\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{color} \usepackage{colortbl} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Concours ENI--GEIPI--POLYTECH}, pdftitle = {mai 2014}, allbordercolors = white } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours ENI GEIPI--POLYTECH} \lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}} \rfoot{\small{mai 2014}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30} {\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\ {\Large \textbf{ mai 2014}} \end{center} Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d'épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie. La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1 h 30. L'usage d'une calculatrice est autorisé. Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. Aucun document n'est autorisé. L'usage du téléphone est interdit. Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés. Chaque exercice est noté sur 20 points. Le sujet est donc noté sur 60 points. Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes. \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{EXERCICE I} \end{center} \medskip Une enquête réalisée dans le Centre de Documentation et d'Information (CDI) d'un lycée donne les résultats suivants : 60\,\% des élèves fréquentant le CDI sont des filles et, parmi elles, 40\,\% sont en seconde, 30\,\% en première et le reste en terminale. Parmi les garçons fréquentant le CDI, 50\,\% sont en seconde, 20\,\% en première et le reste en terminale. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On interroge au hasard un élève fréquentant le CDI et on considère les évènements suivants : $F$ : \og l'élève interrogé est une fille \fg, $G$ : \og l'élève interrogé est un garçon \fg, $S$ : \og l'élève interrogé est en seconde \fg, $P$ : \og l'élève interrogé est en première \fg, $T$ : \og l'élève interrogé est en terminale \fg. \medskip \textbf{I-A-1-} Compléter un arbre avec les probabilités correspondantes. \textbf{I-A-2-} Donner la probabilité $P_1$ que l'élève interrogé soit une fille de seconde. \textbf{I-A-3-} Donner la probabilité $P_2$ que l'élève interrogé soit en seconde. \textbf{I-A-4-} L'élève interrogé est en seconde. Déterminer la probabilité $P_3$ que ce soit une fille. Justifier la réponse. Puis donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de $P_3$. \textbf{I-A-5-} L'élève interrogé n'est pas en seconde. Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité $P_4$ que ce soit un garçon. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Durant une pause, le CDI accueille $n$ élèves. On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de filles parmi ces $n$ élèves. \medskip \textbf{I-B-1-} $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Donner la valeur de $p$. \textbf{I-B-2-} Donner, en fonction de $n$, la probabilité $P_5$ qu'il n'y ait aucune fille. \textbf{I-B-3-} Donner, en fonction de $n$, la probabilité $P_6$ qu'il y ait au moins une fille. \textbf{I-B-4-} Déterminer le nombre minimal $n_0$ d'élèves accueillis au CDI durant cette pause pour que la probabilité qu'il y ait au moins une fille soit supérieure à $0,99$. Détailler les calculs. \newpage \textbf{Partie C} \medskip On rappelle que, d'après l'enquête, la proportion de filles fréquentant le CDI est égale à $0,6$. \medskip \textbf{I-C-1-} Soit $F$ la variable aléatoire représentant la fréquence de filles dans un échantillon de 100 élèves pris au hasard, fréquentant le CDI. On admet que $F$ suit une loi normale. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique $I$ au seuil de 95\,\% de $F$. Les valeurs numériques des bornes de $I$ seront arrondies à $10^{-3}$ près. \textbf{I-C-2-} En fin de matinée, le documentaliste constate que 100~élèves dont 68~filles sont venus au CDI. Peut-on affirmer, au seuil de risque de 5\,\%, que la fréquence des filles observée au CDI dans la matinée confirme l'hypothèse de l'enquête ? Expliquer pourquoi. %%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} \textbf{EXERCICE II} \end{center} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $g$ définie par \[\text{pour tout réel}\:\: x \:\text{de}\: ]1~;~+ \infty[,\quad g(x) = \dfrac{x}{\ln x}.