\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Concours ENI--GEIPI--POLYTECH},
pdftitle = {11 mai 2016},
allbordercolors = white
}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours ENI GEIPI--POLYTECH}
\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}}
\rfoot{\small{11 mai 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30}

{\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\
{\Large \textbf{ Série S 11 mai 2016}}
\end{center}
 
Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d'épreuves entre
les sujets de mathématiques et de physique-chimie. La durée conseillée de ce
sujet de mathématiques est de 1 h 30.

L'usage d'une calculatrice est autorisé.

Les réponses aux questions seront à écrire au stylo et uniquement dans les
cadres des documents réponses prévues à cet effet.

Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit,
est interdit.

Aucun document n'est autorisé.

L'usage d'un téléphone ou de tout objet communiquant est interdit.

Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés.

Chaque exercice est noté sur 20 points. Le sujet est donc noté sur 60 points.

Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes.

\bigskip
 
Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9

Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie par :

\[\text{pour tout réel }\:x,\: g(x) = \text{e}^x - x.\]

\begin{enumerate}
\item $g'$ désigne la dérivée de $g$. Donner, pour tout réel $x,\: g'(x)$.
\item Donner l'ensemble des solutions réelles de l'inéquation $g'(x) \geqslant 0$.

Justifier la réponse.
\item Dresser le tableau des variations de $g$.

(les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ ne sont pas demandées).
\item Justifier que, pour tout réel $x,\: g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par :

\[\text{pour tout réel }\:x,\: f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - x}.\]

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  f(x)$. Justifier la réponse.
		\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \dfrac{x}{\text{e}^x}$ ? En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Justifier la réponse.
		\item On en déduit que $C$ admet deux asymptotes $\Delta_1$ et $\Delta_2$.

Donner une équation de chacune d'elles.
	\end{enumerate}
\item $f'$ désigne la dérivée de $f$. Justifier que, pour tout réel $x$,

\[f'(x) = \dfrac{\text{e}^x(1 - x)}{\left(\text{e}^x - x \right)^2}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau des variations de $f$.
		\item $f$ présente un maximum $y_M$ atteint en $x_M$. Donner les valeurs exactes de $x_M$ et
$y_M$, puis une valeur approchée de $y_M$ à $10^{-1}$ près.
		
Dans la suite, on note $M$ le point de coordonnées $\left(x_M~;~y_M\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit A le point de la courbe $C$ d'abscisse $0$.
	
Donner une équation de la tangente à $C$ en A.
\item Placer les points A et $M$. Tracer les tangentes à la courbe $C$ aux points A et $M$ et
les asymptotes $\Delta_1$ et $\Delta_2$. Puis tracer $C$.
	
\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-0.75)(4.6,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan](0,0)(-2.5,-0.75)(4.6,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-0.75)(4.6,2)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture*}	
\end{center}
\item $f$ admet sur l'intervalle [0~;~1] un minimum $a$ et un maximum $b$.
	
Donner les valeurs exactes de $a$ et $b$.
\item On considère l'intégrale : $J = \displaystyle\int_0^1  f(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer, sur la figure de la question 5, le domaine dont l'aire, en unités d'aire,
vaut $J$.
		\item En utilisant la question 6, justifier que : $1 \leqslant J \leqslant \dfrac{\text{e}}{\text{e} - 1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{EXERCICE 2}

\medskip

Une chocolaterie fabrique deux sortes de chocolats: des chocolats noirs et des chocolats au lait.

60\,\% des chocolats fabriqués sont noirs. Parmi ceux-ci, 70\,\% sont fourrés, tandis que 30\,\% seulement
des chocolats au lait sont fourrés.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte}

\medskip

Un client fait une dégustation de chocolats et il en choisit un au hasard.

On considère les évènements suivants :
\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]$N$ : \og le chocolat choisi est noir\fg
\item[ ]$F$ : \og le chocolat choisi est fourré \fg. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité $P_1$ que le chocolat choisi soit noir.
\item Déterminer la probabilité $P_2$ que le chocolat choisi soit noir et fourré.

Justifier la réponse.
\item On note $P_3$ la probabilité que le chocolat choisi soit fourré.

Justifier que $P_3 = 0,54$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un client achète une boîte de $n$ chocolats, où $n$ est un entier naturel non nul.

Chaque chocolat mis dans la boîte est choisi au hasard et on suppose le nombre de chocolats
suffisamment grand pour que l'on puisse considérer que les choix successifs sont faits de façon
identique et indépendante.

On note $X_n$ la variable aléatoire représentant le nombre de chocolats fourrés contenus dans la
boîte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $X_n$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item \textbf{Dans cette question n = 12 et, pour chaque probabilité demandée, on
donnera une valeur approchée à \boldmath $10^{-4}$\unboldmath\: près.}
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité $P_4$ que la moitié des chocolats de la boîte soient fourrés.
		\item Donner la probabilité $P_5$ que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.
		\item Donner la probabilité $P_6$ que la boîte contienne au plus trois chocolats fourrés.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Dans cette question, $n$ est quelconque.}
	\begin{enumerate}
		\item Donner, en fonction de $n$, la probabilité $q_n$ que la boîte contienne au moins un
chocolat fourré.
		\item Déterminer le nombre minimum $n_0$ de chocolats que doit acheter le client afin que
la probabilité que la boîte contienne au moins un chocolat fourré soit strictement
supérieure à $0,98$. Détailler les calculs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\textbf{Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée
à \boldmath$10^{-4}$\unboldmath\: près.}

