\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale S }, pdftitle = {Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH mai 2008}, allbordercolors = white,pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours GEIPI--POLYTECH} \lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}} \rfoot{\small{mai 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\ {\Large \textbf{mai 2008 }} \vspace{0,5cm} QCM DE MATHEMATIQUES Ce QCM comporte 15 questions. Donner la réponse à chaque question sur la feuille des réponses. \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 1 \hfill 1,5 points} \medskip Un élève se présente à deux concours $C_{1}$ et $C_{2}$. Ces deux concours sont indépendants. Il a une chance sur trois de réussir le concours $C_{1}$ et une chance sur trois de réussir le concours $C_{2}$. Pensant augmenter ses chances de réussite, l'élève décide de passer les deux concours. Quelle probabilité $P$ a-t-il de réussir au moins un concours ? \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.75} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}} A : $P = \dfrac{2}{3}$&B : $P = \dfrac{5}{9}$&C : $P = \dfrac{2}{9}$&D : $P = \dfrac{4}{9}$&E : $P = \dfrac{1}{9}$\\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 2 \hfill 1 point} \medskip Donner le domaine de définition $\mathcal{D}$ de la fonction $f$ suivante : \[f(x) = \dfrac{x - 1}{\ln(x - 1)}\] \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} A : $\mathcal{D} = \R_{*}^{+}$&B : $\mathcal{D} = ]1~;~+ \infty[$\\ C : $\mathcal{D} = ]1~;~\text{e}[ \cup ]\text{e}~;~+ \infty[$&D : $\mathcal{D} = ]1~;~2[ \cup ]2~;~+ \infty[$\\ E : $\mathcal{D} = ]2~;~+ \infty[$\\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 3 \hfill 1 point} \medskip On tire au hasard une boule dans une urne contenant dix boules numérotées de 1 à 10. On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le numéro de la boule tirée. Donner la valeur de l'espérance mathématique $\text{E}(X)$ de la variable aléatoire $X$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} A : $\text{E}(X) = 1$&B : $\text{E}(X) = \dfrac{1}{10}$\\ C : $\text{E}(X) = \dfrac{11}{2}$&D : $\text{E}(X) = 5$\\ E : $\text{E}(X) = 11$\\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 4 \hfill 1 point} \medskip La suite $\left(w_{n}\right)_{n\in \N}$ définie par : pour tout entier $n,~ w_{n} = \dfrac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$, vérifie : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} A : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_{n} = +\infty$&B : la suite $\left(w_{n}\right)_{n\in \N}$ n'a pas de limite\\ C : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_{n} = 0$&D : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_{n} = -1$\\ E : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_{n} = 1$\\ \end{tabularx} \newpage \textbf{Question 5 \hfill 1,5 point} \medskip On considère dans l'espace rapporté au repère \Oijk, les deux plans suivants : \[\mathcal{P}_{1} : 2x + y - 3z + 1 = 0 \quad ; \quad \mathcal{P}_{2} : x - y + 2 = 0\] Donner l'équation du plan passant par le point O et contenant la droite d'intersection des deux plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} A : $x + y - 2z = 0$&B : $x + y + z + 3 = 0$\\ C : $x + y = 0$&D : $y - 2z = 0$\\ E : $2x + y - 3z = 0$\\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 6 \hfill 1,5 point} \medskip On considère, pour tout entier $n \geqslant 1$, l'intégrale : $I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n \text{e}^{2x}\:\text{d}x$. Une intégration par parties permet de trouver une relation entre $I_{n}$ et $I_{n-1}$. Quelle est cette relation ? \renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} A : $I_{n} = \dfrac{\text{e}^2}{2} + \dfrac{n}{2}I_{n - 1}$&B : $I_{n} = \dfrac{\text{e}^2}{4} - \dfrac{n - 1}{2}I_{n - 1}$\\ C : $I_{n} = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \dfrac{n}{2}I_{n - 1}$&D : $I_{n} = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \dfrac{n}{2}I_{n - 1} + C,~C \in \R$\\ E : $I_{n} = 2\text{e}^2 - 2nI_{n - 1}$\\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 7 \hfill 1 point} \medskip La fonction $f$ définie sur $[0~;~1[$ par : $f(x) = \sqrt{\dfrac{-2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 6x - 7}}$ vérifie : \begin{tabularx}{\linewidth}{l X} A : $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$&B : $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = + \infty$\\ C : $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 0$&D : $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$\\ E : $f$ n'a pas de limite quand $x$ tend vers 1.