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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours ENI GEIPI--POLYTECH}
\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}}
\rfoot{\small{13 mai 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30}

{\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\
 {\Large \textbf{ Série S 13 mai 2015}}
 \end{center}

Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d'épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie. 

La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1 h 30.
 
L'usage d'une calculatrice est autorisé. 

Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. 

Aucun document n'est autorisé. L'usage du téléphone est interdit.
 
Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés.
 
Chaque exercice est noté sur 20 points. Le sujet est donc noté sur 60 points. 

Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE I} \end{center} 

\medskip

Une librairie a effectué une étude auprès de ses clients concernant leur durée de passage et leur
mode de paiement ainsi qu'une étude sur le prix des livres.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La durée de passage, en minutes, d'un client peut être modélisée par une variable aléatoire $T$
ayant pour densité la fonction $f$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 0\quad \text{si}\:x < 0\\
f(x) &=& 0,02 \text{e}^{-0,02x} \quad \text{si}\:x \geqslant 0
\end{array}\right.\]

Soit $t$ un réel strictement positif. La probabilité $P(T \leqslant t)$ que la visite d'un client dans cette
librairie dure moins de $t$ minutes est alors donnée par : $P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_0^t f(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\textbf{Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte
puis une valeur approchée à \boldmath$10^{-4}$\unboldmath près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $T$ ? Préciser son paramètre.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, avec le calcul d'une intégrale, la probabilité $P_1$ qu'un client reste moins
de 15 minutes dans la librairie. Détailler le calcul.
		\item Donner la probabilité $P_2$ qu'un client reste plus de 15 minutes dans la librairie.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité $P_3$ qu'un client reste plus de 20~minutes dans la librairie
sachant qu'il y est déjà depuis 15~minutes. Justifier le résultat.
\item  Donner, en minutes, la durée moyenne de passage mo d'un client dans la librairie.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On estime à 0,1 la probabilité qu'un client règle ses achats par chèque, lorsque leur montant est
inférieur à 25~euros. Un matin, 20~clients font des achats d'un montant inférieur à 25~euros. On
note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de clients, parmi ceux-là, ayant réglé leurs
achats par chèque.

\textbf{Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée
à \boldmath$10^{-4}$ près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
\item Donner la probabilité $P_4$ que trois clients exactement règlent leurs achats par chèque.
\item Donner la probabilité $P_5$ qu'au moins deux clients règlent leurs achats par chèque.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un livre choisi au hasard dans la librairie, associe son prix,
en euros. On admet que $Y$ suit une loi normale de moyenne $m = 20$ et d'écart-type $\sigma = 5$.

On prend au hasard un livre dans la librairie.

\textbf{Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée
à \boldmath$10^{-4}$ près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité $P_6$ que le prix de ce livre soit inférieur à 25~euros.
\item Donner la probabilité $P_7$ que le prix de ce livre soit supérieur à 35~euros.
\item Donner la probabilité $P_8$ que le prix de ce livre soit compris entre 10 et 15~euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE II} 
\end{center} 

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1.

On considère la fonction $f_n$ définie par :
\[\text{pour tout réel }\:x \in [0~;~+ \infty[,\quad f_n(x) = nx\text{e}^{- nx}.\]

On note $C_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f_n(x)$.
		\item On en déduit que $C_n$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f'_n$ désigne la dérivée de $f_n$.
		
Justifier que: pour tout réel $x \in [0~;~+ \infty[,\quad  f'_n(x) = n\text{e}^{- nx}(1 - nx)$.
		\item Dresser le tableau des variations de $f_n$.
		\item $f_n$ présente un maximum en un point $M_n$. Donner les coordonnées de $M_n$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que : pour tout réel $x \in [0~;~+ \infty[,\quad f_2(x) - f_1(x) = x\text{e}^{- 2x}\left(2 - \text{e}^x\right)$.
		\item On déduit de la question \textbf{3. a.} que les courbes $C_1$ et $C_2$ ont deux points communs
$P$ et $Q$ d'abscisses respectives $p$ et $q$ (avec $p < q$).
		
Donner les valeurs exactes de $p$ et $q$ et une valeur approchée de $q$ à $10^{-1}$ près.
		\item Donner, pour tout réel $x \in [0~;~+ \infty[$, le signe de $f_2(x) - f_1(x)$.
		
En déduire la position relative des courbes $C_1$ et $C_2$.
	\end{enumerate}
\item Sur la figure est tracée la courbe $C_1$.
	
Placer les points $M_1, M_2, P$ et $Q$.
	
Tracer la tangente à la courbe $C_2$ au point $M_2$, puis tracer la courbe $C_2$.
\item On considère la fonction F définie par:
pour tout réel $x \in [0~;~+ \infty[,$
	
\[F(x) = -(x + 1) \text{e}^{-x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $F$ est une primitive de la fonction $f_1$.
		\item On considère l'intégrale:

\[\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{\ln 2} x \text{e}^{- x}\:\text{d}x.\]
		
Hachurer, sur la figure de la question \textbf{4.}, le domaine dont l'aire, en unités d'aire,
vaut $\mathcal{A}$.
		\item Déterminer $\mathcal{A}$. Détailler le calcul.