\] On note $C_g$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal \Oij. \textbf{II-A-1-} $g'$ désigne la dérivée de $g$. Déterminer, pour tout $x > 1,\: g'(x)$. Détailler les calculs. \textbf{II-A-2-}On donne ci-dessous le tableau des variations de $g$ : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$1$} \uput[u](4,2.4){$x_0$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$g'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$} \rput(0.5,1){$g(x)$}\uput[d](1.5,2){$+ \infty$} \uput[u](4,0){$g\left(x_0 \right)$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$} \psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} Donner la valeur de $x_0$. Calculer $g\left(x_0 \right)$. \textbf{II-A-3-} Soit $m$ un réel. Donner, suivant les valeurs de $m$, le nombre de solutions de l'équation : $g(x) = m$. \textbf{II-A-4-a-} Déduire de la question précédente que l'équation $g(x) = 4$ a deux solutions. On les notera $x_1$ et $x_2$, avec $x_1 < x_2$. \textbf{II-A-4-b-} Sur la figure est représentée la courbe $C_g$. Placer les valeurs $x_1$ et $x_2$. Laisser les traits de construction. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-1,-1)(10,6.1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=cyan](0,0)(10,6) \multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(10,6) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(10,6) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.1}{10}{x x ln div} \uput[ur](1.2,5){$C_g$} \end{pspicture*} \end{center} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère maintenant la fonction $f$ définie par : pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[,\quad f(x) = x - 4\ln x$. \medskip On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans le même repère \Oij. \medskip \textbf{II-B-1-a-} Donner $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x)$. \textbf{II-B-1-b-} Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x}$ ? En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Justifier la réponse. \textbf{II-B-2-} $f'$ désigne la dérivée de $f$. Donner, pour tout $x > 0,\:\: f'(x)$. \textbf{II-B-3-} Soit I le point de la courbe $C_f$ d'abscisse 1. Donner une équation de la tangente à $C_f$ en I. \textbf{II-B-4-} Dresser le tableau des variations de $f$. $f$ admet un extremum au point $M$ de coordonnées $\left(X_M~;~Y_M\right)$. Donner les valeurs exactes de $X_M$ et de $Y_M$, ainsi qu'une valeur approchée de $Y_M$ à $10^{-1}$ près. \textbf{II-B-5-a-} Expliquer pourquoi l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution appartenant à ]0~;~1]. \textbf{II-B-5-b-} On considère un point P de $C_f$ de coordonnées $(x~;~f(x))$. Montrer que P appartient à l'axe des abscisses si et seulement si $g(x) = 4$. \textbf{II-B-6-} Sur la figure de la question II-A-4-b-, placer les points I et $M$, les tangentes à $C_f$ en I et en $M$, les points A et B d'intersection de $C_f$ avec l'axe des abscisses, puis tracer $C_f$. %%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} \textbf{EXERCICE III} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip \textbf{III-A-1-} Justifier que l'équation $\cos x = 0,2$ a une unique solution dans l'intervalle $[0~;~\pi]$. On notera $x_0$ cette solution. \textbf{III-A-2-} On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Variables}\\ \quad $a, b$ et $m$ sont des réels\\ \quad $\delta$ est un réel strictement positif\\ \textbf{Début de l'algorithme}\\ \quad Entrer la valeur de $\delta$\\ \quad $a$ prend la valeur 0\\ \quad $b$ prend la valeur 3\\ \quad \textbf{Tant que} $b - a > \delta$ faire\\ \quad \quad $m$ prend la valeur $\frac{a + b}{2}$\\ \quad \quad Si $\cos (m) > 0,2$ alors\\ \quad \quad \quad $a$ prend la valeur $m$\\ \quad \quad sinon\\ \quad \quad \quad $b$ prend la valeur $m$\\ \quad \quad Fin Si\\ \quad \textbf{Fin Tant que}\\ \quad Afficher $a$\\ \quad Afficher $b$\\ \textbf{Fin de l'algorithme}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \bigskip \medskip \textbf{III-A-2-a-} On fait tourner cet algorithme en prenant $\delta = 0,5$. Compléter le tableau en utilisant le nombre de colonnes nécessaires. \begin{center} \newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash} \begin{tabular}{|l | >{\ca}p{2cm} | *4{>{\ca}p{1.5cm} |}} \hline & Initialisation & Fin de\newline l'étape 1 & Fin de\newline l'étape 2 & & \\ \hline $m=$ & \cellcolor{lightgray} & & & & \\ \hline $\cos m=$ & \cellcolor{lightgray} & & & & \\ \hline $a=$ & 0 & & & & \\ \hline $b=$ & 3 & & & & \\ \hline $b-a=$ & 3 & & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} Quelles sont les valeurs affichées pour $a$ et $b$ à la fin de l'algorithme ? \textbf{III-A-2-b-} On exécute cet algorithme avec $\delta = 0,1$. Les valeurs affichées sont \np{1,3125} pour $a$ et \np{1,40625} pour $b$. Que peut-on en déduire pour $x_0$ ? \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $F$ définie, pour tout réel $x$ de $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$, par : \[F(x) = \sin (2x).