tire successivement et sans remise 2 boules du sac. Sachant que la première boule tirée est noire, il reste dans le sac 6 boules: 3 noires et 3 rouges;  la probabilité de la seconde soit noire est $\dfrac{1}{2}$

Réponse: C
\medskip





\item[] \textbf{QCM 12:} 

On lance un dé cubique bien équilibré et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de dé.

Soit les événements:

I:''le numéro est inférieur ou égal à 3''.$I=\{1;2;3\}$ et $p(I)=\frac{3}{6}$.

M:'' le numéro est un multiple de 3''.$M=\{3;6\}$ et $p(I)=\frac{2}{6}$.
\medskip


$I\cup M=\{1,2,3,6\}$ et $P(I\cup M)=\frac{4}{6}$.

$I\cap M=\{3\}$ $P(I\cap M)=\frac{1}{6}$ 

$P(I\cap M)=\frac{1}{6}$ et $p(I)\times p(M)=\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$.

Réponse: D


\medskip

\item[] \textbf{QCM 13:} 

Une maladie frappe $2\%$ de la population d'un pays. Pour dépister cette maladie, on utilise un test. On sait que:
\begin{itemize}
\item~~la probabilité que le test soit positif, sachant que l'individu est malade, est  0,9;

\item~~la probabilité que le test soit négatif, sachant que l'individu n'est pas malade, est  0,9.
\end{itemize}
\medskip

On note les événements:

$M+$: ``l'individu est malade''

$M-$: ``l'individu n'est pas malade''

$T+$: ``le test est positif''

$T-$: ``le test est négatif''

\medskip

\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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}
}


\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.6\textwidth}

D'après l'énoncé: $p_{M+}(T+)=0,9\neq0,1$;

D'après la formule des probabilités totales:

$p(T+)=p(M+)\times p_{M+}(T+)+ p(M-)\times p_{M-}(T+)=0,116$.

Par définition des probabilités conditionnelles:

$p_{T+}(M+)=\dfrac{p(M+\cup T+}{p(T+}=\dfrac{0.02\times 0.9}{0,116}$.

On trouve à $10^{-2}$ près $p_{T+}(M+)=0,16$.

Réponse: C


\end{minipage}




\medskip

\item[] \textbf{QCM 14:} 

X est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[2;20].$

$P_{X>6}(5<X<10)=\dfrac{p(6<x<10)}{p(X>6)}=\dfrac{4}{20}\times \dfrac{20}{14}=\dfrac{2}{7}.$ 


Réponse: C
\medskip

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{EXERCICE 3 \hfill 6 points}
Un essai thérapeutique est réalisé chez des patients atteints d'une maladie associée à une très forte mortalité. Les données de cet essai sont correctement ajustées par un modèle de survie exponentielle.

Soit $X_A$ la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda_A=0,22$.\\

C'est à dire $P(X_A\leqslant t)=\int_0^t{0,22 e^{-0.22 x}}dx$.\\


Soit $X_B$ la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda_B=0,11$.\\

C'est à dire $P(X_B\leqslant t)=\int_0^t{0,11 e^{-0.11 x}}dx$.\\


$t$ représente le temps en années avec $\geqslant 0$.\\

Avec un traitement $A$, la probabilité de survie  à l'instant $t$ est égale à $S_A(t)=P(X_A>t)$.\\

Avec un traitement $B$, la probabilité de survie  à l'instant $t$ est égale à $S_B(t)=P(X_B>t)$.\\


Aide aux calculs $e^{-2,2}\approx 0,111$ et $\sqrt{0,111}\approx 0,333$.

\begin{enumerate}
\item Calculons: $P(X_A\leqslant 10)$.\\

On a: $P(X_A\leqslant 10)=\displaystyle\int_0^t{-\lambda_A e^{-\lambda_A x}}dx=\left[-\e^{-\lambda_A x}\right]_0^t=1-\e^{-10\lambda_A}$.

Avec $\lambda_A=0,22$, $P(X_A\leqslant 10)=1-\e^{-2,2}=1-0,111=0,889$

\item Démontrons que pour tout réel $t$ positif, $S_A(t)=e^{-0,22 t}$.\\

L'événement ``$X_A>t$'' est l'événement contraire de l'événement ``$X_A\leqslant t $'', on en déduit:

$S_A(t)=P(X_A>t)1- p(X_A\leqslant t)=1-\displaystyle\int_0^t{\lambda_A e^{-\lambda_A x}}dx=1-\left[-\e^{-\lambda_A x}\right]_0^t=\e^{-t\lambda_A}$.

Et finalement:$S_A(t)=e^{-0,22 t}$.

\item La fonction $S_A$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ avec pour tout réel $t$, $t\geqslant0$: $S_A'(t)=-\lambda_A\e^{-\lambda_A t}<0$.

$S_A$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.

D'autre part $S(0)=1$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \e^{-x}=0$, alors $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} {S_A(t)}=0$ 




On en déduit le tableau de variation complet de la fonction $S_A$. \\

\item Calculons la probabilité de survie à 10 ans dans le cas du traitement B, c'est à dire $S_B(10)=p(X_B>10)$.\\

On a en utilisant les calculs faits au 2 pour $X_A$:

$S_B(10)=p(X_B>10)=\e^{-10\lambda_B}=\e^{-1,1}=(\e^{-2,2})^2=\sqrt{0,111}=0,333$.

\item Calculons la probabilité de survie à 5 ans dans le cas du traitement A.\\

On a $S_A(5)=e^{-1,1}$

\item Le rapport de survie des traitements A et B est-il constant au cours du temps?\\

Calculons $S_A(10)$; on a: $S_A(10)=e^{-2,2}$

On a d'autre part $S_B(5)=e^{-0,55}$.

On a: $\dfrac{S_A(5)}{S_B(5)}=e^{-0,55}$ et $\dfrac{S_A(10)}{S_B(10)}=e^{-1,1}$.

Or $-0,55>-1,1$ et $e^{-0,55} >e^{-1,1}$

On remarque que $\dfrac{S_A(5)}{S_B(5)}> \dfrac{S_A(10)}{S_B(10)}$.
Le rapport de survie des traitements A et B n'est pas  constant au cours du temps.

\item Pour $t$ fixé, établissons la relation entre la survie dans le cas du traitement A et la survie dans le cas du traitement B.

On a :

$\dfrac{S_A(t)}{S_B(t)}=\dfrac{e^{-0,22 t}}{e^{-0,11 t}}=e^{-0,11 t}.$

\end{enumerate}

\end{document}
