\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Concours ENI--GEIPI--POLYTECH}, pdftitle = {mai 2012}, allbordercolors = white } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours GEIPI--POLYTECH} \lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}} \rfoot{\small{mai 2013}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30} {\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\ {\Large \textbf{ mai 2013}} \end{center} Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d'épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie. La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1~h~30. L'usage d'une calculatrice est autorisé. Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. Aucun document n'est autorisé. L'usage du téléphone est interdit. \textbf{Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés.} Chaque exercice est noté sur 20 points. Le sujet est donc noté sur 60 points. Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes. \vspace{0,5cm} Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9. Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés \begin{center} \textbf{EXERCICE I} \end{center} \medskip Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la suite \medskip Un distributeur de café est installé dans le hall d’un lycée. \textbf{Partie A} \medskip Durant la période de réglage de l’appareil, la tasse déborde une fois sur quatre. Le technicien fait dix essais indépendants les uns des autres. On note $X$ la variable aléatoire qui représente le nombre de fois où la tasse déborde parmi ces dix essais. \medskip \textbf{I-A-1-} $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Donner les valeurs de $n$ et $p$. \textbf{I-A-2-} Exprimer, en fonction de $p$, la probabilité $P_1$ que la tasse ne déborde jamais sur les dix essais. Puis donner une valeur approchée de $P_1$ à $10^{-4}$ près. \textbf{I-A-3-} Exprimer, en fonction de $p$, la probabilité $P_2$ que la tasse ne déborde qu’une fois sur les dix essais. Puis donner une valeur approchée de $P_2$ à $10^{-4}$ près. \textbf{I-A-4-} Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité $P_3$ que la tasse déborde au moins deux fois sur les dix essais. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le distributeur de café est maintenant réglé. On appelle \og durée de fonctionnement sans panne \fg{} du distributeur, le temps qui s’écoule avant qu’une première tasse ne déborde. La variable aléatoire $T$ , représentant cette durée, exprimée en jours, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Soit $a$ un réel positif non nul. La probabilité $P(T \leqslant a)$ que la durée de fonctionnement sans panne soit inférieure ou égale à $a$ jours est alors donnée par : 􏰁 \[P(T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] \textbf{I-B-1-} Justifier que : $P(T \leqslant a) = 1 − \text{e}^{- \lambda a}$. \textbf{I-B-2-} Dans cette question, on suppose que $\lambda = 0,02$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité $P(T > 90)$ que le distributeur fonctionne sans panne plus de 90 jours. \textbf{I-B-3-} Quelle devrait être la valeur de $\lambda$ pour que la probabilité que le distributeur fonctionne sans panne plus de 120 jours soit de $0,4$ ? Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près de $\lambda$. Justifier les calculs. \newpage \textbf{Partie C} \medskip Le distributeur de café étant réglé, le volume de café dans une tasse en centilitres peut être modélisé par une variable aléatoire $V$ suivant une loi normale d’espérance $6$ et d’écart type $0,8$. \medskip \textbf{I-C-1-} Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Z = \dfrac{V - 6}{0,8}$ ? On précisera les paramètres de cette loi. \textbf{I-C-2-} Donner une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de la probabilité $P_4$ que le volume de café dans une tasse soit compris entre $5,2$ et $6,8$ centilitres. %REPONSES A L’EXERCICE I %I-A-1- n= p= %I-A-2- P1 = P1 ≃ %I-A-3- P2 = P2 ≃ %I-A-4- P3 ≃ %I-B-1- P(T ≤ a) = 1−e−λa car %I-B-2- P(T >90)= P(T >90) ≃ %I-B-3- λ= λ≃ car %I-C-1- Loi suivie par Z et paramètres de cette loi : %I-C-2- P4 ≃ \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{EXERCICE II} \end{center} On considère la fonction $f$ définie par : \[\text{pour tout réel}\:\: x\: \text{de}\: [0~;~1],\quad f(x) = \dfrac{2x + 5}{x + 1}.