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\def\Oij{$\left(O~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(O~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(O~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours ENI GEIPI--POLYTECH}
\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}}
\rfoot{\small{3 mai 2017}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30}
\medskip


{\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\[4pt]
{\Large \textbf{ Série S 3 mai 2017}}

\vspace{0,5cm}

Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés.

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 1}

\end{center}

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par :

\[\text{pour tout réel }\:x \geqslant 0,\quad  f(x) = \ln (x + 1) - \dfrac{x}{x + 1}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan $\mathcal{P}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Justifier la réponse.
\item $f'$ désigne la dérivée de $f$.

Pour tout $x > 0$,\: $f'(x)$ s'écrit sous la forme : $f'(x) = \dfrac{h(x)}{(x + 1)^2}$.

Déterminer l'expression de $h(x)$. Détailler le calcul.
\item Dresser le tableau des variations de $f$.
\item Soient B, C et D les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives 0, 5 et 10.

On note $y_{\text{B}}$, $y_{\text{C}}$ et $y_{\text{D}}$ leurs ordonnées.

Donner la valeur de $y_{\text{B}}$ et une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près de $y_{\text{C}}$ et $y_{\text{D}}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
 \medskip
 
On considère la fonction $g$ définie par:
 
\[\text{pour tout réel }\:x > 0,\quad  g(x) =  -1 + \ln x.\]
 
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de $g$ dans le plan $\mathcal{P}$.
 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {11.5}
\def\ymin {-1.5}   \def\ymax {2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=gray] 
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt, labels=x,Dx=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0.01}{\xmax}{-1 x ln add}%  tracé de la courbe
\uput[u](10.5,1.35){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center} 
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x > 0$,\: $f(x) - g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{a}{x}\right) + \dfrac{b}{x+1}$,
où $a$ et $b$ sont des réels à déterminer.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $x > 0$, quel est le signe de $f(x) - g(x)$ ? Justifier la réponse.
		\item En déduire la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $x > 0$. On considère les points $M(x~;~f(x))$ et $N(x~;~g(x))$.
	\begin{enumerate}		
		\item Exprimer la longueur $MN$ en fonction de $x$.
		\item Donner la limite de $MN$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item Sur la figure est tracée la courbe $\mathcal{C}_g$. Placer les points B, C et D.
	
Tracer la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B.
	
Puis tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ en utilisant les résultats des questions B. 2. b. et B. 3. b.

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}
 
 \medskip
 
On considère la fonction $H$ définie par :
 
\[\text{pour tout réel }\:x > 0,\quad  H(x) = (x + 2) \ln(x + 1) - x \ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $H$ est une primitive de $f - g$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item Soit $\mathcal{D}$ le domaine du plan situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. On note $\mathcal{A}$ son aire, exprimée en unités d'aires.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $\mathcal{D}$ sur la figure de la question B. 4.
		\item Calculer $\mathcal{A}$. 
		
Le résultat sera écrit sous la forme $\mathcal{A} = \alpha \ln 2 + \beta \ln 3$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des entiers relatifs à déterminer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

\textbf{EXERCICE 2}

\medskip

\textbf{Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu.}

\textbf{Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte
sous la forme d'une fraction irréductible.}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble $F_1$ des solutions de l'équation $\left(E_1\right)$ d'inconnue réelle $x$ :

\[\left(E_1\right)\quad  4x^2 - 4x + 1 = 0.\]

\item En déduire l'ensemble $F_2$ des solutions de l'équation $\left(E_2\right)$ d'inconnue réelle $\lambda$ :

\[\left(E_2\right)\quad  4\text{e}^{-2\lambda} - 4\text{e}^{- \lambda} + 1 = 0.\]

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À une sortie d'autoroute, il y a une seule barrière de péage et une étude a montré que le
temps d'attente d'un véhicule arrivant à la barrière avant le franchissement du péage, exprimé en minutes, peut être représenté par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda \in  \R$.