Une étude a montré que la variable aléatoire représentant le poids, exprimé en grammes, d'un
chocolat choisi au hasard dans l'ensemble de la production suit une loi normale d'espérance
$m = 15$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

Le service qualité effectue un contrôle et choisit au hasard un chocolat dans l'ensemble de la
production.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité $P_7$ que le chocolat choisi pèse plus de 17 grammes.
\item Donner la probabilité $P_8$ que le chocolat choisi pèse moins de 13 grammes.
\item Donner la probabilité $P_9$ que le chocolat choisi pèse entre 12 et 18 grammes.
\end{enumerate}

\textbf{EXERCICE 3}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

Soient A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1,\: z_{\text{B}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{C}} = \text{i}$.

Soit $x$ un réel appartenant à ]0~;~1[.

On nomme :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$M$ le point du segment [AB] d'affixe $z_M = 1 + x\text{i}$ ;
\item[$\bullet~~$]$N$ le point du segment [BC] d'affixe $z_N = x + \text{i}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Posons $Z = \dfrac{z_N}{z_M}$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la figure, le point $M$ a été placé pour une certaine valeur du réel $x$.

Tracer le carré OABC et le triangle O$MN$.
\item Exprimer, en fonction de $x$, les modules $\left|z_M\right|$ et $\left|z_N\right|$.
\item Le triangle O$MN$ est isocèle. Donner son sommet principal. Justifier la réponse.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite (OB) est perpendiculaire à la droite $(MN)$.
		\item En déduire que la droite (OB) est la bissectrice de l'angle $\widehat{M\text{O}N}$.
	\end{enumerate}
\item Justifier que $|Z| = 1$.
\item Montrer que la forme algébrique de $Z$ est : $Z = \dfrac{2x}{ 1 + x^2} + \text{i}\dfrac{1 - x^2}{1 + x^2}$.
\item Im$(Z)$ désigne la partie imaginaire de $Z$. Montrer que Im$(Z) > 0$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie $x = 2 - \sqrt{3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur exacte de $1 + x^2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Re$(Z)$ désigne la partie réelle de $Z$. Montrer que Re$(Z) = \dfrac{1}{2}$.
		\item On nomme $\theta$ un argument de $Z$.
		
En déduire, en utilisant certains résultats de la partie A, la valeur exacte de $\theta$.
		
On admet que $\left(\vect{\text{O}M}, \vect{\text{O}N}\right) = \theta \quad  (2\pi)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la question 4. b., donner une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}M}, \vect{\text{OB}}\right)$.
		\item Montrer que $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M}\right)  = \dfrac{\pi}{12}\quad  (2\pi)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $1 + x^2 = \left(\sqrt{6}  - \sqrt{2}\right)^2$.
		\item En déduire la valeur exacte de $\left|z_M\right|$.
	\end{enumerate}
\item Écrire la forme trigonométrique de $z_M$.
\item On en déduit que $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{a}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$  et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{b}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$,
où $a$ et $b$ sont des réels.

Donner les valeurs exactes de $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\textbf{EXERCICE 4}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le point A de coordonnées $(-4~;~2~;~1)$ ;
\item[$\bullet~~$]la droite $\mathcal{D}_1$ définie par le système d'équations paramétriques :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 7 + k\\
y &=& 6 + k\\
z &=& -3 - k
\end{array}\right.,\: \text{avec }\: k \in \R\: ;\]

\item[$\bullet~~$]la droite $\mathcal{D}_2$ passant par le point A et de vecteur directeur $\vect{u_2} (1~;~0~;~2)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vect{u_1}$ de la droite $\mathcal{D}_1$.
\item Ecrire un système d'équations paramétriques de la droite $\mathcal{D}_2$. On notera $t$ le
paramètre.
\item Dans cette question on va montrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ ne sont pas coplanaires.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ ne sont pas parallèles.
		\item Montrer que l'intersection des droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ est vide.
	\end{enumerate}
\item  On considère le vecteur $\vect{w}$ de coordonnées $(-2~;~3~;~1)$.

Montrer que $\vect{w}$ est orthogonal à $\vect{u_1}$ et à $\vect{u_2}$.
\item  Soient B et C les points définis par $\vect{\text{AB}} = \vect{w}$ et $\vect{\text{AC}} = \vect{u_2}$  et $\vect{n}$  le vecteur de coordonnées $(6~;~5~;~-3)$. On nomme $\mathcal{P}$ le plan contenant les points A, B et C.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\mathcal{P}$ a donc une équation cartésienne de la forme : $6x + 5y - 3z + d = 0$, où $d$
désigne un réel.

Montrer que $d = 17$.
	\end{enumerate}
\item On nomme E le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}_1$.

Déterminer les coordonnées $\left(x_{\text{E}}~;~y_{\text{E}}~;~z_{\text{E}}\right)$ du point E.
\item Soit $\Delta$ la droite passant par E et de vecteur directeur $\vect{w}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\mathcal{D}_1$ ?
		\item Justifier que les droites $\Delta$ et $\mathcal{D}_1$ sont perpendiculaires.
		\item Justifier que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
		\item En déduire que les droites $\Delta$ et $\mathcal{D}_2$ sont perpendiculaires.
		
En conclusion, on a démontré que la droite $\Delta$ est une perpendiculaire commune aux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}