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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Concours GEIPI--POLYTECH}
\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}}
\rfoot{\small{ mai 2012}}
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\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30}

{\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\
 {\Large \textbf{ mai 2012}}
 \end{center}

Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d'épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie. 

La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1 h 30.
 
L'usage d'une calculatrice est autorisé. 

Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. 

Aucun document n'est autorisé. L'usage du téléphone est interdit.
 
Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés.
 
Chaque exercice est noté sur 20 points. Le sujet est donc noté sur 60 points. 

Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE I} \end{center} 

\medskip
  
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel de $]0~;~+ \infty]$, par 

\[f(x) = 2\ln x - (\ln x)^2.\]
 
Soit $C$ la courbe représentant $f$ dans un repère \Oij{} orthonormé.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0}{x > 0}} f(x)$. Justifier la réponse. 
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ désigne la dérivée de $f$. Déterminer $f'(x)$. 
		\item Pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[,\: f'(x)$ s'écrit sous la forme: $f'(x)  = g(x) (1 - \ln x)$.
		 
Donner l'expression de $g(x)$. 
		\item Compléter le tableau de variation de la fonction $f$. 
$f$ présente un extremum en un point $M$. Donner les coordonnées $\left(x_{M}~;~y_{M}\right)$ de $M$.
	\end{enumerate} 
\item La courbe $C$ coupe l'axe des abscisses (O$x$) en deux points A et B d'abscisses respectives $x_{\text{A}}$ et $x_{\text{B}}$ telles que $x_{\text{A}} < x_{\text{B}}$.
 
Déterminer les valeurs exactes de $x_{\text{A}}$ et de $x_{\text{B}}$. Détailler les calculs. Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $x_{\text{B}}$. 
\item Placer les points A, B et $M$. Tracer la courbe $C$ ainsi que sa tangente au point $M$. 
\item On considère la fonction $F$ définie, pour tout $x \in  ]0~;~+ \infty[$, par :
 
\[F(x) = x \left(- 4 + 4\ln x - (\ln x)^2\right).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$. Détailler les calculs. 
		\item Soit $J$ l'intégrale définie par : 

\[J = \int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x.\]
 
Calculer la valeur exacte de $J$ en justifiant le calcul. 
		\item Sur la figure de 4., hachurer la partie du plan dont l'aire, exprimée en unités d'aire, vaut $J$.
		\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{EXERCICE II} \end{center}
  
Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte, écrite sous forme de fraction irréductible.

\medskip
 
Un marchand de parapluies ouvre son magasin 240 jours par an et sur ces journées, il y a 80 jours de beau temps, 40 jours de pluie et 120 jours de temps maussade. 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item Il constate que lors d'une journée de beau temps, il a une probabilité de $\dfrac{3}{4}$ de ne pas vendre  de parapluie, et une probabilité de $\dfrac{1}{4}$ de vendre un parapluie. 
\item Lors d'une journée de pluie, il a une probabilité de $\dfrac{1}{4}$ de vendre un parapluie, une probabilité de $\dfrac{1}{4}$ de vendre deux parapluies et une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ de vendre trois parapluies. 
\item Lors d'une journée de temps maussade, il a une probabilité de $\dfrac{1}{4}$ de ne pas vendre de parapluie, une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ de vendre un parapluie et une probabilité de $\dfrac{1}{4}$ de vendre deux parapluies.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

Pour une journée quelconque d'ouverture du magasin, on considère les évènements suivants :
 
$B$ : \og Le temps est beau \fg,
 
$P$ : \og Le temps est pluvieux \fg,
 
$M$ : \og Le temps est maussade \fg.
 
$X$ désigne la variable aléatoire représentant le nombre de parapluies vendus ce jour-là.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre donné avec les probabilités correspondantes. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant qu'il fait beau, quelle est la probabilité $P_{1}$ que le commerçant ne vende pas de parapluie ce jour-là ? 
		\item Sachant qu'il pleut, quelle est la probabilité $P_{2}$ que le commerçant vende au moins deux parapluies ce jour-là ? 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $P(X = 0)$ que le commerçant ne vende pas de parapluie ce jour-là ? 
		\item Quelle est la probabilité $P(X = 2)$ que le commerçant vende deux parapluies ce jour-là ? 
		\item Quelle est la probabilité $P(X = 3)$ que le commerçant vende trois parapluies ce jour-là ?   
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau qui donne la loi de la variable aléatoire $X$. 		\item Calculer l'espérance E$(X)$ de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate} 
\item Il vend chaque parapluie 10~euros. Quel est le gain moyen $G$, en euros, que lui rapporte sa vente de parapluies pour un an ? 
\item Sachant que, lors d'une journée donnée, le commerçant a vendu un seul parapluie, quelle est la probabilité $P_{3}$ que ce soit une journée de beau temps ? 
\item Sachant que la journée n'est pas une journée de beau temps, quelle est la probabilité $P_{4}$ que le commerçant ne vende qu'un parapluie ? 
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE III}
\end{center}