\] \textbf{Partie A} \medskip \textbf{II-A-1-} Donner les réels $a$ et b tels que, pour tout $x \in [0~;~1],\: f(x)= a+ \dfrac{b}{x + 1}$. \textbf{II-A-2-} Soit $L$ l’intégrale définie par : $L = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$. Calculer la valeur exacte de $L$ en justifiant les calculs. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère maintenant la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ définie par : pour tout $n \geqslant 1,\quad u_n = \displaystyle\int_0^1 f(x)\text{e}^{\frac{x}{n}}\:\text{d}x$. \textbf{II-B-1-} Soit $n \geqslant 1$ fixé. Justifier que, pour tout réel $x \in [0~;~1],\:1 \leqslant \text{e}^{\frac{x}{n}} \leqslant \text{e}^{\frac{1}{n}}$. \textbf{II-B-2-a-} Justifier alors que, pour tout entier $n \geqslant 1,\quad L \leqslant u_n \leqslant L \text{e}^{\frac{1}{n}}$. \textbf{II-B-2-b-} En déduire que la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ est convergente et donner sa limite. Justifier la réponse. \textbf{II-B-2-c-} Justifier que,pour tout $n \geqslant 1,\: 0 \leqslant u_n - L \leqslant L\left(\text{e}^{\frac{1}{n}} - 1 \right)$. \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On considère l’algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Variables}\\ \quad $p$ est un entier \\ \quad $n$ est un entier\\ \quad $L$ est un réel\\ \textbf{Début de l’Algorithme}\\ \quad $L$ prend la valeur $2 + 3 \ln 2$ \\ \quad $n$ prend la valeur 1\\ \quad Entrer la valeur de $p$\\ Tant que $L\left(\text{e}^{\frac{1}{n}} − 1\right) > 10^{-p}$ faire\\ \qquad $n$ prend la valeur $n + 1$\\ \quad Fin de Tant que\\ Afficher $n$\\ \textbf{Fin de l’algorithme}\\\hline \end{tabular} \end{center} Lors de l’exécution de cet algorithme, la valeur entrée pour la variable $p$ est 5. À la fin de l’exécution, la valeur affichée de la variable $n$ est notée $N$. \textbf{II-C-1-} Que représente $N$ ? \textbf{II-C-2-} Donner un réel $\beta$ tel que : $\left|u_N - 3\ln 2\right| \leqslant \beta$. %REPONSES A L’EXERCICE II %II-A-1- a= b= %II-A-2- L = car %x1 %II-B-1- 1 ≤ en ≤ en car % %1 %II-B-2-a- L ≤ un ≤ Len car % %II-B-2-b- (un)n≥1 est convergente et lim un = car n→+∞ %1 %II-B-2-c- 0≤un −L≤L(en −1) car % %II-C-1- N représente %II-C-2- β = \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{EXERCICE III} \end{center} On se place dans le plan complexe rapporté au repère \Ouv orthonormé, direct. On considère la fonction polynomiale $P$ définie par : pour tout complexe $z \in \C,\quad P(z) = z^4 − 6z^3 + 14z^2 − 6z + 13$. \medskip \textbf{III-1-a-} Calculer $P(\text{i})$ et $P (- \text{i})$. \textbf{III-1-b-} Pour tout complexe $z$, on a l’égalité : $P(z) = \left(z^2 + 1\right) Q(z)$ où $Q(z)$ s’écrit sous la forme : $Q(z) = z^2 + cz + d$. Donner les valeurs des réels $c$ et $d$. \textbf{III-1-c-} Déterminer l’ensemble $S_1$ des solutions, dans $\C$, de l’équation Q(z) = 0. Justifier le résultat. \textbf{III-1-d-} En déduire l’ensemble S2 des solutions, dans C, de l’équation $P(z) = 0$. \textbf{III-2-} Placer sur la figure les points A, C et $\Omega$ d’affixes respectives : \[z_{\text{A}} = \text{i},\quad z_{\text{C}} = 3 + 2 \text{i},\quad z_{\Omega} = 2.