Le résultat sera écrit sous la forme $\mathcal{A} = \dfrac{1}{a} (b - c \ln 2)$ où $a,\: b$ et $c$ sont des entiers à déterminer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.1)(2.5,0.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan](0,0)(2.5,0.5)
\multido{\n=0.05+0.10}{5}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](0,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.19,-0.09)(2.5,0.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.5}{x 2.71828 x exp div}
\psline[linestyle=dashed](0,0.37)(2.5,0.37)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(0.7,0.37)(1.3,0.37)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2,0.26){$C_1$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE III} \end{center} 

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

On considère les points A, B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$.

Soit C le symétrique de B par rapport à l'axe des abscisses.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer le triangle ABC sur la figure (voir à la fin de l'exercice).
\item Donner l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right|$. Détailler le calcul.
		\item Donner les modules $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}}\right|$ et $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right|$.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
		
On considère les points suivants :

I : projeté orthogonal du point O sur la droite (BC),

J : projeté orthogonal du point O sur la droite (AC),

K : projeté orthogonal du point O sur la droite (AB).

On désigne par $z_{\text{I}}, \:z_{\text{J}}$ et $z_{\text{K}}$ leurs affixes respectives.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points I, J et K sur la figure (voir à la fin de l'exercice).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que J est le milieu du segment [AC].
		\item Calculer alors l'affixe $z_{\text{J}}$ de J. Donner son module $\left|z_{\text{J}}\right|$.
		\item Donner les affixes $z_{\text{I}}$ et $z_{\text{K}}$ ainsi que leur module $\left|z_{\text{I}}\right|$ et $\left|z_{\text{K}}\right|$.
	\end{enumerate}
\item En déduire la valeur de la somme des distances : $L_{\text{O}} = \text{OI} + \text{OJ} + \text{OK}$.

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $M$ un point quelconque situé à l'intérieur du triangle ABC.

On considère les points suivants :

$E$ : projeté orthogonal de $M$ sur la droite (BC),

$F$ : projeté orthogonal de $M$ sur la droite (AC),

$G$ : projeté orthogonal de $M$ sur la droite (AB).

On note $\mathcal{A}_1,\: \mathcal{A}_2,\: \mathcal{A}_3$ et $\mathcal{A}$ les aires respectives des triangles $M$BC, $M$AC, $M$AB et ABC.

On pose $L_M = ME + MF + MG$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec le point $M$ déjà placé sur la figure (voir à la fin de l'exercice), placer les points
$E, F$ et $G$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\mathcal{A}_1$ en fonction de la distance $ME$.
		\item Ecrire une relation liant $\mathcal{A}_1,\: \mathcal{A}_2,\: \mathcal{A}_3$ et $\mathcal{A}$.
		\item Déduire des questions précédentes que : $\mathcal{A} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}3 L_M$.
	\end{enumerate}
\item L'égalité précédente montre que la valeur de $L_M$ ne dépend pas de la position
du point $M$ à l'intérieur du triangle ABC.

Donner la valeur de $L_M$. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan](-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){1}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.3](-0.375,0.25)\uput[ul](-0.375,0.25){$M$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE IV} \end{center} 

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère  :

\begin{itemize}
\item le point A de coordonnées (3~;~2~;~2),
\item le point C de coordonnées $(-1~;~-1~;~0)$,
\item le point D de coordonnées $(1~;~-3~;~2)$,
\item le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne : $x + 2y + z + 3 = 0$,
\item la droite $\Delta$ définie par le système d'équations paramétriques suivant :
\end{itemize}

\[\Delta : \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 3 + 2t\\
y&=&- 6 + 5t\\
z&=&0
\end{array}\right. \quad \text{avec}\: t \in  \R.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{P}$ et $\Delta$ sont sécants en un point E.

Déterminer les coordonnées $\left(x_{\text{E}}~;~y_{\text{E}}~;~z_{\text{E}}\right)$ de E.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifiez que la droite (CD) est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
		\item On note B le point tel que ABCD soit un parallélogramme.
		
Déterminer les coordonnées $\left(x_{\text{B}}~;~y_{\text{B}}~;~z_{\text{B}}\right)$ du point B. Détailler le calcul.
		\item Justifier que le point B appartient à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées du vecteur directeur $\vect{u}$ de la droite (CD) d'abscisse 1.
		\item Ecrire un système d'équations paramétriques de la droite (CD).
		\item On désigne par H le point de la droite (CD) tel que la droite (AH) soit perpendiculaire
à la droite (CD).
		
Déterminer les coordonnées $\left(x_{\text{H}}~;~y_{\text{H}}~;~z_{\text{H}}\right)$ de H. Détailler le calcul.
	\end{enumerate}

\item  Déterminer la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ du parallélogramme
ABCD. Détailler le calcul.
\end{enumerate}
\end{document}