\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{enumitem} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{color} \usepackage{pst-all} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(O~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(O~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(O~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=2.5cm]{geometry} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Concours ENI--GEIPI--POLYTECH}, pdftitle = {3 mai 2017}, allbordercolors = white } \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours ENI GEIPI--POLYTECH} \lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}} \rfoot{\small{3 mai 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30} \medskip {\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\[4pt] {\Large \textbf{ Série S 3 mai 2017}} \vspace{0,5cm} Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 1} \end{center} Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé \Oij. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie par : \[\text{pour tout réel }\:x \geqslant 0,\quad f(x) = \ln (x + 1) - \dfrac{x}{x + 1}.\] On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan $\mathcal{P}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Justifier la réponse. \item $f'$ désigne la dérivée de $f$. Pour tout $x > 0$,\: $f'(x)$ s'écrit sous la forme : $f'(x) = \dfrac{h(x)}{(x + 1)^2}$. Déterminer l'expression de $h(x)$. Détailler le calcul. \item Dresser le tableau des variations de $f$. \item Soient B, C et D les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives 0, 5 et 10. On note $y_{\text{B}}$, $y_{\text{C}}$ et $y_{\text{D}}$ leurs ordonnées. Donner la valeur de $y_{\text{B}}$ et une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près de $y_{\text{C}}$ et $y_{\text{D}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $g$ définie par: \[\text{pour tout réel }\:x > 0,\quad g(x) = -1 + \ln x.\] On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de $g$ dans le plan $\mathcal{P}$. \begin{center} \psset{xunit=1cm, yunit=1cm} \def\xmin {-0.5} \def\xmax {11.5} \def\ymin {-1.5} \def\ymax {2} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=gray] \psaxes[ticksize=-2pt 2pt, labels=x,Dx=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] \uput[dl](0,0){O} \psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0.01}{\xmax}{-1 x ln add}% tracé de la courbe \uput[u](10.5,1.35){\blue $\mathcal{C}_g$} \end{pspicture*} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x > 0$,\: $f(x) - g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{a}{x}\right) + \dfrac{b}{x+1}$, où $a$ et $b$ sont des réels à déterminer. \item \begin{enumerate} \item Pour $x > 0$, quel est le signe de $f(x) - g(x)$ ? Justifier la réponse. \item En déduire la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \end{enumerate} \item Soit $x > 0$. On considère les points $M(x~;~f(x))$ et $N(x~;~g(x))$. \begin{enumerate} \item Exprimer la longueur $MN$ en fonction de $x$. \item Donner la limite de $MN$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \item Sur la figure est tracée la courbe $\mathcal{C}_g$. Placer les points B, C et D. Tracer la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B. Puis tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ en utilisant les résultats des questions B. 2. b. et B. 3. b. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On considère la fonction $H$ définie par : \[\text{pour tout réel }\:x > 0,\quad H(x) = (x + 2) \ln(x + 1) - x \ln x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $H$ est une primitive de $f - g$ sur $]0~;~+\infty[$. \item Soit $\mathcal{D}$ le domaine du plan situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. On note $\mathcal{A}$ son aire, exprimée en unités d'aires. \begin{enumerate} \item Hachurer $\mathcal{D}$ sur la figure de la question B. 4. \item Calculer $\mathcal{A}$. Le résultat sera écrit sous la forme $\mathcal{A} = \alpha \ln 2 + \beta \ln 3$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des entiers relatifs à déterminer. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2} \medskip \textbf{Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu.} \textbf{Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte sous la forme d'une fraction irréductible.} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Donner l'ensemble $F_1$ des solutions de l'équation $\left(E_1\right)$ d'inconnue réelle $x$ : \[\left(E_1\right)\quad 4x^2 - 4x + 1 = 0.\] \item En déduire l'ensemble $F_2$ des solutions de l'équation $\left(E_2\right)$ d'inconnue réelle $\lambda$ : \[\left(E_2\right)\quad 4\text{e}^{-2\lambda} - 4\text{e}^{- \lambda} + 1 = 0.\] Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip À une sortie d'autoroute, il y a une seule barrière de péage et une étude a montré que le temps d'attente d'un véhicule arrivant à la barrière avant le franchissement du péage, exprimé en minutes, peut être représenté par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda \in \R$. \smallskip L'étude a montré par ailleurs que la probabilité que le temps d'attente d'un véhicule soit compris entre une et deux minutes est égale à $\dfrac{1}{4}$. \medskip \begin{enumerate} \item On rappelle que, pour tout $t\geqslant 0$, la probabilité $P(T \leqslant t)$ que l'attente d'un véhicule dure moins de $t$ minutes est donnée par : $P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$. \begin{enumerate} \item Ecrire $P(1 \leqslant T \leqslant 2)$ en fonction de $\lambda$. \item En utilisant la question A. 2., montrer que $\lambda = \ln 2$. \end{enumerate} \end{enumerate} On a donc : pour tout $t \geqslant 0$,\: $P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-(\ln 2)t}$. \begin{enumerate}[resume] \item Un véhicule arrive au péage. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité $P_1$ qu'il attende au plus une minute. Détailler le calcul. \item Déterminer la probabilité $P_2$ qu'il attende au moins deux minutes. Détailler le calcul. \item Déterminer la probabilité $P_3$ qu'il attende au moins trois minutes, sachant qu'il a attendu au moins deux minutes. Justifier soigneusement la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le trafic augmentant, la société d'autoroute a installé une deuxième barrière de péage. Le passage d'un véhicule au péage sera dit \og rapide \fg{} lorsque son temps d'attente est inférieur ou égal à une minute et \og lent \fg{} dans le cas contraire. La probabilité que le véhicule choisisse la première barrière est égale à $\dfrac{2}{3}$ et, dans ce cas, la probabilité que son passage soit rapide est égale à $\dfrac{1}{2}$. Lorsque le véhicule choisit la deuxième barrière, plus moderne, la probabilité que son passage soit rapide est égale à $\dfrac{3}{5}$. \smallskip Un véhicule arrive au péage. On considère les évènements : $B_1$ : \og le véhicule choisit la première barrière\fg $R$ \:: \og le passage au péage est rapide\fg $B_2$ : \og le véhicule choisit la deuxième barrière\fg $L$ \:: \og le passage au péage est lent\fg \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre ci-contre avec les probabilités \\ correspondantes. \vspace*{-1.5cm} \begin{flushright} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B_1$}\naput{$\frac{2}{3}$}} { \TR{$R$}\naput{$\ldots$} \TR{$L$}\nbput{$\ldots$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B_2$}\nbput{$\ldots$}} { \TR{$R$}\naput{$\ldots$} \TR{$L$}\nbput{$\ldots$} } } \end{flushright} \item Déterminer la probabilité $P_4$ que le passage du véhicule au péage soit rapide. Détailler le calcul. \item Déterminer la probabilité $P_5$ que le véhicule ait choisi la deuxième barrière, sachant que son passage a été lent. Justifier soigneusement le résultat. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{EXERCICE 3} \textbf{Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu.} \end{center} Dans cet exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite géométrique $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ de raison $q = \dfrac{3}{4}$ et de premier terme $v_1 = 1$. \begin{enumerate} \item Donner les valeurs exactes de $v_2$ et $v_3$. \item Donner, pour tout $n \geqslant 1$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item On pose, pour tout $n \geqslant 1$, \:$A_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + \ldots + v_n$. \begin{enumerate} \item Donner les valeurs exactes de $A_1$, $A_2$ et $A_3$. \item Montrer que, pour tout $n \geqslant 1$,\: $A_n = 4\left[ 1 - \left(\dfrac{3}{4} \right)^n\right]$. \item La suite $\left(A_n\right)_{n \geqslant 1}$ est convergente. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} A_n$. Justifier la réponse. \item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $A_n \geqslant 3$. On le notera $n_0$. Justifier soigneusement la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \parbox{0.75\linewidth}{On effectue le coloriage d’un carré de côté 2 unités de longueur avec les consignes suivantes : \textbf{Étape 1} : partager le carré initial en quatre carrés identiques de côté de longueur $c_1$ et colorier le carré situé en bas à gauche comme indiqué sur la figure ci-contre. \textbf{Étape 2} : pour chacun des carrés non encore coloriés, faire un partage en quatre carrés identiques de côté de longueur $c_2$ et colorier le carré situé en bas à gauche comme indiqué sur la figure ci-contre. On poursuit le coloriage du carré selon le même procédé à chaque étape. Autrement dit, pour tout $n \geqslant 1$ : \textbf{Étape }$n$: pour chacun des $k_n$ carrés non encore coloriés, faire un partage en quatre carrés identiques de côté de longueur $c_n$ et colorier le carré situé en bas à gauche. On colorie $k_n$ carrés à l’étape $n$. On remarque que $k_1 = 1$,\: $k_2 = 3$.