\] \textbf{III-3-a-} On note $Z_1, Z_2$ et $Z_3$ les affixes respectives des vecteurs $\vect{\text{AC}},\: \vect{\Omega \text{A}}$ et $\vect{\Omega \text{C}}$. Donner les valeurs de $Z_1, Z_2$ et $Z_3$. \textbf{III-3-b-} Donner alors les modules $\left|Z_1\right|,\: \left|Z_2\right|,\: \left|Z_3\right|$ de $Z_1,\: Z_2,\: Z_3$. \textbf{III-3-c-} Déterminer alors les valeurs exactes des distances AC, $\Omega$A et $\Omega$C. Justifier les réponses. \textbf{III-3-d-} Déterminer une mesure, en radians, de l’angle géométrique $\widehat{\text{A}\Omega\text{C}}$. Justifier le résultat. \textbf{III-3-e-} Quelle est la nature précise du triangle A$\Omega$C ? \textbf{III-4-} On considère les points B et D d’affixes respectives : $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$ et $z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}$ où $\overline{z_{\text{A}}}$ et $\overline{z_{\text{C}}}$ désignent respectivement les complexes conjugués de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$. \textbf{III-4-a-} Placer les points B et D sur la figure de III-2-. \textbf{III-4-b-} Justifier que les points A, B, C et D sont sur un même cercle. Préciser son centre I et son rayon $r$. \textbf{III-4-c-} Tracer ce cercle sur la figure de III-2-. \textbf{III-5-} Donner l’aire $\mathcal{A}$, en unités d’aires, du trapèze ABDC. %􏰀REPONSES A L’EXERCICE III %III-1-a- P (i) = P (−i) = %III-1-b- c = d = %III-1-c- S1 = car %III-1-d- S2 = %III-2- %⃗v %O %u⃗ %III-3-a- Z1 = Z2 = Z3 = %III-3-b- |Z1| = |Z2| = |Z3| = %III-3-c- AC = ΩA = ΩC = car %III-3-d- AΩC = car %􏰀 %III-3-e- Le triangle AΩC est %III-4-a- Utiliser la figure de III-2- %III-4-b- I= r= car %III-4-c- Utiliser la figure de III-2- %III-5- A = \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{EXERCICE IV} \end{center} Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \Oijk, on considère les points E et F de coordonnées : \[\text{E}(2~;~2~;~0) \quad \text{et} \quad \text{F}(0~;~2~;~4)\] et la droite $\Delta$ définie par le système d’équations paramétriques : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& t + 3\\ y &=&− t − 1\\ z&=&4 \end{array}\right., t \in \R.\] \textbf{IV-1-a-} Donner les coordonnées d’un vecteur directeur $\vect{u}$ de la droite $\Delta$. \textbf{IV-1-b-} Justifier que le point E n’appartient pas à $\Delta$. \textbf{IV-1-c-} Justifier que le point F appartient à $\Delta$. \textbf{IV-1-d-} En déduire la position relative des droites (EF) et $\Delta$. \textbf{IV-2-} On considère le plan P contenant les deux droites (EF) et $\Delta$. Soit le vecteur $\vect{n}(2~;~2~;~1)$. \textbf{IV-2-a-} Donner les produits scalaires $\vect{n} \cdot \vect{\text{EF}}$ et $\vect{n} \cdot \vect{u}$. \textbf{IV-2-b-} Que peut-on en déduire pour le vecteur $\vect{n}$ par rapport au plan P ? \textbf{IV-2-c-} Déterminer une équation cartésienne du plan P. Justifier la réponse. \textbf{IV-3-} On note H le projeté orthogonal du point E sur la droite $\Delta$. \textbf{IV-3-a-} Donner la valeur du produit scalaire $\vect{\text{EH}} \cdot \vect{u}$. \textbf{IV-3-b-} Justifier alors que les coordonnées $\left(x_{\text{H}}~;~y_{\text{H}}~;~z_{\text{H}}\right)$ de H vérifient : $x_{\text{H}} - y_{\text{H}} = 0$ \textbf{IV-3-c-} Donner alors les coordonnées de H. \textbf{IV-4-} On note G le point de l’espace vérifiant : $\vect{\text{FG}} = 2\vect{n}$. \textbf{IV-4-a-} Donner les coordonnées de G. \textbf{IV-4-b-} Écrire un système d’équations paramétriques de la droite $\Delta'$ parallèle à $\delta$ et passant par G. \textbf{IV-4-c-} Que dire précisément sur la position relative des deux droites $\Delta'$ et (EH) ? %REPONSES A L’EXERCICE IV %IV-1-a- u⃗ ( ; ; ) %IV-1-b- E n’appartient pas à ∆ car %IV-1-c- F ∈ ∆ car %IV-1-d- (EF ) et ∆ %−→ %IV-2-a- ⃗n.EF = ⃗n.u⃗ = %IV-2-b- ⃗n est %IV-2-c- Equation de P : car %−→ %IV-3-a- EH.u⃗ = %IV-3-b- xH − yH = 0 car %IV-3-c- xH = yH = zH = %IV-4-a- G ( ; ; ) % %IV-4-b- ∆′ \end{document}