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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours GEIPI--POLYTECH}
\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}}
\rfoot{\small{mai 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\
 {\Large \textbf{mai 2008 }}
 
 \vspace{0,5cm}
 
QCM DE MATHEMATIQUES

Ce QCM comporte 15 questions.

Donner la réponse à chaque question sur la feuille des réponses.
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 1 \hfill 1,5 points}

\medskip

Un élève se présente à deux concours $C_{1}$ et $C_{2}$. Ces deux concours sont indépendants.

Il a une chance sur trois de réussir le concours $C_{1}$ et une chance sur trois de réussir le concours $C_{2}$.

Pensant augmenter ses chances de réussite, l'élève décide de passer les deux concours.

Quelle probabilité $P$ a-t-il de réussir au moins un concours ?

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
A : $P = \dfrac{2}{3}$&B : $P = \dfrac{5}{9}$&C : $P = \dfrac{2}{9}$&D : $P = \dfrac{4}{9}$&E : $P = \dfrac{1}{9}$\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 2 \hfill 1 point}

\medskip

Donner le domaine de définition $\mathcal{D}$ de la fonction $f$ suivante :
\[f(x) = \dfrac{x - 1}{\ln(x - 1)}\]

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
A : $\mathcal{D} = \R_{*}^{+}$&B : $\mathcal{D} = ]1~;~+ \infty[$\\
C : $\mathcal{D} = ]1~;~\text{e}[ \cup ]\text{e}~;~+ \infty[$&D : $\mathcal{D} = ]1~;~2[ \cup ]2~;~+ \infty[$\\
E : $\mathcal{D} = ]2~;~+ \infty[$\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 3 \hfill 1 point}

\medskip

On tire au hasard une boule dans une urne contenant dix boules numérotées de 1 à 10. On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le numéro de la boule tirée.

Donner la valeur de l'espérance mathématique $\text{E}(X)$ de la variable aléatoire $X$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
A : $\text{E}(X) = 1$&B : $\text{E}(X) = \dfrac{1}{10}$\\
C : $\text{E}(X) = \dfrac{11}{2}$&D : $\text{E}(X) = 5$\\
E : $\text{E}(X) = 11$\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 4 \hfill 1 point}

\medskip

La suite $\left(w_{n}\right)_{n\in \N}$ définie par : pour tout entier $n,~ w_{n} = \dfrac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$,  vérifie :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
A : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_{n} = +\infty$&B : la suite $\left(w_{n}\right)_{n\in \N}$ n'a pas de limite\\
C : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_{n} = 0$&D : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_{n} = -1$\\
E : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_{n} = 1$\\
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Question 5 \hfill 1,5 point}

\medskip

On considère dans l'espace rapporté au repère \Oijk, les deux plans suivants :

\[\mathcal{P}_{1}  : 2x + y - 3z + 1 = 0 \quad ; \quad \mathcal{P}_{2} : x - y + 2 = 0\]

Donner l'équation du plan passant par le point O et contenant la droite d'intersection des deux plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
A : $x + y - 2z = 0$&B : $x + y + z + 3 = 0$\\
C : $x + y = 0$&D : $y - 2z = 0$\\
E : $2x + y - 3z = 0$\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 6 \hfill 1,5 point}

\medskip
On considère, pour tout entier $n \geqslant 1$, l'intégrale : $I_{n} =
\displaystyle\int_{0}^1  x^n \text{e}^{2x}\:\text{d}x$.

Une intégration par parties permet de trouver une relation entre $I_{n}$ et $I_{n-1}$.

Quelle est cette relation ?

\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
A : $I_{n} = \dfrac{\text{e}^2}{2} + \dfrac{n}{2}I_{n - 1}$&B : $I_{n} = \dfrac{\text{e}^2}{4} - \dfrac{n - 1}{2}I_{n - 1}$\\
C : $I_{n} = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \dfrac{n}{2}I_{n - 1}$&D : $I_{n} = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \dfrac{n}{2}I_{n - 1} + C,~C \in \R$\\
E : $I_{n} = 2\text{e}^2 - 2nI_{n - 1}$\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 7 \hfill 1 point}

\medskip

La fonction $f$ définie sur $[0~;~1[$ par : $f(x) = \sqrt{\dfrac{-2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 6x - 7}}$ vérifie :

\begin{tabularx}{\linewidth}{l X}
A : $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$&B : $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = + \infty$\\
C : $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 0$&D : $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$\\
E : $f$ n'a pas de limite quand $x$ tend vers 1.\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 8 \hfill 1,5 point}

\medskip

Donner l'ensemble $S$ des réels appartenant à l'intervalle $[0~;~2\pi[$ vérifiant l'équation :
\[\sin^2 x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x = 0\]

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
A : $S = \left\{0~;~\pi~;~\dfrac{4\pi}{3}~;~- \dfrac{\pi}{3} \right\}$&B : $S = \left\{0~;~\pi~;~\dfrac{7\pi}{6}~;~ \dfrac{11\pi}{6} \right\}$\\
C : $S = \left\{0~;~\dfrac{4\pi}{3} \right\}$&D : $S = \left\{0~;~\pi~;~-\dfrac{\pi}{3}~;~- \dfrac{2\pi}{3} \right\}$\\
E : $S = \left\{0~;~\pi~;~\dfrac{4\pi}{3}~;~ \dfrac{5\pi}{3} \right\}$ \\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 9 \hfill 1,5 point}

\medskip
Donner la solution de l'équation différentielle : $y'(x) + 2 y(x) = \text{e}^{- 2x} \cos x$, vérifiant la condition $y(0) = 1$.