}\hfill \parbox{0.23\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1.5)(1,1.1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=8](-1,-1)(1,1) \psframe(-1,-1)(1,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](-1,-1)(0,0) \rput(0,-1.5){Étape 1} \end{pspicture} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1.5)(1,1.25) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](-1,-1)(0,0) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](-1,0)(-0.5,0.5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0)(0.5,0.5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,-1)(0.5,-0.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=8](-1,-1)(1,1) \psframe(-1,-1)(1,1) \multido{\n=-1.0+0.5}{5} {\multido{\na=-1.0+0.5}{5} {\psline[linewidth=0.8pt](\na,-1)(\na, 1) \psline[linewidth=0.8pt](-1,\n,)(1,\n)} } \rput(0,-1.5){Étape 2} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Faire le coloriage de l’étape 3. \item \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $k_3$. \item Donner, pour tout $n \geqslant 1$, l'expression de $k_{n+1}$ en fonction de $k_n$. \item En déduire, pour tout $n \geqslant 1$, l'expression de $k_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les valeurs de $c_1$, $c_2$ et $c_3$. \item Justifier que, pour tout $n \geqslant 1$, $c_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}$. \end{enumerate} \item Justifier que l'aire, en unités d'aire (u. a.), de la surface qui est coloriée lors de l'étape $n$ est égale au terme $v_n$ de la suite définie dans la question A. 1. \item \begin{enumerate} \item Que vaut l’aire, en u.a., de la surface totale coloriée à l’issue de l’étape $n$ ? \item Déterminer le nombre d’étapes minimal nécessaire pour colorier au moins les trois quarts du carré initial. Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \begin{center} \textbf{EXERCICE 4} \textbf{Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu.} \end{center} Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère: \begin{list}{\textbullet}{} \item les points A, B, C, D et E de coordonnées respectives: A\,$\big(0~;~4~;~-1 \big)$, \hfill B\,$\big(-2~;~4~;~-5 \big)$, \hfill C\,$\big(1~;~1~;~-5 \big)$, \hfill D\,$\big(1~;~0~;~-4 \big)$, \hfill E\,$\big(-1~;~2~;~-3 \big)$; \item la droite $\mathcal D$ définie par le système d'équations paramétriques: \hfill $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} r} x & -3+k\\ y & k\\ z & -5+k \end{array} \right., \text{ avec } k \in \R$; \hfill{} \item le plan $\mathcal{P}_1$ d'équation cartésienne: $x+2z+7=0$. \end{list} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vect{n_1}$ au plan $\mathcal{P}_1$. \item Soit I le milieu du segment [AB]. Montrer que I appartient au plan $\mathcal{P}_1$. \item Montrer que la droite (AB) est orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{P}_2$ le plan d'équation cartésienne: $x-y+d=0$, où $d$ désigne un réel. \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vect{n_2}$ au plan $\mathcal{P}_2$. \item Soit J le point de coordonnées $\left ( -\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}~;~-5\right )$.\\ Déterminer $d$ pour que J appartienne au plan $\mathcal{P}_2$. Justifier la réponse. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{CD}}$. \item Calculer les coordonnées du milieu K du segment [CD]. \item Soit $\mathcal{P}_3$ le plan passant par K et orthogonal à la droite (CD).\\ Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_3$. Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Le but de cette question est de prouver que les plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ ont comme seul point commun, le point E. \begin{enumerate} \item Justifier que les plans $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont sécants et que leur droite d'intersection est la droite $\mathcal{D}$. \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}_1$ au point E. \end{enumerate} \item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{EA}}$, $\vect{\text{EB}}$, $\vect{\text{EC}}$ et $\vect{\text{ED}}$. \item Donner les distances EA, EB, EC et ED. Détailler le calcul pour ED. \item En déduire que A, B, C et D appartiennent à une sphère $\mathcal{S}$ dont on précisera le centre et le rayon $R$. Justifier la réponse. \item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \end{document}