On se place dans le plan complexe $P$ rapporté au repère \Ouv{} orthonormé, direct. Pour tout complexe $z$, on pose: 

\[z' = (1 + \text{i})z - \text{i}.\]
 
On considère la fonction $F$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$. Déterminer l'image A$'$ par $F$ de A. 
\item  Dans cette question, on considère un point $M$ d'affixe $z \neq 1$. 

On considère le complexe $Z = \dfrac{z' - z}{1-z }$.
	\begin{enumerate}
		\item $Z$ peut s'écrire $Z = a\text{i}$. Déterminer $a$. Justifier le calcul. 
		\item Déterminer le module $|Z|$ et un argument arg($Z$) de $Z$. 
		\item Exprimer la distance $MM'$ en fonction de $M$A et déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{MM'}\right)$. 
		\item En déduire la nature du triangle A$M M'$. 
		\item Construire l'image $M'$ par $F$ du point $M$ placé sur la figure.
	\end{enumerate} 
\item C désigne le symétrique du point A par rapport à l'origine O du repère et B désigne le point d'affixe : 

\[z_{\text{B}} = \dfrac{- 1 + \text{i}}{2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C. 
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{B}'}$ de l'image B$'$ par $F$ du point B. Détailler le calcul. 
		\item Placer les points B, B$'$ et C sur la figure de 2. e.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la question 2. c. la mesure de l'angle $\left(\vect{\text{BA}\phantom{'}},~\vect{\text{BB}'}\right)$. 
		\item Donner la mesure de l'angle $\left(\vect{\text{CA}\phantom{'}},~\vect{\text{CB}'}\right)$. Justifier le résultat. 
		\item En déduire que les points A, B, C et B$'$ appartiennent à un même cercle dont on donnera les extrémités d'un diamètre. Justifier la réponse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{EXERCICE IV}\end{center}
 

On considère l'équation différentielle suivante 

\[	(E)\qquad  	y'(x) + y(x) = x + 1\]
 
où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.
 
\begin{enumerate}
\item Soit $y$ une solution de l'équation différentielle $(E)$. On note $h$ la fonction définie pour tout réel $x$ de $\R$ par : 

\[h(x) = y(x) - x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item En détaillant le calcul de $h' (x) + h( x)$, vérifier que $h$ est solution de l'équation différentielle :
		 
\[(F)\qquad  	h'(x) = - h(x).\]
 
		\item Déterminer toutes les fonctions $h$ solutions de l'équation différentielle $(F)$.
	\end{enumerate} 
\item En déduire toutes les fonctions $y$ solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Soit un réel $a$ quelconque. On note $f_{a}$ la fonction définie, pour tout réel $x$ de $\R$, par: 

\[f_{a}(x) = x + a\text{e}^{- x}\]

et on note $C_{a}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f_{a}(0)$. 
		\item Déterminer, pour tout réel $x$ de $\R$, $f'_{a}(x)$. 
		\item Déterminer une équation de la tangente $T_{a}$ à la courbe $C_{a}$ au point A$_{a}$ d'abscisse nulle. 
		\item Justifier que le point I(1~;~1) appartient à la tangente $T_{a}$.
	\end{enumerate} 
\item Voici trois courbes représentant les fonctions $f_{a_{1}}, f_{a_{2}}$ et $f_{a_{3}}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.75)(5.5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-2,-2)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2.5,-2.75)(5.5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.63}{5}{3 2.71828 x exp div x add}
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\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\rput(-0.3,5){$C_{a_{1}}$}
\rput(-1.1,4){$C_{a_{2}}$}
\rput(-1,-2){$C_{a_{3}}$}
\end{pspicture}
\end{center} 

Déterminer $a_{1}, a_{2}$ et $a_{3}$. Justifier vos affirmations. 
\item  Tracer, sur la figure de 4., les tangentes $T_{a_{1}} T_{a_{2}}$ et $T_{a_{3}}$ à chacune des trois courbes au point d'abscisse $0$. 
\item Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$.
 
Quel est le signe de $f_{a}(x) - f_{b}(x)$ ? Justifier votre réponse. Qu'en déduisez-vous pour les courbes $C_{a}$ et $C_{b}$ ? 
\end{enumerate}
\end{document}