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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}}
\rfoot{\small{mai 2013}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30}

{\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\
 {\Large \textbf{ mai 2013}}
 \end{center}

Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d'épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie. 

La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1~h~30.
 
L'usage d'une calculatrice est autorisé. 

Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. 

Aucun document n'est autorisé. L'usage du téléphone est interdit.
 
\textbf{Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés.}
 
Chaque exercice est noté sur 20 points. Le sujet est donc noté sur 60 points. 

Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes.

\vspace{0,5cm}


Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9.

Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés

\begin{center}
\textbf{EXERCICE I} \end{center} 

\medskip

Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la suite

\medskip

Un distributeur de café est installé dans le hall d’un lycée.

\textbf{Partie A}

\medskip

Durant la période de réglage de l’appareil, la tasse déborde une fois sur quatre. Le technicien fait dix essais indépendants les uns des autres. On note $X$ la variable aléatoire qui représente le nombre de fois où la tasse déborde parmi ces dix essais.

\medskip

\textbf{I-A-1-} $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Donner les valeurs de $n$ et $p$.

\textbf{I-A-2-} Exprimer, en fonction de $p$, la probabilité $P_1$ que la tasse ne déborde jamais sur les dix essais. Puis donner une valeur approchée de $P_1$ à $10^{-4}$ près.

\textbf{I-A-3-} Exprimer, en fonction de $p$, la probabilité $P_2$ que la tasse ne déborde qu’une fois sur les dix essais. Puis donner une valeur approchée de $P_2$ à $10^{-4}$ près.

\textbf{I-A-4-} Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité $P_3$ que la tasse déborde au moins deux fois sur les dix essais.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le distributeur de café est maintenant réglé. On appelle \og durée de fonctionnement sans panne \fg{} du distributeur, le temps qui s’écoule avant qu’une première tasse ne déborde. La variable aléatoire $T$ , représentant cette durée, exprimée en jours, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Soit $a$ un réel positif non nul. La probabilité $P(T \leqslant a)$ que la durée de fonctionnement sans panne soit inférieure ou égale à $a$ jours est alors donnée par :
􏰁
\[P(T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\]

\textbf{I-B-1-} Justifier que : $P(T \leqslant  a) = 1 − \text{e}^{- \lambda a}$.

\textbf{I-B-2-} Dans cette question, on suppose que $\lambda = 0,02$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité $P(T > 90)$ que le distributeur fonctionne sans panne plus de 90 jours.

\textbf{I-B-3-} Quelle devrait être la valeur de $\lambda$ pour que la probabilité que le distributeur fonctionne sans panne plus de 120 jours soit de $0,4$ ? Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près de $\lambda$. Justifier les calculs.

\newpage

\textbf{Partie C}

\medskip

Le distributeur de café étant réglé, le volume de café dans une tasse en centilitres peut être modélisé par une variable aléatoire $V$ suivant une loi normale d’espérance $6$ et d’écart type $0,8$.

\medskip

\textbf{I-C-1-} Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Z = \dfrac{V - 6}{0,8}$ ? On précisera les paramètres de cette loi.

￼\textbf{I-C-2-} Donner une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de la probabilité $P_4$ que le volume de café dans une tasse soit compris entre $5,2$ et $6,8$ centilitres.

%REPONSES A L’EXERCICE I
%I-A-1- n= p=
%I-A-2- P1 = P1 ≃
%I-A-3- P2 = P2 ≃
%I-A-4- P3 ≃
%I-B-1- P(T ≤ a) = 1−e−λa car
%I-B-2- P(T >90)= P(T >90) ≃
%I-B-3- λ= λ≃ car
%I-C-1- Loi suivie par Z et paramètres de cette loi :
%I-C-2- P4 ≃

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE II} \end{center} 

On considère la fonction $f$ définie par :  

\[\text{pour tout réel}\:\: x\: \text{de}\: [0~;~1],\quad f(x) = \dfrac{2x + 5}{x + 1}.\]

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{II-A-1-} Donner les réels $a$ et b tels que, pour tout $x \in [0~;~1],\: f(x)= a+ \dfrac{b}{x + 1}$.

\textbf{II-A-2-} Soit $L$ l’intégrale définie par : $L  = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$.

Calculer la valeur exacte de $L$ en justifiant les calculs.

\bigskip

￼\textbf{Partie B}

\medskip

On considère maintenant la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ définie par :

pour tout $n \geqslant 1,\quad  u_n = \displaystyle\int_0^1 f(x)\text{e}^{\frac{x}{n}}\:\text{d}x$.