\smallskip

L'étude a montré par ailleurs que la probabilité que le temps d'attente d'un véhicule soit compris entre une et deux minutes est égale à $\dfrac{1}{4}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que, pour tout $t\geqslant 0$, la probabilité $P(T \leqslant t)$ que l'attente d'un véhicule dure moins de $t$ minutes est donnée par : $P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Ecrire $P(1 \leqslant T \leqslant 2)$ en fonction de $\lambda$.
		\item En utilisant la question A. 2., montrer que $\lambda = \ln 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
On a donc : pour tout $t \geqslant 0$,\: $P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-(\ln 2)t}$.
	
\begin{enumerate}[resume]	
\item Un véhicule arrive au péage.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité $P_1$ qu'il attende au plus une minute. Détailler le calcul.
		\item Déterminer la probabilité $P_2$ qu'il attende au moins deux minutes. Détailler le calcul.
		\item Déterminer la probabilité $P_3$ qu'il attende au moins trois minutes, sachant qu'il a attendu au moins deux minutes. Justifier soigneusement la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le trafic augmentant, la société d'autoroute a installé une deuxième barrière de péage.

Le passage d'un véhicule au péage sera dit \og rapide \fg{} lorsque son temps d'attente est inférieur ou égal à une minute et \og lent \fg{} dans le cas contraire.

La probabilité que le véhicule choisisse la première barrière est égale à $\dfrac{2}{3}$ et, dans ce cas, la probabilité que son passage soit rapide est égale à $\dfrac{1}{2}$.

 Lorsque le véhicule choisit la deuxième barrière, plus moderne, la probabilité que son passage soit rapide est égale à $\dfrac{3}{5}$.

\smallskip
 
Un véhicule arrive au péage. On considère les évènements :
 
$B_1$ : \og le véhicule choisit la première barrière\fg
 
$R$ \:: \og le passage au péage est rapide\fg
 
$B_2$ : \og le véhicule choisit la deuxième barrière\fg
 
$L$ \:: \og le passage au péage est lent\fg

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre ci-contre avec les probabilités \\
correspondantes.

\vspace*{-1.5cm}

\begin{flushright}
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B_1$}\naput{$\frac{2}{3}$}}
 	  { 
 		  \TR{$R$}\naput{$\ldots$}
 		  \TR{$L$}\nbput{$\ldots$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B_2$}\nbput{$\ldots$}}
 	  {
 		  \TR{$R$}\naput{$\ldots$}
          \TR{$L$}\nbput{$\ldots$} 
     }
}
\end{flushright}
\item Déterminer la probabilité $P_4$ que le passage du véhicule au péage soit rapide.
Détailler le calcul.
\item Déterminer la probabilité $P_5$ que le véhicule ait choisi la deuxième barrière,
sachant que son passage a été lent. Justifier soigneusement le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

\textbf{EXERCICE 3}

\textbf{Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu.}

\end{center}

Dans cet exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite géométrique $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ de raison $q = \dfrac{3}{4}$ et de premier terme $v_1 = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs exactes de $v_2$ et $v_3$.
		\item Donner, pour tout $n \geqslant 1$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item  On pose, pour tout $n \geqslant 1$, \:$A_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n
v_k = v_1 + \ldots + v_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs exactes de $A_1$, $A_2$ et $A_3$.
		\item Montrer que, pour tout $n \geqslant 1$,\: $A_n = 4\left[ 1 - \left(\dfrac{3}{4} \right)^n\right]$.
		\item La suite $\left(A_n\right)_{n \geqslant 1}$ est convergente. Déterminer 
		$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} A_n$. Justifier la réponse.
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $A_n \geqslant 3$. On le notera $n_0$.
		
Justifier soigneusement la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox{0.75\linewidth}{On effectue le coloriage d’un carré de côté 2 unités de longueur avec les consignes suivantes :

\textbf{Étape 1} : partager le carré initial en quatre carrés identiques de côté de
longueur $c_1$ et colorier le carré situé en bas à gauche comme indiqué sur la
figure ci-contre.

\textbf{Étape 2} : pour chacun des carrés non encore coloriés, faire un partage en
quatre carrés identiques de côté de longueur $c_2$ et colorier le carré situé en
bas à gauche comme indiqué sur la figure ci-contre.

On poursuit le coloriage du carré selon le même procédé à chaque étape.
Autrement dit, pour tout $n \geqslant 1$ :

\textbf{Étape }$n$: pour chacun des $k_n$ carrés non encore coloriés, faire un partage
en quatre carrés identiques de côté de longueur $c_n$ et colorier le carré situé
en bas à gauche. On colorie $k_n$ carrés à l’étape $n$.