A : $f(x) = \text{e}^{- 2x} \cos x$

B : $f(x) = \ln \left(1 + \cos x \text{e}^{- 2x}\right)$

C : $f(x) = (1 + \sin x) \text{e}^{- 2x}$

D : $f(x) = - \dfrac{\text{e}^{- 2x}}{2}\sin x$

E : $f(x) = \dfrac{1}{2}\left( \text{e}^{2x} + \text{e}^{- 2x}\right)
\cos x$

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 10 \hfill 1,5 point}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par : $h(x) = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x + 1\right)$.

On note $\mathcal{H}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.

Donner l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{H}$ au point d'intersection de $\mathcal{H}$ avec l'axe des abscisses.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
A : $y = x - 2$&B : $y = 3 x - \ln 6$\\
C : $y = x + 2$&D : $y = 6( x - \ln 2 )$\\
E : $y = 2 (x - \ln 2 )$ \\
\end{tabularx}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 11 \hfill 1,5 point}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x) = \dfrac{2x^2 + 3}{x^2 + 1}$.

Une des cinq affirmations suivantes est exacte. Laquelle ?

\medskip

A : $g$ est majorée par 2

B : Pour tout réel $x$, on a : $g'(x) = \dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$


C : Pour tout réel $x$, on a : $g'(x) < 0$

D : La tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ a pour équation : $y = - \dfrac{1}{2}x +  3$

E : La fonction $G$ définie par : pour tout réel $x,~ G(x) = 2x + \ln \left(x^2 + 1\right)$ 
est une primitive de $g$
\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 12 \hfill 1,5 point}

\medskip

On considère, dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij, les points $M$ et $N$ d'affixes
respectives :

\[z_{M} = 1 + 2\text{i}\quad  \text{et} \quad  z_{N} = 3 + 2\text{i}.\]

Le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour image, par la rotation de centre O et d'angle
$\dfrac{\pi}{3}$, le point $J$. Donner l'affixe de $J$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
A : $z_{J} = \text{e}^{\frac{7\text{i}\pi}{12}}$&B : $z_{J} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\frac{7\text{i}\pi}{12}}$\\
C : $z_{J} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\frac{11\text{i}\pi}{12}}$&D : $z_{J} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\frac{-7\text{i}\pi}{12}}$\\
E : $z_{J} = 4\sqrt{2}\text{e}^{-\frac{5\text{i}\pi}{12}}$ \\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 13 \hfill 1 point}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la courbe $\mathcal{C}$
 d'équation :
 
\[\mathcal{C}  : \quad  y = 1 - \dfrac{1}{2}x + \cos x\]
On note $\mathcal{A}$, l'aire, en unités d'aires, de la partie de plan délimitée par $\mathcal{C}$, les axes du repère et la droite d'équation $x = \dfrac{\pi}{2}$. Donner la valeur de $\mathcal{A}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
A : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{4}$&B : $\mathcal{A} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi^2}{16}$\\
C : $\mathcal{A} = 1 + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi^2}{16}$&D : $\mathcal{A} = 1 + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi^2}{8}$\\
E : $\mathcal{A} =  - 1 + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi^2}{8}$ \\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 14 \hfill 1,5 point}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A, B et C de coordonnées :

\[\text{A}(2~;~4),\:\: \text{B}(- 2~;~1)~~ \text{et}~~ \text{C}(4~;~3).\]

On note $d$ la distance du point A à la droite (BC). Donner la valeur de $d$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
A : $d = \dfrac{3}{\sqrt{2}}$&B : $d = \dfrac{9}{\sqrt{10}}$&C : $d = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$&D : $d = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$&E : $d = - \dfrac{5}{\sqrt{10}}$\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Question 15 \hfill 1,5 point}

\medskip
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, soit le point $A$ d'affixe i.

On considère la fonction $T$ qui associe à tout point $M$, différent de $A$ et d'affixe $z$, le point $M'$, d'affixe $z'$, tel que :
\[z' = \dfrac{\text{i}}{2(z - \text{i})}\]

Alors l'image par $T$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre $A$ et de rayon $1$ est :

\medskip

A : le cercle de centre O et de rayon 0, 5

B : le cercle de centre O et de rayon 2

C : le cercle de centre A et de rayon 0,5

D : le cercle de centre A et de rayon 1

E : le cercle de centre A et de rayon 2

\end{document}