￼\textbf{￼II-B-1-}  Soit $n \geqslant  1$ fixé. Justifier que, pour tout réel $x \in [0~;~1],\:1 \leqslant \text{e}^{\frac{x}{n}} \leqslant \text{e}^{\frac{1}{n}}$.

￼\textbf{II-B-2-a-} Justifier alors que, pour tout entier $n \geqslant  1,\quad  L \leqslant u_n \leqslant L \text{e}^{\frac{1}{n}}$.

￼\textbf{II-B-2-b-} En déduire que la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ est convergente et donner sa limite.  Justifier la réponse.

￼\textbf{II-B-2-c-} Justifier que,pour tout $n \geqslant 1,\: 0 \leqslant u_n - L \leqslant L\left(\text{e}^{\frac{1}{n}} - 1 \right)$. 

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère l’algorithme suivant :
\begin{center}

\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Variables}\\ 
\quad $p$ est un entier \\
\quad $n$ est un entier\\
\quad $L$ est un réel\\
\textbf{Début de l’Algorithme}\\
\quad $L$ prend la valeur $2 + 3 \ln 2$ \\
\quad $n$ prend la valeur 1\\
\quad Entrer la valeur de $p$\\
￼￼Tant que $L\left(\text{e}^{\frac{1}{n}} − 1\right) > 10^{-p}$ faire\\
\qquad  $n$ prend la valeur $n + 1$\\
\quad Fin de Tant que\\
Afficher $n$\\
\textbf{Fin de l’algorithme}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Lors de l’exécution de cet algorithme, la valeur entrée pour la variable $p$ est 5. À la
fin de l’exécution, la valeur affichée de la variable $n$ est notée $N$.

\textbf{II-C-1-} Que représente $N$ ?

\textbf{II-C-2-} Donner un réel $\beta$ tel que : $\left|u_N - 3\ln 2\right| \leqslant  \beta$.

%REPONSES A L’EXERCICE II
%II-A-1- a= b=
%II-A-2- L = car
%x1
%II-B-1- 1 ≤ en ≤ en car
%￼￼
%1
%II-B-2-a- L ≤ un ≤ Len car
%￼
%II-B-2-b- (un)n≥1 est convergente et lim un = car n→+∞
%1
%II-B-2-c- 0≤un −L≤L(en −1) car
%￼
%II-C-1- N représente
%II-C-2- β =

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE III} 
\end{center}

On se place dans le plan complexe rapporté au repère \Ouv orthonormé, direct. On considère la fonction polynomiale $P$ définie par :

pour tout complexe $z \in \C,\quad  P(z) = z^4 − 6z^3 + 14z^2 − 6z + 13$.

\medskip

\textbf{III-1-a-} Calculer $P(\text{i})$ et $P (- \text{i})$.

\textbf{III-1-b-} Pour tout complexe $z$, on a l’égalité : $P(z) = \left(z^2 + 1\right) Q(z)$
où $Q(z)$ s’écrit sous la forme : $Q(z) = z^2 + cz + d$.

Donner les valeurs des réels $c$ et $d$.

\textbf{III-1-c-} Déterminer l’ensemble $S_1$ des solutions, dans $\C$, de l’équation Q(z) = 0. Justifier le résultat.

\textbf{III-1-d-} En déduire l’ensemble S2 des solutions, dans C, de l’équation $P(z) = 0$.

\textbf{III-2-}  Placer sur la figure les points A, C et $\Omega$ d’affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = \text{i},\quad  z_{\text{C}} = 3 + 2 \text{i},\quad  z_{\Omega} = 2.\]

\textbf{III-3-a-} On note $Z_1, Z_2$ et $Z_3$ les affixes respectives des vecteurs $\vect{\text{AC}},\: \vect{\Omega \text{A}}$ et $\vect{\Omega \text{C}}$.

Donner les valeurs de $Z_1, Z_2$ et $Z_3$.

\textbf{III-3-b-} Donner alors les modules $\left|Z_1\right|,\: \left|Z_2\right|,\: \left|Z_3\right|$ de $Z_1,\: Z_2,\: Z_3$.

\textbf{III-3-c-} Déterminer alors les valeurs exactes des distances AC, $\Omega$A et $\Omega$C. Justifier les réponses.

\textbf{III-3-d-} Déterminer une mesure, en radians, de l’angle géométrique $\widehat{\text{A}\Omega\text{C}}$. Justifier le résultat.