On remarque que $k_1 = 1$,\: $k_2 = 3$.}\hfill
\parbox{0.23\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=8](-1,-1)(1,1)
\psframe(-1,-1)(1,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](-1,-1)(0,0)
\rput(0,-1.5){Étape 1}
\end{pspicture}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(1,1.25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](-1,-1)(0,0)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](-1,0)(-0.5,0.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0)(0.5,0.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,-1)(0.5,-0.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=8](-1,-1)(1,1)
\psframe(-1,-1)(1,1)
\multido{\n=-1.0+0.5}{5}
	{\multido{\na=-1.0+0.5}{5}
		{\psline[linewidth=0.8pt](\na,-1)(\na,
		1)
		\psline[linewidth=0.8pt](-1,\n,)(1,\n)}
	}
\rput(0,-1.5){Étape 2}
\end{pspicture}}


\begin{enumerate}
\item Faire le coloriage de l’étape 3.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $k_3$.
		\item Donner, pour tout $n \geqslant 1$, l'expression de $k_{n+1}$ en fonction de $k_n$.
		\item En déduire, pour tout $n \geqslant 1$, l'expression de $k_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs de $c_1$, $c_2$ et $c_3$.
		\item Justifier que, pour tout $n \geqslant 1$, $c_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}$.
	\end{enumerate}

\item Justifier que l'aire, en unités d'aire (u. a.), de la surface qui est coloriée lors de l'étape $n$ est égale au terme $v_n$ de la suite définie dans la question A. 1.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que vaut l’aire, en u.a., de la surface totale coloriée à l’issue de l’étape $n$ ?
		\item Déterminer le nombre d’étapes minimal nécessaire pour colorier au moins les trois quarts du carré initial. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
 
\textbf{EXERCICE 4}

\textbf{Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu.}

\end{center}

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item les points A, B, C, D et E de coordonnées respectives:

A\,$\big(0~;~4~;~-1 \big)$, \hfill B\,$\big(-2~;~4~;~-5 \big)$, \hfill C\,$\big(1~;~1~;~-5 \big)$, \hfill D\,$\big(1~;~0~;~-4 \big)$, \hfill E\,$\big(-1~;~2~;~-3 \big)$;

\item la droite $\mathcal D$ définie par le système d'équations paramétriques:

\hfill
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} r}
x & -3+k\\
y & k\\
z & -5+k
\end{array}
\right., \text{ avec } k \in \R$;
\hfill{}

\item le plan $\mathcal{P}_1$ d'équation cartésienne: $x+2z+7=0$.
\end{list}


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vect{n_1}$ au plan $\mathcal{P}_1$.
\item Soit I le milieu du segment [AB]. Montrer que I appartient au plan $\mathcal{P}_1$.
\item Montrer que la droite (AB) est orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$.
\end{enumerate}

\item Soit $\mathcal{P}_2$ le plan d'équation cartésienne: $x-y+d=0$, où $d$ désigne un réel.
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vect{n_2}$ au plan $\mathcal{P}_2$.
\item Soit J le point de coordonnées $\left ( -\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}~;~-5\right )$.\\
Déterminer $d$ pour que J appartienne au plan $\mathcal{P}_2$. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{CD}}$.
\item Calculer les coordonnées du  milieu K du segment [CD]. 
\item Soit $\mathcal{P}_3$ le plan passant par K et orthogonal à la droite (CD).\\
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_3$. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\item Le but de cette question est de prouver que les plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ ont comme seul point commun, le point E.

\begin{enumerate}
\item Justifier que les plans $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont sécants et que leur droite d'intersection est la droite $\mathcal{D}$.
\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}_1$ au point E. 
\end{enumerate}

\item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{EA}}$, $\vect{\text{EB}}$, $\vect{\text{EC}}$ et $\vect{\text{ED}}$.
\item Donner les distances EA, EB, EC et ED. Détailler le calcul pour ED.
\item En déduire que A, B, C et D appartiennent à une sphère $\mathcal{S}$ dont on précisera le centre et le rayon $R$. Justifier la réponse.
\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. 
\end{enumerate}
\end{document}