\] On note $C_F$ la courbe représentative de $F$ dans un repère orthogonal \Oij. \medskip \textbf{III-B-1-} $F'$ désigne la dérivée de $F$. Déterminer, pour tout $x \in \left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$,\: $F'(x)$. \textbf{III-B-2-} Dresser le tableau des variations de $F$. \textbf{III-B-3-} Tracer la courbe $C_F$. \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $t \in \left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$. On note $\mathcal{D}_t$ le domaine compris entre la courbe $C_F$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = t$. Soit $\mathcal{A}_t$ l'aire, en unités d'aires, de $\mathcal{D}_t$. \textbf{III-C-1-} Justifier que : $\mathcal{A}_t = - \frac{1}{2} \cos (2t) + \frac{1}{2}$. \textbf{III-C-2-} On considère l'équation $(E)\:\: : \mathcal{A}_t = 0,4$. \textbf{III-C-2-a-} Justifier que l'équation $(E)$ est équivalente à l'équation $\cos (2t) = \beta$, où $\beta$ est un réel à préciser. \textbf{III-C-2-b-} À l'aide de la question III-A-2-b-, donner une valeur approchée à $0,05$ près de la solution $t_0$ de l'équation $(E)$. \textbf{III-C-3-} Sur la figure de la question III-B-3-, hachurer le domaine $\mathcal{D}_{t_0}$. %%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} \textbf{EXERCICE IV} \end{center} Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ d'équations cartésiennes respectives: \[\mathcal{P}_1 :\quad - 2x + y + z = 8\quad \text{et} \:\:\mathcal{P}_2\quad 2x + 5y - z = - 20.\] \textbf{IV-1-a-} Donner les coordonnées d'un vecteur $\vect{n_1}$ normal au plan $\mathcal{P}_1$ et d'un $\vect{n_2}$ normal au plan $\mathcal{P}_2$. \textbf{IV-1-b-} Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants. \textbf{IV-2-} On note $\mathcal{D}_1$ la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. \textbf{IV-2-a-} Justifier que le point A$( -4~;~-2~;~2)$ appartient à $\mathcal{D}_1$. \textbf{IV-2-b-} Montrer que le vecteur $\vect{u_1}(1~;~0~;~2)$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}_1$. \textbf{IV-3-} Donner un système d'équations paramétriques de la droite $\mathcal{D}_1$ en notant $t$ le paramètre. \textbf{IV-4-} On considère la droite $\mathcal{D}_2$ définie par le système d'équations paramétriques suivant : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 5\\ y &=& k\\ z &=& - 2 + k \end{array}\right.\quad \text{avec}\: k \in \R.\] Dans cette question, on va montrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont non coplanaires. \textbf{IV-4-a-} Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vect{u_2}$ de la droite $\mathcal{D}_2$. \textbf{IV -4- b-} Justifier que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ ne sont pas parallèles. \textbf{IV -4-c-} Montrer que l'intersection $\mathcal{D}_1 \cap \mathcal{D}_2$ est vide. \textbf{IV -5-} Soit $H$ un point de la droite $\mathcal{D}_1$ et $K$ un point de la droite $\mathcal{D}_2$. \textbf{IV -5-a-} Donner les coordonnées du vecteur $\vect{HK}$ en fonction des paramètres $t$ et $k$. \textbf{IV -5- b} Montrer que la droite $(HK)$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}_1$ si et seulement si on a : \[5t - 2k = 1.\] \textbf{IV -5-c-} De même, la droite $(HK)$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}_2$ si et seulement si $t$ et $k$ vérifient la condition $at + bk = c$ où $a,\: b,\: c$ sont trois réels. Donner les valeurs de ces trois réels. \textbf{IV -5-d-} Pour quelles valeurs de $t$ et $k$ la droite $(HK)$ est-elle perpendiculaire aux deux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ ? Donner alors les coordonnées de $H$ et de $K$. \textbf{IV -5-e-} Cette perpendiculaire commune $(HK)$ aux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ permet de définir la distance entre les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$. Cette distance $d$ est égale à la longueur $HK$. Donner la valeur exacte de $d$. \end{document}