\textbf{III-3-e-} Quelle est la nature précise du triangle A$\Omega$C ?

\textbf{III-4-} On considère les points B et D d’affixes respectives : $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$ et $z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}$ où $\overline{z_{\text{A}}}$ et $\overline{z_{\text{C}}}$ désignent respectivement les complexes conjugués de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$.

\textbf{III-4-a-} Placer les points B et D sur la figure de III-2-.

\textbf{III-4-b-} Justifier que les points A, B, C et D sont sur un même cercle. Préciser son centre I et son rayon $r$.
 
\textbf{III-4-c-} ￼￼￼￼Tracer ce cercle sur la figure de III-2-.
 
\textbf{III-5-} Donner l’aire $\mathcal{A}$, en unités d’aires, du trapèze ABDC.

%􏰀REPONSES A L’EXERCICE III
%III-1-a- P (i) = P (−i) =
%III-1-b- c = d =
%III-1-c- S1 = car
%III-1-d- S2 =
%III-2-
%⃗v
%O
%u⃗
%III-3-a- Z1 = Z2 = Z3 =
%III-3-b- |Z1| = |Z2| = |Z3| =
%III-3-c- AC = ΩA = ΩC = car
%III-3-d- AΩC = car
%􏰀
%III-3-e- Le triangle AΩC est
%III-4-a- Utiliser la figure de III-2-
%III-4-b- I= r= car
%III-4-c- Utiliser la figure de III-2-
%III-5- A =

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE IV} 
\end{center}

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \Oijk, on considère les points E
et F de coordonnées :

\[\text{E}(2~;~2~;~0) \quad \text{et} \quad  \text{F}(0~;~2~;~4)\]

et la droite $\Delta$ définie par le système d’équations paramétriques :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& t + 3\\ 
y &=&− t − 1\\ 
z&=&4
\end{array}\right., t \in \R.\]

\textbf{IV-1-a-} Donner les coordonnées d’un vecteur directeur $\vect{u}$ de la droite $\Delta$.

\textbf{IV-1-b-} Justifier que le point E n’appartient pas à $\Delta$.

\textbf{IV-1-c-} Justifier que le point F appartient à $\Delta$.

\textbf{IV-1-d-} En déduire la position relative des droites (EF) et $\Delta$.

\textbf{IV-2-} On considère le plan P contenant les deux droites (EF) et $\Delta$. 

Soit le vecteur $\vect{n}(2~;~2~;~1)$.

\textbf{IV-2-a-} Donner les produits scalaires $\vect{n} \cdot \vect{\text{EF}}$ et $\vect{n} \cdot  \vect{u}$.

\textbf{IV-2-b-} Que peut-on en déduire pour le vecteur $\vect{n}$ par rapport au plan P ?

\textbf{IV-2-c-} Déterminer une équation cartésienne du plan P. Justifier la réponse.

\textbf{IV-3-} On note H le projeté orthogonal du point E sur la droite $\Delta$.

\textbf{IV-3-a-} Donner la valeur du produit scalaire $\vect{\text{EH}} \cdot  \vect{u}$.

\textbf{IV-3-b-} Justifier alors que les coordonnées $\left(x_{\text{H}}~;~y_{\text{H}}~;~z_{\text{H}}\right)$ de H vérifient :

$x_{\text{H}} - y_{\text{H}} = 0$

\textbf{IV-3-c-} Donner alors les coordonnées de H.

\textbf{IV-4-} On note G le point de l’espace vérifiant : $\vect{\text{FG}} = 2\vect{n}$.

\textbf{IV-4-a-} Donner les coordonnées de G.

\textbf{IV-4-b-} Écrire un système d’équations paramétriques de la droite $\Delta'$ parallèle à $\delta$ et passant par G.

\textbf{IV-4-c-} Que dire précisément sur la position relative des deux droites $\Delta'$ et (EH) ?

%REPONSES A L’EXERCICE IV
%IV-1-a- u⃗ ( ; ; )
%IV-1-b- E n’appartient pas à ∆ car
%IV-1-c- F ∈ ∆ car
%IV-1-d- (EF ) et ∆
%−→
%IV-2-a- ⃗n.EF = ⃗n.u⃗ =
%IV-2-b- ⃗n est
%IV-2-c- Equation de P : car
%−→
%IV-3-a- EH.u⃗ =
%IV-3-b- xH − yH = 0 car
%IV-3-c- xH = yH = zH =
%IV-4-a- G ( ; ; )
%
%IV-4-b- ∆′
\end{document}