\\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 8 \hfill 1,5 point} \medskip Donner l'ensemble $S$ des réels appartenant à l'intervalle $[0~;~2\pi[$ vérifiant l'équation : \[\sin^2 x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x = 0\] \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} A : $S = \left\{0~;~\pi~;~\dfrac{4\pi}{3}~;~- \dfrac{\pi}{3} \right\}$&B : $S = \left\{0~;~\pi~;~\dfrac{7\pi}{6}~;~ \dfrac{11\pi}{6} \right\}$\\ C : $S = \left\{0~;~\dfrac{4\pi}{3} \right\}$&D : $S = \left\{0~;~\pi~;~-\dfrac{\pi}{3}~;~- \dfrac{2\pi}{3} \right\}$\\ E : $S = \left\{0~;~\pi~;~\dfrac{4\pi}{3}~;~ \dfrac{5\pi}{3} \right\}$ \\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 9 \hfill 1,5 point} \medskip Donner la solution de l'équation différentielle : $y'(x) + 2 y(x) = \text{e}^{- 2x} \cos x$, vérifiant la condition $y(0) = 1$. A : $f(x) = \text{e}^{- 2x} \cos x$ B : $f(x) = \ln \left(1 + \cos x \text{e}^{- 2x}\right)$ C : $f(x) = (1 + \sin x) \text{e}^{- 2x}$ D : $f(x) = - \dfrac{\text{e}^{- 2x}}{2}\sin x$ E : $f(x) = \dfrac{1}{2}\left( \text{e}^{2x} + \text{e}^{- 2x}\right) \cos x$ \vspace{0,5cm} \textbf{Question 10 \hfill 1,5 point} \medskip On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par : $h(x) = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x + 1\right)$. On note $\mathcal{H}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij. Donner l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{H}$ au point d'intersection de $\mathcal{H}$ avec l'axe des abscisses. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} A : $y = x - 2$&B : $y = 3 x - \ln 6$\\ C : $y = x + 2$&D : $y = 6( x - \ln 2 )$\\ E : $y = 2 (x - \ln 2 )$ \\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 11 \hfill 1,5 point} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x) = \dfrac{2x^2 + 3}{x^2 + 1}$. Une des cinq affirmations suivantes est exacte. Laquelle ? \medskip A : $g$ est majorée par 2 B : Pour tout réel $x$, on a : $g'(x) = \dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$ C : Pour tout réel $x$, on a : $g'(x) < 0$ D : La tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ a pour équation : $y = - \dfrac{1}{2}x + 3$ E : La fonction $G$ définie par : pour tout réel $x,~ G(x) = 2x + \ln \left(x^2 + 1\right)$ est une primitive de $g$ \vspace{0,5cm} \textbf{Question 12 \hfill 1,5 point} \medskip On considère, dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij, les points $M$ et $N$ d'affixes respectives : \[z_{M} = 1 + 2\text{i}\quad \text{et} \quad z_{N} = 3 + 2\text{i}.\] Le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour image, par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$, le point $J$. Donner l'affixe de $J$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} A : $z_{J} = \text{e}^{\frac{7\text{i}\pi}{12}}$&B : $z_{J} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\frac{7\text{i}\pi}{12}}$\\ C : $z_{J} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\frac{11\text{i}\pi}{12}}$&D : $z_{J} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\frac{-7\text{i}\pi}{12}}$\\ E : $z_{J} = 4\sqrt{2}\text{e}^{-\frac{5\text{i}\pi}{12}}$ \\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 13 \hfill 1 point} \medskip Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation : \[\mathcal{C} : \quad y = 1 - \dfrac{1}{2}x + \cos x\] On note $\mathcal{A}$, l'aire, en unités d'aires, de la partie de plan délimitée par $\mathcal{C}$, les axes du repère et la droite d'équation $x = \dfrac{\pi}{2}$. Donner la valeur de $\mathcal{A}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} A : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{4}$&B : $\mathcal{A} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi^2}{16}$\\ C : $\mathcal{A} = 1 + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi^2}{16}$&D : $\mathcal{A} = 1 + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi^2}{8}$\\ E : $\mathcal{A} = - 1 + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi^2}{8}$ \\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 14 \hfill 1,5 point} \medskip Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A, B et C de coordonnées : \[\text{A}(2~;~4),\:\: \text{B}(- 2~;~1)~~ \text{et}~~ \text{C}(4~;~3).\] On note $d$ la distance du point A à la droite (BC). Donner la valeur de $d$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}} A : $d = \dfrac{3}{\sqrt{2}}$&B : $d = \dfrac{9}{\sqrt{10}}$&C : $d = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$&D : $d = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$&E : $d = - \dfrac{5}{\sqrt{10}}$\\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Question 15 \hfill 1,5 point} \medskip Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, soit le point $A$ d'affixe i. On considère la fonction $T$ qui associe à tout point $M$, différent de $A$ et d'affixe $z$, le point $M'$, d'affixe $z'$, tel que : \[z' = \dfrac{\text{i}}{2(z - \text{i})}\] Alors l'image par $T$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre $A$ et de rayon $1$ est : \medskip A : le cercle de centre O et de rayon 0, 5 B : le cercle de centre O et de rayon 2 C : le cercle de centre A et de rayon 0,5 D : le cercle de centre A et de rayon 1 E : le cercle de centre A et de rayon 2 \end{document}